2018届苏教版 数列通项公式 单元测试
2018届苏教版数列单元测试3
一、填空题(共20小题,每小题5.0分,共100分)1.在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为_________.2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 012等于__________.3.若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1a a5＝________.4.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.5.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，那么log2a10＝__________.6.等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设Sn是数列{an}的前n项和，则S8＝_____.7.下列关于星星的图案中,星星的个数依次构成一个数列,该数列的一个通项公式为__________.8.有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.9.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于.10.已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于_________.11.在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项公式an＝__________.12.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于__________.13.等比数列{an}中，S4＝4，S8＝8，则a17＋a18＋a19＋a20＝______.14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．15.数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝an－5，则a4等于_________.16.如果数列{an}的前n项和为Sn＝an－3，那么数列{an}的通项公式是__________17.已知数列{an}的通项公式an＝log2，设其前n项和为Sn，则使成立的自然数n的最小值为__________．18.已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1，则当时，an等于____________.19.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于__________.20.下面是关于公差的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列；其中的真命题为___________.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)21.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6 000元的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息．已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？假设货主每月还商店a 元，写出在第i(i＝1,2，…，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式．22.有四个数成等差数列，它们的平方和等于276，第一个数与第四个数之积比第二个数与第三个数之积少32，求这四个数．23.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．24.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－，，－；(2)2,0,2,0.25.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.26.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．27.在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．28.已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项公式an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．29.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1) 以2013年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2) 因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.30.已知数列{n(n＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？答案解析1.【答案】－6【解析】∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.2.【答案】2012【解析】由an＋1－an＝1知{an}为等差数列且d＝1.又a1＝1，∴an＝a1＋(n－1)·d＝n，∴a2 012＝2 012.3.【答案】【解析】∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a. ∴a1a a5＝a＝.4.【答案】105【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.∵a1a2a3＝(a2－d)a2(a2＋d)＝5(25－d2)＝80，又d为正数，∴d＝3.∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3(5＋30)＝105.5.【答案】5【解析】∵a3a11＝16，∴a＝16，∵an>0，∴a7＝4，∴a10＝a7q3＝4×23＝25，∴ log2a10＝56.【答案】－16【解析】方法一）设首项为a1，公差为d，则，解得a1＝－9，d＝2，∴S8＝8a1＋28d＝－16.方法二）S8＝＝4×(－5＋1)＝－16.7.【答案】【解析】从题图中可观察星星的构成规律，n=1时，有1个；n=2时，有3个；n=3时，有6个；n=4时,有10个；… ∴.8.【答案】【解析】方法一：＝＝＝＝＝＝.方法二：因为＝所以设Sn＝(3n－1)kn Tn＝(n＋7)·kn(k≠0)所以a7＝S7－S6＝38k，b7＝T7－T6＝20k∴＝＝.9.【答案】10【解析】因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.10.【答案】【解析】由a1·a2＝4，得a2＝4，由a1·a2·a3＝32，得a3＝.∵a1·a2·a3·a4＝42，且a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴ 42·a5＝52，∴a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.11.【答案】2n＋1－3【解析】由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，即，∴数列{an＋3}是以a1＋3为首项，公比为2的等比数列，∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1. ∴an＝2n＋1－3.12.【答案】8【解析】∵ {an} 是等比数列，∴a3a11＝a72＝4a7，解得a7＝0（舍）或a7＝4 ∴b7＝4又数列{bn}是等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝813.【答案】4【解析】等比数列中，Sn的性质：S4，S8－S4，…，S20－S16成等比数列，∴它们分别为4,4,4， (4)14.【答案】55【解析】三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.15.【答案】－17【解析】观察此数列的各项，a2＝a1－5＝－7，a3＝a2－5＝－7－5＝－12，a4＝a3－5＝－12－5＝－17.16.【答案】【解析】∵Sn＝an－3，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴－an＝－an－1，即.又a1＝6 ∴{an}是以6为首项，3为公比的等比数列.∴an＝6×3n－1＝2×3n.17.【答案】63【解析】由题意知.由，得，解得. ∴.18.【答案】【解析】∵an－1＝a0＋a1＋…＋an－2与已知式子相减，得an＝2an－1，∴ {an}是首项为1，公比为2的等比数列，故an＝2n－1.19.【答案】9【解析】∵an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，∴由an<180得n<13且，由n边形内角和定理得，(n－2)×180＝n×120＋×5解得n＝16或n＝9∵n<13，∴n＝9.20.【答案】p1，p4【解析】对于p2，若令，则{an}是递增数列，但显然，即{nan}不是递增数列，故p 2是假命题；对于C，若令，则易得p3也是假命题.21.【答案】(1) 因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即6 000×＝4 000(元)，又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4 000(1＋0.5%)＝4 020(元)．(2)设第i个月底还款后的欠款数为yi，则有y1＝4 000(1＋0.5%)－a，y2＝y1(1＋0.5%)－a＝(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a，y3＝y2(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5%)3－a(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a，…yi＝yi－1(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5%)i－a(1＋0.5%)i－1－a(1＋0.5%)i－2－…－a，由等比数列的求和公式，得yi＝4 000(1＋0.5%)i－a(i＝1,2，…，36)．【解析】22.【答案】设四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则∴∴a＝±7，d＝±2.∴所求的四个数依次为：1，5，9，13或13，9，5，1或－13，－9，－5，－1或－1，－5，－9，－13.【解析】23.【答案】设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，则由题意得解得或故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.【解析】24.【答案】(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为an＝.(2)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an ＝(－1)n＋1＋1.【解析】25.【答案】(1)证明由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.【解析】26.【答案】设等差数列{an}的项数为2n＋1，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1，∴，，解得n＝3∴项数2n＋1＝7，，即a4＝44－33＝11为所求中间项．【解析】27.【答案】设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.设后三个数分别为，b，bq，则有·b·bq＝b3＝8 000，即b＝20，∴这四个数分别为m,16,20，n，∴m＝2×16－20＝12，n＝＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.【解析】28.【答案】(1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，即an＝－2n＋21；Sn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n，即Sn＝－n2＋20n.(2)因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以bn－an＝3n－1，即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.【解析】29.【答案】(1) 由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9∴an＝a·0.9n－1(n≥1)．(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤，∴a≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．【解析】30.【答案】(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，∴a8＝80，a20＝440.(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．∴323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．【解析】。
