《三角函数的诱导公式》(学案)
三角函数的诱导公式(教案)
课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（一）教学目标：1. 利用单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数。
并能解决有关三角函数求值、化简等问题。
2．能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力。
教学重点：诱导公式的推导、记忆及应用 教学难点：诱导公式的灵活应用 教学过程：一、引入：问题情境：（1）作出角390 与390-的终边； （请两位学生完成）（2）作出角480 与480-的终边。
师生共同分析作图过程，发现：角390与30的终边相同，角390-与30-的终边相同等，并生成新问题：角2)k k Z απ+∈（的终边与α的终边有什么关系？（终边相同） 其同一三角函数值之间有什么关系？ （相等） （为什么？）并引导学生回到任意角的三角函数定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是（x,y ）,它与原点的距离是r(0r=>).一般地，对任意角α，我们规定： （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即：sin ;y r α= （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即：co s ;x rα=（3）比值(0)y x x≠叫做α的正切，记作tan α，即：tan .y x α=点P 为α的终边上任意一点，特殊地（为了简化），取1r =，作出单位圆，则：sin ,y α=cos ,x α=tan (0).y x xα=≠此时，点P （x,y ） 点P (cos ,sin )αα。
（若将角α的终边逆时针旋转一周，角2απ+的三角函数值有没有变化？顺时针旋转一周呢？）总结：（板书）公式一：（2)k k Z απ+∈（与α的终边相同）=+)2sin(παk =+)2cos(παk =+)2tan(παk （其中Z ∈k ）作用：它可以将任意角的三角函数求值问题转化为0～360间角的三角函数值问题。
数学导学案：三角函数的诱导公式(第课时)
第1课时诱导公式二、三、四1.掌握π±α，－α,错误!－α的终边与α的终边的对称性.2。
理解和掌握诱导公式二、三、四的内涵及结构特征,掌握这三个诱导公式的推导方法和记忆方法.3。
会初步运用诱导公式二、三、四求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.1。
特殊角的终边对称性（1)π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图①;(2）－α的终边与角α的终边关于对称,如图②；（3）π－α的终边与角α的终边关于对称,如图③；(4）错误!－α的终边与角α的终边关于直线对称，如图④。
【做一做1】已知α的终边与单位圆的交点为PA. P11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B.P2错误!C.P3错误!D。
P4错误!2.诱导公式诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名,“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号。
【做一做2－1】 若cos α＝m ，则cos(－α)等于( ）A 。
mB 。
－mC 。
|m ｜D 。
m 2【做一做2－2】 若sin(π＋α）＝错误!，则sin α等于( )A.错误!B.－错误!C.3 D 。
－3【做一做2－3】 已知tan α＝4，则tan(π－α)等于（ )A.π－4 B 。
4 C.－4 D 。
4－π3.公式一～四的应用【做一做3】 若cos 61°＝m ，则cos （－2 041°)＝（ )A.m B 。
－m C 。
0 D.与m 无关 答案：1．(1)原点 （2）x 轴 （3）y 轴 (4）y ＝x【做一做1】 C 由于π＋α，－α，π－α，错误!－α的终边与α的终边分别关于原点、x轴、y轴、直线y＝x对称，则P1错误!，P2错误!，P3错误!，P4错误!。
2．tan α－sin αcos α－cos α－tan α同名函数值【做一做2－1】A【做一做2－2】B【做一做2－3】C【做一做3】B cos（－2 041°)＝cos 2 041°＝cos(5×360°＋241°）＝cos 241°＝cos(180°＋61°)＝－cos 61°＝－m。
三角函数的诱导公式教学设计
三角函数的诱导公式学案【学习目标】（1）能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
【课前预习】1、 若角α的终边和单位圆交于点P ，则点P 的坐标可表示为2、 若角α和角β的终边相同，则β=3、 求0390的三角函数值 【课堂导学】问题1：若角α和角β的终边相同，则它们的同名三角函数值有何关系？ 公式一：问题2：（1）设6πα=，如果β的终边与α的终边关于x 轴对称，你能用α表示β吗？这时sin β与sin α，cos β与cos α有什么关系？（2）请你自己举出类似的例子，看看有没有同样的结论？（3）一般地，设α为任意角，β的终边与α的终边关于x 轴对称，用α表示β，并求sin β与sin α，cos β与cos α的关系。
公式二： 问题3：（1）设6πα=，将α的终边逆时针旋转2π得β，你能用α表示β吗？这时sin β与cos α，cos β与sin α有什么关系？（2）一般地，设α为任意角，将α的终边逆时针旋转2π得β，用α表示β，并求sin β与cos α，cos β与sin α的关系。
公式六：归纳总结：从联系的观点看，上述问题可以归结为两类变换：（1）关于x 轴对称的轴对称变换1T ：θθ→-，单位圆上的点(,)x y 经1T 变为 ， 也就是cos()α-= ，sin()α-= 。
（2）将α的终边逆时针旋转2π的旋转变换2T ：2πθθ→+，单位圆上的点(,)x y 经2T 变为 ，也就是cos()2πα+= ，sin()2πα+= 。
问题4：经过两次2T 变换，就有α→ ，探求这个角的三角函数值 公式四：问题5：经过一次1T 变换，再经过一次2T 变换，就有α→ → ，探求这个角的三角函数值。
公式五：问题6：利用已有的公式，你能推导出33,,22παπαπα--+的三角函数值与α的三角函数值的关系吗？公式三：问题7：怎样求这些角的正切值？归纳总结：公式一、二、三、四、五都叫做三角函数的诱导公式。
高中数学《三角函数的诱导公式——诱导公式二、三、四》导学案
第1课时诱导公式二、三、四1.角的对称(1)π＋α的终边与角α的终边关于□1原点对称，如图a；(2)－α的终边与角α的终边关于□2x轴对称，如图b；(3)π－α的终边与角α的终边关于□3y轴对称，如图c.2．诱导公式1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( )(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．( )(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( )(4)诱导公式二～四两边的函数名称一致．( ) (5)诱导公式中的角α只能是锐角．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(1)已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4 D ．4－π 答案 C解析 tan(π－α)＝－tan α＝－4.答案选C. (2)(教材改编P 25例1(2))sin 7π6的值是( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D.12 答案 A解析 sin 7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.故选A. (3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________. 答案 0解析 cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝cos(π＋α)＋cos α＝ －cos α＋cos α＝0.探究1 给角求值问题 例1 求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6. 