线性代数：初等变换与初等矩阵
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初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
线性代数 第二章第三节
Er Ps , L , P2 , P1 AQ1 , Q2 , L , Qt = 0 Q P 0 0
18
推论2：对于任意的m× n 矩阵 A 存在m 阶可逆 ， Er 0 方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使得 PAQ = . 0 0 推论3：n 阶矩阵 A可逆的充要条件为A 等价 的
1
一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组
1 2 3
1↔ 2
−2 x1 + 3 x2 + x3 = −5 x1 − x2 − x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3
−2 3 1 −5 1 −1 −1 7 0 1 2 10 1 −1 −1 7 −2 3 1 −5 0 1 2 10
16
解： = E (1, 3) P
Q = E (2, 3)均为初等矩阵
P左乘 A相当于 A的第1，行交换， P 20 左乘 A相当于 3 把 A的第1，行交换 20次，其结果仍为 A； 3 Q右乘 A相当于 A的第 2， 3列交换， Q 21左乘 A相当于 把 A的第 2， 3列交换 21次，其结果为 A的2，3列交换位置。
1 0 0 E （2,3） 0 0 1 = 0 1 0
11
2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )
矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0
13
2、初等矩阵的性质 、 1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2）初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。
E (i , j ) = − 1
18
推论2：对于任意的m× n 矩阵 A 存在m 阶可逆 ， Er 0 方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使得 PAQ = . 0 0 推论3：n 阶矩阵 A可逆的充要条件为A 等价 的
1
一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组
1 2 3
1↔ 2
−2 x1 + 3 x2 + x3 = −5 x1 − x2 − x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3
−2 3 1 −5 1 −1 −1 7 0 1 2 10 1 −1 −1 7 −2 3 1 −5 0 1 2 10
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解： = E (1, 3) P
Q = E (2, 3)均为初等矩阵
P左乘 A相当于 A的第1，行交换， P 20 左乘 A相当于 3 把 A的第1，行交换 20次，其结果仍为 A； 3 Q右乘 A相当于 A的第 2， 3列交换， Q 21左乘 A相当于 把 A的第 2， 3列交换 21次，其结果为 A的2，3列交换位置。
1 0 0 E （2,3） 0 0 1 = 0 1 0
11
2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )
矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0
13
2、初等矩阵的性质 、 1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2）初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。
E (i , j ) = − 1
线性代数课件--05矩阵的初等变换与初等矩阵-PPT精品文档
课件 7
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
2_4_1初等变换和初等矩阵
ci c j
1.
可见, E P[i,j]
2.
1 1 kri ,k 0 E P[i(k)]= k 第i行 1 1
kci ,k 0
可见,E P[i(k)]
3.
1 第i行 1 k ri +krj E P[i+j(k)]= 第j行 1 1
A AP[i j (k )]
c j kci
ri krj
的初等变换。
例13
解
1 2 3 设 A , 对A做初等变换将其简化. 4 5 6
1 r r2 4 r1 1 1 2 3 2 3 3 2 1 2 3 r1 2r2 1 0 1 A 4 5 6 0 3 6 0 1 2 0 1 2
α1 α2 A α m
，A 1 , 2 ,, n ,
则有
1 α1 α1 αi α j 0 1 ri rj A P[i,j]A = = α j αi 1 0 α α 1 n n
2－4－1 初等变换与初等矩阵
§4 初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在 线性代数中有着极其广泛的应用。
定义2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一,
第二, 第三种初等行(列)变换：
1. 互换矩阵的某两行(列);
2. 某行(列)乘以非零常数; 3. 某行(列)的倍数加到另一行(列). 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 当矩阵A经过初等变换变为B时, 记为AB.
1.
可见, E P[i,j]
2.
1 1 kri ,k 0 E P[i(k)]= k 第i行 1 1
kci ,k 0
可见,E P[i(k)]
3.
