晶体的点阵结构和晶体的性质
结构化学课后答案第9章晶体的结构习题解答
第9章 晶体结构和性质习题解答【9.1】若平面周期性结构系按下列单位并置重复堆砌而成，试画出它们的点阵结构，并指出结构基元。
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○解：用虚线画出点阵结构如下图，各结构基元中圈和黑点数如下表：1234567○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●图序号 1 2 3 4 5 6 7 结构基元数 1 1 1 1 1 1 1 黑点数 1 1 1 1 0 2 4 圈数1112313【评注】 从实际周期性结构中抽取出点阵的关键是理解点阵的含义，即抽取的点按连接其中任意两点的向量平移后必须能够复原。
如果不考虑格子单位的对称性，任何点阵均可划出素单位来，且素单位的形状并不是唯一的，但面积是确定不变的。
如果考虑到格子单位的对称形，必须选取正当单位，即在对称性尽量高的前提下，选取含点阵点数目尽量少的单位，也即保持格子形状不变的条件下，格子中点阵点数目要尽量少。
例如，对2号图像，如果原图是正方形，对应的正当格子单位应该与原图等价（并非现在的矩形素格子），此时结构基元包含两个黑点与两个圆圈。
【9.2】有一AB 型晶体，晶胞中A 和B 的坐标参数分别为(0,0,0)和(12,12,12)。
指明该晶体的空间点阵型式和结构基元。
解：晶胞中只有一个A 和一个B ，因此不论该晶体属于哪一个晶系，只能是简单点阵，结构基元为一个AB 。
【9.3】已知金刚石立方晶胞的晶胞参数a =356.7pm 。
请写出其中碳原子的分数坐标，并计算C —C 键的键长和晶胞密度。
解：金刚石立方晶胞中包含8个碳原子，其分数坐标为：(0,0,0)，1(2,12,0)，(12,0,1)2，(0,12,1)2，(14,14,1)4，3(4,34,1)4，(34,14,3)4，(14,34,3)4（0,0,0）与（14,14,14）两个原子间的距离即为C －C 键长，由两点间距离公式求得：C-C 356.7154.4pm r ====密度-13-10323-1812.0g mol 3.51 g cm (356.710cm)(6.022 10mol )A ZM D N V -⨯⋅==⋅⨯⨯⨯ 【9.4】立方晶系金属钨的粉末衍射线指标如下：110，200，211，220，310，222，321，400。
晶体结构
1、点阵：按连接其中任意两点的向量进行平移后，均能复原
的一组点。 如 等径密置球
. a. . . . . . . .
3a
特点:①点阵是由无限多个点组成;
②每个点周围的环境相同;
③同一个方向上相邻点之间的距离一样.
晶体结构 = 点阵+结构基元
1、直线点阵：一维点阵 如：结构 结构基元：
点阵
.
a
.
2a
六、晶面指标（符号）和有理指数定律： 由于不同方向的晶面结构微粒排列的情况不同，导致物理 性质不一样——各向异性。
用晶面表示不同的平面点阵组，那晶面在三个晶轴上的倒
易截数之比——晶面指标。 如图 某晶面在坐标轴上的截面 截距
z
4c
2a , 3b , 4c
y
c b 2 3 4 截数 a 3b 1 1 1 2a 倒易截数 （643） 2 3 4 x 倒易截数之比：1/2：1/3：1/4 = 6：4：3 ，为整数 1 1 1 符号化—倒易截数之比： : : h : k : l hkl 为晶面指标 r s t
a b c , 900
一个 6 或 6
一个 4 或 4 一个 3 或 3 三个 2 一个 2 无（仅有i ）
1200
a b c, 900
a b c, 900
a b c, 900
C2V , D2 , D2 h
, , ;
V , M r , Z , DC 等
Beq ,U eq
原子坐标及等效温度因子： x , y , z;
分子结构参数：键长，键角，最小二乘平面等 绘出分子结构图，晶胞堆积图等 分析结构特征，解释结构与性能之间的关系。
晶体结构
第五章 晶体结构安徽师范大学化学与材料科学学院§51晶体的点阵理论晶体具有按一定几何规律排列的内部结构，即晶 体由原子(离子、原子团或离子团)近似无限地、在三 维空间周期性地呈重复排列而成。
