高中数学--高考模拟测试卷精选4(含答案)
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
高考数学模拟试题含答案详解
高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。
3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。
答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。
4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。
答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。
5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。
答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。
二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。
答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。
高三数学模拟四试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[1,2]上存在零点，则下列结论正确的是（）A. f(1) = 0B. f(2) = 0C. f(1)f(2) < 0D. f(1)f(2) > 0答案：C解析：由零点定理，如果函数在某个区间内连续，且在该区间的两端函数值异号，则该区间内至少存在一个零点。
计算f(1) = -2，f(2) = 2，故f(1)f(2) < 0，正确。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 50，S10 = 150，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由等差数列前n项和的公式Sn = n(a1 + an)/2，可得S5 = 5(a1 + a5)/2 = 50S10 = 10(a1 + a10)/2 = 150由S5 = 50得a1 + a5 = 20，由S10 = 150得a1 + a10 = 30又因为a5 = a1 + 4d，a10 = a1 + 9d，所以a1 + a1 + 4d = 20a1 + a1 + 9d = 30解得d = 2。
3. 在平面直角坐标系中，直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相交于A、B两点，若|AB| = √2，则k的值为（）A. 1B. -1C. 1/2D. -1/2答案：A解析：由题意，圆心到直线的距离等于半径，即|kx - y + b|/√(k^2 + 1) = 1，且|AB| = √2。
由勾股定理，圆心到A、B两点的距离分别为1和√(1 - 1/2) = √1/2，所以圆心到直线的距离为√(1 - 1/2) = √1/2。
将圆心坐标(0,0)代入直线方程得b = 0，代入圆心到直线的距离公式得|k0 - 0 + 0|/√(k^2 + 1) = √1/2，解得k = 1。
4. 设函数f(x) = e^x - x，则f(x)在（）A. (-∞,0)上单调递减B. (0,∞)上单调递减C. (-∞,0)上单调递增D. (0,∞)上单调递增答案：D解析：求导得f'(x) = e^x - 1，当x > 0时，e^x > 1，所以f'(x) > 0，函数f(x)在(0,∞)上单调递增。
2023年高考数学模拟试题（四）参考答案
2023年高考数学模拟试题(四)参考答案 一㊁选择题1.B 2.B 3.A4.D 提示:由题得c =(1+k ,2+k ),又b ʅc ,则b ㊃c =1+k +2+k =0,得k =-32㊂5.B 提示:设圆锥的母线长为l ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则πl =2πˑ2,解得l =22㊂6.A 提示:由频率之和为1,即(0.1+a +0.4+0.25+0.1)ˑ1=1,解得a =0.15,则学党史读书时间的平均数为9.5ˑ0.10+10.5ˑ0.15+11.5ˑ0.40+12.5ˑ0.25+13.5ˑ0.10=11.60(小时)㊂7.A 提示:因为X ~B (n ,p ),所以E (X )=n p =2,D (X )=n p (1-p )=1,解得n =4,p =12,则Y ~N (4,σ2),所以P (Y >8)=P (Y <0)=p 2=14,所以P (4<Y <8)=12P (0<Y <8)=121-14-14=14㊂8.D 提示:由a n +2=a n +1+a n ,得a 2+a 3+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 4+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 6+a 7+a 9+ +a 59= =a 58+a 59=a 60,所以k =60㊂9.A提示:由题意可知5ωπ8+φ=2k 1π+π2,11ωπ8+φ=k 2π,其中k 1,k 2ɪZ ,所以ω=43(k 2-2k 1)-23,又T =2πω>2π,所以0<ω<1,所以ω=23,φ=2k 1π+π12,因为φ<π,所以φ=π12㊂10.C 提示:不妨设0<x 1<x 2,则x 1-x 2<0,有x 2f (x 1)-x 1f (x 2)>0,又x 1x 2>0,所以f (x 1)x 1-f (x 2)x 2>0,即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2㊂设g (x )=f (x )x ,则g (x 1)>g (x 2),所以g (x )在(0,+ɕ)上单调递减,故f (x )x>2等价于g (x )>g (2),所以x ɪ(0,2)㊂11.D 提示:设内切圆与P F 1,P F 2,F 1F 2的切点分别为M ,N ,T ,则由切线长定理可得P M=P N ,F 1M=F 1T ,F 2N =F 2T ,因为P F 1-P F 2=F 1M -F 2M =F 1N -F 2T =2a ,F 1F 2=F 1T+F 2T=2c ,所以F 2T =c -a ,则点T 的坐标为(a ,0),故点I 的横坐标为定值a ,所以A 正确㊂因为F 1F 2=2b 2a ,所以2c =2b 2a =2c 2-2a2a,化简得c 2-a c -a 2=0,即e 2-e -1=0,解得e =1ʃ52,因为e >1,所以e =1+52,所以B 正确㊂设әP F 1F 2的内切圆半径为r ,由双曲线的定义可得P F 1-P F 2=2a ,|F 1F 2|=2c ,因为S әI P F =12㊃P F 1㊃r ,S әI P F =12P F 2㊃r ,S әI F F =12㊃2c ㊃r ,又S әI P F =S әI P F +λS әI F F,所以12P F 1㊃r =12P F 2㊃r +λ㊃12㊃2c ㊃r ,所以λ=P F 1-P F 22c =a c =1e =5-12,所以C 正确㊂当P F 2ʅx 轴时,可得P F 2=b2a=c =12F 1F 2,此时t a n øP F 1F 2=12,所以øP F 1F 2ʂ30ʎ,所以D 错误㊂综上可得,答案为D ㊂12.C 提示:令f (x )=l n xx,则f '(x )=1-l n xx 2,易知f (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减㊂由π>e ,f (π)< 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月f (e ),即l n ππ<l n e e,即e l n π<πl n e ,即l n πe<l n e π,所以πe <e π㊂在同一坐标系中作出图1y =(2)x与y =x 的图像,如图1所示,可知在(2,4)内恒有x >(2)x,所以π>(2)π,所以πe >(2π)e=(2)e π㊂综上可知,c <b <a ㊂二㊁填空题13.-35 提示:3s i n α+2c o s α2s i n α-c o s α=3t a n α+22t a n α-1=-1+2-23-1=-35㊂14.4 提示:因为A B =23,且圆的半径为r =23,所以圆心0,0 到直线m x +y +3m -3=0的距离为r 2-A B 22=3㊂由3m -3m 2+1=3,解得m =-33,代入直线l 的方程,得y =33x +23,所以直线l 的倾斜角为30ʎ,在梯形A B D C 中,由平面几何知识可得C D =A Bc o s 30ʎ=4㊂15.168 提示:①对E ,F ,G ,H 涂4种颜色,对于剩下的A ,B ,C ,D 各剩2种颜色,且相邻的都含一种颜色是相同的,即当某个点取一种颜色时,其他点的颜色是确定的,那么A ,B ,C ,D 共有2种情况,共有A 44ˑ2=48(种);②对E ,F ,G ,H 涂3种颜色,对于E ,F ,G ,H 从4种颜色中取3种,即C 34,从这3种颜色中取1种来作重复的一种,即C 13=3,再对这4种颜色进行排列,重复的那种只能在对角,有2个对角,再对其他不重复的2种进行排列A 22=2,即2A 22=4,对于剩下的A ,B ,C ,D 同①一样,各剩2种颜色,当其中一点取1种颜色时,其他点颜色是确定的,共有2种,故共有C 34㊃C 13㊃2A 22㊃2=4ˑ3ˑ2ˑ2ˑ2=96(种);③E ,F ,G ,H 涂2种颜色,则选2种颜色涂在对角位置,有C 24ˑ2=12(种),A ,B ,C ,D 共2种颜色,故共有C 24ˑ2ˑ2=24(种)㊂综上,涂色方法共有48+96+24=168(种)㊂16.29π 提示:易知三棱锥P A C D 的三组对棱分别相等,则该三棱锥可以理解为由正方体六个面的面对角线构成,且其外接球即为正方体的外接球,设该正方体的长,宽,高分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2=13,b 2+c 2=25,c 2+a 2=5,则外接球的半径R 满足2R =a 2+b 2+c 2,所以4R 2=a 2+b 2+c 2=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]=29,故外接球的表面积为4πR 2=29π㊂三㊁解答题17.(1)由等差数列的性质可得S 5=5a 3,则a 3=5a 3,所以a 3=0㊂设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2a 4=(a 3-d )(a 3+d )=-d 2,S 4=(a 3-2d )+(a 3-d )+a 3+(a 3+d )=-2d ,所以-d 2=-2d ,又d ʂ0,故d =2,所以a n =a 3+(n -3)d =2n -6㊂(2)由(1)可得a 1=-4,则S n =n ˑ-4 +n n -1 2ˑ2=n 2-5n ㊂由S n >a n ,得n 2-5n >2n -6,解得n <1,或n >6㊂又n ɪN *,故n 的最小值为7㊂18.(1)由题知B D =C D =2,则B D 2+C D 2=B C 2,所以B D ʅC D ㊂又P D 2+C D2=P C 2,所以P D ʅC D ㊂又P D ɘB D =D ,所以C D ʅ平面P B D ㊂又C D ⊂平面P D C ,所以平面P B D ʅ平面P D C ㊂图2(2)以D 为坐标原点,射线D B ,D C 分别为x 轴,y 轴的正半轴,建立如图2所示的空间直角坐标系D x yz ,则D (0,0,0),C (0,2,0),E 22,22,0,P 22,0,22,所以D E ң=22,22,0,D P ң=22,0,22,参考答案与提示高考数学 2023年7-8月P C ң=-22,2,-22㊂设平面P D E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃D E ң=22x +22y =0,n ㊃D P ң=22x +22z =0,令x =1,得n =(1,-1,-1)㊂设直线P C 与平面P D E 所成角为θ,则s i n θ=c o s <P C ң,n >=P C ң㊃n |P C ң||n |=63,故直线P C 与平面P D E 所成角的正弦值为63㊂19.(1)设 获三等奖 为事件A ,由题意得P (A )ȡ59,又因为P (A )=A 3nn3=(n -1)(n -2)n 2,所以(n -1)(n -2)n2ȡ59,整理得4n 2-27n +18ȡ0,解得n ȡ6,或n ɤ34(舍),所以n 的最小值为6㊂(2)设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为108,60,18,根据题意得P (ξ=108)=C 1663=136,P (ξ=60)=C 26C 12C 1363=1536=512,P (ξ=18)=C 36A 3363=2036=59㊂所以ξ的分布列为表1㊂表1ξ1086018P 13651259所以E (ξ)=108ˑ136+60ˑ512+18ˑ59=38㊂20.(1)设椭圆C 的标准方程为x2a2+y 2b2=1(a >b >0)㊂由题意得2a =4,1a 2+94b2=1,解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x24+y 23=1㊂(2)设直线l :x =m y -1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂联立x =m y -1,3x 2+4y 2=12,消去y 整理得(3m 2+4)y 2-6m y -9=0,Δ=36m 2+36(3m 2+4)>0,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4㊂设әP Q R 的面积为S ,则S =2S әP O Q=2ˑ12|O F 1||y 1-y 2|=|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m3m 2+42-4㊃-93m 2+4=12m 2+13m 2+4㊂令m 2+1=t (t ȡ1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ȡ1)㊂令f (t )=3t +1t(t ȡ1),则f '(t )=3-1t2>0,所以f (t )在[1,+ɕ)上为增函数,所以f (t )m i n =f (1)=4,所以S 的最大值为124=3,此时m =0㊂故当m =0,即直线l 的方程为x =-1时,әP Q R 的面积有最大值,且最大值为3㊂21.