第三章 控制系统的能控性和能观测性
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第三章 线性系统的能控性与能观测性
。 显见第二、三行元素相同。 rank Qk 2 3 故不能控。
例6 桥式电路图中，若取电感L的电流 i及电容 L C的电压 v 为状态变量，取 为输出变量，则系 iL c 统方程为：
R R 1 R R iL ( 1 2 3 4 ) d L R1 R2 R3 R4 1 dt ( R2 R4 ) vC C R1 R2 R3 R4 1 R3 1 R1 ( ) iL L R1 R2 R3 R4 L u 1 1 1 ( ) vC 0 C R1 R2 R3 R4
1 0 ~ 2 A n 0 中，输入矩阵
~ b11 ~ ~ b21 , B ~ bn1
~ b12 ~ b21 ~ bn 2
~ b1r ~ b2r ~ bnr
(3.4)
.
表明: 状态变量 , x1 都可通过选择输入u而 x2 由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测。 x x
2
1
完全能控，不完全能观系统！
例3: 桥式电路如图所示， 选取电感L的电流为 为 状态变量， i (t ) x(t )
u (t ) 为电桥输 入，输出
量为 y (t ) 。 解: 从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0 u (t ，则不论 如何 ) 选取，对于所有 ，有 t 0 ，即ut(t)不能控制x(t)的变化， x( ) 0 t 故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感L上的 x(t 0 ) 初始电流 取为多少， 对所有时刻 t 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故 t0 系统是状态不能观测的。 该电路为状态既不能控，也不能观测系统。
控制系统的能控性与能观性
然是不能控的，即该系统的状态是不 完全能控的。
▪ 式（3-2）表示的系统中，没有孤立的部分， 状态变量 x2 直接受控于 u(t) ，状态变量 x1 通过 x2 等受控于 u(t) ，也就是说改变 u(t) 即
可改变系统的状态。因此，该系统是完全能 控的。
▪ 注意到（3-1）中的A是对角线型，（3-2）中的A是 约当标准型，因此，可总结出系统能控性的判别准 则如下：
▪ 根据所要解决的问题需要，常常将状态空 间表达式变换成一些特定的形式，前边讲 述的约旦标准型不仅容易计算状态转移矩 阵，求解状态方程，而且对于可控性和可 观性的分析也是十分方便的。然而对于后 续要讲解的状态反馈和状态观测器来说， 需要新的形式，即：能控标准型和能观标 准型。
▪ 一、能控标准型
▪ 1. 能控标准Ⅰ型
y
1 0
1 1
0 1
x
2 1 0 0 0 0 1
0
2
1
0
0
0 0
x& 0 0 2 0 0 x 3 0 u
0
0
0
5
1
0 0
0 0 0 0 5 2 1
y [1 0 1 0 2]x
系统能控能观性与传递函数的关系
▪ 传递函数的实现可有无穷多，若传递函数 没有零极点对消现象，则传递函数的阶次 最低，由此得到状态方程的维数也最低， 称为最小实现。最小实现所得到的状态空 间表达式必定是能控和能观的；
x&
1
0
1
1
x
0 b2
u;
y
c1
c2 x
画出模拟结构图
（3-2）
u b2
x1
c1
1
x2
c2
▪ 式（3-2）表示的系统中，没有孤立的部分， 状态变量 x2 直接受控于 u(t) ，状态变量 x1 通过 x2 等受控于 u(t) ，也就是说改变 u(t) 即
可改变系统的状态。因此，该系统是完全能 控的。
▪ 注意到（3-1）中的A是对角线型，（3-2）中的A是 约当标准型，因此，可总结出系统能控性的判别准 则如下：
▪ 根据所要解决的问题需要，常常将状态空 间表达式变换成一些特定的形式，前边讲 述的约旦标准型不仅容易计算状态转移矩 阵，求解状态方程，而且对于可控性和可 观性的分析也是十分方便的。然而对于后 续要讲解的状态反馈和状态观测器来说， 需要新的形式，即：能控标准型和能观标 准型。
▪ 一、能控标准型
▪ 1. 能控标准Ⅰ型
y
1 0
1 1
0 1
x
2 1 0 0 0 0 1
0
2
1
0
0
0 0
x& 0 0 2 0 0 x 3 0 u
0
0
0
5
1
0 0
0 0 0 0 5 2 1
y [1 0 1 0 2]x
系统能控能观性与传递函数的关系
▪ 传递函数的实现可有无穷多，若传递函数 没有零极点对消现象，则传递函数的阶次 最低，由此得到状态方程的维数也最低， 称为最小实现。最小实现所得到的状态空 间表达式必定是能控和能观的；
x&
1
0
1
1
x
0 b2
u;
y
c1
c2 x
画出模拟结构图
（3-2）
u b2
x1
c1
1
x2
c2
控制系统的能控性和能观测性
解
根据定理3-5， 系统（1）能控 ； 系统（2）不能控
（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。） 说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。
2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此， 能控性判据同样可以判断能达性。
一般情况下，系统方程可以表示为
Ax Bu x y Cx
（1）
状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间 接关系）。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
y(t )为输出量，两个电 例3-3 电路如下图所示。选取 u(t )为输入量， 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
λi Ji 0
