合情推理与演绎推理(高效训练)-2019版导学教程一轮复习数学(人教版)(精品解析含答案)

6-4[高效训练·能力提升]A 组 基础达标一、选择题1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，c ∈C，a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q，则a ＋c ＋a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． ④“若x ∈R，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比结论正确的个数是 （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】在数集的扩充过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析， 不难解答 ．【详解】解：①在复数集C 中，若两个复数满足0a c -=，则它们的实部和虚部均相等，则a ，c 相等．故①正确；②在有理数集Q 中，由a c +=+())0a c b d --=，易得：a c =且b d =．则②正确； ③在复数范围内，0a b ->不能推出a b >，比如2a i =+，1b i =+，显然有10a b -=>成立，但a ，b 不能比较大小，故③错误； ④“若x R Î，则111x x <?<<”类比推出“若x C Î，1z <表示复数模小于1，不能11z ?<<，比如12z i =．故④错误，综上：①②正确.故选：C.【点睛】本题考查类比推理，，涉及复数的运算法则，根据复数的运算法则是解决本题的关键． 2.观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第（ ） A. 22项 B. 23项 C. 24项 D. 25项 【答案】C 【解析】 【分析】根据两数的和找到相对应的规律，即可求出．【详解】解：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35Ä为和为8的第3项，故35Ä是第24项. 故选：C ．【点睛】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题． 3.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为 （） A. 45 B. 55 C. 65 D. 66 【答案】B 【解析】由以上图形可知10a 共有10行, 101231055,a =++++=选B.4.平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为（） A. 42 B. 65 C. 143 D. 169 【答案】B 【解析】由题设可知当4n =时，对角线的条数(41)(42)()23112f n --==-=-；当5n =时，对角线的条数(51)(52)()56112f n --==-=-；可以归纳：对角线的条数与边数的函数关系(1)(2)()12n n f n --=-。

当13n =时，对角线的条数(131)(132)(13)1652f --=-=，应选答案B 。

点睛：本题旨在考查归纳猜想的合情推理等有关知识的综合运用。

求解这类问题的思路是先求出个别的，特殊的几个数值，然后再依据题设条件，观察其隐含的规律，归纳总结出一般性的结论，最后再将13n =时的代入，从而使得问题获解。

5.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是（） A. 甲，丙 B. 乙，丁 C. 丙，丁 D. 乙，丙 【答案】D 【解析】试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D ． 考点：合情推理．二、填空题6.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为__________．【答案】120 【解析】试题分析：由题意，第n 层茭草束数为1+2+…+n=，利用1+3+6+…+=680，求出n ，即可得出结论．解：由题意，第n 层茭草束数为1+2+…+n=，∴1+3+6+…+=680，即为[n （n+1）（2n+1）+n （n+1）]=n （n+1）（n+2）=680， 即有n （n+1）（n+2）=15×16×17， ∴n=15，∴=120．故答案为：120 考点：归纳推理．7.我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余税金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为__________x ．【答案】172【解析】 第1关收税金：12x ； 第2关收税金：11132623x xx 骣琪-==琪´桫； 第3关收税金：11114261234x xx 骣琪--==琪´桫； ……第8关收税金：8972x x=´. 8.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数； ③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． (2)该小组人数的最小值为________． 【答案】 (1). 6 (2). 12 【解析】 【分析】(1)设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x y y x ì>ïï>íï?ïî，进而可得答案； (2)设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x y y z z xì>ïï>íï>ïî，进而可得答案；【详解】解：(1)设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x yy xì>ïï>íï?ïî，即48y x <<<，即x 的最大值为7，y 的最大值为6，即女学生人数的最大值为6． (2)设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x yy z z xì>ïï>íï>ïî，即2z y x z <<<， 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12. 故答案为：(1). 6 (2). 12【点睛】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．三、解答题9.在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 【答案】见解析【解析】证明：∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B>2p ，∴A>2p－B ， ∵y ＝sinx 在(0，2p)上是增函数，∴sinA>sin(2p－B)＝cosB ，同理可得sinB>cosC ，sinC>cosA ， ∴sinA ＋sinB ＋sinC>cosA ＋cosB ＋cosC.10.已知函数f (x )(a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点11-22骣琪琪桫，对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值． 【答案】(1)见解析(2)-3 【解析】 【分析】（1）要证明()f x 的图象关于(,)a b 对称，只需证明()(2)2f x f a x b +-=； （2）利用（1）问结论：()(1)1f x f x +-=-即可求得结果；【详解】(1)证明：函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－， 则－1－y ＝－1＋＝－，f (1－x )＝－＝－＝＝－，[来源:学+科+网Z+X+X+K]所以－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点对称．(2)由(1)可知f (x )的图象关于点对称，所以f (1－x )＋f (x )＝－1，∴f (－2)＋f (3)＝f (－1)＋f (2)＝f (0)＋f (1)＝－1，故f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.【点睛】本题考查函数图象变化及函数求值，属基础题，准确理解中心对称的定义并能灵活应用是解题关键．B组能力提升11. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.【考点】概率统计分析【名师点睛】本题创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.视频12.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，x=确定出来2x=，类似的不难得到11111+=++鬃?（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解（舍去负根）即可.详解：由已知代数式的求值方法，列方程，求解，舍负根. 可得 11(0)x x x+=>解得x x =故选C.点睛：类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理.通过类比推理考核研究问题的深度、思维散发情况和观察的仔细程度.13.设P 0(x 0，y 0)在椭圆22221x y a b += (a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是00221x x y y a b +=，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线2222-1x y a b= (a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________． 【答案】0022xx yy a b-＝1 【解析】对于椭圆2222x y a b +＝1，切点弦P 1P 2所在直线方程0022xx yy a b +＝1，x 2→xx 0，y 2→yy 0.类比，双曲线2222x y a b-＝1切点弦P 1P 2所在的直线方程为0022xx yy a b-＝1. 14.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】 (1). Q 1 (2). p 2 【解析】试题分析：作图可得11A B 中点的纵坐标比2233,A B A B 中点的纵坐标大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是1Q ，分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B ⅱ?，比较直线112233,,A B A B A B ⅱ?的斜率（即为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得22A B ¢最大，所以p 1，p 2，p 3中最大的是2.p 【考点】图象的应用，实际应用问题【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第i 名工人加工总的零件数是i i A B +，比较总的零件数的大小，即可转化为比较2i i A B +的大小，而2i iA B +表示i i A B 中点连线的纵坐标，第二问也可转化为i i A B 中点与原点连线的斜率.15.已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线2222-1x y a b=写出具有类似特性的性质，并加以证明．【答案】若M 、N 是双曲线：2222x y a b－＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值． 【解析】类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222x y a b－＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设点M 的坐标为(m ，n)，则点N 的坐标为(－m ，－n)，其中2222m n a b－＝1.又设点P 的坐标为(x ，y)，由k PM ＝y n x m －－，k PN ＝y n x m ++，得k PM ·k PN ＝y n x m －－·y nx m ++＝2222y n x m－－， 将y 2＝22b a x 2－b 2，n 2＝22b a m 2－b 2代入得k PM ·k PN ＝22b a.。