相交弦定理
相交弦定理与切割线定理
有什么关系？
相交弦定理 圆内的两条相交弦，被
交点分成的两条线段长的积 相等。（经过圆内一点引两 条弦，各弦被这点所分成的 两段的积相等）
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
•
几何语言： ∵PT是⊙O切线，
PBA，PDC是 O的割线 ∴PD·PC=PA·PB
• 从以上两个定理可以发现： • 不管C如何变化，CDCG、CECF
• 及 r 2 AC2 这三个值都相等。
• 即乘积的值与圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ半径的平方减去 • 圆心A到点C的距离的平方的绝对值 • 相等。
高中数学 1.2.5 相交弦定理课件 北师大版选修4-1
图 1－2－85 (1)求证：PA· PE＝PC· PD； (2)当 AD 与⊙O2 相切且 PA＝6，PC＝2，PD＝12 时，求 AD 的长．
【解】
(1)证明：连接 AB，CE，
∵CA 切⊙O1 于点 A， ∴∠1＝∠D. 又∵∠1＝∠E， ∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3， ∴△APD∽△CPE. PA PD ∴ ＝ ， PC PE 即 PA· PE＝PC· PD.
【答案】 2
1．解答本题的关键是先用相交弦定理求 PD，再用勾股 定理或射影定理求 AD、CD. 2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与 垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．
如图 1－2－83，已知 AB 是⊙O 的直径，OM＝ON，P 是⊙O 上的点，PM、PN 的延长线分别交⊙O 于 Q、R. 求证：PM· MQ＝PN· NR.
2.5 相交弦定理
课 标 解 读
1.掌握相交弦定理及其证 明过程． பைடு நூலகம்．能灵活运用相交弦定 理进行计算与证明.
相交弦定理 (1)文字叙述
图 1－2－81
圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积相等． (2)图形表示 如图 1－2－81，弦 AB 与 CD 相交于圆内一点 P，则
PB＝PC· PD . 有： PA·
1．解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确 已知转化的方向，从而求得结论． 2．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦 定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论．
如图 1－2－85 所示， 已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A， B 两点， 过点 A 作⊙O1 的切线，交⊙O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线 分别交⊙O1，⊙O2 于点 D，E，DE 与 AC 相交于点 P.
相交弦定理精品PPT教学课件
求证：PA*PB= PA •PB r2d2
B
C
D
O
P
A
1. 例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC 交⊙O于C．
2. 求证：PC2＝PA·PB
C
A
P
B
O
D
12
2020/12/6
例4：已知：线段a、b（a＞b） a 求作：线段c，使c2=ab
b
探索尝试多种作法
课堂练习（口答）
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于
C GA
⊙O内一点G，则有GC×GDG=B×GA , B
D
(2) 如图，弦AB垂直于⊙O直径
MN于Q，MN：QN=5：1，
AB=8，10
M
则MN= ，ຫໍສະໝຸດ 14A QN
B 2020/12/6
课堂练习（口答）
(3)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两 部分，CD被AB分为3：1两部分，则这 两部分长6分别是2 cm和 cm.
式子：AP×PB=CP ×PD成立,我们应该怎 样用推理的方法证明这一结论呢?
A
D
O PB
C
4
2020/12/6
A
D
O PB
C
D
A
P
O
B
C
D
A
P
O
B
C
同学们，你们现在可以写出证明吗？
5
2020/12/6
证明：连结AC、BD
D
A
P
O
B
∠A= ∠D ∠C= ∠B
C
=> △PAC∽△PDB => PA∶PD=PC∶PB
新培优数学选修课件第章相交弦定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半。
三角函数与解三角形
01
三角函数
正弦、余弦、正切等三角函数在圆中的定义及性质，如正弦值等于对边
比斜边等。
02
解三角形
利用三角函数及圆的性质解决与三角形有关的问题，如求三角形的面积
、角度等。
03
三角形的内心与外心
