人教版高中数学必修二空间中直线与直线之间的位置关系
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫
做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
例1：如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD ∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理，FG ∥BD且FG = BD 2 ∴EH ∥FG且EH =FG ∴四边形EFGH是一个平行四边形. B A
②从是否共面的角度
异面直线
不同在任何一个平面内---------异面直线
相交直线
在同一平面内-------平行直线
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？ 如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中, BB′∥AA′, DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗?
注：概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” . 或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
不是
直线m和l是异面直线吗? (2) a , b ,则 a与b是异面直线 错
是
(3)a,b不同在平面α 内,则a与b是异面直线 错
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平 面内的特点
AD,CC′,DD′,DC,D′C′
（2）由 BB / / CC 可知，BBA 为异面直线 BA 与 CC 的夹角,
BBA =45°
所以异面直线 BA 与 CC 的夹角为45° . (3)直线
AB, BC , CD, DA, AB, BC , C D, DA 分别
H
E D F G C
解题思想：
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个 角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中,
结论是否仍然成立呢?
观察思考：如图,∠ADC与∠A′D′C′、∠ABC与∠A′B′C′
H G F
2 3 D 2 3
E
2 A
C
B
解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o E ∴BC与EG所成角为45°， 2
H G
F
2 3 D 2 3
(2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求, A Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o ∴AE与BG所成角为60°.
两条直 线既不 平行也 不相交
一、空间两直线的位置关系
m P l′ l m
m′
图1
图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行、空 间中两直线之间的这种关系称为异面直线.
1.异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线.
（既不相交也不平行的两条直线）
注意: 分别在某两个平面 内的两条直线不一定 是异 面直线, 它们可能相交,也 可能平行.
的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补.
A B
C
D
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a、b是两条异面直线， 在空间中 任选 一点O， 过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′，
C B
异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线.
空间两直线的位置关系 相交直线 平行直线 异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托 异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么
这两个角相等或互补． 异面直线的求法: 一作(找)二证三求
2.1.2
空间中直线与直线之间 的位置关系
1.熟练掌握异面直线定义；（重点）
2.理解掌握空间两直线的位置关系;
3.熟练掌握平行公理4，并会简单应用; （重点） 4.理解掌握等角定理及其推论; 5.熟练掌握异面直线所成角定义； 6.掌握求两异面直线所成角的方法. （难点）
立交桥
六角螺母
D C A B
则这两条线所成
的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角. b a′ 条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直.
异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成角θ 的取值范围： （0， ]
π 2
例2
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ （2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 解:（1）由异面直线的定义可知， 与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，
不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴，
从此就怀疑没有蓝天彩霞。
a
b
a
b
b
a
下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那
么AB、CD、EF、GH这四条线段所在直线是异面直线的有几
对？
C
G
A
三对 AB与CD D
B
AB与GH
H
E F
EF与GH
空间两条直线的位置关系 ①从有无公共点的角度： 有且仅有一个公共点---------相交直线 平行直线 没有公共点---------
与直线
AA
垂直.
1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ √ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ × ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线 平行.（ √ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两 条.（× ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么 这两个角相等.（ ×） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么 这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ √ ）
2.填空：
1.空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、 相交 、
异面 三种. 2.没有公共点的两条直线可能是 平行 直线，也有可能 是 异面 直线. 3.和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置 关系有 相交、异面 垂直. . 4、过已知直线上一点可以作 无数 条直线与已知直线
3.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB= 2 3,AD= 2 3 , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?
D' C'
A' D A
B' C
B
2. 空间两平行直线
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质 都适用. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据. 符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c, 若 a∥b a∥c
c∥ b
空间四边形：
如图，顺次连接不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形
人教课标版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教案(1)-新版
2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2)60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D''∥A B''，AB∥A B''，那么直线AB与C D''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾． ∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c b a ,,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确,故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2)45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、． 能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】 60或30．探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C. 【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算． 【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ， 因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，11112OC A C ==，11322OE BD ===，1C E ===，所以2221111cos 2OC OE C E C OE OC OE +-∠===⋅，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角． 【答案】55。
数学人教A版必修二2.空间中直线与直线之间的位置关系课件
问题：在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角 相等或互补”。
在空间中,结论是否仍然成立呢?
