第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(讲义版)
高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课
∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),
即(-12,8)=(m+2n,3m+4n),
可得
������ + 2������ = -12, 解得 3������ + 4������ = 8,
������ = 32, ������ = -22.
∴������������ + ������������ + ������������=32������������-22������������.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
本例中,试以������������, ������������为一组基底表示������������ + ������������ + ������������.
解:������������=(1,3),������������=(2,4),������������=(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1),
������2
=
-
3 2
,
解得
������1 = -3,
1 2
������2
=
-
3√3 2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图所示,分别用基底i与j表示向量a,b,c,d,并求出它们 的坐标.
解:由题图可知, a=������������1 + ������������2=2i+3j, 所以a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3);
c=-2i-3j=(-2,-3);
∴������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,知一定存在实数 m,n,使得
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(解析版)2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算一、 考情分析1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二、 知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [微点提醒]1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.三、 经典例题考点一 平面向量基本定理及其应用【例1-1】 （2020·天津一中高三月考）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为 .【答案】.【解析】∵BC ＝3BE ，DC ＝λDF ， ∴13BE BC =，1DF DC λ=， 1133AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+，11AF AD DF AD DC AD AB λλ=+=+=+，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°， ∴|AB |＝|AD |＝2，AB •AD =2×2×cos120°＝﹣2， ∵AE •AF =1，∴（13AB AD +）•（1AD AB λ+）22113AD AB λ=++（113λ+）AB •AD =1，即13⨯41λ+⨯4﹣2（113λ+）＝1， 整理得10533λ=， 解得λ＝2，【例1-2】（2020·江苏省高三一模）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1223AD AB BE BC ==，，若12DE CB CA λλ=+（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝_____． 【答案】23-【解析】由题,因为12,23AD AB BE BC ==, 所以()121211232362DE DB BE AB BC CB CA CB CB CA =+=+=--=--, 所以116λ=-,212λ=-,则1223λλ+=-,故答案为:23-【例1-3】（2020·全国高三（文））在平行四边形ABCD 中，6,3AD AB ==，160,2DAB DE EC ∠==，12BF FC =，若2FG GE =，则AG BD ⋅=__________. 【答案】21【解析】如图所示：因为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =，1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ，又BD AD AB =-，所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ，6,3AD AB ==，60DAB ∠=，所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ，代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 【例1-4】（2020·辽宁省高三其他（文））已知ABC ，若点D 满足34AB ACAD +=，且()BD CD λλ=∈R ，则λ=________． 【答案】13-【解析】由34AB ACAD +=，可得43AD AB AC =+， 所以，33AD AD AB AC +=+，即()3AD AB AC AD -=-， 所以，3BD DC =，故13BD CD =-．【例1-5】（2020·天津高三二模）在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =，2DF FB =，则AE AF ⋅=_______.【答案】52【解析】由题意，如图所示，设,AB a AD b ==，则2,1a b ==， 又由CE ED =，2DF FB =，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE b a =+，221()333AF b a b a b =+-=+， 所以22121151()()233363AE AF a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+221515212cos6013632=⨯+⨯⨯+⨯=． 