2018届苏教版 数列 单元测试
数列作业专练姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.在等差数列*45619{}(),27,n a n N a a a a a ∈++=+中若则等于( )A ．9B ． 27C ．18D ．542.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,16S S ==，则56a a += ( )A ．11B ．16C ．20D ．283.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若129288,162S S ==,则6S =（ ）A ．18B ．36C ．54D ．724.设{n a }是公比为正数的等比数列，若a 3＝4，a 5＝16，则数列{n a }的前5项和为（ ） A ．41 B ．15C ．32D ．315.等比数列{a n }中，a 1 =1，公比q=2，则数列{a n 2}的前4项和为S 4 =（ ）A ．85B ．225C ．15D ．7225 6. “数列{}n a 为常数列”是“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7.已知首项是1的等比数列{n a }的前n 项和为26,n S a a ＝64，则62S S 的值是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．188.设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128 9.已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若65911a a =，则119SS =( ) A. 1B. －1C. 2D.1210.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=⋅a a ，则=+++1032313log log log a a a ( )A ．8B ．10C ．12D ．5log 23+11.（2015•上海模拟）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1=1．S 2=2，且S n+1﹣3S n +2S n ﹣1=0，（n∈N *，n≥2），则此数列为（ ）A ． 等差数列B ． 等比数列C ． 从第二项起为等差数列D ． 从第二项起为等比数列 12.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若18423a a a =-，则816s s =（ ） （A ）310 (B) 13 (C) 19 (D) 18二 、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.（2015•上海模拟）已知{a n ]为等差数列，a 1+a 3+a 5=9，a 2+a 4+a 6=15，则a 3+a 4= ． 14.正项等比数列{}n a 中，24a =，416a =，则数列{}n a 的前9项和等于 ．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+，N n *∈，则实数a 的值是______；16.已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S （n N *∈）.若1431,3,9a a S >>≤，则通项公式____________n a =三 、解答题（本大题共2小题，共24分） 17. (2015重庆高考真题) (本小题满分12分，（I ）小问7分，（II ）小问6分)已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. （I ） 求{}n a 的通项公式；（II ） 设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .18.已知等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），等比数列{}n b 的公比为q （0q >），且满足11231,,a b a b ===65.a b =（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对一切*n N ∈，令1+⋅=n n n a a b ，都有1211111.43n b b b ≤+++<作业卷七答案解析一、选择题19.C20.C21.D22.D23.A24.B25.A2662164,64,4a q q q===∴，则66612221(1)11164211(1)114S a q q qS q a q q----====----．26.C27.A28.B29.【考点】：等比关系的确定．【专题】：计算题．【分析】：求的是数列的通项公式条件是数列{a n}的前n项和为S n，由所以由两者间的关系求解．要注意分类讨论．【解析】：解：由S1=1得a1=1，又由S2=2可知a2=1．∵S n+1﹣3S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），∴S n+1﹣S n﹣2S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），即（S n+1﹣S n）﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=0（n∈N*且n≥2），∴a n+1=2a n（n∈N*且n≥2），故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列．故选D．【点评】：【点评】：本题主要考查数列的前n项和通项公式及两者间的关系的应用．30.A二、填空题31.【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．【解析】：解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．32.33.1a=-34.1n+三、解答题35.【答案】（Ⅰ）+1=2n n a ；（Ⅱ）21n n T =-. 试题解析： （1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得1132922,3,22a d a d ´+=+= 化简得11322,,2a d a d +=+=解得11=1,2a d =，故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a .(2)由（1）得141515+1=1==82b b a =，.设{}n b 的公比为q,则341q 8b b ==,从而2q =. 故{}n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n n b q T q -⨯-===---.考点：1. 等差数列；2. 等比数列.36.（1）解：由题得：223465115a b d qa b d q⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎩解得：32d q =⎧⎨=⎩， 故3 2.n a n =- （2）解：)131231(31)13)(23(1111+--=+-=⋅=+n n n n a a b n n n 12111111111[(1)()()]3447323111(1)331n b b b n n n +++=-+-++--+=-+当*∈N n 时，01>nb , 1=∴n 时，12111111,4n b b b b +++≥= 又1131n -+ 是单调递增函数， 12111111(1).3313n b b b n +++=-<+故对一切*n N ∈，都有1211111.43n b b b ≤+++<。
2018届苏教版数列单元测试1
一、填空题(共20小题,每小题5.0分,共100分)1.已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.则等差数列{an}的通项公式为__________．2.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝_____.3.等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝_______.4.数列{an}为等比数列，an＞0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝__________.5.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，那么到11月7日该市新感染者共有________人．6.在△ABC中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为________．7.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．8.在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.9.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．10.若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 013＋a2 014＞0，a2 013·a2 014＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．11.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比q＝_______.12.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．13.等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.15.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________或________．16.已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第__________项．17.观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n＋1n2＝________.18.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，，________，，….19.，，，，，…的一个通项公式是________．20.设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋(n＞1)，则a5＝__________.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)21.设{an}是等差数列，bn＝，且b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝.求等差数列的通项an.22.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，S6＝.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.23.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.24.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．25.已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由．(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．26.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn，27.求下列等比数列前8项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0.28.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn.29.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中有多少个点．30.(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？答案解析1.【答案】an＝－3n＋5或an＝3n－7【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，由题意知，解得或故等差数列{an}的通项公式为an＝－3n＋5或an＝3n－7.2.【答案】5【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.3.【答案】2【解析】设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝.由题意得，解得q＝2.4.【答案】an＝2n－1【解析】由a1·a5＝16，a4＝8，得a q4＝16，a1q3＝8，∴q2＝4，又an＞0，∴q＝2，a1＝1，∴an＝2n－1.5.【答案】1190【解析】设从11月1日起，第n天的新感染者有an人，则an＋1－an＝50，则每天的新感染者构成以a1＝20，d＝50的等差数列{an}，所以到11月7日该市新感染者共有S7＝7a1＋d＝7×20＋×50＝1 190人．