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
F
E
4. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补。
问题：在平面上,两条直线相交成4个角，我 们把其中不大于90°的角称为它们的夹角。
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a与b是异面直线
M
ab
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
异面直线直观图的画法
用平面衬托
m
m
l
l
m
l
m
l
2、空间两直线的位置关系：
(1) 从公共点的个数来看，可分为： ①有一个公共点：相交直线 ②没有公共点 平行直线
练习
如图，已知 AB长 CA D 方 BC体 D中， AB2 3,AD 2 3,AA2.
(1)BC和AC所成的角是多少度？ （2）AA和BC所成的角是多少度？
答案：
（1）45° （2）60°
如图，在四面体ABCD中，E，F分
别是棱AD，BC上的点,且 AE BF 1 已知AB=CD=3，EF 3 ,求E异D面直FC线A2B和
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画 呢?
b′
a′
O
平移法
a与b
5. 异面直线所成的角的定义
m
m
人教版高中数学必修2空间中直线与平面之间的位置关系课件
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
人教A版高中数学必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
ab
a
b
a'
•
O
如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。
例1： （2）求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1
C1
A1
B1
45o
D
C
A
B
例1： （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间 这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
a∥b
a∥c
c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H
分别是AB，BC，CD，DA的中点。
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
若a∥b，b∥c, 则a∥c
a
a α
c
bc
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与 C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
D
A1 1 练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析： 欲证EFGH是一个平行四边形
A
只需证EH∥FG且EH＝FG
连结BD,只需证： 1
EH ∥BD且EH ＝ BD
高中教材数学必修二2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》教学课件
Ｂ、互相平行 Ｄ、或交于一点或互相平行
练习反馈：
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（√ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ×）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行 . （ √ ） 新疆 王新敞 奎屯
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只
有两条. （×）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平
一组对边平行，但不相等。
B
D G
F C
同一平面内：
A'
B'
B
C'
A
C
AB// A'B', AC// A'C' BAC B' A'C'
A
B
C
D
E
F
等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A
B
C
D
F
E
夹角
在平面内两直线相交成四个角，不大于 90°的角成为夹角。
空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
l1
A
l2
记作：l1 l2 A
l1
两直线平行
l2
②没有公共点
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
①在同一平面内
两直线相交 两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线
(3) 直线 AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA
与直线 AA都垂直.
人教A版高中数学必修2空间中直线与直线之间的位置关系-课件
a 例6：（P56）已知指数函数 f (x) a（x a ＞0且
≠1）的图象过点（3，π），求 f(0),f(1),f(3)的 值 .
解 ： 因 为 指 数 函 数 y = a x 的 图 像 经 过 点 （ 3 ， ） ， 所 以 f (3) .
1
x
即 a 3,解 得 a 3 ,于 是 f(x )3 .
所 以 ， f( 0 )0 1 ， f( 1 )1 3 3， f( 3 ) 1 1 .
问：你能说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例7、比较下列各组中两个值的大小：
① 1 .7 2.5 1 . 7 3 ② 0.80.1 0.80.2
同底的
单调法：构造 函数，利用函 数的单调性
2x … 8 4
2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
y 3x 与
y
(
1 3
)
x
y 3－x
x … -2.5 -2 -1 -0.5 0
3 x … 0.06 0.1 0.3 0.6 1 3 x … 15.6 9 3 1.7 1
0.5 1 2 2.5 … 1.7 3 9 15.6 … 0.6 0.3 0.1 0.06 …
当x＞0时，y＞1 当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时， 0＜y＜1 当x＜0时， y＞1
布置作业
* 习题2.1 A组第5、6、9题。 * 做好复习与预习工作。
2、变形训练：已知下列不等式 , 比较 m和 n
的大小 : (l) 2 m 〈 2 n (2) 0.2m 〉 0.2 n
(3) a m〈 a n （ a＞0）
3、P58 第2、3小题
3.指数函数的图象和性质
高中数学人教A版必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
∴AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1. ∴MN∥EF 且 MN＝23EF. ∴MN∥BD(公理 4)． ②MN＝23EF＝13BD＝2.