1 λi
0 1 阵 B 中与每一个约当子块最下面 一行对应行的元素不全为零。
例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
0 4 1 0 （1） x 0 4 0 x 4 u 0 2 0 3 0 4 1 4 2 （2） x 0 4 0 x 0 0 u 0 2 0 3 0
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu( τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改 变系统的能控性。 Ax Bu f (t ) x （4）
现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版
x Ax Bu
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；
现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
(整理)控制系统的能控性和能观测性
第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。
判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。
对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。
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定理3-5（2）式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值，λ1、λ2 、
l 2 重、 λ3 、…、 λk 分别为 l1 重、 l3 重、…、l k 重。
且
l
i 1
k
i
n ， λi λ j ，(i j ) 经过非奇异线性变换，得到约当阵
J1 x 0
J2
0 x Bu Jk
例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 x1 uC1 ， x2 uC 2 ，电路的输出 y 为C2上的电压， 变量，即： 即 y x2 ，则电路的系统方程为
2 1 1 x Ax bu x 1u 1 2
x(t ) e x(0) e A(t τ ) bu(t τ ) d τ
At 0 t
为了简便起见，令 u(t ) 0
则
x(t ) e At x(0)
y(t ) C e At x(0) [ x1 (0) x2 (0)]e3t
从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差 值 [ x1 (0) x2 (0)] 。当 x1 (0) x2 (0) ，则输出恒等于零。显然，无法通过对 输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。 一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取 决于C 阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。
上式代入（3）式
n 1 i 0
x(0) A B ai ( τ )u( τ ) d τ
i t1 i 0 0
n 1
（8）
βi1 β t1 i2 a ( τ ) u ( τ ) d τ i 0 i βir
(i 0,1,, n 1)
-2 1 1 x Ax Bu x u 1 -2 0
y Cx 1 1x
系统状态转移矩阵为
t 3t e e 1 e At t 3t 2 e e
e t e 3t e t e 3t
系统状态方程的解为
y Cx 0 1x
系统状态转移矩阵为
0 如果初始状态为 x (0) 0
t 3t e e 1 e At t 3t 2 e e
e t e 3t e t e 3t
系统状态方程的解为 1 t (t τ ) x(t ) e u(τ ) d τ 1 0 可见，不论加入什么样的 输入信号，总是有 x1 x2
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu(τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改 变系统的能控性。 Ax Bu f (t ) x （4）
（10）
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λi 互异，
0 λ1 λ 2 x Bu （11） x 0 λ n 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。
例3-6 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
授课接点
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t ) ，使系统 x (t1 ) ，则称系统是状态 从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能 控性和能达性是等价的容许控制
(对于一个实际的控制问题，输入控制的u（t）的取值必定要受一定条件的约束。 满足约束条件的控制作用u（t）的一个取值对应于r维空间的一个点，所有满足条件的控 制作用u（t）的取值构成r维空间的一个集合，记为Ω，称之为容许控制集。凡是属于容 许控制集Ω的控制，都是容许控制。)。
定理3-7 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得以下格拉姆矩阵非奇异。
WC [t0 , t1 ] (t0 , t ) B(t ) BT (t ) T (t0 , t ) d t
t0
t1
（14）