解 (1)sin(－1200°)＝－sin1200° ＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°) ＝tan225°＝tan(180°＋45°) ＝tan45°＝1.(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32. 拓展提升利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【跟踪训练1】 求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sin 8π3cos 31π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解 (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°·cos30°＋cos60°·sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4 ＝sin 2π3·cos 7π6＋tan π4 ＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＋tan π4 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝14.探究2 给值求值问题例2 (1)已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________. 解析 (1)因为cos(π－α)＝－cos α，所以cos α＝35. 因为α是第一象限角，所以sin α>0. 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33. 答案 (1)B (2)－33[互动探究] 1.若本例(2)中的条件不变，如何求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6？解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.2．若本例(2)条件不变，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．解 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33. 拓展提升解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【跟踪训练2】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A ．1B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；(3)已知tan(π＋α)＝3，求2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值．答案 (1)D (2)223 (3)见解析 解析 (1)∵cos(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. (2)∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角． ∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)] ＝－sin(α－55°)＝223.(3)因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α ＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.探究3 三角函数式的化简 例3 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋4π3(k ∈Z )．解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3·cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－sin π3cos π3＝－34.当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3 ＝sin π3cos π3＝34. 拓展提升三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.(4)用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α(k ∈Z )的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．【跟踪训练3】 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1440°＋α)·cos (α－1080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). 解 (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α ＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.1.公式中的角α可以是任意角．2.这四组诱导公式可以叙述为k ·2π＋α(k ∈Z )，－α，π＋α，π－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．3.以上四组公式可用“函数名不变，符号看象限”记忆．其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数在本公式中角的终边所在象限是取正值还是取负值．如sin(π＋α)，若将α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.4.诱导公式—～四的应用记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值.1．若n 为整数，则化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α 答案 C解析 原式＝tan(n π＋α)，无论n 是奇数还是偶数，tan(n π＋α)都等于tan α.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 答案 B解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13. 3.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值等于________． 答案2－2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos225°sin135°－sin210°＝cos (180°＋45°)sin(180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos45°sin45°＋sin30°＝－2222＋12＝2－2.4．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________. 答案 －513解析 sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°]＝－sin(45°＋α)＝－513. 5．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z )．解 当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝ sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α.所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).A 级：基础巩固练一、选择题 1．cos540°＝( )A ．0B ．1C ．－1 D.12 答案 C解析 cos540°＝cos(180°＋360°)＝cos180°＝－cos0°＝－1，故选C.2．若sin A ＝13，则sin(6π－A )的值为( ) A.13 B ．－13 C ．－223 D.223 答案 B解析 sin(6π－A )＝sin(－A )＝－sin A ＝－13，故选B. 3．