晶体的点阵理论

P
C
a b c = = 90°

90°
六 方
a=b c = = 90° = 120° h
三 斜
P
a b c



为什么没有四方底心点阵?
6、点阵和晶体结构的关系
晶体结构
点 阵
结构基元
+
周期的大小
变化的内容
三、晶胞
晶 胞 晶胞的二个基本 要 素
1、晶胞的划分
…………
连接直线点阵任意 两个相邻阵点间的 向量a,称为素向量。
对于平面点阵：Tm,n＝ ma＋nb 对于空间点阵：Tm,n,p＝ ma＋nb＋pc
（a、b、c为不同方向的直线点 阵的重复周期）
3、格子、正当格子
对于一个平面点阵，平移素向量可有多种方式。也可以 平移复向量2 a(或3 a … ）这些向量将平面点阵点连成平面 格子。（或称为一个单位）
概念剖析：
1.点阵是晶体结构的数学抽象，我们不管周期性重复单位的具体内容， 将它抽象成几何学上的点，这些没有大小、没有质量、不可分辩的点叫 点阵点。点阵点在空间排布形成的图形叫点阵。 2 .平移对称性是点阵最基本的性质。据此点阵必须具备三个条件： （1）点阵点必须无穷多 （2）每个点阵点必须处于相同的环境 （3）点阵在平移方向的周期必须相同，否则平移后不能复原
3 .点阵结构中每个点阵点所代表的具体内容，包括原子或分子的种类 和数量及其在空间按一定方式排列的结构叫晶体的结构基元。它是 重复周期中的的具体内容，点阵点是一个抽象的点。若在晶体点阵 中各点阵点的位置上，按同一方式安置结构基元，即得到整个晶体 的结构：
晶体结构=点阵+结构基元
直 线 点 阵
平 面 点 阵
• 晶体是原子或分子在三维空间周期性的重 复排列所构成的一种固体物质
• 举例: 晶体(NaCl)
非晶体(玻璃)
一、晶体的宏观特征
1、均匀性； 2、各向异性； 3、自发地呈现封闭的凸多面体外形即自范性； 凸多面体的晶面数（F）、晶棱数（E）、 顶点数（V）满足：F+V=E+2（又称欧拉定理） 4、有固定的熔点； 5、有特定的对称性； 6、使X射线产生衍射,能观看到图谱中分立的斑点或 明锐的谱线。
它有带
心点阵
重新划分格子，可以 得到正方形简单格子
5、空间正当格子
P
I
F
布拉维系
立 方
C
a=b=c = = = 90° a=b c = = = 90°
四 方
P
I
正 交
a b c = = =90 P C I F
°
P
三 方 单 斜
a=b=c = = 90° H
每个格子顶点位置的阵点为四个格子所公用，每个格子占1/4；
每个格子边上位置的阵点为两个格子所公用，每个格子占1/2； 每个格子内部位置的阵点为该格子所独用，每个格子占1。
凡是分得一个阵点的单位为素单位， 两个或大于两个阵点的单位为复单位。
我们选含点阵点少且对称性高的单位为
正当单位
平面正当格子（平行四边形） 空间正当格子（平行六面体)
晶胞的划分有多种方式，通常满足对称性 的前提下，选取体积最小的正当晶胞。 常见的晶胞都是平行六面体，按其几何特征 （边长和夹角）可分为立方、四方、正交、 单斜、三斜、六方、三方（统称布拉维系）。 按是否带心又分为十四种点阵。
2、晶胞的二个基本要素
它有哪些特征，怎样描 述这些特征呢？
晶胞的大小和形状 晶胞 晶胞中各原子的坐标位置
对于实际的三维晶体，将其恰当划 分成一个个完全等同的平行六面体， 叫晶胞。它代表了晶体结构的 基 本重复单位。整块晶体是由完全等 同的晶胞无隙并置地堆积而成。
概念剖析：
化学上等同：晶胞里原子的数目和 种类完全相同
完全等同 几何上等同：①所有晶胞的形状、取 向、大小等同②晶胞里原子的排列完 全等同
无隙并置：即一个晶胞与它的比邻晶胞是完全共 顶点、共面、共棱。取向一致，无间隙，从一个 晶胞到另一个晶胞只须平移，不须转动。这种本 质属性，化学上又称“平移性”。
用晶胞参数来表示 用原子坐标来表示
1、晶胞参数: 向量a、b、c的长度及其间的夹角


2、原子坐标:
原子P的位置可用向量OP表示： OP ﹦xa＋yb＋zc .我们定义x、y、z为原子P的分数坐标（ 因x、y、z 《 1 ）
0 就是 1 ！！！
顶点(0, 0, 0) 体心(1/2, 1/2, 1/2) 面心(1/2, 1/2, 0) (0 ,1/2, 1/2) (1/2, 0,1/2) 棱心(1/2, 0, 0) (0 ,1/2, 0) (0, 0,1/2)
2、点阵的数学表达形式——平移群
整个直线点阵沿向量a的方向移动ma（m为任意整数），图形必复原。 这个动作称为平移，以T表示。 T0’T1’T2’ …Tm’ …组成的集合，满足群的条件，构成∞阶平移群，记作Tm＝ ma (m为任意整数） (m,n,p＝0,±1,±2, …)

T0 表示不动； T1 表示平移素向量a; T2 表示平移素向量2 a;
4、平面正当格子
正方形格子 a b a＝b a∧b=90° b a≠b 。 a∧b=90 矩形格子 a 矩形带心格子 a b a≠b 。 a∧b=90 平行四边形格子 a b
六方格子 a
b a=b 。 a∧b=120
a≠b 。 a∧b≠120
为什么正方形格子没有带心点阵？
现在我们用反证法来证明
if
二、晶体的点阵理论
点阵，平移群 格子，正当格 子 点阵与晶体结构的 关 系
1、点阵
点 阵点 点 阵 结构基元
直线点阵 平面点阵 空间点阵
由重复单位抽象出的几何学上的点 由点阵点在空间排布形成的图 形 点阵点所代表的重复单位的具体内容
点 阵
所有点阵点分布在一条直线上。 所有点阵点分布在一个平面上。 所有点阵点分布在三维空间中。
• The crystal structure of NaCl
S: 1 (3/4,1/4,1/4) 2 (1/4,3/4,1/4) 3 (1/4,1/4,3/4) 4 (3/4,3/4,3/4)
• The crystal structure of cubic ZnS
S: (0,0,0) (1/3,2/3,1/2) Zn: (0,0,5/8) (1/3,2/3,1/8)