6.【答案】120°【解析】设三内角A、B、C成等差数列，则A＋C＝2B，又A＋C＋B＝180°，∴ 3B＝180°，B＝60°，A＋C＝2B＝120°.7.【答案】8【解析】设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.8.【答案】11【解析】S3＝1，S6－S3＝－2，∴S9－S6＝4，S12－S9＝－8，S15－S12＝16，∴S15＝S3＋S6－S3＋S9－S6＋S12－S9＋S15－S12＝1－2＋4－8＋16＝11.9.【答案】11a(1.15－1)【解析】注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．10.【答案】4 026【解析】由条件可知数列单调递减，故知a2 013＞0，a2 014＜0，故S4 026＝＝2 013(a2 013＋a2 014)＞0，S4 027＝＝4 027×a2 014＜0，故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 026.11.【答案】【解析】依题意S1,2S2,3S3成等差数列，∴ 4S2＝S1＋3S3，易得q≠1∴ 4(a1＋a1q)＝a1＋.∵a1≠0，∴3q2－q＝0，解得q＝或q=0（舍）．12.【答案】【解析】设三边为a，aq，aq2(q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.若记较小锐角为θ，则sin θ＝＝.13.【答案】18【解析】方法1）基本量法：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴ 4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18. ∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.方法2）性质法：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.14.【答案】24【解析】∵S9＝9a5＝72，∴a5＝8又2+4+9=15=3×5 ∴a2＋a4＋a9＝3a5＝2415.【答案】8,4,22,4,8【解析】设三数为，a，aq，则，即，解得或，故所求三数为8,4,2或2,4,8.16.【答案】n＝2或n＝6【解析】由n2－8n＋15＝3得，n＝2或n＝6.17.【答案】(－1)n＋1·【解析】观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an －1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.18.【答案】3【解析】由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.19.【答案】an＝【解析】＝，＝，＝，＝，＝，…，∴an＝.20.【答案】【解析】a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝.21.【答案】an＝5－2n或an＝2n－3【解析】设数列{an}的公差为d，则由已知得，由第二个方程，化简为，解得a1＋d＝1，a1＝1－d，代入第一个方程得，即，化简得，即或，解得d＝－2或d＝2，∴an＝5－2n或an＝2n－3.22.【答案】(1)an＝2n－2(2 )Tn＝n2－n.【解析】(1) ∵S6≠2S6，∴q≠1. ∴，解得q＝2，a1＝.∴an＝a1qn－1＝2n－2.(2 )∵bn＝6n－61＋log22n－2＝6n－61＋n－2＝7n－63.∴bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，∴数列{an}是等差数列．又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋n(n－1)×7＝－56n＋n(n－1)×7＝n2－n.23.【答案】an＝2n【解析】由题意可得解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.24.【答案】4，6，8【解析】设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得由①得a＝6，代入②得d＝±2.∵该数列是递增数列，∴d＞0，即d＝2.∴这三个数依次为4,6,8.25.【答案】（1）4m＋19是{an}中的第m＋5项；（2）2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.【解析】a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1) 令an＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是数列{an}中的第34项．令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*.∴4m＋19是{an}中的第m＋5项．(2) ∵ap，aq是{an}中的项，∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.26.【答案】(1)bn＝2n＋1(n∈N*)；(2)Tn＝n·3n.【解析】(1) ∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)，∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)．而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1(n∈N*)．∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．(2) 由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.∴Tn＝n·3n.27.【答案】(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝.(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q<0，可得q＝－.所以S8＝＝.【解析】28.【答案】Tn＝n2－n.【解析】设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.由S7＝7，S15＝75，得，解得a1＝－2，d＝1.∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，∵－＝，∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n2－n.29.【答案】图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.【解析】30.【答案】(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49；(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．【解析】。
2018届苏教版数列单元测试2
一、填空题(共20小题,每小题5.0分,共100分)1.一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于_______.2.等比数列{an}中，a1＝4，a2＝8，则公比等于__________.3.下列命题中正确的个数是__________.(1) 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2) 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列；(3) 若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；(4) 若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．4.数列{an}中，an＋1＝an＋n，则a2 011－a2 010＝________.5.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝，S4＝20，则S6＝__________.6.若等比数列{an}对于一切自然数n都有an＋1＝1－Sn，其中Sn是此数列的前n项和，又a1＝1，则其公比q为_________.7.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于________.8.已知{an}是等比数列，a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则公比q为________.9.若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.10.已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝________.11.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．12.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S2＝8，S4＝32，数列{bn}为等比数列，且b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，则{bn}的通项公式为bn＝__________.13.如果数列{an}是等差数列，则a1＋a8_____a4＋a5(填)14.数列的前n项和为________．15.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成__________个.16.已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于_________.17.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．18.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则Sn中也是常数的是__________.19.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为_________.20.已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝______.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)21.根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？22.在等差数列{an}中，(1) 已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2) 已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.23.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．24.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.25.已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．26.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．27.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．28.若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.29.已知数列：(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．30.写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程)(1)3,5,9,17,33，…；(2)，，，，…；(3)1,0，－，0，，0，－，0，….答案解析1.【答案】【解析】∵∴a＝，b＝x. ∴＝.2.【答案】2【解析】∵a1＝4，a2＝8，∴公比.3.【答案】3【解析】对于(1)，取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴ (ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，，(4)正确，所以正确命题有3个4.【答案】2 010【解析】∵a2 011＝a2 010＋2 010，∴a2 011－a2 010＝2 010.5.【答案】48【解析】设公差为d，由，即，解得∴S6＝6a1＋.6.【答案】【解析】∵当n＝1时，an＋1＝1－Sn………………①∵当n≥ 2时，an＝1－Sn－1………………②两式相减，得an＋1－an＝－an，∴＝.7.【答案】【解析】∵a3·a9＝a62∴a62＝2a52∴，解得，∴a18.【答案】－2【解析】∵a4·a7＝a3·a8＝－512，又a3＋a8＝124，∴或∵公比为整数，∴∴q5＝，解得q＝－2.9.【答案】－【解析】显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.10.【答案】【解析】由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d. 则＋＝2，解得d＝，∴这4个根依次为，，，，∴，或，.