(1)当a =e 时,f (x )=x -e l n x +(x -e )2,则f '(x )=(2x +1)(x -e)x㊂令f '(x )>0,得x >e ;令f '(x )<0,得x <e ㊂故函数f x 的单调递增区间为(e ,+ɕ),单调递减区间为(0,e)㊂(2)求导得f '(x )=l n a -ax+2(x -e)=2x 2+(l n a -2e )x -ax㊂令t (x )=2x 2+(l n a -2e )x -a =0,因 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月为Δ=(l n a -2e )2+8a >0,所以方程2x 2+(l n a -2e )x -a =0有两个不相等的实根x 1,x 2(x 1<x 2)㊂又x 1x 2=-a2<0,所以x 1<0<x 2㊂令x 0=x 2,得到表2:表2x (0,x 0)x 0(x 0,+ɕ)f '(x )-0+f (x )减极小值增所以f (x )存在极值点x 0,即存在x 0使得2x 20+(l n a -2e )x 0-a =0成立,所以存在x 0使得a -x 0l n a =2x 20-2e x x 0对任意的a >0有解,因此需要讨论等式左边的关于a 的函数㊂记u (t )=t -x 0l n t ,则u '(t )=1-x 0t㊂令u '(t )=0,得t =x 0,易知u (t )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+ɕ)上单调递增,所以当t =x 0时,u (t )m i n =u (x 0)=x 0-x 0l n x 0,所以需要2x 20-2e x 0=a -x 0l n a ȡx 0-x 0l n x 0,即2x 20-(2e +1)x 0+x 0l n x 0ȡ0,即2x 0+l n x 0-(2e +1)ȡ0㊂令v (t )=2t +l n t -(2e +1),则u (t )在(0,+ɕ)上单调递增,且v x 0 ȡv (e )=0,所以需要x 0ȡe ,故x 0的最小值为e㊂22.(1)将x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,代入x22+y 2=1,整理得ρ=21+s i n 2θ㊂(2)方法1:由题意知,直线l 经过点F (-1,0),设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,将x =-1+t ,y =t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-2t -1=0,则t 1+t 2=23,t 1t 2=-13㊂所以|MN |=2|t 1-t 2|=2ˑ(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂方法2:将直线l 的参数方程化为标准形式为x =-1+22t ,y =22t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-22t -2=0㊂设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=223,t 1t 2=-23㊂所以MN =t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂23.(1)方法1:因为|f (x )|=||x -1|-|x -2||ɤ|(x -1)-(x -2)|=1,所以-1ɤf (x )ɤ1,即f (x )的值域为[-1,1]㊂方法2:由题意得f x =x -1-x -2=-1,x ɤ1,2x -3,1<x <2,1,x ȡ2,则易知f x 的值域为-1,1 ㊂(2)方法1:由基本不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2=1+b 22a 2+a 22b2ȡ2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂因为f (x )+x -2+2x -3=|x-1|+|2x -3|,所以|x -1|+|2x -3|ɤ2,等价于x ȡ32,x -1+2x -3ɤ2,或1<x <32,x -1+3-2x ɤ2,或x ɤ1,1-x +3-2x ɤ2,解得32ɤx ɤ2,或1<x <32,或23ɤx ɤ1,则实数x 的取值范围为23,2㊂方法2:由柯西不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2ȡ22+222=2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂余下同方法1㊂(责任编辑 王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学全真模拟测试(四)( 含答案)
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考全真模拟测试（四）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|lnx>2}，B={x|y=√x−2}，则(∁R A)∩B=（）A．(0,e2)B．(0,e2]C．[2,e2]D．[2,+∞))3，则|z|=（）2．已知复数z=(1+i1−iA．12B．1C．2D．33．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)和B(a,−1)，且直线l与l1平行，则实数a 的值为（）A．0B．1C．6D．0或64．已知函数f(x)=x a满足f(2)=4，则函数g(x)=|log a(x+1)|的图象大致为（）A．B．C．D．5．若函数y=−√4−(x−1)2的图象与直线x−2y+m=0有公共点，则实数m的取值范围为（）A．[−2√5−1，−2√5+1]B．[−2√5−1，1].C．[−2√5+1，−1]D．[−3，1]6．已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l交双曲线的右支于A，B两点.若|AB|:|AF1|:|BF1|=3:3:2，则双曲线的离心率为（）A．√333B．√2C．113D．117．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d．已知a3=12，S10>0，a6<0，则选项不正确的是（）A．数列{S na n }的最小项为第6项B．−245<d<−4C．a5>0D．S n>0时，n的最大值为58．已知函数f(x)=3x2−1x3，若g(x)=f2(x)−(a−3)f(x)−3a有四个不同的零点，其中恰有一个为负，三个为正，则实数a的取值范围为A．(−2,0)∪(0,2)B．(−1,e)C．(0,2)D．(−2,0)二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，以下判断正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，α∥β，则m∥β10．已知函数f(x)=cos(2ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π2，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是（）A．g(0)=0B．g(x)在[0，π2]单调递减C．g(x)的图像关于x=−π4D．g(x)在[−π12，π3]上的最大值是111．已知函数f(x)=xlnx+x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是（）A．0<x0<1e B．x0>1eC．f(x0)+2x0<0D．f(x0)+2x0>012．如图，已知圆锥的轴截面P AB为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2．C是圆O上异于A，B的一点，D为弦AC的中点，E为线段PB上异于P，B的点，以下正确的结论有（）A．直线AC⊥平面PDO B．CE与PD一定为异面直线C．直线CE可能平行于平面PDO D．若BC=√2，则CE+AE的最小值为√3+ 1三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且BC→⋅BO→=3，则BC 边的长度为___________．14．已知sin(α+π5)=−√63，则cos(α−3π10)=_______.15．若等比数列{a n}满足a2−a1=1,a3−a1=3，则{a n}的前n项和S n=____________．16．如图，将由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片沿虚线折起，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}是首项为1的等差数列，若a2是a1，a5的等比中项，且a2<a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，求数列{bn}的前n项的和S n.18．如图，在四棱锥S−ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=120°，点E是BS的中点．(1)求证：SD∥平面ACE；(2)若平面ABS⊥平面ABCD，求点E到平面ASD的距离．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC−b−c=0.(1)求A；(2)若a=2，则△ABC的面积为√3，求b，c.20．某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.(∥) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(∥) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析：∥列出所有可能抽取的结果；∥求抽取的2所学校没有大学的概率.21．在平面直角坐标系中，点M(−2,0),N(2,0)，P是平面内一点，直线PM,PN的斜率之积.为−34（1）求点P的轨迹方程；（2）设点p的轨迹为曲线Γ，过点E(−1,0)的直线l与Γ相交于A,B两点，以线段AB为直径的圆过点F(1,0)，求直线l的方程．22．已知函数f(x)=(2ae x−x)e x.（1）若a=0，求f(x)的单调区间；≤0恒成立，求a的最小值.（2）若对于任意的x∈R，f(x)+1a2022年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟测试（四）数学答案1．C由题意知,A ={x|x >e 2}，B ={x|x ≥2}， ∥∁R A ={x|x ≤e 2}， ∥(∁R A)∩B =[2,e 2]. 2．B ∥1+i 1−i=i∥z =(1+i 1−i)3=i 3=−i ,故|z |=1. 3．C因为直线l 的倾斜角为3π4，所以直线l 的斜率为tan3π4=−1，因为直线l 1经过点A (3,2)和B (a,−1)，所以直线l 1斜率为−1−2a−3， 因为直线l 与l 1平行，所以−1−2a−3=−1，解得：a =6， 4．C由恬2a =4，a =2，g(x)=|log 2(x +1)|={−log 2(x +1),−1<x <0log 2(x +1),x ≥0，函数定义域是(−1,+∞)，在(−1,0)上递减，在(0,+∞)上递增． 5．B将函数y =−√4−(x −1)2转化为：(x −1)2+y 2=4(y ≤0)， 表示以(1,0)为圆心，以2为半径的半圆，如图所示：由图知：当直线x−2y+m=0过点(−1,0)时，m=1，当直线x−2y+m=0与圆相切时，√5=2，解得过m=−2√5−1，所以当−2√5−1≤m≤1时，函数y=−√4−(x−1)2的图象与直线x−2y+m=0有公共点，所以实数m的取值范围为[−2√5−1，1].6．A因|AB|:|AF1|:|BF1|=3:3:2，令|AB|=|AF1|=3m，|BF1|=2m，而双曲线实半轴长a= 1，由双曲线定义知|BF2|=2m−2，|AF2|=3m−2，而|AB|=|AF2|+|BF2|，于是可得m=2，在等腰△ABF1中，cos∠ABF1=12|BF1||AB|=13，令双曲线半焦距为c，在△BF1F2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos∠F1BF2，而|BF1|=4，|BF2|=2，(2c)2=42+22−2×4×2×13，解得c=√333，所以双曲线的离心率为e=ca =√333.7．D解：由题意S10=102(a1+a10)=5(a5+a6)>0，又a6<0，所以a5>0，故选项C正确；由a3=12，且a5>0，a6<0，a5+a6>0，得{a5=12+2d>0a6=12+3d<0a5+a6=24+5d>0，解得−245<d<−4，选项B正确；由题意当1⩽n⩽5时，a n>0，当n⩾6时，a n<0，所以S10>0，S11=11a6<0，故S n>0时，n的最大值为10，故选项D错误；由于d<0，数列{a n}是递减数列，当1⩽n⩽5时，a n>0，当n⩾6时，a n<0；当1⩽n⩽10时，S n>0，当n⩾11时，S n<0，所以当1⩽n⩽5时，S na n >0，当6⩽n⩽10时，S na n<0，当n⩾11时，S na n>0，故数列{S n an}中最小的项为第6项，选项A正确．8．C令g(x)=0，即f2(x)−(a−3)f(x)−3a=[f(x)−a]⋅[f(x)+3]=0，解得f(x)=a或f(x)=−3.∵f′(x)=−3(x2−1)x4.令f′(x)>0，得x∈(−1,0)∪(0,1)，令f′(x)<0，得x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，故f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)上分别单调递减，在(−1,0)和(0,1)上分别单调递增，在x=1处取得极大值，f(x)极大值=f(1)=2，在x=−1处取得极小值，f(x)极小值=f(−1)=−2，当x从左边趋近0时，f(x)趋近于正无穷大，当x从右边趋近0时，f(x)趋近于负无穷大，当x无穷大时，f(x)趋近于0.可知，y=−3与y=f(x)的图象在y轴右侧只有一个交点，在y轴左侧无交点，故此时有一个正零点，当0<a<2时，y=a与y=f(x)的图象在y轴左侧只有一个交点，在y轴右侧有两个交点，故共有三个正零点，一个负零点，故选：C.9．CD对于A，若m∥α，α∥β，则m可能在β内，所以A不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；对于C，若m∥α，n∥α，则m∥n，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确；对于D，若m∥α，α∥β，则m∥β，满足面面平行的性质定理和线面垂直的判定定理，所以D正确；10．AC因为函数f(x)=cos(2ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π2，所以2ω=2ππ2=4，解得ω=4，所以f(x)=cos(4x−π6)，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到y=cos(4(x+π6)−π6)=cos(4x+π2)=−sin4x，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)=−sin2x，A. g(0)=0，故正确；B. 因为x∈[0，π2]，所以2x∈[0，π]，所以g(x)在[0，π2]不单调，故错误；C.因为g(−π4)=−sin[2(−π4)]=1，所以g(x)的图像关于x=−π4，故正确；D. 因为x∈[−π12，π3]，所以2x∈[−π6，2π3]，则g(x)在[−π12，π3]上的最大值是12，故错误；11．