定义：M k 1 (t ) A(t ) M k (t ) d定理3-3 （PBH判别法） （2）式的线性定常系统为状态能 控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[ λi I A B] n (i 1,2,, n) （证明略）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值
2. 能控性判据
定理3-1 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的n×n维格拉姆矩阵满秩
WC (0, t1 )
t1
0
e
Aτ
BB e
T
AT τ
dτ
（5）
（这个定理为能控性的一般判据，所谓满秩就是每个状态能控。但 是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍 的判据。）
0 7 2 x 0 u （1） x 5 1 0 9 0 7 0 1 （2） x 4 0u x 5 1 0 7 5
解 根据定理3-4， 系统（1） 不能控 ； 系统（2）能控。
dt M0 (t ) B(t )
k 0,1,, n 1 （15）
当 k 0
k 1 k2
d M1 (t ) A(t ) M 0 (t ) M 0 (t ) dt d M 2 (t ) A(t ) M1 (t ) M1 (t ) dt d M 3 (t ) A(t ) M 2 (t ) M 2 (t ) dt
于是
x (0) [ B
β0 β AB An-1 B ] 1 β n 1
（9）
如果系统能控，必能够从（9）式中解得 样就要求
0 ， 1 ， … ， n1 。这
rankQC rank[B AB A2 B An1 B] n
对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A 有关。 两个例子的分析结论是：能控与A,B阵有关；能观与A,C阵 有关。
3.2
1. 能控性定义
能控性及其判据
3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据
线性定常系统的状态方程为
Ax Bu x
λi Ji 0
1 λi
0 1 λi
（12）
则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中与每一个约当子块最下面 一行对应行的元素不全为零。
例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
0 4 1 0 （1） x 0 4 0 x 4 u 0 2 0 3 0 4 1 4 2 （2） x 0 4 0 x 0 0 u 0 2 0 3 0
一般情况下，系统方程可以表示为
Ax Bu x y Cx
（1）
状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间 接关系）。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
y(t )为输出量，两个电 例3-3 电路如下图所示。选取 u(t )为输入量， 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
解
根据定理3-5， 系统（1）能控 ； 系统（2）不能控
（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。） 说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。
2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此， 能控性判据同样可以判断能达性。
3.2.2 线性时变系统的能控性判据 线性时变系统的状态方程为
A(t ) x B(t )u x
x (t0 )
（13）
定理3-6 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得函数矩阵 (t0 , t1 ) B(t ) 的n个行在 [t1 , t0 ] 上线性无关。 （证明略）
5.
对偶原理
问题的提出
这是由于在经典控制理论中，只限于讨论控制作用（输入）对输出的 控制。输入与输出这两个量的关系，唯一地由系统的传递函数所确定， 只要系统是稳定的，系统就是能控的。另一方面，系统的输出量本身 就是被控量，对于一个实际的物理系统来说，它当然是可以观测到的， 所以在经典控制理论中没有必要涉及能控性和能观性。 然而在现代控制理论中，是把反映系统内部运动状态的状态向量作为 被控量，而且它们不一定是实际上可观测到的物理量，至于输出量则 是状态向量的线性组合，这就产生了从输入量 到状态量 的能控性问 题和从输出量 到状态量 的能观测性问题。 最优控制（optimal control）在满足一定约束条件下，寻求最优控制 策略，使得性能指标取极大值或极小值。 最优估计（optimum estimate ）即滤波（是将信号中特定波段频率 滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施。）方法的优化。
（2）
给定系统一个初始状态 x (t0 ) ，如果在 t1 t0 的有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t ) ，使 x (t1 ) 0 ，则称系统状态在 t 0 时刻是 能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完 全能控的。 说明： 1） 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是 状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐 标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）