运筹学课后习题答案__林齐宁版本__北邮出版社.
运筹学部分课后习题解答
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →10 5B CB Xb 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
《运筹学》课后答案
《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。
掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。
2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。
3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。
如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。
4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。
5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。
对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。
6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。
整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。
7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。
8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。
运筹学课后习题答案林齐宁版本北邮出版社
运筹学课后习题答案--林齐宁版本--北邮出版社·No.1 线性规划1、某织带厂生产A、B两种纱线和C、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。
这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下：工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h。
(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设A的产量为x1，B的产量为x2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关，故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极大化的标准形式解：将约束条件中的第一行的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第二行添加人工变量x 5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令x x x 333='-''，则有max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5('-''x x 33)+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x fs.t. 0,,,,,,,1355719 13 5571916 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x3、用单纯形法解下面的线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f解：在约束行1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形法迭代步骤如下：答：最优解为x1 =244.375, x2 =0, x3=123.125, 剩余变量x6 =847.1875；最优解的目标函数值为858.125。
运筹学部分课后习题集解答1
运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x 2 4为 6x 2 6 a )s.t 4x i 2x 24X i ,X 2 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集 MABCN ，且可知线段BA 上的点3都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为Z m i n =2 3 * 3 0 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x.| 5x 23x 1 4x 2 9 s.t 5x 1 2x>8x 1, x> 0解：由图1可OABCO ，且可知B 点为最优值点,小 3x-| 4x 29 即125x 1 2x 28x 1X 213，即最优解为x * 21,3v1图1单纯形法:原问题化成标准型为max z=10x15x23\ 4x2 x39 s.t 5\ 2x2 x48X i,X2,X3,X40P78 2.4已知线性规划问题:max z 2X | 4x 2 x 3 x-i 3X 2 X 4 82为 x 26 x 2 x 3 x 4 6 x | x 2 x 39XiXX, x 4求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X * (2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w 8y 1 6y 2 6y 3 9y 4y 1 2y 2 y 4 2 3y 1 y 2 y 3 y 4 4 y 3 y 4 1y 1y 31%,丫2”3,丫4(2)由原问题最优解为X * (224,0)，根据互补松弛性得：y 1 2y 2 y 4 2 3y 1 y 2 y w 4y a y 4 1把X *(2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号, 即 2 2 48 9 y 4 0 y 1 2y 22从而有3y 1 y 2 y 34所以有x *13,zmax 10 1 5I35 "2X 4y a 1/曰 4 3 “门得y i 、目2 ,y3 i,y4 05 5所以对偶问题的最优解为y* （-,3,1,0）T，最优值为W min 165 5P79 2.7考虑如下线性规划问题:（1）写出其对偶问题；min z 60为40x2 80x33为2x2x3 24x1 X2 3x3 42x1 2x2 2x3 3捲必，怡0（2 ）用对偶单纯形法求解原问解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4y2 3y33y i 4y2 2y3 602y1 y2 2y3 40 >y1 3y2 2y3 80 ,y1,y2,y3 0（2）在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z 6 0x140X280x3x12x2X3 X4 24为x3x3 x 42x-| 2x22X3 X6 3X j 0,j 1L ,6* 52max 56 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。