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心
相交弦定理是关于圆的两条相交弦的性质定理，即圆内的两条相 交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理的证明方法
通过相似三角形或者圆的性质进行证明，理解证明过程有助于加深 对定理的理解。
相交弦定理的应用
在几何题目中，相交弦定理常用于求解与圆有关的线段长度或角度 问题。
复习建议：如何巩固所学知识
1 2
回顾课堂笔记和教材
重新阅读课堂笔记和教材，加深对相交弦定理的 理解。
做相关练习题
通过做大量的练习题，熟练掌握相交弦定理的应 用。
3
与同学讨论
与同学一起讨论相交弦定理的相关问题，互相学 习，互相帮助。
思考题与练习题：检验学习效果
01
02
03
思考题
思考相交弦定理在实际生 活中的应用场景，提高学 习兴趣。
练习题
通过做练习题，检验自己 对相交弦定理的掌握程度 ，查漏补缺。
拓展题目
尝试解决一些与相交弦定 理相关的拓展题目，提高 自己的解题能力。
THANKS
感谢观看
相交弦定理的应用举例
通过具体的例题，展示相交弦定理在 解决实际问题中的应用，加深学生对 定理的理解和掌握。
相交弦定理应用题
相交弦定理应用题
相交弦定理是一个在几何学中非常重要的定理，它描述了两个弦在圆上相交时，两个弦的长度和它们所对应的弓形的面积之间的关系。
以下是几个应用相交弦定理的题目：
1. 圆中的四边形问题：
在一个圆中，有四个点A、B、C、D，其中AB与CD相交于点E。
已知AE=6cm，BE=3cm，ED=4cm，求BC的长度。
2. 圆中的三角形问题：
在圆O中，弦AB与弦CD相交于点P，且AP=3cm，BP=5cm，
CP=4cm，DP=6cm。
求弦AC的长度。
3. 求角度问题：
在圆中，两条弦AB与CD相交于点F，已知∠AFC=60°，∠BFD=40°，且AF=3，CF=5。
求∠BDC的大小。
4. 求面积问题：
在圆O中，两条弦AB与CD相交于点E，已知OA=OB=3cm，CE=2cm，DE=5cm。
求圆O的面积。
5. 综合应用问题：
在圆O中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E。
已知AE=2cm，
BE=6cm，DE=5cm。
求圆O的半径以及弓形ACDB的面积。
解答上述题目需要使用相交弦定理以及相关的几何知识。
通过这些题目，你可以更好地理解和应用相交弦定理。
相交弦定理逆定理证明四点共圆
相交弦定理逆定理证明四点共圆-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分内容：相交弦定理逆定理是几何学中的重要定理，它描述了当两条弦相交时，它们与圆心的连线所夹的角相等。
而逆定理证明则是证明了当两条弦与圆心的连线所夹的角相等时，这两条弦必定相交。
本文通过推导和证明，将展示这一定理的正确性和重要性。
同时，本文还将探讨四点共圆的性质，即当一个四边形的四个顶点都在同一圆上时，该四边形被称为四点共圆。
通过相交弦定理逆定理的证明，我们可以得知四个点共圆的充要条件，这对于几何学的理解和应用具有重要意义。
在正文部分，我们将详细介绍相交弦定理和逆定理的内容及证明过程，并探讨四点共圆的相关性质。
在结论部分，我们将总结本文的主要观点，并展望相交弦定理在几何学中的应用前景。
通过本文的阐述，读者将对相交弦定理的逆定理和四点共圆有更深入的理解和认识。
1.2 文章结构文章结构部分内容：本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将会对文章的主题进行概述，介绍相交弦定理和逆定理的相关概念，并说明本文的目的和意义。
在正文部分，将详细介绍相交弦定理和逆定理的证明过程，以及四点共圆的相关内容。
在结论部分，将对本文进行总结，探讨相交弦定理和逆定理的意义，并展望未来可能的研究方向。
通过这样的结构，读者可以清晰地了解本文的内容，从而更好地理解相交弦定理和逆定理证明四点共圆的相关知识。
1.3 目的目的部分的内容：本篇文章旨在探讨相交弦定理的逆定理证明，以及利用该定理证明四点共圆的问题。
通过对相交弦定理的逆定理进行证明，并且利用该逆定理证明四点共圆的方法，来深入理解几何学中的重要定理和概念。
同时，希望通过本文的研究，能够对读者加深对几何学知识的理解，提高其解题能力和逻辑推理能力。
2.正文2.1 相交弦定理相交弦定理是几何学中常用的重要定理之一，它是描述圆内部两条相交弦长度乘积等于另外两条相交弦长度乘积的几何关系。
在圆内部，如果两条相交弦AB和CD相交于点E，那么根据相交弦定理可知，AE乘以EB的长度等于CE乘以ED的长度，即AE*EB=CE*ED。
圆相交弦定理
圆相交弦定理
圆相交弦定理，又称为“圆周角定理”，是指在一个圆中，如果两条弦相交，则它们所对应的圆周角相等。
具体来说，如果在一个圆中，有两条弦AB和CD相交于点E，那么角AEC和角BED的度数相等。
即：∠AEC = ∠BED。
这个定理可以通过数学证明来得出。
我们可以先证明一下当两条弦在圆上互不相交时，它们所对应的圆周角不相等。
然后再通过对弦的延长，将它们变成相交的弦，最终得出上述结论。
这个定理在实际应用中有很多用途。
例如，在计算圆的面积时，我们可以使用圆相交弦定理来确定圆心角的度数，从而计算出圆的面积。