AD函数f(x)=xlnx+x2,(x>0),∴f′(x)=lnx+1+2x,∥x 0是函数f(x)的极值点，∥f ′(x 0)=0，即∴lnx 0+1+2x 0=0， ∴f ′(1e )=2e>0,当x >1e 时，f ′(x )>0∵x →0,f ′(x)→−∞,∴0<x 0<1e ,即A 选项正确,B 选项不正确;f (x 0)+2x 0=x 0lnx 0+x 02+2x 0=x 0(lnx 0+x 0+2)=x 0(1−x 0)>0,即D 正确,C 不正确. 12．ABD对于A 项：在△AOC 中，OA =OC ，D 为AC 中点， 所以AC ⊥OD ，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC ，因为PO ∩OD =O ，所以AC ⊥平面PDO ，故A 正确．对于B 项：由于P ，C ，E 共面，且D 在平面PCE 外，所以CE 与PD 异面，故B 正确． 对于C 项：因为CB //OD 可得CB //平面PDO ，若直线CE //平面PDO ，则有平面PBC //平面PDO ，这与两平面有公共点P 矛盾，故C 错．对于D 项：在三棱锥P −ABC 中，将侧面PBC 绕PB 旋转至平面PBC ′，使之与平面P AB 共面，如图所示，则当A ，E ，C ′共线时，CE +AE 取得最小值，因为AB =2，BC ′=√2=PB =PC ′，所以∠ABC ′=105°，由余弦定理可得AC ′=√3+1，即CE +AE 的最小值为√3+1，故D 对． 13．√6设AB 的长度为a (a >0)，由BC →⋅BO →=BO →⋅BC →，而BO →⋅BC →的几何意义为：BO →在BC →上的投影与|BC →|的乘积，∥a2⋅a =3⇒a =√6故答案为：√6. 14．−√63cos (α−3π10)=cos [(α+π5)−π2]=sin (α+π5)=−√63， 故答案为：−√63.15．2n −1设等比数列{a n }的公比为q ，由已知，得{a 2−a 1=a 1(q −1)=1a 3−a 1=a 1(q 2−1)=3，解得{a 1=1q =2 ，所以S n=a 1(1−q n )1−q =2n −1. 16． 9√228√627π易得该六面体为两个正四面体的组合体，所以体积为V =2⋅13⋅√6⋅12⋅3⋅3√32=9√22;设该六面体的内切球的半径为r ，则V =13S ⋅r(S 为该六面体的表面积)，S =6×√34×32=27√32，所以r =√23，则该六面体的内切球的体积为4π3r 3 = 8√627π;17．(1)根据给定条件求出数列{a n }的公差即可求解作答. (2)由(1)结合裂项相消法计算求出S n 作答. (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2是a 1，a 5的等比中项得a 22=a 1a 5，即(1+d)2=1+4d ，因a 2<a 3，则d >0，解得d =2，a n =a 1+(n −1)d =2n −1， 所以{a n }的通项公式是：a n =2n −1. (2)由(1)知，b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，则S n=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1，所以数列{bn }的前n项的和S n=n2n+1.18．(1)在四棱锥S−ABCD中，连接BD交AC于F，则F为BD中点，连接EF，又E为BS中点，∥EF∥SD又SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∥SD∥平面ACE(2)方法一：∥四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120°，∥△ABD为正三角形，取AB中点的O，连接OD，OS，则OD⊥AB，∥平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS ∩平面ABCD =AB ，∥OD ⊥平面ABS∥△ABD 、△ABS 是正三角形，AB =4，易得OD =2√3，∥S △ASE =12S △ASB =√3 ∥V D−AES =13×2√3×2√3=4．易得OS =2√3，由OD ⊥OS ，∥DS =√OS 2+OD 2=2√6，取DS 的中点M ，连接AM ，因为AD =AS =4，∥AM ⊥DS ， ∥AM =√42−(√6)2=√10，可得S △ADS =12×2√6×√10=2√15，设点E 到平面ASD 的距离为ℎ，∥V D−AES =V E−ADS =13×S △ADS ×ℎ=13×2√15ℎ=4， 解得ℎ=2√155，即点E 到平面的距离为2√155．方法二：∥四边形ABCD 是菱形，且∠ABC =120°，∥△ABD 为正三角形，取AB 中点的O ，连接OD ，OS ，则OD ⊥AB ， ∥平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS ∩平面ABCD =AB ，∥OD ⊥平面ABS ∥△ABS 是正三角形∥OS ⊥AB分别以线段OS 、OB 、OD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O −xyz 又∥AB =4则A (0,−2,0)，D(0,0,2√3)，S(2√3,0,0)，B (0,2,0)，E(√3,1,0) ∥AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,2√3)，AS⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3,2,0) 设平面ADS 的法向量为n ⃑ =(x,y,z )则{AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0AS ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0即{2y +2√3z =02√3x +2y =0令x =√3，则n ⃑ =(√3,−3,√3)又SE⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√3,1,0)设点E 到平面ASD 的距离为d则d =|n ⃑ ⋅SE ⃑⃑⃑⃑⃑ ||n ⃑ |=√3+9+3=25√15即点E 到平面ASD 的距离为2√155．19． (1)解：根据正弦定理得sinAcosC +√3sinAsinC =sinB +sinC ， ∥sinAcosC +√3sinAsinC =sin(A +C)+sinC ，所以sinAcosC +√3sinAsinC =sinAcosC +cosAsinC +sinC . 整理，得√3sinA −cosA =1，即sin (A −30°)=12. 因为0∘<A <180∘,∴−30∘<A −30∘<150∘ 所以A −30°=30°，即A =60°. (2)解：由A =60°，S =12bcsinA =√3，得bc =4.由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−2bc −2bccosA ，所以b +c =4 又bc =4，所以b =c =2. 20(∥) 解: 学校总数为21+14+7=42，分层抽样的比例为6÷42=17计算各类学校应抽取的数目为：21×17=3，14×17=2，7×17=1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1所.(∥) 解: ∥ 在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为a 1,a 2,a 3；2所中学分别记为b 1,b 2；1所大学记为c .则应抽取的2所学校的所有结果为：{a 1,a 2}，{a 1,a 3}，{a 1,b 1}，{a 1,b 2}，{a 1,c }，{a 2,a 3}，{a 2,b 1}，{a 2,b 2}，{a 2,c }， {a 3,b 1}，{a 3,b 2}，{a 3,c }， {b 1,b 2}，{b 1,c }，{b 2,c }，共15种. ∥设“抽取的2所学校没有大学”作为事件A .其结果共有10种.所以，P(A)=1015=23. 21．（1）设P(x,y)，因为直线PM 的斜率k PM =yx+2(x ≠−2)， PN 的斜率k PN =yx−2（x ≠2） 由已知得yx+2⋅yx−2=−34（x ≠±2）， 化简得点P 的轨迹方程为x 24+y 23=1（x ≠±2）.（2）解法一：设直线l 的方程为x =my −1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my −1x 24+y 23=1 得(3m 2+4)y 2−6my −9=0， y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，因为以线段AB 为直径的圆过点F(1,0)，所以FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 得(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0，又因为x 1=my 1−1，x 2=my 2−1，得(my 1−2)(my 2−2)+y 1y 2=0， 所以(m 2+1)y 1y 2 −2m(y 1+y 2)+4=0， 所以(m 2+1)⋅−93m 2+4−2m ⋅6m3m 2+4+4=0，解得m =±√73，所以直线l 的方程为x =±√73y −1，即3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0解法二：∥当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =−1，不妨设A(−1,32)，B(−1,−32)，FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =74≠0，故舍去. ∥当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =k(x +10（k ≠0），A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{y =k(x +1)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，x 1+x 2=−8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，因为以线段AB 为直径的圆过点F(1,0)，所以FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 得(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0， 又因为y 1=k(x 1+1)，y 2=k(x 2+1)，得(k 2+1)x 1x 2+(k 2−1)(x 1+x 2)+k 2+1=0， 所以(k 2+1)⋅4k 2−124k 2+3+(k 2−1)⋅−8k 24k 2+3+k 2+1=0，解得k = ±3√77， 所以直线l 的方程为x =±√73y −1，即3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0综上，直线l 的方程为3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0. 22．（解：（1）因为a =0，所以f (x )=−xe x ，f ′(x )=−(x +1)e x . 令f ′(x )=0，得x =−1. 当x ∈(−∞,−1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(−1,+∞)时，f ′(x )<0.故f (x )的单调速增区间是(−∞,−1)，单调递减区间是(−1,+∞). （2）f ′(x )=4ae 2x −(x +1)e x =−e x (x +1−4ae x ). 因为∀x ∈R ，f (x )+1a ≤0，又f (0)=2a ，所以2a +1a ≤0，则a <0. 令g (x )=x +1−4ae x ，则g (x )在R 上单调递增. 因为当x <0时，g (x )<x +1−4a ， 所以g (4a −1)<4a −1+1−4a =0.因为g (−1)=−4ae −1>0，所以∃x 0∈(4a −1,−1)，使得g (x 0)=0. 且当x ∈(−∞,x 0)时，g (x )<0，则f ′(x )>0， 当x ∈(x 0,+∞)时，g (x )>0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(−∞,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 故f (x )max =f (x 0)=2ae 2x 0−x 0e x 0. 由g (x 0)=x 0+1−4ae x 0=0，得a =x 0+14e x 0.由f (x )max +1a ≤0，得x 0e x 0−e 2x 0⋅x 0+12e x 0≥4e x 0x0+1，即x 0−12≥4x0+1.结合x 0+1<0，得x 02−1≤8，所以−3≤x 0<−1.令ℎ(x )=x+14e x(−3≤x <1).则ℎ′(x )=−x4e x >0，所以ℎ(x )在[−3,−1)上单调递增， 所以ℎ(x )≥ℎ(−3)=−e 32，即a ≥−e 32.故a 的最小值为−e 32.。
2021届山东省(新高考)高三模拟考试卷 数学(四)(解析版)