∴ |m－n|＝.11.【答案】5或6【解析】∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.故当n＝5或6时，Sn最大．12.【答案】2×()n－1【解析】设公差为d，公比为q，由已知得∴又b2(a2－a1)＝b1，∴. ∴bn＝2×()n－1.13.【答案】【解析】由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.14.【答案】【解析】，①，②由①－②得∴.15.【答案】512【解析】3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为29＝512.16.【答案】【解析】由a1·a2＝4，得a2＝4，由a1·a2·a3＝32，得a3＝.∵a1·a2·a3·a4＝42，且a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴ 42·a5＝52，∴a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.17.【答案】【解析】设an＝－24＋(n－1)d，由，解不等式得：<d≤3. 18.【答案】S13【解析】∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝＝13a7为常数．19.【答案】【解析】若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故.由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，.∴数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝.20.【答案】【解析】由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.则＋＝2，∴d＝，∴这4个根依次为，，，，∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝，∴|m－n|＝.21.【答案】若将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，….由框图可知，a1＝1，a2＝a1×＝，a3＝a2×＝，a4＝a3×＝，a5＝a4×＝.于是，可得递推公式由于＝，因此这个数列是等比数列，其通项公式是an＝n－1.【解析】22.【答案】(1)由题意知解得(2)∵∴∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴a9＝2×9－1＝17.【解析】23.【答案】方法一设公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则得a＝－1，b＝m＋n. 所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.【解析】24.【答案】当q＝1时，Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；当q≠1时，＋＝2×，得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，解得q3＝－或q3＝1(舍去)，∴q＝－.【解析】25.【答案】由题意知，等差数列5,4，3，…的公差为－，所以Sn＝5n＋(－)＝－(n－)2＋.于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．另解an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×＝－n＋.an＝－n＋≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0.故和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．【解析】26.【答案】分x＝1和x≠1两种情况．当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.∴Sn＝－.综上可得Sn＝【解析】27.【答案】该数列为－1,1,3,5,7【解析】∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.28.【答案】∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝【解析】29.【答案】(1)设f(n)＝＝＝.令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.(2) 令＝，得9n＝300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．(3) 证明∵an＝＝＝1－，又n∈N*，∴0<<1，∴0<an<1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4) 令<an＝<，∴，∴.∴<n<.∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.【解析】30.【答案】(1)an＝2n＋1.(2)an＝.(3)把数列改写成，，－，，，，－，，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性出现，因此，我们可以用sin表示，故an＝.【解析】。
2018届苏教版数列单元测试4
一、填空题(共20小题,每小题5.0分,共100分)1.已知数列{an}，an＝an＋m，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.2.等差数列1，－1，－3，…，－89共有__________.项．3.，… 的一个通项公式是________．4.下列有三种说法，其中正确的说法是________．①数列a，a，a，…是无穷数列；②数列{f(n)}可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1，2，…，n}的函数值；③已知数列{an}，则数列{an＋1－an}也是一个数列．5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于__________.6.数列…的第100项是__________.7.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．8.对于数列,依照下表则_________.9.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于_________.10.等比数列{an}中，an∈R＋，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为________.11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝pan＋q，且a2＝3，a4＝15，则p，q的值为_____.12.若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__________项.13.下列数列为等比数列的是__________.①2，22，222，… ；②…；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，… ；④000，…14.在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于________．15.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比q＝_______.16.等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则此数列的通项公式为________．17.已知等比数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn＝______.18.在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝__________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝__________.19.数列1，3，5，7，…的前n项和Sn＝__________.20.已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝_______.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)21.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？22.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．23.根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？24.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 设bn＝(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．25.设数列{an}是等差数列，bn＝an，已知b1＋b2＋b3＝，b1·b2·b3＝，求数列{an}的通项公式．26.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.27.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？28.在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.29.已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；(2) 设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．30.三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．答案解析1.【答案】2【解析】∴a2－a＝2，解得a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1. ∴由a＋m＝2，得m＝3，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.2.【答案】46【解析】由题意首项a1＝1，d＝－2，故－89＝1＋(n－1)(－2)，解得n＝46.3.【答案】an＝【解析】∵…，∴an＝.4.【答案】①③【解析】①③显然正确．对于②，数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2,3…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，故②不正确．5.【答案】3【解析】由题意，解得d＝3.6.【答案】【解析】观察所给数列，其通项公式应为an＝，当n＝100时，a100＝.7.【答案】an＝2n＋1【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.8.【答案】5【解析】由题意.则数列{a n}的项周期性出现，其周期为4,.9.【答案】(8n＋4－1)【解析】依题意，f(n)为首项为2，公比为8的数列的前n＋4项的和，∴.10.【答案】20【解析】log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5)4＝4log232＝20.11.【答案】或【解析】由已知可得a2＝pa1＋q，即p＋q＝3，a4＝pa3＋q＝p(pa2＋q)＋q＝p2a2＋pq＋q，即3p2＋pq＋q＝15，联立方程组解得或.12.【答案】13【解析】由题意，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，∴ 3(a1＋an)＝180，即a1＋an＝60.由Sn＝390，知，∴，解得n＝13.13.【答案】②…【解析】①项中，，∴①不是；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为000，…，∴不是；④项显然不是．14.【答案】16【解析】由等比数列的性质得a2·a6＝a42＝42＝16.15.【答案】【解析】依题意S1,2S2,3S3成等差数列，∴ 4S2＝S1＋3S3，易得q≠1∴ 4(a1＋a1q)＝a1＋.∵a1≠0，∴3q2－q＝0，解得q＝或q=0（舍）．16.【答案】an＝10－2n【解析】由解得或∵d<0，∴a2＝6，a4＝2 ∴d＝－2，∴an＝10－2n.17.【答案】【解析】由题意，由数列{an}的偶数项所组成的新数列的首项为a2＝2×32－1＝6，公比为q2＝32＝9，∴Sn＝18.【答案】－2 2n－1－【解析】∵a4＝q3＝－4，∴q＝－2，∴an＝×(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.19.【答案】【解析】. 20.【答案】90【解析】∵ 6，a，b,48成等差数列，∴a＋b＝6＋48＝54；又6，c，d,48成等比数列，∴q3＝＝8，解得q＝2，∴故c＝12，d＝24，∴a＋b＋c＋d＝90.21.【答案】依题意得，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a1＝500，d＝50.那么，到2010年(n＝10)，投入的资金总额为S10＝10×500＋×50＝7 250(万元)．答从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．