这种结构上的长 程有序，是晶体与气体、液体以及非晶态固体的本 质区别。
晶体的内部结构称为晶体结构。
1. 晶体的结构特征(1)均匀性(2) 各向异性(3) 自发形成多面体外形(4) 具有确定的熔点(5) 对称性(6) X射线衍射2.周期性下面两个图形均表现出周期性：沿直线方向，每 隔相同的距离，就会出现相同的图案。
如果在图形 中划出一个最小的重复单位（阴影部分所示），通 过平移，将该单位沿直线向两端周期性重复排列， 就构成了上面的图形。
最小重复单位的选择不是唯一的，例如，在图(a) 中，下面任何一个图案都可以作为最小的重复单位。
点的位置可以任意指定，可以在单位中或边缘的任 何位置，但一旦指定后，每个单位中的点的位置必须 相同。
如，不论点的位置如何选取，最后得到的一组点在空间 的取向以及相邻点的间距不会发生变化。
3.结构基元在晶体中，原子(离子、原子团或离子团)周期性地重 复排列。
上面我们在图形找出了最小的重复单位，类似 的，可以在晶体中划出结构基元。
结构基元是指晶体中 能够通过平移在空间重复排列的基本结构单位。
【例1】一维实例：在直线上等间距排列的原子。
一个原子组成一个结构基元，它同时也是基本的化学组成单位。
结构基元必须满足如下四个条件：化学组成相同；空间结构相 同；排列取向相同；周围环境相同。
【例2】一维实例：在伸展的聚乙烯链中，CH2CH2组成一个 结构基元，而不是CH2。
【例3】二维实例：层状石墨分子，其结构基元由两个C原子组 成(相邻的2个C原子的周围环境不同)。
结构基元可以有不同的选法，但其中的原子种类和数目应保 持不变。
晶体的点阵类型
晶体的点阵类型晶体的点阵类型晶体是由原子、离子或分子组成的周期性排列的结构，具有一定的对称性和规则性。
晶体的点阵类型是指其原子、离子或分子在空间中的排列方式和对称性。
本文将介绍晶体的点阵类型，包括简单立方晶系、面心立方晶系、体心立方晶系、六方最密堆积晶系、菱面体最密堆积晶系等。
一、简单立方晶系简单立方晶系是最简单的一种点阵类型，其原子在空间中沿着三个互相垂直的轴线上等距排列。
每个原子周围都有六个相邻原子，形成一个六面体。
该点阵类型具有三条相互垂直的轴线和四个三重旋转轴，对称性为正方形。
二、面心立方晶系面心立方晶系是由简单立方晶系变形而来，其每个顶点处都有一个原子，并在每个面心处增加了一个原子。
该点阵类型具有四条三重旋转轴和三条四重旋转轴，对称性为正四面体。
三、体心立方晶系体心立方晶系是由简单立方晶系变形而来，其每个顶点处都有一个原子，并在晶体的中心增加了一个原子。
该点阵类型具有四条三重旋转轴和三条四重旋转轴，对称性为正八面体。
四、六方最密堆积晶系六方最密堆积晶系是由六边形最密堆积和立方最密堆积两种点阵类型组合而成的。
其原子在空间中沿着六边形的对角线上等距排列。
该点阵类型具有一个六重旋转轴和一个二十四重旋转轴，对称性为正六面体。
五、菱面体最密堆积晶系菱面体最密堆积晶系是由菱形最密堆积和立方最密堆积两种点阵类型组合而成的。
其原子在空间中沿着菱形的对角线上等距排列。
该点阵类型具有一个四重旋转轴和一个二十四重旋转轴，对称性为正八面体。
结语以上介绍了常见的几种晶体的点阵类型，不同的点阵类型具有不同的对称性和规则性，在实际应用中也有着不同的应用。
了解晶体的点阵类型有助于我们更好地理解晶体的结构和性质，对于材料科学、化学、物理等领域的研究都有重要意义。
晶体结构和空间点阵的异同
晶体结构和空间点阵的异同
晶体结构和空间点阵是固体物理学中两个基本概念。
虽然它们有联系，但仍有一些不同之处。
下面是它们的异同之处简要介绍：
一、异同
1.定义晶体结构指的是一个由周期性排列的原子、离子或分子组成的三维空间结构；而空间点阵指的是无限连续重复的平移对称性规律，即一组满足某些几何条件的无穷多点在空间中无限延伸的排列方式。
2.特征晶体结构是由一定数量的单元组成的三维连续排列，它们具有明确的界面，并且每个单元都具有相同的结构和化学组成，即呈现出高度的重复性。
而空间点阵则没有明确的界面，任何一部分的点都可以作为整个空间的代表。
它具有平移对称性，重复性强。
3.分类晶体结构可以分为14种布拉维格子以及其他非周期性结构。
每个晶体结构由一组指定的晶体轴和角度来描述。
而空间点阵也可以用类似的方式来进行分类。