山东省（新高考）2021届高三第二次模拟考试卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，{}(,)1B x y y x =>+，则AB 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．()31i +=（ ） A ．22i --B ．22i -+C ．22i +D ．22i -3．已知直线m ，n ，平面α，β，n αβ=，m α∥，m n ⊥，那么“mβ”是“αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设约束条件15122y x y x y x ⎧⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩，则1y x +的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．45．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种6．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()6f x f x +-=，当0x >时，()223f x x x =--+，若()350f m -≤，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(],3-∞D ．[)3,+∞7．在ABC △中，点M 是AB 的中点，23AN AC =，线段CM 与BN 交于点O ，动点P 在BOC △内部活动（不含边界），且AP AB AN λμ=+，其中λ、μ∈R ，则λμ+的取值范围是（ ）A ．3411,8⎛⎫⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．111,8⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ）A ．122a b c +=B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1C ．曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m = D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,210．在ABC △中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号B ．存在ABC △满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC △为钝角三角形D ．若π2C >，则22sin sin sin C A B >+11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ） A ．A 地：中位数为2，极差为5B ．B 地：总体平均数为2，众数为2C ．C 地：总体平均数为1，总体方差大于0D ．D 地：总体平均数为2，总体方差为312．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是（ ） A ．121x x +=- B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:143x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()4,3M ，则12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率为______．14．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x "是()f x '的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若()3211533212f x x x x =-+-，则函数()f x 的对称中心为________，1234201820192019201920192019f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．15．函数()cos 22f x x x =，x ∈R ，有下列命题：①()y f x =的表达式可改写为2cos 2π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线π12x =是函数()f x 图象的一条对称轴； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到； ④满足()f x ≤x 的取值范围是3πππ,124πx k x k k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）16．在棱长为的正四面体A BCD -中，点,E F 分别为直线,AB CD 上的动点，点P 为EF 中点，Q 为正四面体中心（满足QA QB QC QD ===），若PQ =EF 长度为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=． （1）求B ；（2）若3b =，当ABC △的周长最大时，求它的面积．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知1π3BCC ∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：BC ⊥平面1ABC ； （2）求二面角11A B E A --的余弦值．19．（12分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的．魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹．通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒．（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x（天）1234567y（秒）99994532302421现用y ax=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1) ? 参考数据（其中1iizx=）71i iiz y=∑z72217iiz z=-⨯∑184.50.370.55参考公式：对于一组数据()11,u v，()22,u v，…，(),n nu v，其回归直线ˆˆˆv a uβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，ˆˆa v uβ=-．（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望()E X．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为,A B ，P 为直线2y =上的动点，当点P 位于点()1,2时，ABP △的面积1ABP S =△，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 的最1． （1）求椭圆C 的方程；（2）连接,PA PB ，直线,PA PB 分别交椭圆于,M N （异于点,A B ）两点，证明：直线MN 过定点．21．（12分）已知正三角形ABC ，某同学从A 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为：()n P A ，()n P B ，()n P C ，例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()10P A =，()112P B =，()112P C =． （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率()3P A ，()3P B ，()3P C ；22．（12分）已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++． （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()()22ln 12xg x e a x a x f x =-++--，若()g x 在[]1,2内有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．数 学答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意()()()()()()(){}1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1A =， 其中满足1y x >+的有()1,7，()2,6，()3,5， 所以()()(){}1,7,2,6,3,5AB =，有3个元素，故选B ．2．【答案】B【解析】()()()()321i 1i 1i 2i 1i 22i +=++=+=-+，故选B ． 3．【答案】C 【解析】若mβ，过直线m 作平面γ，交平面α于直线m '，∵m α∥，∴m m '∥， 又mβ，∴m β'⊥，又∵m α'⊂，∴αβ；若αβ，过直线m 作平面γ，交平面α于直线m '，∵m α∥，∴m m '∥， ∵m n ⊥，∴m n '⊥， 又∵αβ，n αβ，∴m β'⊥，∴m β⊥， 故“mβ”是“αβ”的充要条件，故选C ．4．【答案】D【解析】画出约束条件15122y x y x y x ⎧⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩所表示的平面区域，如图所示，设目标函数110y y z x x ++==-，则1y x +-表示平面区域内一动点到定点(0,1)M -连线的斜率，结合图象可得，取点A 时，能使得z 取得最大值，又由1122y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得25(,)33A ， 所以1y x +的最大值为5134203+=-，故选D ． 5．【答案】B【解析】分两步：首先从4人中选1人去巴黎游览，共有14C 4=种， 其次从剩余5人中选3人到其它三个城市游览，共有35A 60=种，共有1345C A 240=种，故选B ． 6．【答案】B【解析】令0x <，则0x ->，()223f x x x -=-++，因为()()6f x f x +-=，所以()2236f x x x -++=，()223x x x f =-+，即当0x <时，()223x x x f =-+，取0x =，则()()006f f +=，()03f =，当0x <时，()()222312f x x x x =-+=-+，此时()0f x ≤无解；当0x =时，()03f =，此时()0f x ≤无解； 当0x >时，()()222314f x x x x =--+=-++， 若()0f x ≤，则()2140x -++≤，解得1≥x ，故()350f m -≤，即351m ，解得2m ≥， 实数m 的取值范围为[)2,+∞，故选B ． 7．【答案】D【解析】如下图所示，连接BP 并延长交AC 于点G ，设NG mAN =，PG nBG =，则102m <<，01n <<， ()1AG m AN=+，()()()11AP AG GP m AN nGB m AN n AB AG=+=++=++-()()()111m AN nAB nAG m AN nAB n m AN =++-=++-+ ()1m mn n AN nAB =+--+，又AP AB AN λμ=+，n λ∴=，1m mn n μ=+--，()111m mn m n λμ∴+=+-=-+，102m <<，011n <-<，则()1012m n <-<， 即()31112m n <-+<，即312λμ<+<，因此，λμ+的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．8．【答案】C【解析】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，23(1)31n a n n =+-=-； 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-；数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-．对于A ，1222539a b +=+⨯-=，21521317c =⨯-=，122a b c +≠，错误； 对于B ，8258332132b a -=⨯--⨯+=，41541347c =⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ，225223107b =⨯-=，815813107c =⨯-=，228b c =，正确；对于D ，()()62361523119a b =⨯-⨯⨯-=，915913122c =⨯-=，629a b c ≠，错误， 故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】BCD【解析】对于选项A ：由()()34330m x y m m ++-+=∈R 可得()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；对于选项B ：圆心()0,0到直线:0l x y -+=的距离等于1，圆的半径2r，平行于:0l x y -+=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确；对于选项C ：由22120C :x y x ++=，可得()2211x y ++=，圆心()11,0C -，11r =，由222480C :x y x y m +--+=，可得()()2224200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，2r由题意可得两圆相外切，所以1212C C r r =+，1=4m =，故选项C 正确；对于选项D ：设点P 坐标为(),m n ，所以142m n+=，即24m n +=， 因为PA 、PB 分别为过点P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ⊥，CB PB ⊥， 所以点,A B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为222222m n x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得220x y mx ny +--=，与已知圆22:4C x y +=相减可得4mx ny，消去m ，可得()424n x ny -+=，即()2440n y x x -+-=，由20440y x x -=⎧⎨-=⎩，可得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 经过定点()1,2，故选项D 正确， 故选BCD ． 10．【答案】ACD【解析】对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >， 故A 选项正确；对于B 选项，由πA B +<，则πA B <-，且(),π0,πA B -∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误； 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos π2A B ⎛⎫-<⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若π02A <<，则π2A B ->，则π2A B +<，于是π2C >； 若π2A >，则πcos cos 2A B ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则π2A B ->，于是π2A B >+，故C 选项正确； 对于D 选项，由π2C >，则π2A B +<，则ππ022A B <<-<，sin y x =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是πsin sin 2A B ⎛⎫<-⎪⎝⎭，即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B =+=+>⋅+⋅22sin sin A B =+，所以D 选项正确， 故选ACD ． 11．【答案】AD【解析】对A ，因为A 地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于257+=．