【解析】22.【答案】方法一设公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则得a＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.【解析】23.【答案】若将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，….由框图可知，a1＝1，a2＝a1×＝，a3＝a2×＝，a4＝a3×＝，a5＝a4×＝.于是，可得递推公式由于＝，因此这个数列是等比数列，其通项公式是an＝n－1.【解析】24.【答案】(1) 由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵d>0，∴d＝2.∵a1＝1.∴an＝2n－1 (n∈N*)．(2)bn＝＝＝，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.假设存在整数t满足Sn>总成立，又Sn＋1－Sn＝－＝>0，∴数列{Sn}是单调递增的．∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.【解析】25.【答案】设数列{an}的公差为d，则＝d.∵d为非零常数，∴数列{bn}是等比数列，设公比为q.∵b1＋b2＋b3＝，b1·b2·b3＝，∴解得b2＝，q＝或q＝4.当q＝4时，b1＝，bn＝b1·qn－1＝×4n－1＝5－2n.又bn＝an，∴an＝5－2n.当q＝时，b1＝2，bn＝2n－3.又bn＝an，∴an＝2n－3.综上可知an＝5－2n或an＝2n－3.【解析】26.【答案】(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.∴Sn＝【解析】27.【答案】不是等比数列．∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a，∴数列{an}不是等比数列．【解析】28.【答案】由得解方程组得或【解析】29.【答案】(1) ∵an＝×n－1＝，Sn＝＝，∴Sn＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝.∴ {bn}的通项公式为bn＝.【解析】30.【答案】三个数为－2,2,6或6,2，－2.【解析】方法一设等差数列的中间一项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意得，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意得，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.。
2018届苏教版 数列第2节 单元测试
第二节 等差数列及其前n 项和A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172B.192C.10D.12 2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A.5B.7C.9D.113.(2014·天津，5)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A.2 B.－2 C.12D.－124.(2014·新课标全国Ⅱ，5)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.n (n ＋1) B.n (n －1) C.n n ＋1 2 D.n n －125.(2014·重庆，2)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A.5 B.8 C.10 D.146.(2015·安徽，13)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．7.(2015·陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________8.(2014·江西，13)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．9.(2016·新课标全国Ⅱ，17)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0， [2.6]＝2.10.(2014·大纲全国，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．11.(2014·浙江，19)已知等差数列{a n}的公差d＞0.设{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及S n；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋k＝65.12.(2014·重庆，16)已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．(1)求a n及S n；(2)设{b n}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0.求{b n}的通项公式及其前n项和T n.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·黄冈中学检测)已知{a n}是等差数列，a1＋a7＝－2，a3＝2，则{a n}的公差d＝()A.－1B.－2C.－3D.－42.(2016·豫北重点中学第二次联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＋a4＋a7＝6，则S7＝()A.10B.12C.14D.163.(2016·河南六市联考)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n＋2－S n＝36，则n＝()A.5B.6C.7D.84.(2016·济南一中高三期中)等差数列{a n}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得a n＞0的最小正整数n为()A.7B.8C.9D.105.(2015·长春调研)已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4＝20，S6－S2＝36，则该等差数列的公差d＝()A.－2B.2C.－4D.46.(2015·石家庄质量检测)已知等差数列{a n}中，a1 007＝4，S2 014＝2 014，则S2 015＝()A.－2 015B.2 015C.－4 030D.4 0307.(2015·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝15,且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0,则正整数k ＝( ) A.21 B.22 C.23D.248.(2015·山东德州模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·3a n }的前n 项和.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由S 8＝4S 4知，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)， 又d ＝1，∴a 1＝12，a 10＝12＋9×1＝192.答案B2.解析∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.故选A.答案A3.解析由S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6成等比数列可得(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)， 解得a 1＝－12.答案D4.解析因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2. 所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋1)．故选A.答案A5.解析由等差数列的性质得a 1＋a 7＝a 3＋a 5，因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8，选B.答案B6.解析由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.答案277.解析由题意设首项为a 1， 则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020， ∴a 1＝5. 答案58.解析由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案⎝⎛⎭⎫－1，－78 9.解(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35.当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10.(1)证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是111()(21)nnk k k k aa k +==-=-∑∑，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1. 又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 11.解(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)·(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 12.解(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q＝23(4n－1)．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析a 1＋a 7＝a 3－2d ＋a 3＋4d ＝2a 3＋2d ＝－2，得d ＝－3. 答案C2.解析a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝6，a 4＝2，S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝14.答案C3.解析 S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36， 解得n ＝8.所以选D. 答案 D4.解析方法一 S 13＝13（a 1＋a 13）2＝0，a 13＝－a 1＝12，d ＝a 13－a 113－1＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －14， 解a n ＞0，得n ＞7，故使a n ＞0的最小正整数n 为8.方法二 S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7＝0，得a 7＝0，故a 8＞0，故a n ＞0的最小正整数为n ＝8. 答案 B5.解析由题意，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝36， 作差可得8d ＝16，即d ＝2. 答案B6.解析因为{a n }是等差数列，所以S 2 014＝1 007(a 1＋a 2 014)＝1 007(a 1 007＋a 1 008)＝2 014，则a 1 007＋a 1 008＝2，又a 1 007＝4，所以a 1 008＝－2，则S 2 015＝2 015（a 1＋a 2 015）2＝2 015a 1 008＝－4 030.，故选C.答案 C7.解析3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ＋1·a k <0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴正整数k ＝23，故选C. 答案C8.解(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由条件可知：(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )，解得d ＝2. 由数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *).(2)由(1)知a n ·3a n ＝2n ×32n ，设数列{a n ·3a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝2×32＋4×34＋6×36＋…＋2n ×32n ， 32S n ＝2×34＋4×36＋…＋(2n －2)×32n ＋2n ×32n ＋2，故－8S n ＝2(32＋34＋36＋…＋32n )－2n ×32n ＋2，所以S n ＝（8n －1）×9n ＋1＋932.（8n－1）×9n＋1＋9所以数列{a n·3a n}的前n项和S n＝32.。
2018届苏教版 数列 单元测试
