相交弦定理和割线定理

割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B => PA∙PB=PC∙PD
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于 GB×GA ⊙O内一点G，则有GC×GD= , (2) 已知：如图，弦AB与CD相交 于P且PC=PD,AP=3，PB=1， 2 3 CD=———— A (3) 如图，弦AB垂直于⊙O直径MN于Q， MN：QN=5：1，AB=8，则MN= 10 ， O C B
D
PA PB PC PD
？
证明： C 连接AC、BD， D ∵四边形ABDC为 P ⊙O 的内接四边形 O ∴∠PDB= ∠PAC， B 又 ∠P=∠P A ∴ △PBD∽ △ PCA 割线定理： ∴ PD ：PA=PB ：PC 从圆外一点引圆的两 ∴ PA∙PB=PC∙PD 条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条 线段的乘积相等
A P O C
D
B
二1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么 弦的一半是它分直径所成的两条线段的 比例中项。
C
B
2、CD是弦，AB是直径，CD AB，垂足 是P， PC2=PA· PB
A
O P D
思考
B
C B P P D 交点P在圆内 交点P在圆上 成立
（A，C）
B A P D 交点P在圆外 C
A
C A P B O D
例4 、如图，过A作⊙O的两条割线分别交⊙O于B，C
和D，E。已知AD=4，DE=2，CE=5,AB=BC, 求AB,BD。
E 2 D 4
5
A O
B C
例6 已知:如图, ⊙O的割线PAB交
Ｂ ８ ６ Ａ Ｐ Ｃ
10.9
⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8 cm， PO=10.9cm，求⊙O的半径。
Ｏ
·
Ｄ
3（1）已知PAB、PCD是圆O的割线，
B
PA=3 ， AB==5 CD=2，则PC＝
（2）已知：PAB是圆O的割线，
；
D B O A
A
C P
PA=6 ，AB=4 ，PO=10 ，
则PC＝ ；
C
P
（3）已知PT是圆O的切线， PA=4， PT=6 ， 则圆O的面积＝ 。
T O
P
A
已知：点P为⊙O外一点，割线PBA、PDC分别 交⊙O于A、B和C、D（如下图） 求证：PA∙PB=PC∙PD
C B P O A
C
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点P从圆内移动到远外
D
A O
D P B
PA∙PB=PC∙PD 点C、D重合为一点 会有什么结论？
PA∙PB=PC∙PD
C(D) P O A
B
切割线定理： 从圆外一点引圆的一条割线和一条切线， 这一点到割线与圆的交点的两条线段的乘积等于 切线长的平方 PC切⊙O于点C点 C(D) => PA∙PB=PC2
1、如右图，由射影定理可以得 出什么关系式？
2、根据垂径定理，改写上式： CP×PD=AP ×PB
A
将AB、CD改为两条对一般情形的 相交弦，上式还会成立吗？
C
A B AP×PB==PCP ×PD O
？
同学们，你们现在可以写出证明吗？
A
相交弦定理
一1、定理：圆内的两条相交弦，被交点分 成的两条线段长的积相等。 2、弦AB和CD交与O内一点P，那么 PA· PB=PC· PD
P O A
B
C O P B D
C O B
A
思考：从这几个定理的结论里 大家能发现什么特征？
结论都为乘积式 AB交CD于点 => PA∙PB=PC∙PD
P
几条线段都是从同一点出发
A
C D O
PC切⊙O于点C点都是通过三角形相似来证明 => PA∙PB=PC2 （都隐含着三角形相似）
P
A B
我们学过的定理中还有结论 为乘积式的吗？
B
P
D
(4)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两 部分，CD被AB分为3：1两部分，则 这两部分长分别是 6 cm和2 cm.
例2：已知：如图，AB是圆O的弦，P是AB 上的一点，AB=8.5cm，OP=3cm， PA=6cm，求圆O的半径。
C
O A
P
B
D
例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC 交⊙O于C． 求证：PC2＝PA· PB