故答案为：52规律方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 考点二 平面向量的坐标运算【例2-1】 （2020·天津市第一百中学高三其他）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE BC λ=，DF DC μ=，若522λμ+=，则AE AF ⋅的最小值__________． 【答案】3 【解析】cos1202AB AD AB AD ⋅=⋅=-()()2132AE AF AB BC AD DC λμμμ⋅=+⋅+=-+,2211473243μμμ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭.由于1022,12λμ≤≤≤≤,在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,故当12μ=时取得最小值为3.【例2-2】（2020·陕西省高三其他（理））已知(2,3)AB =，(1,4)AC =-，则AB BC ⋅=_____． 【答案】23-【解析】因为(2,3)AB =，(1,4)AC =-， 所以()1,7BC AC AB =-=--， 则()127323AB BC ⋅=-⨯+-⨯=-， 故答案为：23-.【例2-3】（2020·福建省高三其他（理））已知向量()2,1a =-，()1,b k =，若()2a a b ⊥+，则k =______. 【答案】12 【解析】()2,1a =-，∴()24,2a =-，∴()25,2a b k +=-+，()2a a b ⊥+，∴()()21020a a b k ⋅+=--+=，解得12k =，故答案为：12.【例2-4】（2020·安徽省高三三模（文））已知向量()1,2a =-，(),1b m =-，()3,2c =-，若()a b c -⊥，则m 的值是_____． 【答案】3- 【解析】()1,2a =-，(),1b m =-，()1,3a b m ∴-=--，()3,2c =-，且()a b c -⊥，()()()3132390a b c m m ∴-⋅=⨯--+⨯-=--=，解得3m =-.【例2-5】（2020·浙江省杭师大附中高三其他）QAB 是边长为6的正三角形，点C 满足QC mQA nQB =+，且0m >，0n >，234m n +=，则QC 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，∴ ()30A -,，()3,0B ，(0,33Q ， ∴ (=333QA --，，(=333QB -， ∴ ()()()=3,333,3333,3333QC mQA nQB m m n n n m m n =+--+-=---∴()()22222=927363636QC n m m n m n mn -++=++， ∵ 0m >，0n >，234m n += ∴ 423mn -=，()0,2m ∈， ∴()()222222=927363636=281664QC n m m n m n mn m m -++=++-+，∴ 由二次函数的性质知2432,1447QC ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴ 1221QC ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭规律方法 1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. 考点三 平面向量共线的坐标表示【例3－1】（2020·河南省高三三模（文））已知向量a (3,),b (6,8)==m 若a 与b 平行，则m ＝_____． 【答案】4【解析】由题意可知若a 和b 平行， 则386m ⨯=，解得：4m =【例3－2】（2020·辽宁省高三其他（文））设向量()(),9,1,a x b x =-=-，若向量a 与b 同向，则x ＝_______. 【答案】3【解析】若向量a 与b 同向,则29x -=-，解得3x =±， 又当3x =-时，a 与b 反向，所以3x =.【例3－3】（2020·四川省阆中中学高三其他（文））已知向量()3,1a =，(),2b x =-，且a ，b 共线，则a b ⋅=______；【答案】－20【解析】由题知：a ，b 共线，所以60x --=，解得6x =-. 所以()6,2b =--，182=20a b ⋅=---.【例3－4】（2020·山东省高三其他）已知()1,3a =，()2,b k =-，且()()2//3a b a b +-，则实数k =__________．【答案】6-【解析】由题意2(3,32)a b k +=-+，3(5,9)a b k -=-，由(2)//(3)a b a b +-，得3(9)5(32)k k --=+，解得6k =-.【例3－5】（2020·广东省高三其他（文））已知向量(),1a k =-，()4,2b =-，若a 与b 共线，则实数k 的值为_____． 【答案】2【解析】根据题意，向量(),1a k =-，()4,2b =-， 若a 与b 共线，则有()()2140k --⨯-=，解得2k =；规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.[方法技巧]1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式.4.注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.5.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.四、 课时作业1．（2020·广西壮族自治区高三一模（文））已知向量()()1,8,2,4xa b ==，若a b ，则x =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】由a b ，得4820x -⨯=，解得1x =-.2．（2020·广东省深圳第三高中高三学业考试）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A ．()5,7 B ．()5,9 C ．()3,7 D ．()3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.3．（2020·江西省江西师大附中高三三模（文））已知向量()2,1AB =-，()3,2AC =-，则CB =（ ）A B C D 【答案】D【解析】因为向量()2,1AB =-，()3,2AC =-， 所以(5,3)CB AB AC =-=-，所以25CB ==4．（2020·河南省高三其他（文））已知向量()1,1a =，()1,3b λ=-，且//a b ，则λ=（ ） A ．4 B ．