一．基础题组1.【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．1 3B．13- C．19D．19-【答案】：C2.【2012全国，理5】已知等差数列{an}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列{11n na a+}的前100项和为()A．100101B．99101C．99100D．101100【答案】 A【解析】15155()5(5)1522a a aS++===，∴a1＝1.∴515115151a ad--===--.∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.∴111(1)n na a n n+=+.设11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为T n，则1001111223100101T=+++⨯⨯⨯…＝111111223100101-+-++-…＝11001101101-=. 3. 【2010全国2，理4】如果等差数列{a n}中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于()A ．14B ．21C ．28D ．35 【答案】：C4. 【2006全国2，理14】已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC上的中线AD 的长为 . 【答案】:3【解析】:∵A ,B ,C 成等差数列,∴B =60°. 在△ABD 中,AB =1,BD =2,∠B =60°. ∴由余弦定理得AD =3.5. 【2014新课标，理17】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.【答案】（1）n a =312n -. （2）见解析【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231nn a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +L1na 111133n -≤+++L =31(1)23n -32<， 所以11a +21a +L1n a 32<. 6. 【2011新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，23239a a a =.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1{}nb 的前n 项和． 【答案】（1）13n n a =. （2）n 项和为21nn -+.7. 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【考点定位】等差数列和递推关系．二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理16】等差数列{a n}的前n 项和为S n，已知S10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．【答案】：－492. 【2010全国2，理18】已知数列{a n }的前n 项和S n＝(n 2＋n )·3n.(1)求lim n →∞nna S ； (2)证明1222212n a a a n+++ ＞3n. 【答案】（1）limn n na S →∞＝23. （2）见解析3. 【2005全国3，理20】(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.已知数列,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k【解析】：依题设得,)1(1d n a a n -+= 4122a a a =∴)3()(1121d a a d a +=+，整理得d 2=a 1d ，∵0,d ≠ ,1a d =∴得,nd a n = 所以， 由已知得d ，3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d n …是等比数列. 由,0≠d 所以数列 1，3，k 1，k 2，…，k n ，… 也是等比数列，首项为1，公比为.9,3131===k q 由此得 等比数列),3,2,1(39,3,9}{111 ==⨯===+-n q k q k k n n n n 所以公比的首项， 即得到数列.3}{1+=n n n k k 的通项4. 【2005全国2，理18】(本小题满分12分)已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21nn b a =，1,2,3,n = ．(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和13S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限) 【答案】见解析由13S =，得公差d =3，首项1a =d =3 三．拔高题组1. 【2006全国2，理11】设S n是等差数列{a n}的前n 项和,若63S S =31,则126S S 等于（ ）A.103B.31 C.81D.91 【答案】:A【解析】:由已知设a 1+a 2+a 3=T ,a 4+a 5+a 6=2T ,a 7+a 8+a 9=3T ,a 10+a 11+a 12=4T .∴126S S =1034322=+++t t t t t t ＋. ∴选A.2. 【2005全国2，理11】如果128,,,a a a为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ）(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a <(C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =【答案】B3. 【2012全国，理22】函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标． (1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3；(2)求数列{x n }的通项公式．【答案】见解析【解析】：(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3.①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为(2)55(4)24f y x --=--，令y ＝0，解得2114x =，所以2≤x 1＜x 2＜3.4.【2006全国2，理22】设数列{a n}的前n项和为S n,且方程x2-a n x-a n=0有一根为S n-1,n= 1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)求{a n}的通项公式.【答案】见解析5. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，.（Ⅰ）求111101b b b ， ，； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.【答案】（Ⅰ）10b=，111b=，1012b=；（Ⅱ）1 893.【解析】【考点】等差数列的通项公式、前n项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.。
2018届苏教版 等比数列及其前n项和 单元测试
等比数列及其前n 项和基础巩固组1.若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n ,则公比q 为( ).A.2B.4C.8D.16答案:B解析:由a n a n+1=16n,可得a n+1a n+2=16n +1,两式相除得,a n +1a n +2an a n +1=16n +116n =16,∴q 2=16. ∵a n a n+1=16n ,可知公比q 为正数,∴q=4.2.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴,……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( ). A.420只 B.520只C .520-54只D .421-43只 答案:B解析:由题意,可设蜂巢里的蜜蜂数为数列{a n },则a 1=1+4=5,a 2=5×4+5=25,…,a n =5a n-1,故数列{a n }为等比数列,首项a 1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a 20=5×519=520只蜜蜂. 3.(2015课标全国高考Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ). A.21 B.42 C.63 D.84答案:B 解析:由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42. 4.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则等差数列{a n }的前n 项和S n =( ). A.n (n+1) B.n (n-1) C .n (n +1)D .n (n -1)答案:A解析:∵a 2,a 4,a 8成等比数列,∴a 42=a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14), 解得a 1=2.∴S n =na 1+n (n -1)d=2n+n 2-n=n 2+n=n (n+1).故选A .5.设数列{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 . 答案:-12解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+4×32×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-12.6.已知数列{a n}是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则a1=,1a12+1a22+…+1a n2=.答案:2131-14n解析:∵{a n}是公比为2的等比数列,且a3-a1=6, ∴4a1-a1=6,即a1=2.∴a n=2·2n-1=2n.∴1 a n2=14n,即数列1a n2是首项为14,公比为14的等比数列.∴1 a12+1a22+…+1a n2=141-14n1-14=131-14n.7.若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=.答案:50解析:因为{a n}为等比数列,所以由已知可得a10a11=a9a12=a1a20=e5,于是ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2a3…a20),而a1a2a3…a20=(a1a20)10=(e5)10=e50,因此ln a1+ln a2+…+ln a20=lne50=50.8.(2015湖南高考)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.答案:3n-1解析:设等比数列{a n}的公比为q,则a n=a1q n-1=q n-1.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3), 也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列{a n}的首项为a1=1,公比为q=3,故a n=3n-1.9.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且数列{S n}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a1+a3+…+a2n+1.解:(1)∵S1=a1=1,且数列{S n}是以2为公比的等比数列,∴S n=2n-1.又当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-2(2-1)=2n-2.∴a n =1,n =1,2n -2,n ≥2.(2)由(1)知,a 3,a 5,…,a 2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,∴a 3+a 5+…+a 2n+1=2(1-4n )1-4=2(4n -1)3. ∴a 1+a 3+…+a 2n+1=1+2(4n -1)3=22n +1+13. 能力提升组10.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则lo g 1(a 5+a 7+a 9)的值是( ).A.-15 B.-5 C.5D .15答案:B解析:由log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *),得log 3a n+1-log 3a n =1,且a n >0,即log 3a n +1n =1,解得a n +1n=3, 所以数列{a n }是公比q=3的等比数列. 因为a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)q 3, 所以a 5+a 7+a 9=9×33=35. 所以lo g 1(a 5+a 7+a 9)=lo g 1335=-log 335=-5.11.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1,则满足an n ≤2的正整数n 的集合为( ). A.{1,2} B.{1,2,3,4} C.{1,2,3} D.{1,2,4}答案:B解析:因为S n =2a n -1,所以当n ≥2时,S n-1=2a n-1-1. 两式相减得a n =2a n -2a n-1, 整理得a n =2a n-1,所以{a n }是公比为2的等比数列. 又因为a 1=2a 1-1,解得a 1=1, 故{a n }的通项公式为a n =2n-1. 而an n ≤2,即2n-1≤2n , 所以有n=1,2,3,4.12.