运筹学部分课后习题解答
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →10 5B CB X b 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学课后习题解答_1.(DOC)
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题min z=2x1 3x2a4x1 6x2 6 ）2x2 4 st.. 4x1x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN，且可知线段 BA上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为3z min =23 0 3 2P47 1.3 用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x1 5x 2a ）3x1 4x2 95x1 2x2 8st..x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知 B 点为最优值点，3x1 4x2x1 1 T 9 3，即最优解为x*1,3即2x2 8x2 2 5x1 2这时的最优值为 z max =10 1 5 3 35 2 2纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 ,x4 010 5 0 0c jC B X B b x1 x2 x3 x49 3 4 1 0x38 [5] 2 0 1x410 5 0 0C j Z j21/5 0 [14/5] 1 -3/5 x38/5 1 2/5 0 1/5 10x10 1 0 -2C j Z j53/2 0 1 5/14 -3/14 x21 1 0 -1/7 2/7 10x10 0 -5/14 -25/14C j Z j1,3 T1015335因此有 x*, zmax2 2 2P78 2.4 已知线性规划问题：max z 2 x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9x1 , x2 , x3,x4 0求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X* (2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1y1 y3 1y1, y2 , y3 ,y4 0（2）由原问题最优解为X* ( 2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1把 X * (2,2,4,0) 代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即 2 2 4 8 9 y4 0y1 2 y2 2进而有3y1 y2 y3 4y3 1得 y 4 , y2 3, y31, y 01 5 5 4( 4,3,1,0)T，最优值为w min16因此对偶问题的最优解为y*5 5P79 2.7考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x3 24x1x23x3 42x12x22x3 3x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（ 2）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z 60x1 40x2 80x33x1 2x2 x3 x4 24x1 x2 3x3 x5 42 x1 2x2 2x3 x6 3x j 0, j 1, ,6c j-60 -40 -80 0 0 0 C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6x4-2 -3 -2 -1 1 0 0x5-4 [-4] -1 -3 0 1 0x6-3 -2 -2 -2 0 0 1 C j Z j-60 -40 -80 0 0 0x41 0 -5/4 5/4 1 -1/12 080x11 1 1/4 3/4 0 -1/4 0x6-1 0 [-3/2] -1/2 0 -1/2 1C j Zj0 -25 -35 0 -15 0x411/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/680x15/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/640x22/3 0 1 1/3 0 1/3 -2/3C j Zj0 0 -80/3 0 -20/3 -50/3x* ( 5 , 2 ,0) T , z max 60 5 40 2 80 0 2306 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。
第五版运筹学课后习题答案
第五版运筹学课后习题答案【篇一：运筹学课后习题答案林齐宁版本北邮出版社】>1、某织带厂生产a、b两种纱线和c、d两种纱带，纱带由专门纱线加工而工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h。