3C ．12-D ．2-【答案】A【解析】因为()1,1a =，()1,3b λ=-，又因为//a b ， 所以314λλ=-⇒=.5．（2020·北京八中高三月考）已知向量(1,3),(1,0),(3,).a b c k ==-=若2a b -与c 共线，则实数k =（ ）A ．0B ．1C D ．3【答案】B 【解析】2(3,3)a b -=因为2a b -与c 共线，所以30k =，解得：1k =6．（2020·河南省高三其他（文））设()1,a λ=，()2,3b =-，若//(2)a a b -，则λ=( ) A ．32-B ．32C ．1D ．1或5【答案】A【解析】因为()()()21,22,35,6a b λλ-=--=-，又()//2a a b -，所以()560λλ--=， 解得32λ=-. 7．（2020·河南省高三其他（理））已知向量()3,1a =，()1,3b m =-，若向量a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()1-+∞B ．()1++∞C ．(()1133,+++∞D ．(()1133,+++∞【答案】C 【解析】因为()3,1a =，()1,3b m =-，所以()313a b m ⋅=-+；因为向量a ，b )130m -+>，解得1m >又当向量a ，b 共线时，()10m -=，解得：1m =+所以实数m 的取值范围为(()1133,+++∞.8．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，ABC 满足“勾3股4弦5”，且3AB =，E 为AD 上一点，BE AC ⊥.若BE BA BC λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．925-B ．725C ．1625D ．1【答案】B【解析】由题意建立如图所示直角坐标系因为3AB =，4BC =，则()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()0,3BA =，()4,3AC =-，设(),3BE a =，因为BE AC ⊥，所以490AC BE a ⋅=-=，解得94a =.由BA BE AC λμ=+，得()()90,3,34,34λμ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以940,4333,λμλμ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得16,259,25λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以725λμ+=，故选：B. 9．（2020·四川省眉山市彭山区第二中学高三其他（文））若向量，，则等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，所以.10．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（文））“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，ABC 满足“勾3股4弦5”，且3AB =，E 为AD 上一点，BE AC ⊥.若BE BA BC λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．107B ．98C ．2516D ．2918【答案】C【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为3AB =，4BC =，则()0,3A ，()0,0B ，()4,0C . 设(),3E a ，则()4,3AC =-，(),3BE a =， 因为BE AC ⊥，所以490AC BE a ⋅=-=， 解得94a =， 由BE BA BC λμ=+，得()()9,30,34,04λμ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以94,43 3.μλ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得1,916λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2516λμ+=. 11．（2020·四川省仁寿第二中学高三三模（理））在矩形ABCD 中，1AB =，AD =P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ-的最小值为（ ）AB ．1C ．-1D．【答案】C【解析】以A 为原点，直线AB ，AD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则(1,0)B，C，D直线ED l y +C 与直线BD 相切，所以圆C的半径r d ===，圆C 的方程为223(1)(4x y -+=，设点1P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又AP AB AD λμ=+λ=（），∴1cos 22λθθ⎧=+⎪⎪⎨=，所以1111sin sin cos 1226πλμθθθθθ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即52,6k k Z πθπ=+∈时，λμ-取得最小值1-． 故选：C ．12．（2020·浙江省高二期末）如图，2,2,4OA OB OC ===，OA 与OB 的夹角为135，若4OC OA OB λ=+，则λ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】∵||2,||2,||4,OA OB OC OA ===与OB 的夹角为135°，∴22222OA OB ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 若4OC OA OB λ=+，则2222168OC OA OB OA OB λλ=++⋅ ∴16＝4λ2+16×2+8λ×（﹣2）， ∴λ＝213．（2020·全国高三其他（文））在直角梯形中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆弧中点为(如图所示).若，其中，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，∵，∴，∴，解得：，则，故选B.14．（2020·全国高三其他（文））向量(1,1)a =，(2,5)b =，(3,)c x =，满足条件(8)a b -．