故A 正确； 对B ，若B 地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为2，众数为2， 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 错误；对C ，若C 地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 错误；对D ，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于()2182 3.6310⨯-=>，与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D 正确， 故选AD ． 12．【答案】BCD【解析】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<， 而34()()f x f x =，知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=，∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈，故选BCD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由题意知，C 的半焦距7c =，()17,0F -，()27,0F ，故()221473227MF =++=+，()222473272MF =-+=-．设12F MF ∠的角平分线与x 轴交于(),0N x ，由角平分线定理可知1122NF MF NF MF =7277272x =--，解得1x =， 即()1,0N ，故12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率30141MN k -==-，故答案为1． 14．【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2018 【解析】因为()3211533212f x x x x =-+-，所以()23f x x x ='-+，()21f x x "=-， 由()0f x "=，即210x -=，解得12x =，3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由题中给出的结论，所以函数()f x 的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 所以11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，即()()12f x x +-=． 故12018220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22017220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32016220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …，20181220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以123420181201920192019202201819201982201f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⨯=⎭⨯，故答案为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2018． 15．【答案】①④【解析】π()cos 222cos(2)3f x x x x ==+，故①正确；当π12x =时，ππ()2cos 0122y f ===，故②错误；因为函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到ππ)2sin 2(2sin(2)63y x x =-=-，而ππ2sin(2)2cos(2)33x x -≠+，故③错误；由()3f x ≤可得π2cos(2)33x +≤，解得π3cos(2)3x +≤， 所以ππ11π2π22π,636k x k k +≤+≤+∈Z ，解得3πππ,124πk x k k -+≤≤+∈Z ， 故④正确， 故答案为①④． 16．【答案】26【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，则AB CD ⊥，Q 为正方体的中心， 设,M N 分别是,AB CD 的中点，则Q 是MN 的中点，MN AB ⊥，MN CD ⊥， 连接EN ，设EN 的中点为S ，连接,,QS SP PQ ， 因为QS 是NME △的中位线，所以//QS ME ，12QS ME =， 同理//SP NF ，12SP NF =， 因为AB CD ⊥，所以ME NF ⊥，所以QS SP ⊥，即90QSP ∠=︒， 则()22222124QS SP ME NF PQ +=+==，所以228ME NF +=， 因为MN ME ⊥，所以222216NE MN ME ME =+=+， 因为NF ME ⊥，NF MN ⊥，MNME M =，所以NF ⊥平面MNE ，所以NF NE ⊥， 在NEF Rt △中，22221626EF NF NE NF ME =+=++=，故答案为26．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2π3B =；（2）93ABC S =△． 【解析】（1）由正弦定理得222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,πB ∈，2π3B ∴=． （2）由余弦定理得()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤， ∴当3a c ==时，ABC △取得最大值，此时19393sin 2224ABC S ac B ==⨯=△．18．【答案】（1）证明见解析；（2）255． 【解析】（1）证明：1π3BCC ∠=，1BC =，12CC =， ∴由余弦定理可知2211123BC BC C CC BC C =+-⋅=，22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，且BC ⊂面11BB C C ，AB BC ∴⊥，又1ABBC B =，1,AB BC ⊂平面1ABC ，BC ∴⊥平面1ABC ．（2）由（1）知，以B 为坐标原点，BC 为x 轴，1BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()1,0,0C，()1C，1,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1B -，()1A -，1,22EA ⎫⎛∴=--⎪ ⎪⎝⎭，13,22EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1AEB 的法向量为(),,x y z =n ，由10EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得()=n ； 同理，设平面11A EB 的法向量为()111,,x y z =m，1223EA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭， 由110EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，得()=m ，故cos ,5⋅===⋅m n m n m n ，由题意二面角11A B E A --是锐二面角，故二面角11A B E A --的余弦值为5． 19．【答案】（1）100ˆ13y x=+，每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）分布列见解析，509． 【解析】（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y ++++++==，可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557i ii i i z y z ybz z==-⋅-⨯⨯====-∑∑，所以501000.3713a y bz =-=-⨯=，因此y 关于x 的回归方程为100ˆ13yx=+， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒． （2）由题意，可得随机变量X 的取值为3,4,6,9，可得141(3)669A P X ===⨯，142A 2(4)669P X ⨯===⨯，()111142241A A A 205(6)63A 669P X ++====⨯，1122A A 1(9)669P X ⨯===⨯，所以X 的分布列为：所以()346999999E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为,A B ，点()1,2P ，ABP △的面积1ABP S =△，所以1212ABP S b =⨯=△，基底1b =， 又因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 1， 设(), M x y 是椭圆上任意一点，(,0)F c -，则2222222()2c MF x c y x cx a a =++=++，对称轴2a x a c=-<-，所以在区间[,]x a a ∈-上递增， 则x a =-时，min MF a c =-，即1a c -=，又222a b c =+，解得a =所以椭圆方程为2212x y +=．（2）设(,2)P t ，由题意得，直线P A ，PB 的斜率存在， 设1:1PA l y x t =+，3:1PB l y x t=-， 由221112y x tx y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22242,22t t M t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；由223112y x tx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2221218,1818t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以22222222218224182:12422182MNt t t t t t l y x t t t t t t ----⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++，化简得26182t y x t -=+， 所以直线MN 过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．【答案】（1）()314P A =，()338P B =，()338P C =；（2）843128a =． 【解析】（1）A B C A →→→；A C B A →→→， 所以()311111112222224P A =⨯⨯+⨯⨯=； A B A B →→→；A C A B →→→；A B C B →→→，所以()31111111113++2222222228P B =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=； A B A C →→→；A C A C →→→；A C B C →→→，所以()31111111113++2222222228P C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． （2）∵n n b c =，即11n n b c --=，2n ≥，又()1112n n n b a c --=+， ∴2n ≥时，()()11111122n n n n n b a c a b ----=+=+，又∵1111n n n a b c ---++=，可得121n n b b -+=， 由11111111322323n n n b b b --⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭， 可得数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为12-的等比数列， 1111362n n b -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，即1111362n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又11111111212136232n n n n a b --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⋅-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故843128a =． 22．【答案】（1）见解析；（2）25,22e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==． （ⅰ）当01a <<时，由()0f x '<，得1<<a x ，则()f x 的减区间为(),1a ； 由()0f x '>，得x a <或1x >，则()f x 的增区间为()0,a 和()1,+∞． （ⅱ）当1a =时，()0f x '≥，则()f x 的增区间为()0,∞+．（ⅲ）当1a >时，由()0f x '<，得1x a <<，则()f x 的减区间为()1,a ； 由()0f x '>，得1x <或x a >，则()f x 的增区间为()0,1和(),a +∞． （2）()()()222ln 121xxg x e a x a x f x e x ax =-++--=-+-，()g x 在[]1,2内有且仅有一个零点，即关于x 方程21xx e a x-+=在[]1,2上有且仅有一个实数根．令()21x x e h x x -+=，[]1,2x ∈，则()()()211x x x e h x x-+-'=，令()1xp x x e =+-，[]1,2x ∈，则()10xp x e '=-<，故()p x 在[]1,2上单调递减，所以()()120p x p e ≤=-<， 即当[]1,2x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 在[]1,2上单调递减．又()12h e =-，()2522e h -=，则()2522e h x e -≤≤-，所以a 的取值范围是25,22e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。
2021高考数学仿真模拟卷04(新高考地区专用)(解析版)