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.a －1a ＋1B.a ＋1a －1 C ．－1 D ．1答案 B解析 由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ， ∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 4．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan β D ．sin α＝－sin β答案 A解析 因为α，β的终边关于y 轴对称，所以β＝π－α＋2k π，k ∈Z .根据诱导公式可知，sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α，所以正确选项为A.5．下列三角函数式：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤答案 C解析 ①中sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3.二、填空题6.2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________． 答案 1－sin θ 解析 2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)＝2－2sin θ－cos 2θ ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ) ＝sin 2θ－2sin θ＋1 ＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________. 答案 1213解析 cos(212°＋α)＝cos[720°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．答案 －2解析 因为f ⎝⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝－2.三、解答题9．已知函数f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )，且f (m )＝2，试求f (－m )的值．解 因为f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x， 又因为f (－x )＝－6cos (－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ＝f (x )，所以f (－m )＝f (m )＝2.B 级：能力提升练已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值．解 由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22.故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2＋22.。
《三角函数的诱导公式》教学设计方案
课题：三角函数的诱导公式（一）一、教学内容分析三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）．本节是第一课时,教学内容为公式（二）、（三）、（四）.教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发现任意角与、、终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）.同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位.二、教学目标(1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；(2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简；(3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力；(4).个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观．三、学习者特征分析本节课的授课对象是本校高一（4）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容.四、教学策略选择与设计数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质.在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.五、教学重点及难点理解并掌握诱导公式.正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式.六、教学过程教师活动学生活动设计意图1．复习锐角300，450，600的三 1. 让学生发现300角的由特殊问题的引角函数值；2．复习任意角的三角函数定义；3．问题:由，你能否知道sin2100的值吗？引如新课.终边与2100角的终边之间有什么关系；2．让学生发现300角的终边和2100角的终边与单位圆的交点的坐标有什么关系；3．Sin2100与sin300之间有什么关系.入，使学生容易了解，实现教学过程的平淡过度,为同学们探究发现任意角与的三角函数值的关系做好铺垫.由sin3000= -sin600出发，用三角的定义引导学生求出sin （-3000），Sin150 0值,让学生联想若已知sin3000= -sin600,能否求出sin（-3000），Sin150 0）的值.1．探究任意角与的三角函数又有什么关系；2．探究任意角与的三角函数之间又有什么关系.遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果七、教学评价设计三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符合.（即：函数名不变，符号看象限.）设计意图简便记忆公式.八、板书设计1.小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤.2.体会数形结合、对称、化归的思想.3.“学会”学习的习惯.九．教学反思可以从如下角度进行反思（不少于200字）：对本节内容在进行教学设计之前，本人反复阅读了课程标准和教材，针对教材的内容，编排了一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来，通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到了一定的预期效果，尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案1教材分析：高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》是一节基础性课程，课本中主要包含了三角函数诱导公式的定义、常见角度的三角函数值以及相应的推导方法等内容。
教师需要全面了解教材的内容，并对教材的组织结构、难易程度及与之相应的教学资源进行细致的分析和处理。
教学目标：通过本节课的教学，学生应该能够掌握诱导公式的基本概念、运用方法及其相关定理，能够熟练地计算一些常见角度的三角函数值，并能够对不同情况下的三角函数值进行求解。
教学重点：本节课教学的重点主要集中在诱导公式的定义及其相关定理的理解和运用上，同时也需要教师在教学过程中重点关注学生对于诱导公式的记忆和运用情况。
教学难点：本节课教学难点在于对于一些相对较为复杂的求解题目的讲解和理解，尤其是在涉及到三角函数值之间的相互替换问题时需要引导学生注重方法逻辑的分析和运用。
学情分析：本节课所涉及到的内容主要是在初中阶段所学习的三角函数知识的基础上进一步推广和延伸，对于新生来说可能需要花费一定的时间来加深对于三角函数概念的理解和记忆。
教学策略：教师可以通过引入案例以及图像的呈现等方式来促进学生对于三角函数概念以及诱导公式的理解和记忆，同时也需要关注学生在解题过程中的思维逻辑和分析方法的引导。
教学方法：本节课教学方法需要注重理论掌握和实践操作的结合，可以通过练习习题，讲解案例和互动讨论等方式来提高学生的思维能力和实际操作水平。
同时也可以通过个性化的辅导方式注重对于学生的学习经历和个体差异进行分析和处理。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案2本节课的教学过程如下：一、导入环节（约5分钟）教学内容：复习三角函数的基本概念，介绍本节课的主题——三角函数的诱导公式。