c 30=，则x =() A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】向量()()1,1,2,5a b ==，则()()()8?=63?3,18330a b c x x -=+=，， 故解得4x =.15．（2020·山西省高三月考（理））已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．已知平面内点(1,2)A ，点(12,22)B +-．把点B 绕点A 顺时针方向旋转4π后得到点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,3)- B ．(0,1)-C ．(3,1)-D ．(4,1)【答案】B【解析】由已知可得(2,22)AB=-，把点(12,222)B+-绕点A逆时针方向旋转()4π-后，得()2cos22sin,2sin22cos1,34444APππππ⎛⎫=---=--⎪⎝⎭，∴点A（1，2），∴点P的坐标为()0,1-．16．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模（理））已知向量18,2a x⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),1b x=其中0x>，若()()2//2a b a b-+，则x的值为（）A．4B．8C．0D．2【答案】A【解析】因为18,2a x⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),1b x=，1282,22a b x x⎛⎫∴-=--⎪⎝⎭，()216,1a b x x+=++.()()2//2a b a b-+，()()()18211622x x x x⎛⎫-+=+-⎪⎝⎭，则254002x-+=，解得4x=±，又0x>，因此，4x=，故选：A.17．（2020·山西省高三月考（理））如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的动点（P，Q不取端点），且DQ AP=．设PCQθ∠=，则cosθ的范围是（）A．132⎛⎝⎦B．23⎝⎦C．14,25⎛⎤⎥⎝⎦D．245⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】分别以,AB AD所在的直线为,x y轴建立如图所示的直角坐标系，如图所示，设DQ AP a ==，则(,0),(0,1),(1,1)P a Q a C -， 所以(1,1),(1,)CP a CQ a =--=--，可得(1,1)(1,)11CP CQ a a a a ⋅=--⋅--=-+=，2222,1CP a a CQ a =-+=+，所以22432cos 2212322CP CQ CP C a a Qa a a a a θ===-+⋅+-+-+⋅⋅,设()4322322f a a a a a =-+-+，（其中01a <≤）则()322136624()(1)2f a a a a a a a '=-+-=-++，当102a ≤<时，()0f a '<，()f a 单调递减， 当112a <≤时，()0f a '>，()f a 单调递增， 所以当12a =时，()f a 取得最小值，此时125()216f =，又由()()012f f ==，即函数()2f a <，所以24,5()f a ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，即24cos ,5θ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，即cos θ的取值范围是24,25⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：D.18．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11D ．12【答案】D【解析】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()313199366212n m n m m n m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.19．（2020·四川省高三期末（文））设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ） A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC - D ．2133AB AC -+ 【答案】A【解析】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+，2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+，11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭，20．（2020·全国高三月考（理））设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】A【解析】如图，取BC中点D，13EB AB=，则2OBOC OD+=，∴()332AB OB OC OD=+=，∵13EB AB=，∴EB OD=，∴3ABC ABCBOC BECS SS S∆∆∆∆==.21．（2020·重庆高一期末）已知P为ABC在平面内的一点，2,||4BP PC AP==，若点Q在线段AP上运动，则(2)QA QB QC⋅+的最小值为（）A．92-B．12-C．32-D．4-【答案】B【解析】2BP PC=，()++2+2+QP QB BP QB PC QB PQ QC∴===，1233QP QB QC∴=+，32QP QB QC∴=+，(2)3QA QB QC QA QP∴⋅+=⋅=3||||QA QP-⋅，设||[0,4]QA m=∈，则()22(2)3(4)312321212QA QB QC m m m m m⋅+=--=--=-≥-（当[]20,4m=∈时取等号）.所以(2)QA QB QC⋅+的最小值为12-.故选：B.22．（2020·安徽省舒城中学高一月考（理））在ABC中，已知9·,3,3,2AB AC AC AB M N===、分别是BC边上的三等分点，则·AM AN的值是（）A．112B．132C．6 D．