1 第i行 1 k ri +krj E P[i+j(k)]= 第j行 1 1
A AP[i j (k )]
c j kci
ri krj
的初等变换。
例13
解
1 2 3 设 A , 对A做初等变换将其简化. 4 5 6
1 r r2 4 r1 1 1 2 3 2 3 3 2 1 2 3 r1 2r2 1 0 1 A 4 5 6 0 3 6 0 1 2 0 1 2
α1 α2 A α m
，A 1 , 2 ,, n ,
则有
1 α1 α1 αi α j 0 1 ri rj A P[i,j]A = = α j αi 1 0 α α 1 n n
2－4－1 初等变换与初等矩阵
§4 初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在 线性代数中有着极其广泛的应用。
定义2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一,
第二, 第三种初等行(列)变换：
1. 互换矩阵的某两行(列);
2. 某行(列)乘以非零常数; 3. 某行(列)的倍数加到另一行(列). 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 当矩阵A经过初等变换变为B时, 记为AB.
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
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初等变换 初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
结论:初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵 结论 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵. 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵
的逆变换是其本身, 变换 ri r j 的逆变换是其本身, 则 Rij
1 1
( = Rij ; C ij
= C ij )
1 变换 ri × k 的逆变换为 ri × , k 则 Ri ( k )
第2.5节 初等变换与初等矩阵 节
一.矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 二.初等矩阵 初等矩阵 三.用矩阵的初等变换求逆矩阵 用矩阵的初等变换求逆矩阵 四.小结 思考题 小结
一,矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
(1) 对调两行(对调 i , j 两行, 记作ri rj); 对调两行( (2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;
A 结论 对于任何矩阵 m×n ,总可经过有限次 阶梯形和行标准形 . 初等行变换把他变为行
行标准(行最简 形矩阵再经过初等列变 行标准 行最简)形矩阵再经过初等列变 行最简 可化成标准形. 换,可化成标准形.
1 0 例如, 例如, B 5 = 0 0
c 3 c4 c4 + c1 + c2
r2 r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 3 0 0 0
都称为行阶梯形矩阵, 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵, 且B5为行标准形矩阵
特点: 特点: ),可划出 (1),可划出 ), 一条阶梯线,线 一条阶梯线, 的下方全为零; 的下方全为零; ),每个台 (2),每个台 ), 只有一行, 阶 只有一行,
1 r3 4 r0 B3 = r4 2r3 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
12 12 14 4 r 1 1 1 1 10 03 r4 = B4 00 20 16 3 2r 3 r4 00 10 03 0 0 1 0 1 1 0
0 0
r1 r2
r3 r2
r1 2r3 r2 5r3
r1 2r3
r2 5r3
0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
2 r2 ÷ 2) 1 0 0 3 ( 0 1 0 2 3 , r3 ÷ 1) ( 0 0 1 1 3
特点: 特点:F的左上角是一个单位矩 阵,其余元素全
为零 . m × n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Ir F = O
O O m× n
三个数唯一确定, 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定,其中 r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数 .
二,初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛. 用广泛
Q
即
A1 ( A B ) = ( I A 1 B )
( A B)
初等行变换
I
A B
1
例2 求矩阵 X , 使 1 2 A = 2 2 3 4 解
AX = B,其中 3 2 5 1 , B = 3 1 . 4 3 3
若 A 可逆,则 X = A1 B . 可逆,
1 2 3 2 5 ( A B) = 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
等价关系的性质: 等价关系的性质:
(1) 反身性 A A;
(2)对称性 若 A B , 则 B A; (3)传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价. 具有上述三条性质的关系称为等价.