绝密★启用前仿真模拟卷04数 学本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（2021·山东菏泽市·高三一模）设集合|2{A x x =<或{}10}|3,1x x B x e ->=-<，则A B =A ．(),1-∞B ．()2,1-C ．()2,1D ．(3,)+∞ 【答案】A【分析】解指数不等式确定集合B ，然后由交集定义计算．【解析】1101,x e x --<<，(,1)B =-∞，则(,1,)A B ⋂=-∞故选 A ．2．（2021·湖北荆门市·高三月考）关于直线l ：10ax by ++=，有下列四个命题：甲：直线l 经过点()1,0；乙：直线l 经过点()0,1-；丙：直线l 经过点()1,1-；丁：0ab <．若只有一个假命题，则该命题是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【分析】分别求出四个命题为真命题时，,a b 满足的条件，再分别讨论当有一个为假命题时，判断命题．【解析】甲：直线l 经过点()1,0则10a +=，得1a =-，乙：直线l 经过点()0,1-，则10b -+=，得1b =，丙：直线l 经过点()1,1-，则10a b -++=，即1b a =-，丁：0ab <， 若只有一个是假命题，若是甲是假命题，乙丙丁是真命题，则1,2b a ==，不满足丁，故不正确；若乙是假命题，甲丙丁是真命题，则1,2a b =-=-，不满足丁，故不正确；若丙是假命题，甲乙丁是真命题，都满足，故丙是假命题，正确；若丁是假命题，则1,1a b =-=，不满足丁1b a =-，故不正确．故选C.3．（2021·湖北高三月考）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若,,a BA b BE BC →→→→→===3EF →，则BF →=A ．1292525a b →→+ B ．16122525a b →→+ C ．4355a b →→+ D ．3455a b →→+ 【答案】B 【解析】由题得33334444BC CF BC EA BC BA BC BF B F A B EB →→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即3344BC BF BF BA →→→→⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，解得16122525BC F A B B →→→=+，即16122525a b BF →→→=+， 故选B.【名师点睛】向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解．4．（2021·河南高三其他模拟）从正方体的12条棱中任选3条棱，则这3条棱两两异面的概率为A ．255B ．355C ．455D ．555【答案】A【分析】可求得从正方体的12条棱中任选3条棱共有220种组合方式，分析可得有8种组合公式构成两两异面，即可求得概率．【解析】从正方体的12条棱中任选3条棱，共有312220C =种，其中，每条棱都有4条棱与其异面，例如，a 与,,,f h j k 异面，有(),,a f k 和(),,a h j 两组构成两两异面，对于a b c d ,,,构成的平面，每条棱都可以构成2组两两异面， 因此共有12283⨯=种组合公式构成两两异面， 故这3条棱两两异面的概率为8222055=．故选A ．5．（2021·浙江高三月考）在直角坐标系中，已知O 为坐标原点，(1,0),(1,0)A B -．点P 满足3PA PB k k ⋅=且||||4PA PB +=，则||OP =A ．71313B ．855C ．1313D ．132 【答案】B【分析】设(,)P x y ，根据椭圆的定义得出点P 在椭圆22143x y +=①上，再由斜率公式得出2233y x =-②，联立得出2289,55x y ==，最后由距离公式得出||OP ． 【解析】设(,)P x y ，4PA PB AB +=>，∴点P 在椭圆22143x y +=①上3PA PB k k ⋅=，311y y x x ∴⋅=+-，即2233y x =-② 联立①②可得2289,55x y ==，则2217855OP x y =+==故选B 【名师点睛】解决本题的关键是由椭圆的定义得出点P 在椭圆22143x y +=上，再结合斜率公式求出||OP ．6．（2021·广西崇左市·高三二模）已知4(1)a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4，则实数a =A ．2B ．4C ．2-D ．4- 【答案】A【分析】首先化简444(1)(1)(1)x a a x x x x x x⎛⎫---⋅- ⎪⎝-⎭=⋅ ，然后分析展开式中含有2x 项的系数是由两种情况构成，依次算出系数最后列出方程求出a 的值．【解析】因为444(1)(1)(1)x a a x x x x x x⎛⎫---⋅- ⎪⎝-⎭=⋅，所以其展开式中含有2x 项的系数有两部分：一部分是4(1)x -展开式中x 的系数114(1)4C -=-，另一部分是4(1)x -中3x 的系数与a -的乘积即334()(1)4a C a --=，所以444a -=解得2a =．故选A【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 7．（2020·山西运城市·高三其他模拟）圆221:80C x y px +-=与抛物线22:2(0)C y px p =>交于,,O A B 三点，若1AOC △3，则抛物线2C 的方程为 A ．23y x = B ．22y x =C ．2y x =D ．212y x = 【答案】C 【分析】联立222280y px x y px ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，可求出,,O A B 三点的坐标，进而可得到1AOC △的面积的表达式，从而可求出p ，即可得到抛物线2C 的方程．【解析】联立222280y px x y px ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得260x px -=，解得0x =或6x p =， 当0x =时，0y =；当6x p =时，由22y px =，可得3y =±，不妨设A 点在B 点的上方，则(0,0),(6,3),(6,3)O A p B p -，因为圆1C 的圆心为()14,0C p ， 所以1111423322AOC A S OC y p =⋅=⨯⨯=△214p =， 因为0p >，所以12p =，所以抛物线的方程为2y x =．故选C ． 【名师点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题．8．（2021·广西崇左市·高三二模）若3(ln 2)3(ln 2)(,)a b b a a b +≥+∈R ，则A ．31a b +≥B ．||32a b -≥C ．31a b -≥D ．||32a b +≥【答案】C 【分析】先将不等式3(ln 2)3(ln 2)(,)a b b a a b +≥+∈R 进行化简得到3(ln 2)3(ln 2)a a b b ≥--，构造函数()3(ln 2)()x x f x x R =-∈，不等式就可以转化为()()f a f b ≥，结合函数的单调性就可以得到a b ≥，从而得出31a b -≥．【解析】3(ln 2)3(ln 2)(,)a b b a a b +≥+∈R ，3(ln 2)3(ln 2)a a b b ∴≥--，构造函数()3(ln 2)()x x f x x R =-∈，求导得'()3ln 3(ln 2)ln(ln 2)x x f x =-，因为30,ln 30x >>，(ln 2)0x >，又0ln 21,ln(ln 2)0<<∴< 所以'()3ln 3(ln 2)ln(ln 2)0x x f x =->，故函数()f x 在R 上单调递增的，由于3(ln 2)3(ln 2)(,)a b b a a b +≥+∈R ，即()()f a f b ≥，所以a b ≥，故33a b ≥即31a b -≥．故选C.【名师点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2020·河北邯郸市·高三期末）已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |5=B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+ 【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||5,34z i z z i =-==+， 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD10．（2021·山东淄博市·高三一模）已知函数()22x xf x -=+，则下列结论正确的是 A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 最小值是2D ．()f x 最大值是4【答案】AC【分析】根据函数的奇偶性，均值不等式及特值法求解即可．【解析】()22x xf x -=+的定义域为x ∈R ，关于原点对称， 又()22()x x f x f x --=+=，所以函数为偶函数，所以函数在R 上不是增函数，故A 正确B 错误；又()222222x x x x f x --=+≥⋅=，当且仅当22-=x x ，即0x =时等号成立，故C 正确； 当2x =时，(2)4f >，故D 错误．故选AC.11．（2021·湖南永州市·高三二模）P 是正方体1111ABCD A B C D -中线段1BC 上的动点(点P 异于点B )，下列说法正确的是A ．1APBC ⊥B ．异面直线BP 与AC 所成的角是60︒C ．1P AD C V -的大小与P 点位置有关D ．二面角PAB C 的大小为45︒ 【答案】ABD【分析】根据1B C ⊥平面11ABC D 即可判断A 正确；求出异面直线1BC 与AC 所成的角即可知B 正确；根据等积法可知1P AD C V -的大小与P 点位置无关，C 错误；根据二面角的定义可知D 正确．【解析】对A ，因为111,B C BC B C AB ⊥⊥，所以1B C ⊥平面11ABC D ，而AP ⊂平面11ABC D ，所以1AP B C ⊥，正确；对B ， 异面直线BP 与AC 所成的角即为异面直线1BC 与AC 所成的角，因为11//A C AC ，所以11AC B ∠即为异面直线1BC 与AC 所成的角，而11A C B △为等边三角形，所以1160A C B ∠=，正确；对C ，因为四边形11ABC D 为矩形，所以1112AD P S AB AD =⨯⨯△为定值，而1B C ⊥平面11ABC D ，点C 到平面11ABC D 的距离为定值，故11P AD C C AD P V V --=为定值，错误； 对D ，二面角P AB C 的平面角即为二面角1C AB C --的平面角，由二面角的定义可知，1C BC ∠为二面角1C AB C --的平面角，易知145C BC ∠=，正确．故选ABD ．【名师点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，二面角的求法，等积法的应用，线面垂直的判定等，属于中档题．二面角的常用求法有：定义法，垂面法，三垂线法，向量法，坐标法，面积射影法等．12．（2021·河北张家口市·高三一模）已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则A ．()f x 的图象关于原点对称B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为2【答案】AC【分析】对A ：求出()f x 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；对B ：利用()f x 的导数可判断；对C ：计算(2)g x π+，看是否等于()g x 即可；对D ：设cos t x =，根据对勾函数的单调性可得最值． 【解析】()2tan f x x x =+的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，其定义域关于坐标原点对称，且()2tan()2tan (2tan )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故A 项正确；由()2tan f x x x =+，得22()1cos f x x '=+，则2()()cos cos cos g x f x x x x'==+． 22()10cos f x x '=+>恒成立，所以()f x 在,()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，并不是在R 上单调递增，故B 项错误；由2()cos cos g x x x =+，得函数()g x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣22(2)cos(2)cos ()cos(2)cos g x x x g x x x πππ+=++=+=+，故C 项正确； 设cos t x =，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(0,1)t ∈， 此时()2()h t g x t t==+，(0,1)t ∈，根据对勾函数的单调性，()h t 在(0,1)上单调递减， ()()13g x h ∴>=，故D 项错误．故选AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·陕西咸阳市·高三一模）若偶函数()f x 满足(4)()(1)1f x f x f +=-=-，，则(2021)f =___________．【答案】-1【分析】先判断函数的周期，再利用周期和偶函数的性质求值．【解析】()()4f x f x +=，()f x ∴是周期函数，周期4T =，且函数是偶函数， ()()()()202150541111f f f f =⨯+==-=-，故答案为1-14．（2020·山东高三其他模拟）一年时间里，某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿者公益活动时长X （单位：时）近似服从正态分布()250,N σ，且()30700.7P X <<=，该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1275，估计该校高一年级学生人数为___________．【答案】1500【分析】由正态分布曲线的对称性可求得()30P X >，由频数、频率和总数的关系可求得结果．【解析】由()30700.7P X <<=得()()13010.70.152P X ≤=⨯-=， ()3010.150.85P X ∴>=-=．∴估计该校高一年级学生人数为12750.851500÷=人．故答案为1500．【名师点睛】本题考查正态分布问题的求解、利用频率、频数求解总体容量的问题；关键是明确频数=总数⨯频率．15．（2021·全国高三其他模拟）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为10x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为___________．【答案】3【分析】分别求出两腰所在直线的斜率12,k k ，设底边所在直线为3:l y kx =，由直线夹角相等可得k 的值，结合原点在等腰三角形的底边上可确定结果．【解析】直线1:10l x y +-=的斜率11k =-，直线2:740l x y --=的斜率217k =， 设底边所在直线为3:l y kx =，由题意，3l 与1l 的夹角等于2l 与3l 的夹角， 于是有121211k k k k k k k k --=++，即17117k k k k +-=-+， 化简得23830k k --=，解得3k =或13k =-，因为原点在等腰三角形的底边上，所以3k =．