7【答案】B【解析】∵9·2AB AC =，3,3AC AB == ∴9cos 33cos 2AB AC AB AC A A ⋅==⨯=∴1cos 2A =∵(0,)A π∈ ∴3A π=∴ABC 是等边三角形，即3BC =. ∵M N 、分别是BC 边上的三等分点 ∴13AM AB BM AB BC =+=+， 1133AN AC CN AC CB AC BC =+=+=-∴11()()33AM AN AB BC AC BC ⋅=+⋅- 2111339AB AC AB BC BC AC BC =⋅-⋅+⋅-∵933cos602AB AC ⋅=⨯︒=，933cos1202AB BC ⋅=⨯⨯︒=-，933cos602BC AC ⋅=⨯︒= ∴11()()33AM AN AB BC AC BC ⋅=+⋅- 911111333()331232322=-⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-= 23．（2020·全国高三其他（理））已知平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30°，且23OC =OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】D【解析】由题意，可得OC 在AOB ∠的角平分线上，所以()OC k OA OB =+, 再由OC OA OB λμ=+可得λμ=，即()OC OA OB λ=+，再由23OC =，得222222023()(2)(1211cos601)OA OB OA OA OB OB λλλ=+=+⋅+=+⨯⨯+， 解得2λ=，故2μ=，所以4λμ+=，故选D.24．（2020·辽宁省高三月考（理））如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【答案】B【解析】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为3()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,1，，A J C⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ m n m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302n m m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩ 所以23m n = 故选：B .25．（2016·河北省高三一模（理））延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3【答案】D【解析】设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．26．（多选题）（2020·上海高三专题练习）在下列向量组中，不能把向量(3,2)a =表示出来的是（ ） A ．1(0,0)e =，2(1,2)e =B ．1(1,2)e =-，2(5,2)e =-C ．1(3,5)e =，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =-，2(2,3)e =- 【答案】ACD【解析】对A ，零向量与任何向量都是共线向量，故 1(0,0)e =，2(1,2)e =不能做为一组基底，故A 不能； 对B ，(1)(2)52-⨯-≠⨯，∴ 1(1,2)e =-，2(5,2)e =-不共线，故B 能．对C ，∵31056⨯=⨯，∴ 1(3,5)e =，2(6,10)e =不能做为一组基底，故C 不能．对D ，23(2)(3)⨯=-⨯-，∴1(23)e =-，2(2,3)e =-不能做为一组基底，故D 不能．27．（多选题）（2020·山东省高三其他）已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()//a b c -，下列说法正确的是（ ）A ． a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．24m n +=D ．mn 的最大值为2 【答案】CD【解析】由题意知，10a b ⋅=>，所以a 与b 的夹角为锐角，故选项A 错误；向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅==，故选项B 错误； ()1,2a b -=，因为()//a b c -，,m n 均为正数，所以c 为非零向量，且24,24n m m n -=-+=，故选项C 正确；由基本不等式知，42m n =+≥2mn ≤，当且仅当22m n ==时取等号，故mn 的最大值为2，故选项D 正确.28．（多选题）（2019·江苏省高一期末）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是 （ ）A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(−1,0)D ．(0,−1)【答案】AC【解析】11221212=(2,2)a e e λλλλλλ=+-++若(1,0)a =,则12122120λλλλ-+=⎧⎨+=⎩,解得1212,55λλ=-=,120λλ<,满足题意; 若(0,1)a =,则12122021λλλλ-+=⎧⎨+=⎩,解得1221,55λλ==,120λλ>,不满足题意; 因为向量(1,0)-与向量(1,0)共线,所以向量(1,0)-也满足题意.29．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知向量(,3)a x =，(3,)b x =-，则下列叙述中，不正确是（ ） A ．存在实数x ，使a bB ．存在实数x ，使()a b a +C ．存在实数x ，m ，使()ma b a +D ．存在实数x ，m ，使()ma b b + 【答案】ABC【解析】由a b ，得29x =-，无实数解，故A 中叙述错误；(3,3)a b x x +=-+，由()a b a +∥，得3(3)(3)0x x x --+=，即29x =-，无实数解，故B 中叙述错误；(3,3)ma b mx m x +=-+，由()ma b a +∥，得(3)3(3)0m x x mx +--=，即29x =-，无实数解，故心中叙述错误；由()ma b b +∥，得3(3)(3)0m x x mx -+--=，即()290m x +=，所以0m =，x ∈R ，故D 中叙述正确．30．（多选题）（2020·山东省高三三模）已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=，则（ ） A ．//a bB ．()a b c +⊥ C ．a b c +=D ．53c a b =+ 【答案】BD【解析】由题意22(3)(1)0⨯--⨯-≠，A 错； ()()()1,1,110a b a b c a b c +=-+⋅=-+=+⊥，故.B 正确，C 错误； 53a b +5(2,1)3(3,2)(1,1)c =-+-==，D 正确．31．已知(1,0),(1,1),(1,0)a b c ===-，求λ和μ，使c a b λμ=+.