在三维空间内，总共有17种不同的空间对称组，称为空间点群。
4.性质晶体结构具有晶体学的性质，例如各向同性、能带结构等。
而空间点阵则是对于一些物理问题求解的基础，比如电子、光子在周期性势场中的行为特征。
二、总结
晶体结构和空间点阵都是描述固体物理学基本概念。
晶体结构由周期性排列的原子、离子或分子组成，呈现高度的
重复性，通过指定晶体轴和角度来进行分类。
而空间点阵是无穷多点在空间中无限延伸的排列方式，具有平移对称性，通过分类后得到17种不同的空间对称组。
两者之间虽然存在联系，但仍有不同之处。
晶体及其基本性质
ak
a1
aj
a2 a3
ai
原胞的体积为
26
1 3 1 Ω a1 a 2 a 3 a V 4 4
(c)体心立方(body-centered cubic,简称：bcc)
体心立方晶胞的八个顶点和晶胞中心各有一个原子。晶格常数为a
。其刚性小球模型体心原子和八个顶点的原子相切。典型的金属 有α-Fe、钨（W）、钼（Mo）、钒（V）、铌(Nb)等。
②在上述前提下，晶胞要具有尽可能多的直角；
③在遵循上两个条件的前提下，晶胞的体积应最小。
12
晶胞可分为简单晶胞与复合晶胞： 简单晶胞即只在平行六面体的八个角顶上有阵点，而每个
角顶上的阵点又分属于八个简单晶胞，故每个简单晶胞中 只含有一个阵点。
复合晶胞除在平行六面体的八个角顶上有阵点外，在其体
19
布拉菲点阵
点阵 符号
阵胞内 基元数
阵点坐标
简单菱方
P
1
000
简单六方
P
1
000
简单单斜 低心单斜 简单三斜
P C P
1 2 1
000 000，½½0 000
a≠b≠c α≠β≠γ≠90°
三、典型晶体结构
简单点阵：仅有一种结构形式 简单立方、体心立方和面心立方
复式点阵：有两种同类或异类原子形成的点阵结构
②结构——简立方结构。是复式格子。
③晶胞的选取 —— 以 Ba 为晶胞的八个角， Ti 处在晶胞的中 心，六个晶面上各有一个O，且对面上的O相同，为一组。 ④原胞的选取——和晶胞一样。
Ba
OⅠ
a3 ak
晶体的点阵结构
14种布拉维格子之十：正交C心 oC(或 oA, oB）
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
14种布拉维格子之十一：正交面心（oF)
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
14种布拉维格子之十二：单斜简单（mP)
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14种布拉维格子之十三：单斜C心（mC)
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晶体的性质与结构特征
人类对晶体的最初认识也许是从采集石器时发现外形
规则或光彩夺目的天然矿物开始的. 世界各地的考古发掘
表明，人类使用玉类宝石至少已有七千年的历史.我国西 汉时期刘胜夫妇墓葬中的两套金缕玉衣就用了4600多玉片. 唐宋诗词中更是屡屡出现“云母屏风烛影深”之类的佳句. 地球上的晶态物质比比皆是，矿物中有98%是晶体.动
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14种布拉维格子三：立方面心（cF）
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14种布拉维格子之四:
四方简单（tP）
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14种布拉维格子之五: 四方体心（tI）
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14种布拉维格子之六：六方简单（hP)
黑色与灰白色点 都是点阵点.黑点 与蓝线表示一个 正当格子
现代科技中的晶体——超导材料
现代科技中的晶体——高强度材料
铝化镍中Ni与 Al的穿插使这种合 金在高温仍有很高 强度, 抗腐蚀能力 强. 对能源系统具 有重要意义.
现代科技中的晶体——高强度材料
在Ni、Co、 Al等基体中生长
出的碳化钽针状
晶体，像混凝土 中的钢筋一样， 使材料强度大大 增加.
