北邮运筹学ch5-3 割平面法
割平面法
《线性规划》课程设计题目：割平面法及其数值实现院系：数理科学与工程学院应用数学系专业：数学与应用数学姓名学号：*** 1********* 1********* 1********* 1******指导教师：***日期：2015 年 6 月11 日整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。
整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。
所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。
用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。
本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。
割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。
然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。
关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。
AbstractThe integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming.Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved.Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.第一章问题描述 (2)1.1 整数规划问题概述 (2)1.2 整数规划的基本定理 (2)第二章求解整数规划问题的割平面法 (3)2.1 基本思想 (3)2.2 算法步骤 (3)2.3 算法流程图 (5)第三章数值实验 (6)3.1算例 (6)3.2 数值实现 (7)总结 (8)参考文献……………………………………………………………………………附录…………………………………………………………………………………第一章 问题描述1.1 整数规划问题概述规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划简称为IP 问题。
运筹学__割平面法
x1
1 0 0 0 x1 1 0 0 0
x2
0 1 0 0 x2 0 1 0 0
x3
1/6 1/4 -1/4 -1/4 x3 0 0 1 0
x4
-1/6 1/4 -1/4 -1/4 x4 -1/3 0 1 0
s1
0 0 1 0 s1 2/3 1 -4 -1
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
1 1 1 ( x 3 x4 ) 0 2 4 4
1 1 1 x3 x4 s1 4 4 2
Cj CB 0 1 0 σj XB x1 x2 s1 b 1 3/2 -1/2 -3/2 0 x1 1 0 0 0 1 x2 0 1 0 0 0 x3 1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 x4 -1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 s1 0 0 1 0
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x3
0 0 1
x4
-1/3 0 1
s1
2/3 1 -4
σj
-1
0
0
0
0
-1
CB 0
XB x1
b 2/3
x1 1
x2 0
x3 0
x4 -1/3
s1 2/3
1
0
x2
x3
1
2
0
0
1
0
0
1
0
1
1
-4
σj -1 0 0 0 0 -1 此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割 2 2 2 平面，其条件为：
5-2割平面法
1 x2 1 0 1 0 0 1/4
0 x3 1 0 0 1 -1 -1/3
-2 0 0 0 -1/3 -1/6
3 割平面法小结
1）令xi是线性规划最优解中为分数值的一个基变量
xi aik xk bi
k
2）将bi和a ik都分解成整数部分N和非负真分数f之和
bi Ni fi , 其中0<fi 1 aik Nik fik , 其中0 fik 1
筹
学
0
x1
图2 1
2 割平面法算例
例1 求解
m a x z x1 x 2
x1 x 2 1
3
x1 x1
,x
x
2
2
0
4
x 1 , x 2 整 数
最优解为：x1
3 4
,
x2
7 4
, max
z
10 4
表1
CB
初始计算 0
表
0
最终计算 1
表
Cj
1
XB b x1
x3 1 -1
x4 4 3
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第五章 割平面法
主讲教师 武小平
主要内容
1 割平面法及其原理
2 割平面法算例
运
筹
3 割平面法小结
学
1 割平面法及其原理
割平面法添加能割去非整数解的线性约束条件，使
01
x1 3/4 1 x2 7/4 0
-5/2 0
100 x2 x3 x4 110 101 100 0 -1/4 1/4 1 3/4 1/4 1 -1/2 -1/2
运筹学课件ch05资料
4
xi3 300, xi4 150
i1
i 1
4
4
s.t. x1 j 400, x2 j 600
i1
i 1
4
4
x3 j 200y. x4 j 200(1 y)
i1
i 1
xij 0(i, j 1,2,3,4), y 0或1
第1节 整数线性规划问题的提出
❖ 现举例说明用单纯形法求得的解不能保证是整数最优 解。
min
z
P1 (d1
d
2
d
3
d
4
d
5
d
6
)
P2
d
7
P3d8
x31
x11
0.1(x11 0.5(x11
x21 x21
x31) x31)
d1
d
2
d1
d
2
0 0
x32
0.7(x12
x22
x32
)
d
3
d3
0
x12
0.2(x12
x22
x32
)
d
4
d
4
0
x33
0.5(x13
解：这是物资运输问题，其特点是事先不能确定应该建A3或A4 中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产费用。引入0—1
变量
1 y
0
若建工厂A3 若建工厂A4
44
min z
cij xij y1200 (1 y)1400
j1 i1
4
4
xi1 350, xi2 400
i1
i 1
4
解：每一个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，为此令
7.4 切割平面法
x2
x2
O （a）
x1
O
x1
（b）
7
OR:SM
五、割平面法求解举例
例：某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进价分别为 2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2；投产后的收益分别为3百元 /日和2百元/日。厂方仅有资金14万元，安装面积18m2。为使收益最大，厂 方应购进甲、乙机床各多少台？
将（5）式标准化:
1 2
x5
x6
1 2
加到前面单纯形表最终表中，有：
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x2
0
1
0
-1
1
0
x1
1
0
0
1
-1/2
0
x3
0
0
1
1
-2
0
x6
0
0
0
0
-1/2
1
Z
0
0
0
-1
-1/2
0
用对偶
x2
0
1
0
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2
单纯形
x1
1
0
0
1
0
-1
法求解， 得：
x3 x5
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1
（5）式用决策变量表达的割平面方程为 6x1 5x2 29 6
x2
图示切 割过程
15
6x1+5x2=31
6
4x1+2x2=18
5
4
第三节 割平面法
割平面法的基本思想是：首先不考虑 整数条件，增加另外的约束条件，把原来 的可行域切掉一部分，被切掉的部分不包 含任何整数可行解. 经过有限次的切割， 最终得到某个顶点的坐标恰好是整数，并
且是问题的最优解.