【解析】(,0)(,)(,)a b λμλμμλμμ+=+=+10λμμ+=-⎧∴⎨=⎩，解得1,0λμ=-= 32．（2020·上海高三专题练习）(2,5)OA =，(3,1)OB =，(6,3)OC =，在线段OC 上是否存在点M ，使MA MB ⊥？若存在，求出点M 的坐标．【解析】设(01)OM tOC t =≤≤，则(6,3)OM t t =．则(26,53)MA OA OM t t =-=--，(36,13)MB OB OM t t =-=--．∵0MA MB ⋅=，∴(26)(36)(53)(13)0t t t t --+--=．整理得24548110t t -+=，解得13t =或1115t =． ∴点M 的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 33．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））已知(1,0)a =，(2,1)=b .（1）求3a b +；（2）当为k 何实数时，a kb -与3a b +平行.【解析】(1)由题, ()()()31,06,37,3a b +=+=.故2373a b +=+=(2) ()()()1,02,112,a kb k k k -=-=--,又由(1)有()37,3a b +=.因为a kb -与3a b +平行,故()31270k k -+=,解得3k =-.34．（2020·上海高三专题练习）如图，在ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，||1||2BE EA =，||1||CF FA =，CE 与BF 交于点G ，CG CE λ=，BG BF μ=，求λ和μ的值．【解析】因为||1||2BE EA =，||1||CF FA = 所以13BE BA =，23EC EA AC BA AC =+=+ 因为BG BE EG =+且CG CE λ=，BG BF μ= 所以1(1)3BF BA EC μλ=+-，即11(1)23BA AC BA μλ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭23BA AC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()12133112μλμλ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得34λ=，12μ= 35．（2019·浙江省学军中学高三期中）已知在ABC 中，1AB =，2AC =． （1）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-； （2）若点E 为BC 的中点，求2211AE BC +的最小值． 【解析】（1）因为AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC == 所以可得2133AD AB AC =+， 所以()21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭()20AB AC ⋅-=； （2）在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得 222cos 2AE BE ABAEB AE BE+-∠=，222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=，而BE CE =，cos cos AEB AEC ∠=-∠， 所以得到22222222AE BE AB AE CE AC AE BEAE CE +-+-=- 整理得：224AE BC +()22210AB AC =+= 22221111110AE BC AE BC ⎛⎫ ⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭()224AE BC + 2222414110BC AE AE BC ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 222241951010BC AE AE BC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭≥ 当且仅当2BC AE =时，等号成立.。
4.2向量的分解与坐标运算名师课件
交点P的坐标。
P(3, 3)
例4. 平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满 足 OC αOA βOB ，其中α, β∈R，且 α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）D A．3x+2y－11=0 B．(x－1)2+(y－2)2=5 C．2x－y=0 D．x+2y－5=0
D
C
P
A
M
B
(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)，
AC AD DB (3, 5) (6, 0) (9, 5) (x01, y05)
得 x0＝10 y0＝6 即点 C(10，6)
(2) ∵ AB AD
∴点 D 的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1) ∵M 为 AB 的中点 ∴P 分 BD 的比为 1
4.2向量的分解与坐标运算
中国人民大学附属中学
（1）平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量 i , j 作为基底. 由 平面向量的基本定理知，该平面内的任一
向量a 可表示成 a xi yj ，由于 a与数对 (x, y)是一一对应的，因此把(x, y)叫做向量a 的坐标，记作 a =(x, y)，其中x叫作 a 在x 轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标
因此， x n 0 ，也即 x 的取值范围是 ,0
当 x 1 时， y m n m 1 ，所以，
2
2
此时， y 的取值范围是 (1 , 3) ． 22
④若a x1, y1,b x2, y2 ,则 a // b x1y2 x2 y1 0
例1.已知平面向量a=(x, 1) ，b=(－x, x2)， 则向量a+b ( C )
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
[例2] 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求下列向量的坐 标：(1)2a＋3b; (2)a－3b; (3)12a－13b.