(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设a的产量为x1，b的产量为x2，c的产量为x3，d的产量为x4，则有线性规划模型如下：max f(x)=(168?42)x1 +(140?28)x2 +(1050?350)x3 +(406?140)x4=126 x1 +112 x2 +700 x3 +266 x4?3x1?2x2?10x3?4x4?7200?s.t. ? 2x3?0.5x4?1200?xi?0, i?1,2,3,4?(2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关，故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极大化的标准形式minf(x)?2x1?3x2?5x3解：将约束条件中的第一行的右端项变为正值，并添加松弛变量x4，在第二行添加人工变量? x1? x2? x3??5 ???6x1?7x2?9x3?16 x5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两s.t. ?|19x1?7x2?5x3|?13个不等式，分别添加松弛变量x6, x7，并令??x,x?0, x?不限3?12x3?x3??x3??，则有max[?f(x)]= {?2 x1 ?3 x2 ?5(x3??x3??)+0 x4 ?m x5+0 x6 +0 x7} ?? x3???x4?5 ?x1 ?x2 ?x3 ???6x?7x?9x??9x?? ?x?1612335????5x3?? ?x6?13 s.t. ? 19x1?7x2?5x3??19x?7x?5x??5x?? ?x7?131233??,x3??,x4,x5,x6,x7?0?x1,x2,x3?3、用单纯形法解下面的线性规划maxf(x)?2x1?5x2?3x3?3x1?2x2?x3?610??x?6x?3x?125 ?123s. t. ???2x1?x2?0.5x3?420?x1,x2,x3?0, ?解：在约束行1,2,3分别添加x4, x5, x6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形答：最优解为x1 =244.375, x2 =0, x3 =123.125, 剩余变量x6=847.1875；最优解的目标函数值为858.125。
运筹学教材习题答案详解
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
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·No .1 线性规划1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。
(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关，故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极大化的标准形式 解：将约束条件中的第一行的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第二行添加人工变量x 5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令x x x 333='-''，则有max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5('-''x x 33)+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7} s.t. 0,,,,,,,1355719 13 5571916 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765 ..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f3、用单纯形法解下面的线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束行1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形答：最优解为x 1 =244.375, x 2 =0, x 3 =123.125, 剩余变量x 6 =847.1875；最优解的目标函数值为858.125。
No .2 两阶段法和大M 法 解：将原问题变为第一阶段的标准型⎪⎩⎪⎨⎧≥=+-+=+-+--⋅+⋅=0,,,,,753802 ..00)(max 654321642153216521x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f答：最优解为x 1 =14，x 2 =33，目标函数值为254。
1、用两阶段法解下面问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,753802 ..64)(min 21212121x x x x x x t s x x x f2、用大M 法解下面问题，并讨论问题的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥++≤++-≤++++= ,0,,52151565935 ..121510)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f解：第1、2行约束条件添加x 4, x 5松弛变量，第3行添加x 6剩余变量和x 7答：最后单纯形表中检验数都小于等于0，已满足最优解判定条件，但人工变量x 7仍未迭代出去，可知原问题无可行解(无解)。
No .3 线性规划的对偶问题解：对偶问题为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≥≤=+-≥++-≥+≤+++=不限321313213121321,0,00 53 2 2..645)(min y y y y y y y y y y y y t s y y y y g⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≥±-≥-≤≥≤-≥≤0,0,12 8 4 14 26321332211x x x x x x x x x 不限 令改写后约束条件每行对应的对偶变量为y 1,...,y 6，则有对偶规划如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≤+=+--++-=0,, ,0,,8 3 4 ..12841426)(max 642531654321654321y y y y y y y y y y y y t s y y y y y y y g1、写出下列线性规划问题的对偶问题：(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≥≤=++≤+≥+-+-+=不限4321432314321321 ,0,,06 4 2 5..532)(max x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f (2)⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-≤≤≤≤-+-=81214462 ..834)(min 321321x x x t s x x x x f解：原问题的约束条件可改写为右式2、写出下问题的对偶问题，解对偶问题，并证明原问题无可行解解：对偶问题为 约束条件标准化为⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+--≥-+-=0,,324..)