晶体的周期性结构与点阵
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CsCl型晶体结构
CsCl型晶体中A、B是不同的原子，不能都被抽象为点阵 点. 否则，将得到错误的立方体心点阵！这是一种常见的错误：
第二章 晶体结构ppt课件
1-1 晶向指数 [u v w]
建立步骤： ①建立坐标系。以某一阵点为坐标原点，三个棱边为 坐 标轴，并以点阵常数(a、b、c)作为各个坐标轴的单位长度； ②作 OP // AB ； ③确定P点的三个坐标值（找垂直投影）； ④将坐标值化为互质的最小整数，并放入到[ ] 中，则 [uvw]即为所求；
1.晶体结构与空间点阵（续）
1-4 晶胞 ①定义：在空间点阵中，能够代表晶格中原子排列特征的最小单元体。 晶胞通常是平行六面体，将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点 阵。 ②晶胞的选取原则：
几何形状与晶体具有同样的对称性； 平行六面体内相等的棱与角的数目最多； 当平行六面体棱间有直角时，直角数目最多； 在满足上述条件下，晶胞的体积应最小。
o o a a a c , 9 0 , 1 2 0 1 2 3
菱方：简单菱方 o a b c , 9 0
单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0
o
三斜：简单三斜
a b c ,
9 0
第二章 晶体结构
第一节 晶体的特征
各项异性 晶体由于具有按照一定几何规律排列的内 部结构，空间不同方向上原子排列的特征不同， 如原子间距及周围环境，因而在一般情况下， 单晶体的许多宏观物理量（如弹性模量、电阻 率、热膨胀悉数、折射率、强度及外表面化学 性质等）的大小是随测试方向的不同而改变的， 这个性质称为各项异性。晶体断裂的解理性就 是晶体具有各项异性的最明显例子。
晶体具有确定的熔点
熔点是晶体物质的结晶状态与非结晶状态互相转 变的临界温度，晶体熔化时发生体积变化。 晶体有一些其他共同特征：晶体中存在不完整性， 晶体内原子排列并不是理想的有序排列，而是有 缺陷的；晶体的原子周期排列促成晶体有一些共 同的性质，如均匀性、自限性和对称性等。
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7.2 晶体结构的对称性
7.2.1 晶体结构中可能存在的对称元素
晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别： 晶体的对称性除了具有分子对称性的4种类型的对称操作和对称 元素外，还具有与平移操作有关的3种类型的对称操作和对称元素。
(1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . (7) .
A‘ -a 2/n O n a 2/n A
证明
B‘ B
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平
面点阵上必有过O点的直线点阵AA＇, 其素向量为a. 利用对称
轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度,产生点阵点B与 B＇, BB＇必然平行与AA＇
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α α α α α α α
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7个晶系
a a a c a a 120O 三方晶系 a=b=c == 高级 c a b c 中级 b 低级 三斜晶系
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b a a
立方晶系
六方晶系
四方晶系
a
正交晶系
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单斜晶系
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六个晶族（Crystal Family)
晶胞的定义
晶体结构的基本重复单元称为晶胞.
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原子在晶胞中的位置坐标
(1/2, 0, 1/2)
Cl-
(0, 1/2, 1/2)
(1/2, 1/2, 0)
(0, 0, 0)
c
a
b
NaCl 三维周期排列 的结构及其点阵
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原子在晶胞中的位置
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7.2.2 晶系、晶族和惯用坐标
根据晶体结构所具有的特征对称元素，将晶体分为7个晶系(cryatal system)。 立方晶系(cubic)：有4个三次对称轴，晶胞的四个体对角线。 六方晶系(hexagonal)：有1个六次对称轴。 四方晶系(tetragonal)：有1个四次对称轴。 三方晶系(triagonal)：有1个三次对称轴。 正交晶系(orthothombic)：有3个互相垂直的二次对称轴或2个相互垂直的对称面。 单斜晶系(monoclinic)：有1个二次对称轴或对称面。 三斜晶系(triclinic)：没有特征对称元素。
切分
切分
把结构单元抽象为几何点 晶胞 把结构单元放回到几何点 正当单位
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7.1.2 点阵参数和晶胞参数
空间点阵必然可选择3个不相平行的单位矢量a，b，c。 选择有多种方式.