[思路点拨] 先进行数乘向量的运算，再进行坐标加减运 算．
[精解详析] (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． (3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1) ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23)．
[精解详析] 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， c＝(c1，c2)，则 a1＝|a|cos 45°＝2× 22＝ 2， a2＝|a|sin 45°＝2× 22＝ 2； b1＝|b|cos 120°＝3×(－12)＝－32，
b2＝|b|sin 120°＝3× 23＝323； c1＝|c|cos(－30°)＝4× 23＝2 3， c2＝|c|sin(－30°)＝4×(－12)＝－2. 因此a＝( 2， 2)，b＝(－32，323)，c＝(2 3，－2).
3．向量i，j，0的坐标表示 i＝ (1，0) ，j＝ (0，1) ，0= (0，0) ．
若a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. 问题1：a，b的坐标分别是什么？ 提示：(x1，y1)，(x2，y2)． 问题2：试求3a和2a－b. 提示：3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j. 2a－b＝(2x1－x2)i－(2y1－y2)j.
6．一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5，7)，(－3，5)，
(3，4)，则第四个顶点的坐标不可能是
()
A．(－1，8)
B．(－5，2)
C．(11，6)
D．(5，2)
向量坐标分解知识点总结
向量坐标分解知识点总结一、向量的概念向量是数学中一个重要的概念，它可以用来表示空间中的一个点或者位置。
向量通常用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在二维空间中，一个向量可以用两个实数表示，而在三维空间中，一个向量可以用三个实数表示。
通常我们用向量的坐标来表示一个向量，比如在二维空间中，我们可以用(x, y)表示一个向量，而在三维空间中，我们可以用(x, y, z)表示一个向量。
二、向量坐标分解的概念在空间中，一个向量可以有无数个分解，其中一个重要的分解就是向量的坐标分解。
向量的坐标分解可以将一个向量分解为若干个方向相同的向量的和。
具体的，对于一个向量v，如果有另外两个向量u和w，使得v=u+w，那么我们称v可以被u和w分解。
向量的坐标分解能够帮助我们更好地理解向量的性质和运算。
三、二维向量的坐标分解在二维空间中，一个向量可以用两个实数表示，比如向量v可以表示为v=(x, y)。
如果我们希望将向量v分解为两个方向相同的向量u和w，那么我们可以根据向量的投影来分解。
设向量v的坐标为v=(x, y)，我们可以定义一个单位向量i=(1, 0)和一个单位向量j=(0, 1)。
那么根据向量的投影，我们可以得到v = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xi + yj这就是向量v的坐标分解，其中向量u=xi，向量w=yj。
可以看出，向量v可以被向量i和向量j分解为两个方向相同的向量的和。
四、三维向量的坐标分解在三维空间中，一个向量可以用三个实数表示，比如向量v可以表示为v=(x, y, z)。
如果我们希望将向量v分解为两个方向相同的向量u和w，同样可以根据向量的投影来分解。
设向量v的坐标为v=(x, y, z)，我们可以定义一个单位向量i=(1, 0, 0)、一个单位向量j=(0, 1, 0)和一个单位向量k=(0, 0, 1)。
向量的分解与向量的坐标运算
x1y2－x2y1＝0 . 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔____________________
[常用结论与微点提醒]
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向 量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
a1e1＋a2e2 的一对实数a1，a2，使a＝__________.