故答案为3．16．（2021·云南高三其他模拟）如图，已知面积为4的正方形ABCD 的四个顶点均在球O 的球面上，1O 为正方形ABCD 的外接圆，1AO O △为等腰直角三角形，则球O 的体积为___________．【答案】323π 【分析】如图利用勾股定理计算外接球半径，进而求得体积．【解析】设1O 的半径为r ，球O 的半径为R ，易知1O 为AC 的中点，由正方形ABCD 的面积为4，可知正方形的边长为2， 因此112222r AO AC AB ====，22R r ==， 故球O 的体积343233R V ππ==，故答案为323π． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（2021·山东菏泽市·高三一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin a S A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长． （1）6B π=；（2）B C =．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】2 3.+【分析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长． 【解析】由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=，整理得4sin sin ,b A C a = 由正弦定理得4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=， 若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =，又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴=由正弦定理得sin sin sin a b cA B C== 代入1,b c ==解得3a =∴三角形的周长为2 3.+若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C = 又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=． 由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==， 代入1,b c ==解得3a =∴三角形的周长为2 3.+18．（12分）（2021·河南高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为22(1)2n n S n λμ=⋅+--．（1）若1λμ==，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数,λμ，使得数列{}n a 是等差数列，若存在，求出,λμ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1223()n n n n a N -*=+-∈；（2）存在，0λ=，2μ=【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，并检验当1n =时，11a S =，求数列的通项公式即可；（2）由数列前n 项和，求出112(23)n n n n n a S S λμ--⋅+=-=-，再利用数列为等差数列，即可求出λ，μ．【解析】（1）1λμ==时，22(1)2n n S n =+--，当2n ≥时，121212(1)22(2)2223n n n n n n n a S n S n ---⎡⎤+--+--=⎣⎦=+---=， 当1n =时，110a S ==，符合，所以数列{}n a 的通项公式为1223()n n n n a N -*=+-∈；（2）假设存在实数,λμ，使得数列{}n a 是等差数列，22(1)2n n S n λμ=⋅+--，当2n ≥时，12122(1)22(2)2n n n nn n S n a S λμλμ--⎡⎤⋅+--=-=-⋅+--⎣⎦122122(1)(2)2(23)n n n n n n λλμμλμ--⋅⋅+---⋅+=--=，因为数列{}n a 是等差数列，12(23)n n λμ-∴⋅+-为常数，0λ∴=，即(23)n a n μ=-，当1n =时，1a μ=-， 12S =-，由等差数列{}n a 知，11a S =，解得2μ=， 故存在实数0λ=，2μ=使数列{}n a 为等差数列．【名师点睛】本题主要考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与n S 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的分类讨论思想，属于中档题．19．（12分）（2021·山东淄博市·高三一模）某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展．若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展．根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是前3天均为12，后2天均为45(假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的)．（1）求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率； （2）求这次会展活动展出的平均天数．(结果精确到0.1) 【答案】（1）199200；（2）平均天数是1.9天． 【分析】（1）先求出未来一周5天都举行会展的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一天暂停会展的概率；（2）由题意X 的取值是0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出会展的天数X 的分布列，再求期望即可．【解析】（1）记“未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展”为事件A ，则事件A 表示未来一周5天展出会展，于是()321411125200P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()119911200200P A P A =-=-=， 所以，未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率是199200． （2）设随机变量x 表示会展展出的天数，则0x =，1，2，3，4，5 于是，()3214202525P x ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32312313232141417(1)2525525P x C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3233222113232323214141117322525525200P x C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3233232211232323214141114332525525200P x C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()332312232321411111425525200P x C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由（1）知，()()15200P x P A ===， 所以()()57734311112345 1.925200200200200i E x iP x i ====⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑， 即这次会展活动展出的平均天数是1.9天．20．（12分）（2021·广西崇左市·高三二模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为1,,AB BC CC 的中点．（1）画出平面EFG 截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据； （2）求二面角1G EF B --的余弦值． 【答案】（1）答案见解析；（2）33． 【分析】（1）取,,H I J 分别为11111,,C DD A AA 的中点，利用线线平行可得证明；（2）根据已知建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面EFG 和1EFB 的法向量利用向量数量积公式可得答案．【解析】（1）取,,H I J 分别为11111,,C D D A AA 的中点，连接,,,GH HI IJ JE ，截面多边形为如图所示正六边形EFGHIJ ，做图依据如下：由做图过程知,,H I J 分别为11111,,C D D A AA 的中点，11//,//EH BC FG BC ，//EH FG ∴，即,,,E F G H 四点共面，11//,//FI CD HG CD ，//FI HG ∴，所以,,,F G H I 四点共面,,,,E F G H I ∴五点共面，//,//GJ CA EF CA ，//GJ EF ∴，,,,E F G J 四点共面∴点J 在,,,,E F G H I 五点确定的平面内，故,,,,,E F G H I J 六点共面．（2）据题已知可建立如图所示空间直角坐标系D xyz -， 则11(0,0,0),(2,2,2),(2,1,0),(1,2,0),(2,2,2)D B E F DB =，1(1,1,0),(0,1,2)EF EB =-=，由（1）易知1(2,2,2)DB =为平面EFG 的一个法向量，设平面1EFB 法向量为(,,)n x y z =，则1n EF n EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩可得1020x y n EF y z n EB ⎧=-+=⋅⎪⎨=+=⋅⎪⎩，，，令2y =，则2,1x z ==-，()2,2,1n ∴=-是平面1EFB 的一个法向量，1113cos ,233n DB n DB n DB ⋅∴===⨯⨯，∴平面EFG 与平面1EFB 所成的二面角的余弦值为3．【名师点睛】本题考查了正方体截面的问题、向量法求二面角的问题，关键点是建立空间直角坐标系求出平面的法向量，考查了学生的空间想象力、计算能力．21．（12分）（2021·河北张家口市·高三一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一动点P ，左、右焦点分别为12,F F ，且2(2,0)F ，定直线3:,2l x PM l =⊥，点M 在直线l 上，且满足2||3||PM PF =（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线0l 的斜率1k =，且0l 过双曲线右焦点与双曲线右支交于,A B 两点，求1ABF 的外接圆方程．【答案】（1）2213x y -=；（2）221316258832x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【分析】（1）设点(,)P x y ，由223||3PFPM =，结合各点的坐标可得2213x y +=，由动点P 在双曲线上，即可写出双曲线的标准方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，而直线0:2l y x =-，联立双曲线方程，应用根与系数关系得12x x +， 12x x ，即可求||AB ，而1ABF 外接圆圆心00,x y 在AB 的垂直平分线1:4l y x =-+上，根据弦长、弦心距、半径的关系，结合两点距离公式，求圆心、半径即可写出圆的方程．【解析】（1）由题意，知223||3PF PM =，设点(,)P x y 22(2)2332x y x -+=-，所以22243(2)32x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得222444433x x y x x -++=-+，整理得2213x y +=， 即双曲线的标准方程为2213x y -=．（2）由题意，知直线0:2l y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程，得22213y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得2212150x x -+=， 故126x x +=， 12152x x =，而12124y y x x +=+-， 所以AB 中点为(3,1)M ，而1ABF 外接圆圆心在AB 的垂直平分线1l 上，则1:4l y x =-+， 又由焦点弦长公式，可知2121212||2|2()423AB x x x x x x =-=+-=设圆心00,x y 满足()()()00222220000431(3)2y x x y x y =-+⎧⎪⎨-+-+=++⎪⎩，解得001831.8x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以半径2213162528832R ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故外接圆方程为221316258832x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【名师点睛】（1）设动点坐标，根据线段的比例关系，结合两点距离公式列方程，整理即可得双曲线的标准方程；（2）由直线与双曲线的位置关系，应用弦长公式求弦长；由三角形外接圆圆心的性质，结合弦长、弦心距、半径间的几何关系，求圆心坐标及半径，进而写出圆的方程．22．（12分）（2021·河南高三其他模拟）已知函数()()263ln f x ax a x x =-++．（1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当92a ≤-时，关于x 的不等式()0f x ax b +-≥有解，求b 的最大值． 【答案】（1）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减；（2）53ln 32--． 【分析】（1）定义域是(0,)+∞，求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）设2()()63ln g x f x ax b ax x x b =+-=-+-，求导得()'g x ，讨论得()0g x '=有一个正根2x ，从而确定()g x 的单调性，由不等式()0g x ≥有解，得最大值2()0g x ≥，从而有222263ln ax x x b -+，再由2()0g x '=，把a 用2x 表示，并求得2x 的范围，222263ln ax x x -+化为关于2x 的函数，再利用导数求得其最小值后得b 的范围．