点阵参数指三个矢量a，b，c的长度及两两之间 的夹角。
a=｜a｜ ， b =｜b｜，c =｜c｜ α= b∧c ，β=a∧c ，γ=a∧b
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7个晶系
晶系 立方晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 边长 a=b=c a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c 夹角 =β =γ = 900 =β =γ ≠900 =β =γ = 900 =β = 900, γ = 1200 =β =γ = 900 =β = 900, γ ≠ 900 0 ≠β ≠γ ≠ 90 晶体实例 NaCl Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO4·5H2O
在非直角坐标系中, 计算公式为：
2 2 2 rij = [ xi - x ）a 2 + yi - y ）c 2 + zi - z ）c 2 ( （ （ j j j 1 2
2 xi - x j ) yi - y ） cos + 2 xi - x j ) zi - z j )ac cos 2 yi - y j ) zi - z ） cos ] （ ( （ ( （ ( j ab j bc
立方晶族(cubic) 立方晶系(cubic) 六方晶系(hexagonal) 六方晶族(hexagonal)
三方晶系(triagonal)
四方晶族(tetragonal) 正交晶族(orthothombic) 单斜晶族(monoclinic) 三斜晶族(triclinic) 四方晶系(tetragonal) 正交晶系(orthothombic) 单斜晶系(monoclinic) 三斜晶系(triclinic)
(0, 0, 1/2) (1/2,1/20,1/2)
Na+
(1/2, 0, 0)
( 0, 1/2， 0)
NaCl 三维周期排列 的结构及其点阵
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*两粒子之间的距离
当三个晶轴构成直角坐标系时（===90), 根据两点
间距离公式可方便地求得任意两粒子间的距离：
2 2 2 rij = （xi - x j）a 2 + yi - y j）b 2 + z i - z j）c 2 （ （
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国际符号中三个位置代表的方向
c a a a 120O 三方晶系 a=b=c == 第一方向 c a b c 第二方向 b 第三方向 a b a
a a
立方晶系
六方晶系
四方晶系
a
正交晶系
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单斜晶系
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三斜晶系
7.2.3 晶体学点群
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称元 素 三斜 1,`1 方向 任意 第二位 可能对称元 素 无 方向 第三位 可能对称元 素 无 方向 点群 （共32个） 1，`1
单斜 正交
四方 三方 六方 立方
2,m,2/m 2，m
4,`4，4/m 3,`3 6,`6, 6/m 2,m,4, `4
Y X
Z Z Z X
无 2，m
无， 2，m 无， 2，m 无， 2，m 3,`3
无 Y
X X X 体对 角线
2,m,2/m Z
底对角 线
2，m
无， 2，m 无 无， 2，m 无， 2，m
222,mm2,mmm
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m
底对角 线 面对角 线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
旋转轴的限制
2 2 A‘ B B ma 2 OB cos 2a cos n n m 2 cos 2 n
'
-a 2/n
O n
a 2/n
A
2 cos 1 n
B‘
B
m -2 -1 0 1 2
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cos -1 -1/2 0 1/2 1
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180 120 90 60 360
结构基元 ( structural motif )
每个点阵点所代表的具体内容 （包括粒子的种类、数量及其在空间的排列方式等）.
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直线点阵
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵.
结构基元
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点阵
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点阵参数：相邻点阵点的距离
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平面点阵
在二维方向上排列的阵点, 即为平面点阵.
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点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。
Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。
Sn:具有一个n次反轴的点群。
最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一个 点. 这些点即构成平面点阵.
b a
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平面点阵
（ a ）NaCl 结构
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（ b ）Cu 点阵
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晶格
平面点阵
b a
（c）石墨
结构
上一内容
点阵
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晶格
空间点阵
（a）Po
结构
上一内容
第7章
晶体的点阵结构和晶体的性质
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晶体的定义
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定 规律、周期性重复排列所构成的固体物质。
晶态结构示意图
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非晶态结构示意图
7.1 晶体结构的周期性和点阵
7.1.1 点阵、结构基元和晶胞 点阵的定义
按连接其中任意两点的向量进行平移能够复原的一组 点, 称为点阵. 由此推断：点阵的环境必须相同, 阵点是无限的. 晶体结构 = 点阵 + 结构基元
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2.旋转
书写符号
1 2 3 4 6
图示符号
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3．反映—反映面：
若物体含有一个对称面，那么在对称面一侧的每一 点，都可在对称面的另一侧找到它的对应点。另一种 特殊情况是物体本身是一个平面物体，被包含在对称 面内，则平面上每一点与自己对应。
点阵
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晶格
空间点阵
（ b ）CsCl 结构
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点阵
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晶格
空间点阵
（ c ） Na
结构
上一内容
点阵
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晶格
空间点阵
（ d ）Cu 结构