基底 ，记为{e1， 其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_________ e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
第2节
向量的分解与向量的坐标运算
最新考纲
1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解
及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用
坐标表示的平面向量共线的条件.
知识梳理
1.平面向量的基本定理
存在唯一 不平行 的向量，那么该平面内的任一向量a， 如果e1和e2是一平面内的两个_______ _______
2.(2018· 沈阳月考)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于( A.(5，7) B.(5，9)
)
C.(3，7)
D.(3，9)
解析 2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D. 答案 D
→ ＝(－4， → ＝( 3.(2015· 全国Ⅰ卷)已知点 A(0， 1)， B(3， 2)， 向量AC －3)， 则向量BC A.(－7，－4) C.(－1，4)
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则C→M＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20； C→N＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2， 所以 M(0，20)，N(9，2)， M→N＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
方法二：设点 O 为坐标原点，则由C→M＝3C→A，C→N＝2C→B， 可得O→M－O→C＝3(O→A－O→C)，O→N－O→C＝2(O→B－O→C)， 从而O→M＝3O→A－2O→C，O→N＝2O→B－O→C， 所以O→M＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， O→N＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)， 即点 M(0，20)，N(9，2)， 故M→N＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
即(－1，2)＝(x＋y，x－y)， ∴－ 2＝1＝ x－x＋ y，y， 解得xy＝＝－12，32. ∴c＝12a－32b.
(3)方法一：由 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得C→A＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， C→B＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)， 所以C→M＝3C→A＝3(1，8)＝(3，24)， C→N＝2C→B＝2(6，3)＝(12，6)．
(2)(2014·济南高一检测)若向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则 c ＝________(用 a，b 表示)；
(3)已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 及M→N的坐标．
解析： (1)A→B＝(3－1，2－2)＝(2，0)， ∵a＝A→B， ∴xx＋ 2－33＝x－2，4＝0，解得 x＝－1. (2)设 c＝xa＋yb， ∴(－1，2)＝x(1，1)＋y(1，－1)，
向量的正交分解与向量的直角坐标运算ppt文档
3．向量的直角坐标运算 向量的加、 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_)，a－b＝
_(a_1_－__b_1， __a_2_－__b_2_) ，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐 减法
标的和与差 实数与向量 若 a＝(a1，a2)，λ∈R，则 λa＝_(_λ_a_1，__λ_a_2_)__，即数乘向量的积的
解得yx＝＝8－，1，
所以点 B 的坐标为(－1,8)．
(3)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)， 所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1,1)．
[答案] (1)C (2)B (3)(1，－1) (1,1) (－1,1)
[规律方法] 求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量 的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标 减去始点坐标即得该向量的坐标．
B.4，－12
C.－1，－32
D．(8,1)
(3)若 A，B，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求A→B＋2B→C，B→C－ 12A→C的坐标． [思路探究] (1)可利用向量加法的三角形法则将D→A分解为D→C＋C→B＋B→A来求 解． (2)可借助A→B＝O→B－O→A来求12A→B坐标． (3)可利用A→B＝(xB－xA，yB－yA)来求解．
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
学习目标：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2.会用坐标表示平 面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3.会用坐标表示平面向量共线的条件， 能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、 难点)
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第28讲-向量的分解与向量的坐标运算
一、 考情分析
1.了解平面向量的基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
二、 知识梳理
1.平面向量的基本定理
如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|
4.平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
[微点提醒]
1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y
2.
2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
三、 经典例题。