定理2 为可逆方阵, 定理2 设A为可逆方阵,则存在有限个初等 方阵 P1 , P2 ,L, Pl , 使A = P1 P2 L Pl . 证
1 1 1 2 1 2 1 4 6 2 2 4 6 9 7 9 1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7 4 2 = B1 2 9
r1 r2
r3 ÷ 2
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 = 3 2 0 5 1 r4 1 3r 3 0 3 9 6
1 4 1 2 2 1 2 2 1 2 3 5 3 7 9 4
r2 4 r3 r3 0 2r1 = B2 r4 6 3r1 3
r2 ÷ 2 r3 5r2 r4 3r2
1 0 0 0
1 2 1 1 1 1 0 0
4 0 = B3 0 2 6 0 1 3
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行 ( ri × k ),得初等 矩阵Ri (k ) .
1 O 1 Ri ( k ) = k 1 O 1
←第i 行
3,以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行 (列)上去
以 k 乘 I 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + kr j ) [或以 k 乘 I 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci ),
0 1 0 1 1 0 0 0
4 3 0 1 3 0 0 0
1 0 0 c5 4c1 3c2 + 3c3 0
4 0 0 0 1 0 4 1 0 0 1 0 3 3 F = 0 1 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
I 定义5 定义5 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 方阵称为初等矩阵. 方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵
对调两行或两列; 1. 对调两行或两列; 乘某行或某列; 2. 以数 k ≠ 0 乘某行或某列; 3. 以数 k 乘某行(列)加到另一 行(列)上去. 乘某行( 上去.
1 0 0 0
0 1 0 4 1 1 0 3 = B5 0 0 1 3 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面 台阶数即是非零行的行数, 的第一个元素为非零元, 的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非 零元. 零元.
B 也称为行最简形矩阵, 行标准形矩阵 5也称为行最简形矩阵, 即非 1 列 零行的第一个非零元为,且这些非零元所在的 . 的其他元素都为零
1 O ← 第 i行 1 L k = O ← 第 j行 1 O 1
Ri + j ( k )
三.用矩阵的初等变换求逆矩阵 用矩阵的初等变换求逆矩阵
定理1 定理1 设 A 是一个 m×n 矩阵,对 A 施行一 × 矩阵, 次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 次初等行变换, 阶初等矩阵; 施行一次初等列变换, 阶初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于 阶初等矩阵. 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
利用初等变换求逆阵的方法: 利用初等变换求逆阵的方法:
当 A ≠ 0时,由 A = P1 P2 L Pl,有
Pl1 Pl1 L P11 A = I , 及 1
∴ Pl1 Pl1 L P11 ( A I ) 1 Pl1 Pl1 L P11 I = A1 , 1
= Pl1 Pl1 L P11 A Pl1 Pl1 L P11 I 1 1
1, 对调两行或两列 两行, 对调 I 中第 i , j 两行,即 ( ri r j ),得初等方阵
1 O 1 0 L 1 1 Rij = M O M 1 L 1 0 1 O 1
←第i 行
←第 j 行
2,以数 k ≠ 0 乘某行或某列
1 0 如 0 0
0 0 1 1 0 7 , 0 1 2 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1 0 4 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
用矩阵的初等行变换 化下列矩阵为行阶梯形矩 进而化为行标准形矩阵. 阵,进而化为行标准形矩阵 进而化为行标准形矩阵
2 1 B= 4 3
r2 2r1
r3 3r1 r1 Ư 9 0 2 6 2 12
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
r1 2r3
r2 5r3
3 1 0 10 1 2 2 3 r2 ÷ 2) ( 3 3 5 5 ∴ A0 = 1 0 3 3 . 1 2 2 2 r3 ÷ 1) ( 2 1 0 0 11 1 1 1
的方法, 利用初等行变换求逆阵 的方法,还可用于求 矩阵A1 B .
(
= I A1
(
)
)
施行初等行变换, 即对 n × 2n 矩阵 ( A I ) 施行初等行变换, 当把 A 变成 I 时,原来的 I 就变成 A1 .