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，， 232(6)3(21)(3)()2(6)ax a x x ax f x ax a x x x-++--'=-++==． 0a ，30ax ∴-<．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．（2）设2()()63ln g x f x ax b ax x x b =+-=-+-，则23263()26ax x g x ax x x-+'=-+=．当0a <时，22630ax x -+=有两个根12,x x ，不妨令12x x <， 又12302x x a=<，120,0x x ∴><．由题意舍去1x ． 当()20,x x ∈时，()0g x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0g x '<．()g x ∴在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减．存在0x 使()0f x ax b +-成立，()2max 2222()63ln 0g x g x ax x x b ∴==-+-，即222263ln ax x x b -+． 又2222630ax x -+=，222632x a x -∴=． 92a -，22263922x x -∴-．2103x ∴<． 222222222222263363ln 63ln 33ln 22x b ax x x x x x x x x -∴-+=⋅-+=-+-． 令31()33ln 023h x x x x ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，则33()0x h x x'-=>． ∴函数()h x 在103⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增．max 15()3ln 332h x h ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭，即b 得最大值为53ln 32--．【名师点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，不等式有解问题．解题方法是用导数确定单调性，得函数的最值，利用不等式有解得最大值2()0g x ≥，从而得222263ln ax x x b-+利用2()0g x '=可把a 用2x 代换，化二元为一元，引入新函数由新函数得最值，得结论．。
2024年河北高考数学模拟试卷及答案
2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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高中数学--高考模拟测试卷精选一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知映射()/:(,)0,0f P m n P m n →≥≥．设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，/:f M M →．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点/M 所经过的路线长度为 （ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π2.（09年滨州一模理）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为A ．32B ．0.2C ．40 D．0.253.设O 是平行四边形ABCD 对角线的交点,给出下列向量组:①与；②与；③与；④与.其中,可作为基底的是( ) A .①③B .②④ C .①② D .③④4.（09年湖南十二校文）已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是( )A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m5.已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是( )A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦C 、42,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦6.已知等差数列}{n a 中，299,161197==+s a a , 则12a 的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．647.已知函数2f (x )x cos x =-，则06005f (.),f (),f (.)-的大小关系是( )（A ）00605f ()f (.)f (.)<<- (B) 00506f ()f (.)f (.)<-< (C) 06050f (.)f (.)f ()<-< (D) 05006f (.)f ()f (.)-<<8.设数列{a n }．A ．若＝4n ，n ∈N*，则{a n }为等比数列B ．若a n a n+2＝，n ∈N*，则{a n }为等比数列C ．若a m a n ＝2m+n ，m ，n ∈N*，则{a n }为等比数列D ．若a n a n+3＝a n+1a n+2，n ∈N*，则{a n }为等比数列9.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0=++CP BP PA λ=，则λ的值为 A ．1 B ．21 C ．2 D ．4110.函数y =A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(8,)+∞D ．[8,)+∞二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.对于函数y =f (x )，x ∈D ，若存在常数c ，使对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，满足c x f x f =+2)()(21，则称函数f (x )在D 上的均值为c ，现已知函数：① y=2x，② y=x 5，③ y=2sin x ，④ y =lg x ，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是__________（填上所有符合要求的函数的序号）。
12.（08年西城区抽样测试文）数列的通项公式为，则的前项和_______________ .13.（08年惠州一中四模理） 如图，⊙O 和⊙都经过A 、B 两点，AC 是⊙的切线，交⊙O 于点C ，AD姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●是⊙O 的切线，交⊙于点D ，若BC= 2，BD=6，则AB的长为14.已知实数,x y 满足250x y ++=的最小值为_______________15.某人向东方向走了x 千米，然后向右转120︒，再朝新方向走了3x 的值是 。
16.在ABC ∆中，90,1CBA AB BC ∠===．点M 满足，则______.17.的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ．三 、解答题（本大题共4小题，共36分）18. (12分)如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a 升水，桶2是空的，t 分钟后桶1中剩余的水符合指数衰减曲线1nty ae -=（其中n 是常数，e 是自对数的底数）．假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等．求： （Ⅰ）桶2中的水2y 与时间t 的函数关系式； （Ⅱ）再过多少分钟，桶1中的水是8a ?19.（08年西工大附中理）已知数列满足，且.(1) 求数列的前三项；(2) 是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(3) 若数列为等差数列，求数列的前n 项和；20.如图，三棱锥中，底面ABC 于B ，=900，，点E 、F 分别是PC 、AP 的中点。
（1）求证：侧面；（2）求异面直线AE 与BF 所成的角；21.（本小题满分14分）已知函数x ax x f ln )(-=，xxx g ln )(=，它们的定义域都是(]e ,0，其中718.2≈e ，R a ∈ （Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1=a 时，对任意(]e x x ,0,21∈，求证：2717)()(21+>x g x f （Ⅲ）令x x g x f x h ⋅-=)()()(，问是否存在实数a 使得)(x h 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由。
2BM AM =CM CA ⋅=高中数学--高考模拟测试卷精选答案解析一 、选择题 1.D【解析】略2.答案：A3.A4.C5.A【解析】试题分析：因为()cos 2sin()6f x x x x πωωω+=+最小值为－2，可知y ＝－2与f(x)两个相邻公共点之间的距离就是一个周期，于是2T ππω==，即ω＝2，即()2sin(2)6f x x π=+令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎣⎦，k ∈Z ，解得x ∈2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦，选A考点：三角函数恒等变形，三角函数的图象及周期、最值、单调性.6.A【解析】试题分析：因为8a 是79,a a 的等差中项,所以87982168a a a a =+=⇒=,再由等差数列前n 项和的计算公式可得611111611211()1122a a a S a ⋅+===,又因为11992s =,所以692a =,则86724a a d -==,所以128415a a d =+=,故选A.考点：等差数列通向公式 等差中项 前n 项和7.B【解析】试题分析：因为2f (x )x cos x =-，所以其为偶函数，且当x>0时，2'f (x )x sin x =+>0,函数在（0，＋∞）是增函数，所以00506f ()f (.)f (.)<<，即00506f ()f (.)f (.)<-<，故选B 。
考点：本题主要考查导数的计算，应用导数研究函数单调性。
点评：基础题，函数的导数非负，函数为增函数；导函数非正，函数为减函数。
8.C【解析】试题分析：利用等比数列的概念，通过特例法对A ，B ，C ，D 四个选项逐一判断排除即可．A 中，例如不是等比数列，故A 错；B 中，若满足，但不是等比数列，故B 错，同理也排除D; 对于C ，为等比数列，故C 正确.考点：等比数列的性质；等差数列的性质．点评：本题考查等比数列的概念与性质，考查举例排除法的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．9.C【解析】略 10.D二 、填空题 11.②④12.答案：13.答案：15.16.2【解析】试题分析：由题意，三角形的形状如下图，且2()||||||123CM CA CB BM CA CB CA BM CA CB BM BA ⋅=+⋅=⋅+⋅=+=+=.6考点：1.平面向量的数量积运算.17.112【解析】试题分析：因为的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以，，令，则，所以常数项为.考点：二项式系数的性质点评：本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区 别．18.【解析】略三 、解答题19.解析：（Ⅰ）∵桶2中的水是从桶1中流出的水，而桶1开始的水是a ，又满足1nty ae -=，∴桶2中的水与t 的函数关系式是2nty a ae -=-． ………………………………4分（Ⅱ）∵5t =时，12y y =， ∴55n n ae a ae --=- 解得521n e -=，1ln 25n =。
∴ln 251t y ae =．…………………………………………………8分当18ay =时，有ln 258t a ae=，解得15t =分钟。
所以，再过15分钟桶1中的水是8a． ………………………………………12分20.解：（1）由题意知：，同理可得：（2）假设存在实数符合题意，，则必为与n 无关的常数， =，故（3）由（2）知数列的公差d=1,得，用错位相减法得：21.（1）利用线面垂直证明面面垂直；（2）【解析】 试题分析：考点：本题考查了空间中的线面关系点评：证明线面关系的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理，求夹角往往利用向量法处理22.（Ⅰ）)(x f 的单调增区间为),1(e ，减区间为)1,0(（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）e a 2=【解析】21 （本小题满分14分）（Ⅰ）当1=a 时，x x x f ln )(-=，(]e x ,0∈ ∴xx x x f 111)(-=-=' -----------2分2)2(22=+-yx令0)(>'x f ∴e x <<1 令0)(<'x f ∴10<<x∴)(x f 的单调增区间为),1(e ，减区间为)1,0( -----------4分 （Ⅱ）由（I ）知)(x f 在(]e ,0的最小值为1)1(=f -----------5分 又2ln 1)(x xx g -=' 0)(≥'x g 在区间(]e ,0上成立∴)(x g 在(]e ,0单调递增，故)(x g 在区间(]e ,0上有最大值ee g 1)(= -----------7分 要证对任意(]e x x ,0,21∈， 2717)()(21+>x g x f 即证2717)()(max 2min 1+>x g x f 即证271711+>e ，即证7.2>e 故命题成立 -----------9分 （Ⅲ）x ax x x g xf x h ln 2)()()(-=⋅-=，(]e x ,0∈ ∴xax x a x h 22)(-=-=' （1）当0=a 时，0)(<'x h ，∴)(x h 在(]e ,0单调递减，故)(x h 的最小值为2)(-=e h ，舍去 -----------11分 （2）当0>a 时，由0)(<'x h ，得ax 20<< ① 当e a 20≤<时，e a≥2， ∴)(x h 在(]e ,0单调递减，故)(x h 的最小值为32)(=-=ae e h ，∴e e a 25>=，舍去 ②当e a 2>时，e a<2，∴)(x h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 2,0单调递减，在),2(e a单调递增，故)(x h 的最小值为32ln22)2(=-=aa h ，e a 2=，满足要求 -----------12分 （3）当0<a 时，0)(<'x h 在(]e ,0上成立，∴)(x h 在(]e ,0单调递减，故)(x h 的最小值为32)(=-=ae e h ∴ee a 25>=，舍去 综合上述，满足要求的实数e a 2= -----------14分。