(2015福建高考)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( ). A.6B.7C.8D.9答案:D解析:由题意得 a +b =p >0,ab =q >0,则 a >0,b >0.不妨设a<b ,则-2,a ,b 成等差数列,a ,-2,b 成等比数列,即 -2+b =2a ,ab =4,解得 a =1,b =4,∴ p =5,q =4.∴p+q=9.13.如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2 2,过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……依此类推,设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= . 答案:14解析:由题意知数列{a n }是以首项a 1=2,公比q= 22的等比数列,∴a 7=a 1·q 6=2× 22 6=14.14.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=t ,点(S n ,a n+1)在直线y=3x+1上,n ∈N *. (1)当实数t 为何值时,数列{a n }是等比数列;(2)在(1)的结论下,设b n =log 4a n+1,c n =a n +b n ,T n 是数列{c n }的前n 项和,求T n . 解:(1)∵点(S n ,a n+1)在直线y=3x+1上,∴a n+1=3S n +1,a n =3S n-1+1(n>1,且n ∈N *),a n+1-a n =3(S n -S n-1)=3a n ,∴a n+1=4a n ,n>1,a 2=3S 1+1=3a 1+1=3t+1,∴当t=1时,a 2=4a 1,数列{a n }是等比数列.(2)在(1)的结论下,a n+1=4a n ,a n+1=4n , b n =log 4a n+1=n ,c n =a n +b n =4n-1+n ,T n =c 1+c 2+…+c n =(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n ) =(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n )=4n -1+n (n +1). 15.已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,a n=2;当d=4时,a n=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n}的通项公式为a n=2或a n=4n-2.(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n>60n+800成立.=2n2,当a n=4n-2时,S n=n[2+(4n-2)]2令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当a n=2时,不存在满足题意的正整数n;当a n=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.。
2018届苏教版数列单元测试28
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共0小题,每小题5.0分,共0分)二、填空题(共15小题,每小题5.0分,共75分)1.数列的通项公式，其前n项和为，则S2012等于___________.2.设，则________．3.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则an＝_________.4.已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．5.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是__________.6.数列{an}的通项公式是，若前n项的和为10，则项数n为____________.7.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则的值为__________.8.下列数列为等比数列的是__________.①2，22，222，… ；②…；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，… ；④000，…9.若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，则实数a的值为_________．10.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝4，则其前9项的和S9等于__________.11.等比数列中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝________.12.数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，则数列的通项an＝__________.13.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．14.数列的前n项和为.15.下列说法不正确的是__________.①根据通项公式可以求出数列的任何一项；②任何数列都有通项公式；③一个数列可能有几个不同形式的通项公式；④有些数列可能不存在最大项.三、解答题(共5小题,每小题12.0分,共60分)16.已知a，b，c成等差数列，证明a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也能构成等差数列．17.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 014项是多少？18.(1) 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2) 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.19.设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.20.在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．答案解析1.【答案】1006【解析】∵，∴当n为奇数时，，当n为偶数时，，其中，∴.2.【答案】【解析】由易得令则两式相加，得∴.3.【答案】2＋ln n【解析】由条件a2＝a1＋，a3＝a2＋，a4＝a3＋，…，an－1＝an－2＋，an＝an－1＋，故an＝a1＋＋＋＋…＋＋ln＝a1＋…＝a1＋＝2＋.4.【答案】110【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.则a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，∴解得d＝－2，a1＝20.∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.5.【答案】【解析】∵S偶－S奇＝5d＝15－12.5＝2.5，∴d＝0.5.由10a1＋×0.5＝15＋12.5＝27.5，∴a1＝0.5.6.【答案】120【解析】∵，∴Sn＝()＋()＋…＋()＝＝10，解得n＝120.7.【答案】【解析】S2n－1＝(2n－1)·，同理T2n－1＝(2n－1)bn.∴令n＝11得.8.【答案】②…【解析】①项中，，∴①不是；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为000，…，∴不是；④项显然不是．9.【答案】－4【解析】∵a,2a＋2,3a＋3成等比数列，∴ (2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－1或a＝－4.当a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，故应舍去．当a＝－4时满足题意，∴a＝－4.10.【答案】18【解析】∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∴S9＝(a2＋a8)＝18.11.【答案】25【解析】a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，∴a8·a9·a10·a11＝(a5·a14)2＝25.12.【答案】【解析】∵a1＝2，an＋1－an＝2n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，以上各式累加得an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，∴an＝.13.【答案】【解析】由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.14.【答案】【解析】由于,∴.15.【答案】②【解析】不是所有的数列都有通项公式，如0，1，2，1，0，….16.【答案】证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)＝b(a2＋c2)＋2abc＝b(a2＋c2＋2ac)＝b(a＋c)2＝b·(a＋c)·(a＋c)＝2·b2(a＋c)．∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能构成等差数列．【解析】17.【答案】a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6，证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.∴数列{an}是周期数列，且T＝6.∴a2 014＝a335×6＋4＝a4＝－1.【解析】18.【答案】(1)∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5，∴ 5a5＝450，解得a5＝90.又a2＋a8＝2a5，∴a2＋a8＝180.(2)方法一）∵ {an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为其第4项，∴a60＝a15＋3d，得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝24.方法二）设{an}的公差为d，则a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，∴解得∴a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.【解析】19.【答案】(1) 由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.又a1＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2) 由bn＝nan＝n·22n－1得Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1……………… ①∴ 22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1……………… ②由①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．【解析】20.【答案】设等差数列{an}的公差为d.方法一：由S17＝S9，得，解得d＝－2，∴.由二次函数性质，当n＝13时，Sn有最大值169.方法二：（同方法一）求出d＝－2，∵a1＝25＞0，由得又，∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法三：（同方法一）求出d＝－2，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵，∴a13，a14.故n＝13时，Sn有最大值169.【解析】。
2018届苏教版 数列的通项、求和 单元检测