1 2 3 设 A = 2 2 1 , 求 A 1 . 例1 3 4 3 1 2 3 1 0 0 解 ( A I ) = 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r + r r2 2r1 1 2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
r1 + r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 3 2 r ÷ 2) 2 ( 2 0 3 6 5 ( r3 ÷ 1) 0 1 1 1 1 0 0 1
Q A ~ I , 故 I 经有限次初等变换可变 A,
P1 P2 L Pr IPr +1 L Pl = A
即存在有限个初等方阵 P1 , P2 ,L, Pl , 使
即
A = P1 P2 L Pl .
推论 m× n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是: 存在 m 阶可逆方阵 P 及n 阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B.
1
=R
1 ; (C i ( k ) i( ) k
1
=C
初等逆变换
初等逆矩阵
结论:初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵 结论 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵. 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵
的逆变换是其本身, 变换 ri r j 的逆变换是其本身, 则 Rij
1 1
( = Rij ; C ij
= C ij )
1 变换 ri × k 的逆变换为 ri × , k 则 Ri ( k )
第2.5节 初等变换与初等矩阵 节
一.矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 二.初等矩阵 初等矩阵 三.用矩阵的初等变换求逆矩阵 用矩阵的初等变换求逆矩阵 四.小结 思考题 小结
一,矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
(1) 对调两行(对调 i , j 两行, 记作ri rj); 对调两行( (2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;
A 结论 对于任何矩阵 m×n ,总可经过有限次 阶梯形和行标准形 . 初等行变换把他变为行
行标准(行最简 形矩阵再经过初等列变 行标准 行最简)形矩阵再经过初等列变 行最简 可化成标准形. 换,可化成标准形.
1 0 例如, 例如, B 5 = 0 0
c 3 c4 c4 + c1 + c2
r2 r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 3 0 0 0
都称为行阶梯形矩阵, 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵, 且B5为行标准形矩阵
特点: 特点: ),可划出 (1),可划出 ), 一条阶梯线,线 一条阶梯线, 的下方全为零; 的下方全为零; ),每个台 (2),每个台 ), 只有一行, 阶 只有一行,
1 r3 4 r0 B3 = r4 2r3 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
12 12 14 4 r 1 1 1 1 10 03 r4 = B4 00 20 16 3 2r 3 r4 00 10 03 0 0 1 0 1 1 0
0 0
r1 r2
r3 r2
r1 2r3 r2 5r3
r1 2r3
r2 5r3
0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
2 r2 ÷ 2) 1 0 0 3 ( 0 1 0 2 3 , r3 ÷ 1) ( 0 0 1 1 3
特点: 特点:F的左上角是一个单位矩 阵,其余元素全
为零 . m × n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Ir F = O
O O m× n
三个数唯一确定, 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定,其中 r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数 .
二,初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛. 用广泛
Q
即
A1 ( A B ) = ( I A 1 B )
( A B)
初等行变换
I
A B
1
例2 求矩阵 X , 使 1 2 A = 2 2 3 4 解
AX = B,其中 3 2 5 1 , B = 3 1 . 4 3 3
若 A 可逆,则 X = A1 B . 可逆,
1 2 3 2 5 ( A B) = 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
等价关系的性质: 等价关系的性质:
(1) 反身性 A A;
(2)对称性 若 A B , 则 B A; (3)传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价. 具有上述三条性质的关系称为等价.
定理2 为可逆方阵, 定理2 设A为可逆方阵,则存在有限个初等 方阵 P1 , P2 ,L, Pl , 使A = P1 P2 L Pl . 证
1 1 1 2 1 2 1 4 6 2 2 4 6 9 7 9 1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7 4 2 = B1 2 9
r1 r2
r3 ÷ 2
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 = 3 2 0 5 1 r4 1 3r 3 0 3 9 6
1 4 1 2 2 1 2 2 1 2 3 5 3 7 9 4
r2 4 r3 r3 0 2r1 = B2 r4 6 3r1 3
r2 ÷ 2 r3 5r2 r4 3r2
1 0 0 0
1 2 1 1 1 1 0 0
4 0 = B3 0 2 6 0 1 3
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行 ( ri × k ),得初等 矩阵Ri (k ) .
