北邮运筹学ch16 人工变量法
大学本科 运筹学 教程 人工变量法、对偶问题(4)
Z′* = - 8
Z* = 8
人工变量法之二——两阶段法 两阶段法 人工变量法之二
• 第一阶段 寻找一个基可行解 第一阶段:寻找一个基可行解 方法:加入人工变量 加入人工变量,构造一新的求极小值的目标函数 方法 加入人工变量 构造一新的求极小值的目标函数 minω=∑X人 表明X （1）当minω=0,表明 人不为基变量 则得到此阶段的 ） 表明 不为基变量,则得到此阶段的 一个最优解,转入第二阶段 转入第二阶段。 一个最优解 转入第二阶段。 （2）当minω＞0，表明 人仍为基变量，原问题无可 ） ＞ ，表明X 仍为基变量， 行解。 行解。 • 第二阶段：求最优解 第二阶段： 将原目标函数换回， 将原目标函数换回，以第一阶段得到的最优解为初始 基可行解，用单纯形法迭代。为简化计算，在此阶 基可行解，用单纯形法迭代。为简化计算， 段的表中去掉人工变量。 段的表中去掉人工变量。
c
原问题： 原问题：maxZ=70x1+120x2 s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 + 10x2 ≤300 x1 , x2 ≥ 0
影子价格
s.t. 9y1 + 4y2 + 3y3≥70 4y1 + 5y2 + 10y3≥120 y1 、y2 、y3 ≥0
分别为劳动力、设备、 设：y1 、y2 、y3分别为劳动力、设备、原材料的租赁价格
maxZ=70x1+120x2 s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 + 10x2 ≤300 x1 , x2 ≥ 0
产品A 劳动力（工时） 设备（台时） 原材料（公斤） 单位产品利润（元） 9 4 3 70 产品B 资源限额 4 5 10 120 360 200 300
单纯形法-人工变量法
max z=3x1+4x2 x1 +x2 40
2x1+x260 x1-x2 =0 x1 ,x2 0
cj →
CB XB b 0 x3 40 0 x4 60 -M x5 0
cj- zj
0 x3 40 0 x4 60 3 x1 0
cj- zj 4 x2 20 0 x4 0 3 x1 20
3 40
x1 x2 x3 1 11 2 10 [1] -1 0
例 max z=3x1+5x2 3x1 +5x2 15 2x1 + x2 5 2x1+2x2 11 x1 ,x2 0
CB XB b
0 x3 15 0 x4 5
0 x5 11
cj-zj
5 x2 3 0 x4 2 0 x5 5
cj-zj
3 50 00 x1 x2 x3 x4 x5 3 [5 ] 1 0 0 2 1010 2 2001 3 5000 3/5 1 1/5 0 0 7/5 0 -1/5 1 0 4/5 0 -2/5 0 1
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1 , , x7 0
这时，初始基和初始基可行解很明显。X(0)=(0，0，0， 11，0，3，1)T不满足原来的约束条件。如何使得可从 X(0)开始，经迭代逐步得到x6=0，x7=0 的基可行解， 从而求得问题的最优解，有两种方法：
• 两种方法
– 大M法 – 二阶段法
约束方程为“>=”或“=”的情形（加人工变量）
标准型：
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
单纯形法-人工变量法
θ
11 3/2 1
第一阶段求得的结果是ω = 0,最优解是（0,1,1,12,0,0,0）T 一阶段求得的结果是ω 0,最优解是 最优解是（ 12, 一阶段求得的结果是 是原线性规划问题的基可行解。 因人工变量 x6= x7=0，所以 ，所以(0,1,1,12,0)T 是原线性规划问题的基可行解。
第二阶段运算:
例:
max z=3x1+4x2 x1 +x2 ≤40 2x1+x2≤60 x1-x2 =0 x1 ,x2 ≥0
cj→ CB XB b x 3 40 0 x 4 60 0 0 -M x 5 cj - zj 0 0 3 4 0 3 x3 x4 x1 40 60 0 3 x1 1 2 [1] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4 x2 1 1 -1 [2] 3 -1 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/3 1/3 1/3 -7/3 -M x5 0 -1 1 0
大M法 法
在目标函数中加上惩罚项。 在目标函数中加上惩罚项。