此外，这个定理还可以用于解决各种几何问题，例如计算圆的切线长度、确定圆心位置等等。
- 1 -。
初中数学 什么是相交弦定理
初中数学什么是相交弦定理
相交弦定理是初中数学中与圆相关的另一个重要定理，它描述了圆上相交弦的关系。
下面我将详细介绍相交弦定理的定义、性质和相关概念。
1. 相交弦定理的定义：
-相交弦定理：在一个圆上，两条相交的弦所分割的弧，乘积相等。
2. 相交弦定理的性质：
-定理性质1：两条相交弦所分割的弧，乘积相等。
设有两条相交的弦AB和CD，它们相交于点E，那么有AE·EB = CE·ED。
3. 相交弦定理的相关概念：
-弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
-弧：圆上两点之间的弧称为弧。
-相交弦：在一个圆上，两条不重合的弦相交于一点。
相交弦定理是初中数学中的一个重要定理，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与相交弦相关的问题。
在应用相交弦定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们已知一个圆上的两条相交弦AB和CD，它们相交于点E，现在需要求解AE·EB 和CE·ED的乘积。
根据相交弦定理的性质，我们可以得出AE·EB = CE·ED。
因此，我们可以通过已知的相交弦所分割的弧的乘积相等求解乘积。
相交弦定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们求解相交弦所分割的弧的乘积相等，判断弦的位置关系，以及推导其他几何定理。
在应用相交弦定理时，需要注意定理的性质和运用几何知识进行推理和分析。
希望以上内容能够满足你对相交弦定理的了解。
浙教版九年级下册数学《相交弦定理》PPT课件
小结: 2、本节课我们学习了哪些
▪ 学习了由一般到特殊的数数学学思想？ （由定理直接得到
推论）
▪ 相交弦定理及推论在证明等积式及圆中相 关线段的求值问题中有着广泛的运用。
AB是过点P的一条弦。设圆的半径为r,OP=d
r d 求证： PA• PB 2 2
B
C
D
O
P
A
例 3 、 如 图 ： 在 ⊙ O 中 ， P 是 弦 AB 上 一 点 ， OP⊥PC，PC 交⊙O于C．
求证：PC2＝PA·PB
C
A
P
B
O
D
课堂练习（口答）
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于
口答：
1、如右图，由射影定理可以得 出什么关系式？
A
2、根据垂径定理，改写上式
：
A
CP×PD=AP ×PB
C
O
PB
C
O
PB
D
将AC、BE改为两条对一般情形
的相交弦，上式还会成立吗？
C
A
D
A
O
PBO PBD来自C？ AP×PB==CP ×PD
A
D
O PB
C
D
A
P
O
B
C
D
A
P
O
B
C
同学们，你们现在可以证明 AP×PB=CP ×PD吗？
MN⊥CD于N，以下式子B 成立的是(
). a2 bc
b2 ac
M b
(A)c2 a(bB) a c 2b C a N c D
(C)
(D)
小结: 1、本节课我们学习了哪些
主要内容？
相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交
椭圆相交弦定理
椭圆相交弦定理椭圆相交弦定理是椭圆论的一个重要定理，它描述的是两个椭圆的弦之间的交点关系，也可以说它描述的是两个椭圆的弦之间连线的关系。
这个定理是由17世纪葡萄牙数学家And Fermat和法国数学家圣弗朗索瓦拉什穆茨发现的。
他们证明了两个椭圆的弦可以穿过四个唯一的交点，其中两个交点是在椭圆上，另外两个交点是在外部，在一般情况下，这四个交点都在同一条直线上。
Fermat和拉什穆茨提出的根据这一定理，可以查找出最近的椭圆两弦之间的距离。
他们还提出，如果椭圆的两个参数发生变化，距离也会发生变化，因此可以利用这一定理来求解最近椭圆距离问题。
这一定理的另一个应用就是椭圆的两条轴之间的交点关系，也就是椭圆的两条轴线之间的距离。
这一定理指出：如果两个椭圆的参数是相同的，它们的两条轴线之间的距离是相等的。
因此可以利用这个定理来求解椭圆两条轴线之间的距离。
此外，这一定理也可以用于椭圆的三个焦点和它的一条轴线之间的距离的求解。
通常情况下，椭圆的三个焦点分别是这个椭圆的两个端点以及它的中心点。
而一条轴线是由这个椭圆的端点间连接而成的。
所以，椭圆的两个端点和它的中心点之间的距离可以通过应用这一定理而求得。
当然，这一定理也可以用于椭圆参数的估计。
一般情况下，椭圆参数包括两个长轴半径a和b、椭圆的高度h、以及椭圆所围成的外接圆半径r。
因此，我们可以通过应用椭圆相交弦定理，求出椭圆的参数值，从而估计椭圆的形状和大小。
椭圆相交弦定理也用于椭圆的统计分析。
它可以用来计算不同形状和大小的椭圆间的重合率，从而了解这些椭圆间的相关性。
此外，这一定理还可以用于椭圆的融合检测。
在融合检测中，通过椭圆相交弦定理来检测椭圆的融合情况，从而对椭圆进行分类，以便进一步了解椭圆的特性。
总之，椭圆相交弦定理是椭圆论的一个重要定理，它可以用于椭圆的统计分析、参数的估计，以及椭圆的融合检测等。
因此，这个定理被广泛应用于数学和物理领域，而其应用的范围也越来越广泛。