探究 2 (1)公理 4 说明平行线具有传递性，证明空间中两直 线平行问题，经常转化为它们都与第三条直线平行来完成．这样 做实质上是把立体几何问题转化为一个平面或几个平面上的平 面几何问题．
(2)在正方体 AC1 中，E 是 CC1 的中点，画出平面 AED1 与正 方体各面的交线．
画法如下：①取 BC 中点 F；②连接 EF、连接 AF. 求证：A，D1，E，F 四点共面．
【证明】 EF 为△CC1B 的中位线，EF 綊12BC1，BC1 綊 AD1， ∴EF 綊12AD1.
∴A，D1，E，F 四点共面．
方法三：分别取 AA1，CC1 的中点 M，N，连接 MN，则 MN∥EF. 如图所示，连接 DM，B1N，则 B1N∥DM，且 B1N＝DM，
∴四边形 DMB1N 为平行四边形． ∴MN 与 DB1 必相交． 设交点为 P.设 AA1＝1， 则 MP＝ 22，DM＝ 25，DP＝ 23， ∴DM2＝DP2＋MP2.∴∠DPM＝90°.∴DB1⊥EF. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
(2)构造异面直线所成角的方法有： ①过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线 的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(空间 问题转化为平面问题)； ②当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困 难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交 于该点； ③通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．
方法二：如图，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE，则 HE∥DB1，且 HE＝12DB1.于是∠HEF 为所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角．
人教版高中数学必修二：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 PPT
一交桥
六角螺母
D
C
A
B
二(1) 异面直线的定义:
我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。 想一想:如何通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时, 通常用一个或两个平面衬托。如下图:
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1与b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角。
bb
•
a'
O
平
•O ＇
a
移
法
ab
a
b a'
•
O
假如两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。
异面直线a与b所成的角的范围:090o
强调:1)范围(0, 900] 2)与0的位置无关 ; 3)为了方便点O选取应有利于解
相交直线有几对?
平行直线有几对?
想一想:在空间中两条直线的 位置关系？
(2)空间两直线的位置关系:
(1)从公共点的数目来看,可分为:
①有且只有一个公共点——两直线相交
l1
A l2
记 作 ： l1 l2A
l1
两直线平行
l2
②没有公共点
记作：l1 //l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲,可分为:
证明： 连结BD
A
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = 1 BD
同理，FG
2 ∥BD且FG
=
1
BD
2
∴EH ∥FG且EH =FG
H
E
D G
B
F
人教A版高中数学必修2：空间中直线与直线之间的位置关系_课件5
D C1
E1
D1
B
A
B1
A1
例4 已知ABCD A1B1C1D1 是棱长为
a的正方体 图1 2 22.
1正方体的哪些棱所在的直线与直
线BC1是异面直线 ?
2求异面直线AA1与BC所成的角; 3求异面直线BC1和AC所成的角.D1
A1
D
A
C1 B1
C B
A、B、C不共线
A、B、C确定平面
．
B
．A ．C
知识回顾
公理2推论1：
经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面.
B
A
a
C
知识回顾
推论2: 经过两条相交直线，有且只有一个 平面.
a
α
b
推论3: 经过两条平行直线，有且只有一个 平面.
a αb
公理2及三个推论的作用： 确定一个平面的依据.
C'
D' C
D
B'
Hale Waihona Puke C'A'
D'
B
C
A
D
B' A'
B
A
等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
方向都相同或相反------相等 一边方向相同一边方向相反------互补
两条异面直线的夹角
如图: a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O, 作直线a`// a, b`// b,我们把直线a`和b`所成的锐角
公理4 平行于同一直线的两条直线 互相平行.
用符号可表示为：
a∥ b
b∥c
a∥c