例如 求解整数规划问题
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 x1 , x2 0 x , x 为整数 1 2
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
表3-4
S
-59 0 0 0 -1 -8
x1 x2 x3
fi 0
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
以 x1 为来源行得割平面不等式：
j m 1
x2
割平面
1
C (1, 1)
3 7 x1 , x2 = 4 4 max Z 10 4
1
x1
回到一般问题上：
整数规划（A）
max S c j x j a
j 1 n ij n
松弛问题（B）
max S c j x j a
j 1 n j 1 ij n
加入松弛变量 y1 ，得割平面方程
7 22 x3 1 22 x4 y1 1 2
将割平面方程表达的约束条件加到单纯形表 的最后一行，并把松弛变量补到最后一列
表3-3
S
-63 92 72 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 - 28 11 -1 22 7 22 -7 22 -15 11 3 22 1 22 -1 22 0 0 0 1
运筹学 第五章(清华三版)
构造割平面约束的一般方法如下： 构造割平面约束的一般方法如下： (1)在松弛问题的最优表中，设b列的第 个分量 k为 在松弛问题的最优表中， 列的第k个分量 在松弛问题的最优表中 列的第 个分量b 非整数，可将它分解为整数和非整数部分之和， 非整数，可将它分解为整数和非整数部分之和，即 bk =Nk + fk ， Nk＜ bk 且为整数，0＜ fk ＜1。 且为整数， ＜ 。 (2)然后，第k行中的每一个非基变量 xj的系数 akj也 然后， 然后 行中的每一个非基变量 分解为整数与非负数之和的形式， 分解为整数与非负数之和的形式，即 akj= Nkj + fkj ;Nkj ≤ akj ; 0≤ fk ＜1,则割平面方程为： 则割平面方程为： 则割平面方程为
−1
7
x3 − 2
7
x5 ≤ − 6
7
⑴
将割平面约束⑴变为等式约束后， ②将割平面约束⑴变为等式约束后，并入松弛问题 的最优表中，见下表。 的最优表中，见下表。
cj
CB
3 -1 0 0
3
-1
0
0
0
0
cj − zj
XB x1 x2 x4 x6
b
13/7 9/7 31/7 -6/7
x1
1 0 0 0 0
结论： 结论： 不能把松弛问题的最优解通过“四舍五入” ⑴ 不能把松弛问题的最优解通过“四舍五入” 或“截尾”（即凑整）处理后作为整数规划的 截尾” 即凑整） 最优解。不过，在变量取值很大时， 最优解。不过，在变量取值很大时，用上述方 法得到的解与最优解差别不大。 法得到的解与最优解差别不大。 不是可行域的顶点， ⑵ 点(4,1)不是可行域的顶点，所以直接用图解 不是可行域的顶点 法或单纯形法无法求出整数规划问题的最优 解．
割平面法的基本思想
割平面法的基本思想割平面法主要用于求解整数规划问题的方法。
1958年由美国格莫理提出。
基本思路是：先不考虑整数性约束，求解相应的线性规划问题。
若线性规划问题的最优解恰好是整数解，则此解即为整数规划问题的最优解。
否则，就增加一个新的约束条件,称为割平面。
割平面必须具有两条性质：（1)从线性规划问题的可行域中至少割掉目前的非整数最优解；（2)不割掉任何整数可行域，然后在缩小的可行域上继续解线性规划问题。
重复以上做法，经有限次切割后，必可在缩小的可行域的一个整数极点上达到整数规划问题的最优解。
混合整数线性规划（MILP）的割平面法通过将整数问题线性松弛为非整数线性问题，并对其进行求解，来求解MILP 问题。
线性规划理论说明，在温和的假定下（如果线性规划存在最优解，并且可行域不包含一条线），总存在一个极值点或顶点是最优的。
检验所获的最优解是否为整数解。
如否，则必然存在一线性不等式将最优点和真可行集的凸包分离。
找到这样的不等式是分离问题，而这样的不等式就是切割。
切割可以被加入到被松弛的线性规划中，使得当前的非整数解对松弛不再可行。
该过程不断重复，直到找到最优整数解。
用于普遍的凸连续优化和变体的割平面法有不同的名称：Kelley 法，Kelley-Cheney-Goldstein 法和捆绑法。
它们常用于不可微的凸最小化问题。
对于这类问题，通常的可微优化的梯度法无法使用，而使用这些方法可以高效地得到凸目标函数及其次梯度。
这种情况最常出现在双拉格朗日函数的凹优化中。
另一种常见情形是Dantzig-Wolfe分解应用于结构优化问题中，这类问题通常有含有指数级变量的表达式。
通过延迟列生成法按需生成这些变量等同于在对应的对偶问题上切割平面。
图1.割平面法例，如上图1，单位立方体与切割平面。
在三节点的旅行推销员问题中，该（弱）不等式表明每次旅行必须连接至少两个点。
2Gomory 切割切割平面法由Ralph Gomory 在19 世纪50 年代提出，用于解决整数规划和混合整数规划问题。
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n
aij x j bi
j 1
x j 0，j 1,, n
的最优解 X＝(B1b,0)T b B1b (b1, b2 ,, bm )T
设xi不为整数，xi bi aik xk xk为非基变量
k
运筹学 北京邮电大学
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
3
x1
1
0 －1/4
3/4 13/4
λj
0
0 －1/4 －5/4
最优解X=(－1/2，3/4，0，0)T， x1 、x2不满足整数要求，选
择x2行进行分割： x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
x2
1 2
x3
x4
1 2
x4
2
1 2
x x x 得到Gomory约束 5
1
1
2 运筹3学 北京2邮电4大学
Ch5 Integer Programming
2020/1/24
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将 bi及aik 分离成一个整数与一个非负真分数之和：
bi [bi ] fi, aik aik fik ,0 fi 1,0 fik 1
则有
xi [bi ] fi [aij ]xk fik xk