(min 32132131321y y y y y y y y t s y y y y g ⎪⎩⎪⎨⎧≥=-+-=++-0,,,,3 + 24 543215321431y y y y y y y y y y y y入变量答：迭代到第三步，x 1为入变量，但主列中技术系数全为负值，故对偶问题有可行解但解无界，由弱对偶定理推论可知，原问题无可行解。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+--≤-≤+--=,0, 121 1 ..34)(max 212122121x x x x x x x t s x x x f3、用对偶单纯形法求下面问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,753802 ..64)(min 21212121x x x x x x t s x x x f答：最优解为x 1 =14，x 2 =33，目标函数值为254。
No .4 线性规划的灵敏度分析原问题为max 型，x 4，x 5为松驰变量，x 6为剩余变量，回答下列问题： (1)资源1、2、3的边际值各是多少？(x 4，x 5是资源1、2的松驰变量，x 6是资源3的剩余变量)(2)求C 1, C 2 和C 3的灵敏度范围； (3)求∆b 1，∆b 2的灵敏度范围。
解：(1) q 1 =11, q 2 =0, q 3 = -1。
(2) x 1 , x 2 为基变量，故[]m a x /,/,/m a x ,.,---⎡⎣⎢⎤⎦⎥≤⇒---≤⇒-≤≤+∞⇒≤≤+∞61311231131816533181111∆∆∆C C C Cm a x /m i n /,/..-⎡⎣⎢⎤⎦⎥≤≤----⎡⎣⎢⎤⎦⎥⇒-≤≤⇒-≤≤61311131231815105222∆∆C C C 9 x 3 为非基变量，故-∞≤≤⇒-∞≤≤∆C C 33610 (3) 5.16 3/123,3/42min 3/24max 11≤∆≤-⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡----≤∆≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b b 同理有 -≤≤+∞22∆b No .5 运输问题1、分别用西北角法、最低费用法和运费差额法，求下面运输问题(见表)的初始可行解，并计算其目标函数。
(可不写步骤)2、以上题中最低费用法所得的解为初始基础可性解，用表上作业法（踏石法）求出最优解。
（要求列出每一步的运费矩阵和基础可行解矩阵）OBJ ＝955 ⇓4-3 9 6OBJ ＝1415 OBJ ＝85044 9 6答：x 13=5, x 14=15, x 24=30, x 32=15, x 33=25,x 41=25, x 43=5, x 45=30, OBJ=850。
No .6 指派问题1、有4个工人。
要指派他们分别完成4项工作。
每人做各项工作所消耗的时⇒⇒∨4 ∨8 ∨5 ⇒∨12637划线过程(发现有4条直线) 找到最优解答：容易看出，共有四个最优解：①甲→B ，乙→D ，丙→A ，丁→C ； ②甲→D ，乙→B ，丙→A ，丁→C ；③甲→B ，乙→D ，丙→C ，丁→A ；④甲→D ，乙→B ，丙→C ，丁→A ；OBJ=10。
OBJ ＝850S*=1***第二个最优解：OBJ ＝102、学生A 、B 、C 、D 的各门成绩如下表，现将此4名学生派去参加各门课的单项竞赛。
竞赛同时举行，每人只能参加一项。
若以他们的成绩为选派依解：变换效率矩阵为适用于min 化问题，用96减去上面矩阵中所有元素值，∨3 ∨1 ⇒⇒ 253 1 ∨2 ∨4No .7 动态规划1、某公司有9个推销员在全国三个不同市场里推销货物，这三个市场里推销员人数与收益的关系如下表，做出各市场推销人员数的分配方案，使总收益最大。
解：令分配到各地区的推销员人数为决策变量x k ，k =1,2,3代表第1、2、3地区；令各地区可供分配的推销员人数为状态变量s k 。
最先分配给第1地区，第一个最优解：OBJ ＝10然后第2、第3地区，则 s 1=9。
状态转移公式为：s k +1 = s k -x k ；目标函数为：f dx i i 313==∑m a x () 第1阶段：第3地区， s 3 有0～9种可能，由收益表第3行可知d (x 3)答：第1地区分配2名推销员，第2 地区不分配人员，第3地区分配7名推销员，总收益为218。
2、设某工厂要在一台机器上生产两种产品，机器的总运转时间为5小时。
生产这两种产品的任何一件都需占用机器一小时。
设两种产品的售价与产品产量成线性关系，分别为(12-x 1)和(13-2x 2)。
这里x 1和x 2分别为两种产品的产量。
假设两种产品的生产费用分别是4x 1和3x 2，问如何安排两种产品的生产量使该机器在5小时内获利最大。
(要求用连续变量的动态规划方法求解) 解：设可用机时为状态s i ，先分配产品1机时，故有状态转移方程s k +1 = s k -x k (i =1,2)边界值 s 1 =5, s 3=0目标函数为：}3)213(4)12max{(2221112x x x x x x f --+--=*)}210()8max{(222211x x x x -+-=由边界条件s 3 = s 2 -x 2 =0，得 x 2 = s 2，因此有22222221210210)(s s x x s f -=-=* 则动态规划总效果的递推方程为)}210()8{(0max )}()8{(0max )(222211121211112s s x x x s f x x x x f -+->=+->=**由状态方程 s 2 = s 1 -x 1 ＝5-x 1，代入上式得}318{0max })5(2)5(10)8{(0max )(2111211211112x x x x x x x x x f ->=---+->=*令 d fxd x x 21111860()/=-=，解得 x 1 =3。