章3 量子力学初步(1)

第三章 量子力学初步
主要内容：
物质的波粒二象性 不确定关系 波函数及其物理意义 薛定谔方程 量子力学问题的几个简例（势阱、势垒） 量子力学对氢原子的描述
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教学要求
（1）知道黑体辐射的量子理论、爱因斯坦光量子假说 和光电效应方程。 （2）掌握德布罗意假设和波粒二象性，了解戴维 孙—革末实验和双缝干涉实验。 （3）掌握不确定关系，并能用其解决简单的问题。 （4）掌握波函数的物理意义。 （5）了解薛定谔方程在量子力学中的作用，掌握定 态的概念，了解求解定态薛定谔方程（本征问题）的 基本步骤。 （6）掌握运用定态薛定谔方程求解氢原子问题的基 本步骤，掌握描述电子空间运动的三个量子数。
有强的出射波束，由二邻近平面衍射 的波应该有相同的相位，这就是说， 图中的1和2两道路径的波程差应该等 于波长的整数倍。
强波束射出的条件是 2d sin n （布拉格方程）
当、满足布拉格方程时，可测得电流的极大值。
h h p m
设加速电压为U
1 m 2 eU
2
h
h 1.225nm
m 2eU / m 2emU U (V )
0.053 n2nm
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
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三、德布罗意波的实验验证 戴维孙-革末在1927年
进行了电子在晶体上的散射 实验，证实了德布罗意的设 想。（电子具有波动性）
1. 实验装置
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2. 实验原理 电子如果确有波动性，那么电子束射在晶体上就象 光一样会有衍射发生。
如果要求如图中所示 的方向上
适用条件：(1)电子，(2)非源自对论(U不能太大)。n 1.225(nm) 2d sin
U (V )
当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值； 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值12。
3. 实验结果
(1)当U不变时，不同，则I不同；在有的上出现极值
、
结果发现: 当 V 54V 50 时，
❖1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 ❖1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态
----旧量子论!
❖1924年，德布罗意，物质波假说 ❖1925—1928年，
海森堡、薛定谔、玻恩、狄拉克、费曼等
----建立了量子力学! 4
§3.1 物质的波粒二象性
一、光的波粒二象性
1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说
光子的能量 光子的质量 光子的动量
E h
m
E c2
h
c2
p mc h h c
p
k
k 2 波矢
~
1
波数
6
二、德布罗意假设---粒子的波动性 1924年，法国物理学家德布罗意提出：
实物粒子也具有波粒二象性。
具有一定能量E和动量p的自由粒子，相当于 具有一定频率和波长的平面波，二者的关系：
2r n n h n h ,
p mv
于 是有 mvr n h n 2
这正是玻尔曾用过的 角动量量子化条件。
n 1,2
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（2）如果把
p
nh
2r
n r
代入氢原子总能量表达式中
p2
e2
n22
e2
E 2m 4 r 2mr2 4 r
由dE / dr 0
给出
rn
2 m
4
e2
n2
an2
E h p h / ----德布罗意关系式
德布罗意波或物质波 德布罗意波长
h h p m
~c c
m m0/ 12 / c2
m m0
1
m
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德布罗意关系式的应用
(1)若将德布罗意关系式应用与氢原子上，原子定态假设便 和驻波联系起来，十分自然地给出角动量量子化条件。电子要 想作稳定运动，电子回转一周的周长应为其波长整数倍，即
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❖ 重点
❖ 德布罗依假设和微观粒子的波粒二象性 ❖ 波函数的统计诠释 ❖ 不确定关系 ❖ 定态的概念 ❖ 求解定态薛定谔方程（本征问题）的基本步骤 ❖ 量子力学对氢原子的描述及三个量子数
难点
❖ 波函数的统计诠释 ❖ 不确定关系 ❖ 量子力学对氢原子的描述
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发展简介：
❖1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化
2
不确定关系是普遍原理： z pz / 2 x px / 2 y p y / 2
p / 2 E t / 2
三、能量和时间不确定关系的简单推导
E mc2 [ p 2c 2 m02c 4 ]1/ 2
dE
1 [ p2c2 2
m02c 4 ]1/ 2 2c 2 pdp
c2 pdp E
美国物理学家戴维孙和英国物理学家汤姆逊2人因 在实验上发现晶体对电子的衍射而共同获得1937年
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的诺贝尔物理学奖。
§3.2 不确定关系
一、不确定关系
1927年海森伯首先提出不确定关系：
pq
h 2
意义：如果微粒的位置有一个不确定范围Δq，则其
相应的动量必然有一个不确定的范围Δp，两者的乘
积满足不确定关系式。
19世纪初，菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人证实了 光的干涉和衍射，从而确立了光的波动性
19世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定了光是电磁波
1900年，普朗克提出能量子假说
1905年，爱因斯坦提出了光子说,解释了光电效应，
并被康普顿散射实验验证
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结论：光既具有波动性，也具有粒子性。 即： 光具有波粒二象性。
二、不确定关系的简单推导
电子的单缝衍射
1961年，约恩逊成功的做出。
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设缝宽为Δq，在y方向上。
粒子动量在y方向的不确定度为：p p sin 0
第一级暗纹的位置：q sin 0
p
p sin0
p
q
h q
粒子的坐标在y方向的不确定度为Δq
p q p ~ h
h
严格地推导结果： p q
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电子、中子、质子等)都具有波动性。德布罗意假设被大
量事实证实，为此获1929年诺贝尔物理奖。
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其他证明微观粒子波动性的实验：
1928年，菊池正士把电子射在云母薄片上，获得 了单晶透射衍射图样。
1928年，G.P.汤姆逊和 塔尔塔科夫斯基分别把电 子射过金箔或其他的金属 箔，获得了同心圆构成的 衍射图样
探测到的反射束强度出现一个明显的极大。
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(2)当不变时，U改变，I亦变；并随U周期性的变化
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同年汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图（a） 下图是波长与X射线相同的电子衍射图与X光衍射图的比较
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1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图
实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意
公式的正确性。进一步的实验可以证明：一切实物粒子(