Ch5 Integer Programming
2020/1/24
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如果在对偶单纯形法中原切割方程的松弛变量仍为基 变量，则此松弛变量所在列化为单位向量后就可以去掉该 行该列，再切割。
【例】已知整数规划
max z 3x1 2x2
2 2
x1 x1
3x2 14 x2 9
则
fi fik xk 0
k
加入松弛变量si得
si fik xk fi
k
此式称为以xi行为源行（来源行）的割平面，或分数切割式， 或R.E.Gomory(高莫雷)约束方程。
将Gomory约束加入到松弛问题的最优表中，用对偶单纯
形法计算，若最优解中还有非整数解，再继续切割，直到全
00
1 －1/4 0 7/3
01
1 －1 0 1
00
0 －1/2 1 －1/2
0 0 －1 －1/2 0
1 0 －1 0 2 1
00
1
0 －1 4
01
1
0 －4 3
00
0
1 －2 1
0 运筹0学 北京邮－电大1学 0 －1
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
设纯整数规划
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
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n
max Z c j x j j 1
n
aij x j bi
j 1
x j 0且为整数， j 1,, n
松弛问题
n
运筹学 北京邮电大学
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020/1/24
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2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题
第一次切割
x1+x2≤5
4,1
第二次切割
运筹学 北京邮电大学
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
x3
(1
5 6
)
x4
1
2 3
移项：
x1
x4
1
2 3
5 6
x3
5 6
x4
令
2 3
5 6
x3
5 6
x4
0
加入松弛变量s1得
s1
5 6
x3
5 6
x4
2 3
同理，对于x2行有：
s x x 1
1
2
2 运3筹学3北京邮3电大4学
3
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
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1.领会割平面法的基本原理 1.分离源行，求出Gomory约束 2.在最优表中增加Gomory约束，用
对偶单纯形法迭代
作业：教材P134 T5.3
0—1规划 指派问题 Exit
运筹学 北京邮电大学
1 添加到最优表中，得
2
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
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cj
3
CB XB x1
2
x2
0
3
x1
1
0
x5
0
λj
0
2
x2
0
2
0
0
0
x2
x3
x4
x5
b
1
1/2 －1/2 0
5/2
0 －1/4
x1
,
x2
0且为整数
【解】不考虑整数约束，松弛问题的最优表如下
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§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
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最优表
cj
3
2
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
b
2
x2
0
1
1/2 －1/2 5/2
2 x2 0
3 x1 1
0 x3 0
0 x6 0
λj
0
2 x2 0
3 x1 1
0 x3 0
0 x6 0
λj
0
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
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20
0
00
x2 x3
x4
x5 x6
b
1 0 －1 ½ 0 2
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得到整数最优解：X＝(4，1)，Z＝14
注1：
x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
1 2
1 2
x3
1 2
x4
0
Gomory约束可写为 x5 x3 x4 1
注2： Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保 留了全部整数解。
用图解法表示：
k
k
xi [bi ] [aij ]xk fi fik xk
k
k
等式两边都为整数并且有
fi fik xk fi 1
k
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§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020/1/24
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3/4
Байду номын сангаас
0 13/4
0 －1/2 －1/2 1 －1/2
0 －1/4 －5/4 0
1
0
－1 ½
2
3
x1
1
0
0
1 －1/2 7/2
0
x3
0
0
1
1
－2
1
λj
0
0
0
－1 －1/2
x1行： x1
x4
1 2
x5
7 2
Gomory约束
x6
1 2
x5
运筹学 北12京邮添电大加学 到最优表中，得
cj
3
CB XB x1
部为整数解。
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例如，
x1 x2
5 6
2 3
x3 x3
1 6
1 3
x4 x4
5 3
2 3
x1行：
x1
5 6