1 O 1 Ri ( k ) = k 1 O 1
←第i 行
3,以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行 (列)上去
以 k 乘 I 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + kr j ) [或以 k 乘 I 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci ),
0 1 0 1 1 0 0 0
4 3 0 1 3 0 0 0
1 0 0 c5 4c1 3c2 + 3c3 0
4 0 0 0 1 0 4 1 0 0 1 0 3 3 F = 0 1 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
I 定义5 定义5 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 方阵称为初等矩阵. 方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵
对调两行或两列; 1. 对调两行或两列; 乘某行或某列; 2. 以数 k ≠ 0 乘某行或某列; 3. 以数 k 乘某行(列)加到另一 行(列)上去. 乘某行( 上去.
1 0 0 0
0 1 0 4 1 1 0 3 = B5 0 0 1 3 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面 台阶数即是非零行的行数, 的第一个元素为非零元, 的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非 零元. 零元.
B 也称为行最简形矩阵, 行标准形矩阵 5也称为行最简形矩阵, 即非 1 列 零行的第一个非零元为,且这些非零元所在的 . 的其他元素都为零
1 O ← 第 i行 1 L k = O ← 第 j行 1 O 1
Ri + j ( k )
三.用矩阵的初等变换求逆矩阵 用矩阵的初等变换求逆矩阵
定理1 定理1 设 A 是一个 m×n 矩阵,对 A 施行一 × 矩阵, 次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 次初等行变换, 阶初等矩阵; 施行一次初等列变换, 阶初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于 阶初等矩阵. 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
利用初等变换求逆阵的方法: 利用初等变换求逆阵的方法:
当 A ≠ 0时,由 A = P1 P2 L Pl,有
Pl1 Pl1 L P11 A = I , 及 1
∴ Pl1 Pl1 L P11 ( A I ) 1 Pl1 Pl1 L P11 I = A1 , 1
= Pl1 Pl1 L P11 A Pl1 Pl1 L P11 I 1 1
1, 对调两行或两列 两行, 对调 I 中第 i , j 两行,即 ( ri r j ),得初等方阵
1 O 1 0 L 1 1 Rij = M O M 1 L 1 0 1 O 1
←第i 行
←第 j 行
2,以数 k ≠ 0 乘某行或某列
1 0 如 0 0
0 0 1 1 0 7 , 0 1 2 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1 0 4 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
用矩阵的初等行变换 化下列矩阵为行阶梯形矩 进而化为行标准形矩阵. 阵,进而化为行标准形矩阵 进而化为行标准形矩阵
2 1 B= 4 3
r2 2r1
r3 3r1 r1 Ư 9 0 2 6 2 12
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
r1 2r3
r2 5r3
3 1 0 10 1 2 2 3 r2 ÷ 2) ( 3 3 5 5 ∴ A0 = 1 0 3 3 . 1 2 2 2 r3 ÷ 1) ( 2 1 0 0 11 1 1 1
的方法, 利用初等行变换求逆阵 的方法,还可用于求 矩阵A1 B .
(
= I A1
(
)
)
施行初等行变换, 即对 n × 2n 矩阵 ( A I ) 施行初等行变换, 当把 A 变成 I 时,原来的 I 就变成 A1 .
1 2 3 设 A = 2 2 1 , 求 A 1 . 例1 3 4 3 1 2 3 1 0 0 解 ( A I ) = 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r + r r2 2r1 1 2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
r1 + r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 3 2 r ÷ 2) 2 ( 2 0 3 6 5 ( r3 ÷ 1) 0 1 1 1 1 0 0 1
Q A ~ I , 故 I 经有限次初等变换可变 A,
P1 P2 L Pr IPr +1 L Pl = A
即存在有限个初等方阵 P1 , P2 ,L, Pl , 使
即
A = P1 P2 L Pl .
推论 m× n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是: 存在 m 阶可逆方阵 P 及n 阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B.
1
=R
1 ; (C i ( k ) i( ) k
1
=C