一、 填空题1.已知数列{a n }的首项为a 1=1，且a n+1=a n +2n (n ∈N *)，则这个数列的通项公式为 .2.已知数列{a n }满足a 1=1，-1n n a a =-1n n (n ≥2)，则此数列的通项公式是 .3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n+2=2a n+1-a n ，a 5=4-a 3，则S 7= .4.已知数列{a n }满足a 1=3，a n =a n-1+1(-1)n n (n ≥2)，则此数列的通项公式为 .5.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=-1，a n+1=S n S n+1，则S n = .6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2S n +1(n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为 .7.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，2n S n =a n+1-13n 2-n-23，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为 .8.在数列{a n }中，已知a n =-4n+5，等比数列{b n }的公比q 满足q=a n -a n-1(n ≥2)且b 1=a 2，则|b 1|+|b 2|+…+|b n |= .二、 解答题9.设数列{a n }满足a 1=2，a n+1-a n =3·22n-1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .10.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足2n S -(n 2+n-3)S n-3(n 2+n )=0，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n =11n n a a +，求数列{b n }的前n 项和T n.11.已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，21n a +-2n a =2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n .一、 填空题1. a n =n 2-n+1 【解析】由a n+1-a n =2n ，得a 2-a 1=2×1，a 3-a 2=2×2，…，a n -a n-1=2×(n-1)，所以a n -a 1=2[1+2+3+…+(n-1)]=n (n-1)，所以a n =n 2-n+1.2. a n =1n 【解析】21a a =3212a a ，=23，…，-1n n a a =-1n n ，累乘得1n a a =1n ，所以a n =1n .3. 14 【解析】由a n+2=2a n+1-a n ，得数列{a n }为等差数列.又因为a 5=4-a 3，所以a 5+a 3=4=a 1+a 7，所以S 7=177()2a a +=14.4. a n =4-1n 【解析】a n -a n-1=1(-1)n n =1-1n -1n ，所以由叠加法得a n =4-1n .5. -1n 【解析】因为a 1=-1，a n+1=S n S n+1，所以S 1=-1，S n+1-S n =S n S n+1，所以11n S +-1n S =-1，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为-1、公差为-1的等差数列，所以1n S =-n ，所以S n =-1n .6. a n =3n-1 【解析】由a n+1=2S n +1，得a n =2S n-1+1(n ≥2)，两式相减得a n+1-a n =2a n ，a n+1=3a n (n ≥2).又a 2=2S 1+1=3，所以a 2=3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，所以a n =3n-1.7. a n =n 2 【解析】依题意，2S 1=a 2-13-1-23，又S 1=a 1=1，所以a 2=4；当n ≥2时，2S n =na n+1-13n 3-n 2-23n ，2S n-1=(n-1)a n -13(n-1)3-(n-1)2-23(n-1)，两式相减得2a n =na n+1-(n-1)a n -13(3n 2-3n+1)-(2n-1)-23，整理得(n+1)a n =na n+1-n (n+1)，即11n a n ++-n a n =1.又22a -11a =1，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a =1，公差为1的等差数列，所以na n =1+(n-1)×1=n ，所以a n =n 2.8. 4n -1 【解析】因为q=a n -a n-1=-4，b 1=a 2=-3，所以b n =b 1q n-1=-3×(-4)n-1，所以|b n |=|-3×(-4)n-1|=3×4n-1，即{|b n |}是公比为4的等比数列，所以|b 1|+|b 2|+…+|b n |=3(1-4)1-4n =4n -1.二、 解答题9. (1) 由已知，当n ≥1时，a n+1=[(a n+1-a n )+(a n -a n-1)+…+(a 2-a 1)]+a 1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22n+1.而a 1=2，所以数列{a n }的通项公式为a n =22n-1.(2) 由b n =na n =n ·22n-1，知S n =1·2+2·23+3·25+…+n ·22n-1， ①从而22·S n =1·23+2·25+3·27+…+n ·22n+1， ②由①-②得(1-22)·S n =2+23+25+…+22n-1-n ·22n+1，即S n =19[(3n-1)22n+1+2].10. (1) 令n=1，得21S -(-1)S 1-3×2=0，即21S +S 1-6=0，所以(S 1+3)(S 1-2)=0. 因为S 1>0，所以S 1=2，即a 1=2.由2n S -(n 2+n-3)S n-3(n 2+n )=0， 得(S n +3)[S n -(n 2+n )]=0，因为a n >0(n ∈N *)，所以S n >0，从而S n +3>0，所以S n =n 2+n ，所以当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n 2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n.又a 1=2=2×1，所以a n =2n (n ∈N *).(2) 由(1)知a n =2n ，所以b n =11n n a a +=122(1)n n ⋅+=111-41n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 所以T n =1411-2⎛ ⎝+12-13+13-14+…+1-1n -1n +1n -11n ⎫⎪+⎭=111-41n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=4(1)n n +.11. (1) 因为21n a +-2n a =2，21a =1，所以数列{2n a }是首项为1，公差为2的等差数列，所以2n a =1+(n-1)×2=2n-1.因为a n >0，所以a nn ∈N *).(2) 由(1)知，a n所以22n n a =2-12n n ，于是S n =12+232+352+…+-12-32n n +2-12n n ， ①12S n =212+332+452+…+2-32n n +12-12n n +， ②①-②，得12S n =12+222+322+422+...+22n -12-12n n +=12+22341111 (222)2n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭-12-12n n +=12+2×-1111-4211-2n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭-12-12n n +=32-1232n n ++， 所以S n =3-232n n +.。
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1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ，则a n ＝____________. 2．(2016·南京模拟)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝－2a n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________________.
4．(2016·南通、扬州、泰州三模)在等差数列{a n }中，若a n ＋a n ＋2＝4n ＋6(n ∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝________.
5．(2016·常州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.
6．数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1
(n ∈N *)，则a 2015＝________. 7．定义：称n x 1＋x 2＋…＋x n
为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1
，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 8．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n
＝⎩⎨⎧
1＋2a n 2，n 为偶数，12＋2a n －12，n 为奇数， n ＝2,3,4，…，设b n ＝a n －12＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________．
9．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝3a n －1＋3n ＋4(n ∈N *，n ≥2)，若存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋λ3n 为等差数列，则λ＝____________.
10．已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.
(1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求p 的值；
(2)若p ＝12
，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．
答案精析
1．2＋ln n 2.2n 3.(－2)n －
1＋1 4.2n ＋1 5．(n ＋1)3
解析 当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2
a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n n ＋1，
得4(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1n ，两式相减，得4a n ＝(n ＋2)2a n n ＋1－(n ＋1)2a n －1n ，即a n a n －1
＝(n ＋1)3n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8＝(n ＋1)3，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3.
6．－ 3
解析 由a n ＋1＝
a n －33a n ＋1， 得a 2＝
a 1－33a 1＋1＝－3， a 3＝
a 2－33a 2＋1＝－3－3－3＋1＝3， a 4＝a 3－33a 3＋1
＝3－33＋1＝0， 所以数列{a n }的循环周期为3.
故a 2015＝a 3×671＋2＝a 2＝－ 3.
7．4n －1
解析 由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.
8．b n ＝2n
解析 由题意得，对于任意的正整数n ，
b n ＝a n －
12＋1，所以b n ＋1＝a n 2＋1， 又a n 2＋1＝2(a n －
12＋1)＝2b n ， 所以b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1＋1＝2，
所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以b n ＝2n .
9．2
解析 设b n ＝a n ＋λ3
n ，得a n ＝3n b n －λ，代入已知得3n b n －λ＝3(3n －1b n －1－λ)＋3n ＋4，变形为3n (b n －b n －1－1)＝－2λ＋4，这个式子对大于1的所有正整数n 都成立．由于{b n }是等差数列，b n －b n －1是常数，所以b n －b n －1－1＝0，即－2λ＋4＝0，可得λ＝2.
10．解 (1)因为{a n }是递增数列，
所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .
而a 1＝1，因此a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.
又a 1,2a 2,3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，
即3p 2－p ＝0，解得p ＝13
或p ＝0. 当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，
这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13
. (2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1＞0， 于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)＞0.①
因为122n ＜12
2n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |＜|a 2n －a 2n －1|.② 由①②知，a 2n －a 2n －1＞0，
因此a 2n －a 2n －1＝(12)2n －1＝(－1)2n 2
2n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n ＜0，
故a 2n ＋1－a 2n ＝－(12)2n ＝(－1)2n ＋122n .④
由③④可知，a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋1
2n . 于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)
＝1＋12－122＋…＋(－1)n 2
n －1 ＝1＋12·1－(－12)n －11＋12
＝43＋13·(－1)n 2
n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·(－1)n 2
n －1.。