max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 3 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 其中 为充分大的正数。 = 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 x3 + x7 = 1 − 2 x1 + x1 ,L , x7 ≥ 0 只要原问题有可行解， 只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善 人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， ，人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， 进而得到基最优解。 进而得到基最优解。 反之， 反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量 为基变量，便说明原问题无可行解。 的单纯形表格为： 为基变量，便说明原问题无可行解。例8的单纯形表格为： 的单纯形表格为
人工变量法 基本可行解
人工变量法基本可行解人工变量法是一种经济学中常用的策略性分析方法，它的核心思想是将一项政策变量（通常是政府政策）视为外生给定，并通过构建一个人工变量来评估该变量对某一兴趣变量的影响。
在经济学领域，人工变量法被广泛应用于政府政策评估、市场分析和决策制定等方面。
在这篇文章中，我们将就人工变量法的基本可行解进行一步一步的回答，深入探讨其原理、适用范围以及优缺点等相关问题。
首先，让我们通过阐述人工变量法的基本原理来开始我们的讨论。
人工变量法的核心思想是通过引入一个人工变量来模拟某一外生给定变量对兴趣变量的影响。
这可以帮助我们解决研究中经常遇到的内生性问题，即无法确定因果关系的问题。
通过构建一个人工变量，我们可以将外生性变量的影响与内生性变量的影响区分开来，从而更准确地评估政策变量对兴趣变量的影响。
接下来，让我们讨论人工变量法的适用范围。
人工变量法适用于各种研究领域，尤其是在政策评估和决策制定中具有广泛的应用。
人工变量法可以用于评估政府政策的效果，例如教育政策、税收政策和社会保障政策等。
此外，在市场分析中，人工变量法也可以帮助我们了解市场竞争对价格和供求关系的影响。
然而，人工变量法也存在一些局限性和挑战。
首先，为了构建一个有效的人工变量，我们需要确保该变量与其他内生变量无关。
这可能需要进行精心的设计和数据收集，以确保人工变量具有外生性。
其次，人工变量法还要求我们拥有足够的数据和样本量，以确保评估结果的统计显著性和可信度。
最后，人工变量方法也面临着理论假设和模型设定的挑战，这些假设和设定可能对最终的评估结果产生重大影响。
在实际应用中，人工变量法可以采用多种方法来构建人工变量和评估政策效果。
其中一种常见的方法是利用自然实验或随机化实验的结果来构建人工变量。
这种方法可以帮助我们解决内生性问题，并提供可靠的因果推断。
另一种方法是利用工具变量方法来构建人工变量。
工具变量方法通过引入一个与政策变量相关但与内生性变量无关的变量来评估政策的效果。
初始可行基的求法——人工变量法
2x1 x2 4 3x1 x2 1 x1, x2 0
max z1 2x1 3x2 M (x5 x6 )
2x1 x2 x3 x5 4
3x1 x2
x4 x6 1
x1,, x6 0
cj
CB XB
-M x5 -M x6
σj
-M x5
3
退化解出现的原因是模型中存在多余的 约束，使多个基可行解对应同一顶点。当出 现退化解时，有可能出现迭代计算的循环， 但可能性极其微小，为避免循环，可取下标 较小的变量换出。
8（4）先用大M法，再用两阶段法 求解LP问题：
min z x1 3x2 4x3 3x4
3x1 6x2 x3 2x4 15 6x1 3x2 2x3 x4 12 x1, x2 , x3 , x4 0
11
4x1 2x1
x2
2x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1,, x7 0
cj
0
0
0
0
0
1
1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
1
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
1
x7
1
-2
0 [1] 0
0
0
1
σj
6
-1
-3
0
1
0
0
0
x4
10
3
-2
0
1
0
0
(北邮出版社)运筹学课本答案
No .1 线性规划1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。
(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关，故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极大化的标准形式解：将约束条件中的第一行的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第二行添加人工变量x 5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令x x x 333='-''，则有max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5('-''x x 33)+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7} s.t. 0,,,,,,,1355719 13 5571916 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f3、用单纯形法解下面的线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束行1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形答：最优解为x 1 =244.375, x 2 =0, x 3 =123.125, 剩余变量x 6 =847.1875；最优解的目标函数值为858.125。