教学活动：1.学生们通过手写练习纸，复习三角函数的基本公式和图像；2.老师引导学生们思考有哪些角的三角函数值已知，而另外一个角的三角函数值不易计算；3.通过引导，学生们提出了需要学习三角函数的诱导公式的需求；4.老师介绍三角函数的诱导公式的含义和作用，引发学生们兴趣。
三角函数的诱导公式(教案)4
1.2.3三角函数的诱导公式(第1课时)一、教学目标1．知识与技能（1）能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。
（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
二、教学重点与难点教学重点是，探求π－α的诱导公式。
π＋α，－α与的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，在教师的引导下由学生推出。
教学难点是，对角α的任意性的理解。
π＋α，－α与角α终边位置的几何关系。
以及发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“路线图”。
三、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，多媒体课件四、教学过程（一）问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。
〖设计意图〗哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。
数学教学应当从问题开始。
教师把数学教学的锚，抛在学生最近发展区内，为教学的展开提供知识和思维的生长点。
这个问题虽然是一个特殊的问题，但是将为后面特殊问题一般化作出铺垫。
一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：sin(α+k·360°) = sinα，cos(α+k·360°) = co sα，(k∈Z) （公式一）三角函数看重的就是终边位置关系.这组公式用弧度制可以表示成运用这组诱导公式，我们可以把任意角转化为0°~360°角，所以这组公式称为“诱导公式”。
【数学】1.3《三角函数的诱导公式》学案(1)(新人教A版必修4)
难点16 三角函数的诱导公式运用 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场 (★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)故－22a－2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( ) A.21B.－2C.34 D.21或－2二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题 4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc)cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场 解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π,∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得2tan 222tan32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2.答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin2cos sin 2tan 1sin22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x xx x xx x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin 2(sin2)2sin 2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin2csc)cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ）∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sinθ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ.于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log2log82log,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y Mt t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数的诱导公式(第1课时)（学案）
一.教学目标
1．知识与技能
（1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法
（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3．情感、态度、价值观
（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。
（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
二.教学重点与难点
教学重点:探求π－α的诱导公式。
π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。
教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。
三.教学方法与教学手段
问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件
四.教学过程
角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？
（一）情境创设及问题提出
如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数
求值问题。
【情境创设】摩天轮旋转一周（比如如图30°角的位置）后又会
回到原位，你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是
“回到原位”？摩天轮旋转一周后，发生变化和没有变化的量分别
是什么？它们之间有何关系？从中你能得到什么结论？
一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三
角函数值__________，三角函数看重的就是终边位置关系。
即有：
（二）尝试推导
如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。
【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？
角与角α的终边关于y轴对称,有:
〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的?
路线图：→→→。
（三）自主探究
刚才我们利用单位圆，得到了终边关于y轴对称的角π-α与角α的三角函数值之间的关系，下面我们还可以研究什么呢？
【问题3】两个角的终边关于x轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？
上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。
（四）简单应用
例求下列各三角函数值：
(1) sin 7
6π；(2) cos(-60°)；（3）tan(-855︒)
（五）回顾反思
【问题4】回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的?研究的过
程中，你有哪些体会?
（六）分层作业
1、阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；
2、必做题课本20页练习1、2、
3、4
3、选做题（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？（2）角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？。