LP_LEC-4-人工变量法
两阶段法：•辅助规划； •去掉人工变量，单纯形法。
2006-9-19 14
对目标函数求max的线性规划问题, 用单纯形法计算步骤的框图
2006-9-19
15
添加松弛变量、人工变 量, 列出初始单纯形表 计算非基变量 各列的检验数бj 所有бj≤0 无可行解 唯一最优解
Y Y
基变量中有 非零的人工 变量
1 2 [1] -3 0 0 1 0 0 0 1 0
x6 0 1 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 1 -2 2 0 -1 0 0 0 0 0 1
x7 0 11 0 3/2 1 1 0 0 -1 -2 1 1 3 -5 4 1 -2 0 1
11
θi
第一阶段结果为ω=0。x6、x7是人工变量。所以解 （0，1，1，12，0)T 是线性规划问题的基可行解。进入第二阶段，在第一阶 段的最终表中去掉人工变量，添入原目标函数系数得： Cj -3 1 1 0 0 0 x4 1 2 [3] 0 1 x2 1 -2 1 x3 1 -1 σj - 3 x1 4 1 1 x2 1 0 1 x3 9 0 σj 2 0
2006-9-19 9
第二阶段： 将第一阶段最优表格中去掉人工变量，将目 标函数系数换成原问题的目标函数系数，接下去 用单纯形法计算，直到得到最优解为止。 例2：同上 第一阶段：求解辅助规划问题
minω = x6 + x7
= 11 ⎧x1 − 2x2 + x3 + x4 ⎪− 4x + x + 2x − x5 + x6 =3 ⎪ 1 2 3 s.t. ⎨ + x3 + x7 = 1 ⎪− 2x1 ⎪x1, x2 , x3 , x5 , x6 , x7 ≥ 0 ⎩
运筹学5人工变量及其处理方法
min w = x6 + x7
max w' = − x6 − x7
= 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 s.t. + x3 + x7 = 1 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L7)
法的不足 大M法的不足 法的
在用计算机求解时，不容易确定 在用计算机求解时，不容易确定M 的取值， 过大容易引起计算误差。 的取值，且M过大容易引起计算误差。 过大容易引起计算误差
二. 两阶段法
将新LP的求解过程分成两个阶段： 将新 的求解过程分成两个阶段： 的求解过程分成两个阶段 第一阶段：求解第一个 第一个LP： 第一阶段：求解第一个 ：
基变换＋ 基变换＋调基
/
[ ]
1 /
[ ]
12 3 / /
最优解： （4，1，9，0，0，0，0）T， 最优解 ， ， ， ， ， ， ） 最优值 最优值：2
人工变量x6,x7已不在基变量中，故 人工变量 不在基变量中， 基变量中 原LP的最优解为 4，1，9，0，0）T， 的最优解为 ， ， ， ， ） （ 最优值 最优值为2
辅助LP 辅助
m i =1
min w = ∑ xn +i
i =1
m
max w' = −∑ xn +i
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n + x n +1 = b1 a x + a x + L + a x + x n + 2 = b2 21 1 22 2 2n n s.t .M M M a x + a x + L + a x + x n + m = bm m1 1 m2 2 mn n x1 , x 2 , L , x n ≥ 0, x n +1 ,..., x n + m ≥ 0
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max Z 3x1 2x2 x3－Mx6 Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2x3
x5
10
2x1 2x2 x3 x7 1
x j 0, j 1,2,,7
北京邮电大学 运筹学
再用前面介绍的单纯 形法求解，见下表。
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§1.6人工变量法
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人工变量法演示 人工变量法练习
计算公式
第二章 对偶线性规划 Exit
北京邮电大学 运筹学
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则 线则性规划具有多重最优解.
无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规 划具有无界解
无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存 在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
x5
10
2x1 2x2 x3 1
x j 0, j 1,2,,5
式中x4，x5为松弛变量，x5可作为 一个基变量，第一、三约束中分 别加入人工变量，x6、，x7，目标 函数中加入―MR6―MR7一项，得 到人工变量单纯形法数学模型
肯定有最优解。
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§1.6人工变量法
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【例1.16】求解线性规划
min Z 5x1 8x2
3x1x12xx22
6 4
（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、 三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基 变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用
公式计算，如 1 3 (M ) (4) 01 (M ) 2 3 2M
(参看第二章第一节)； （2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以 理解为它能大于给定的任何一个确定数值；
§1.6人工变量法
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前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易
确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有
单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约
束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。
这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为
人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量 作桥梁的求解方法称为人工变量法。
【例1.15】用大M法解 下列线性规划
max Z 3x1 2x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x12x1x2
（3）在第二张中x7已出基，故没有计算第七列的数值，同理， 第三、四张表中x6、x7都已出基，故第六、七列没有计算； （4）第三、四张表中的基变量没有人工变量x6、x7，因而检 （验5数）中可不以含看M出；，人工变量是帮助我们寻求原问题的可行基，
第三张表就找到了原问题的一组基变量x2、x5、x3，此时人工 变量就可以从模型中退出，也说明原规划有可行解，但不能
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min Z 5x1 8x2 Mx5
3x1x12xx2
x3 6 2 x4 x5
4
x
j
0,
j
1,2,,5
2x3 2x2
10 x3
1
x1、x2、x3 0 北京邮电大学 运筹学
§1.6人工变量法 The Artificial Variable Method
【解】首先将数学模型化为标准形式
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max Z 3x1 2x2 x3
x1, x2 0
【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型
min Z 5x1 8x2
3x1 x2 x3 6
x1
2x2
x4
4
x
j
0,
j
1,2,,4
在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上M
x5一项，得到
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§1.6人工变量法
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
－5
北京邮电大学 运筹学
2 5/3 2/3 －25/3
3/5 31/5→ 11/5
13 31/3 19/3
§1.6人工变量法
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Cj
CB
XB
－M
x6
0
x5
－M
x7
λj
－M
x6
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
3
x1
－1
x3
λj
§1.6人工变量法
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3
2
－1
0
0
－M －M b
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表中λj≥0，j=1，2，…，5，从而得到最优解X=（2， 0，0，0，2）， Z=10+2M。但最优解中含有人工变 量x5≠0说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原 问题无可行解。
解的判断
唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线 规划具有唯一最优解
Cj
5
用单纯形法计算如下表所示。
－8
0
0
M
b
CB
XB
x1
x2
0
x3
3※
1
x5
1
－2
x3
x4
x5
1
0
0
6→
0
－1
1
4
M
λj
5－M↑ －8+2M
0
M
0
5
x1
1
1/3
1/3
0
2
x5
0
－7/3
－1/3 －1
1
2
M
λj
0
－29/3+7/3M －5/3+1/3M M
0
北京邮电大学 运筹学
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
x1
x2
x3
x4
x5
－4
3
1
－1
0
1
－1
2
0
1
2
－2
1
0
0
3－2M 2+M －1+2M↑ －M
0
x6
x7
1
04
0
0 10
0
1 1→
0
0
－6
5
0
－1
0
0
3→
－3
3
0
0
1
0
8
2
－2
1
0
0
1
1
5－6M 5M↑
0
－M
0
0
－6/5 3/5 －2/5 5↑
0 1 0 0
1
0
－1/5
0
0
0
3/5
1
0
1
－2/5
0
0