5-1反比例函数
反比例函数知识点及举例
反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k 是常数，且k 不为零；（2）x k中分母x 的指数为1，如22y x=不是反比例函数。
（3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。
知识点2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xky =的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。
它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。
（3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。
反比例函数的性质xky =)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是：当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。
（2）若点(m,n)在反比例函数xky =的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。
（3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。
重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式xky =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入xky =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。
九年级数学-反比例函数
第19讲 反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质；3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质；5.反比例函数与直线y ＝a 或x ＝a ；6.反比例函数与全等相似；7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。
【板块一】反比例函数的定义和解析式 方法技巧 根据定义解题1.定义：一般地，形如ky x=（k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式：ky x=（k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）或1y kx -= （k ≠0）. 题型一根据定义判断反比例函数【例1】下列函数：①2x y =；@2y x =；③y =12y x =；⑤12y x =+；⑥12y x =- ；⑦2xy =； ⑧12y x -=；⑨22y x = .其中y 是x 的反比例函数的有 （填序号）.【解析】②③④⑦⑧.题型二根据定义确定k 值或解析式 【例2】（1）反比例函数32y x =- ，化为ky x=的形式，相应的k ＝ ； （2）函数ky x =中，当x ＝2时，y ＝3，则函数的解析式为 【解析】（1）32- ；（2）6y x=.题型三根据定义确定待定系数的值【例3】（1）如果函数2+1m y x = 是关于x 的反比例函数，则m 的值为 （2）若函数()252m y m x -=+ （m 为常数）是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。
【解析】（1）－1；（2）m ＝2，y ＝4x .针对练习11.下列函数中，为反比例函数的是（B ）A . 3x y =B . 13y x =C . 13y x =-D .21y x=答案：B2.反比例函数y ＝一化为ky x=的形式后，相应的k ＝答案： 3.若关于x 的函数()2274mm y m x --=- 是反比例函数，求m 的值答案：3.【板块二】反比例函数的图象和性质 式抓住反比例函数的性质并结合图象解题 一般地，对于反比例函数()0ky k x=≠，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现： 1.图象分布当k ＞0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k ＜0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。
北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数》
探究一：初步了解反比例函数的形式，探究反比例函数
1.游泳池体积150（立方米），那么底面积s（平方米）和 高h（米）之间的关系式为：h=___1_5__0_____.
s
2.京沪高速铁路全长约为1318km，列车沿京沪高速铁路 从上海驶往北京，列车行完全程所需的时间t（h）与行驶
说一说
你能举出生活中反比例函 数的例子吗？
基础练习
1.下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反 比例函数？若是，请指出相应的k值。
（1）y = 0.4（2） y =5-x （3） y = 3x1
x
（4）xy = - 2（5）y =
x 2
（6） y =
1 6x
2. y是x的反比例函数，下图给出了x与 y的一些值:
x －5 －2 －1
y
2
5
12
① 求出这个反比例函Hale Waihona Puke 的表达式；2 77
② 根据函数表达式完成上表。
解： 1设y k k 0
x
当x -1, y -2时，k -1 2 -2
y 2 x
互动课堂
问题1:
若
y n6 x
是反比例函数，则n应
满足的条件是n 6.
问题2: 已知y是x的反比例函数，当x=2 时,y=5求：当x=1时，y的值.
北师大版九年级数学上册
第六章 反比例函数 6.1 反比例函数
函数的定义
一般地.在某个变化过程中,有两个变量x和y, 如果给定一个x的值,相应地y就有唯一确定的 值和它相对应,那么我们称y是x的函数，其中x 叫自变量,y叫因变量.
回顾与思考
如果y=kx+b（k、b为常数，k≠0），那么y 是x的一次函数.
05-(五)反比例函数九年级上册数学冀教版
2.一题多解[2023广西中考]如图，过的图像上点，分别作轴、 轴的平行线交的图像于， 两点，以，为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，， . 若，则 的值为( )
C
A.4 B.3 C.2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.1
【解析】 解法一设.在中，令,得；令 ，得.，，，， ，.，， .解法二根据反比例函数中 的几何意义，得，.，， .
【解析】 矩形的顶点，，的坐标分别为， ，，， 可设平移后点，的对应点， 的坐标分别为，.当点落在函数 的图像上时，可得，解得；当点落在函数 的图像上时，可得，解得 若平移后的矩形与函数 的图像有公共点，则的取值范围是 .
6.[2023石家庄四十二中一模]如图，平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数的图像交于 ， 两点.
第3题图
3.跨学科·物理[2023温州中考]在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强 与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图像如图所示.若压强由加压到 ，则气体体积压缩了____ .
20
【解析】 设关于的函数表达式为. 当时， ，，.当时， ；当时，, 气体体积压缩了 .
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
解：把代入，得 ， 反比例函数的表达式为 .把代入，得 .把，分别代入 ，得解得 一次函数的表达式为 .
（2）直接写出 的解集;
解：由题图可知的解集为或 .
（3）已知直线与轴交于点，点是轴上一动点，作 轴交反比例函数图像于点，当以，，， 为顶点的四边形的面积等于2时，求 的值.
4.新趋势·结论开放[2023日照中考]已知反比例函数 且的图像与一次函数 的图像共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的 值：_____________________________________________.
反比例函数知识点总结,比例系数k的几何意义和七大常考模型
反比例函数知识点总结一.反比例函数的概念1.概念：一般地，函数x k y =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
注意：(1)比例系数k ≠0是反比例函数的定义的重要部分;(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y 均不等于0;(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,反之,则不一定成立例1 给出的六个关系式:①x(y+1);②22+=x y ;③21x y =; ④x 21y =;⑤2x y =;⑥x3-y =.其中y 是x 的反比例函数的是 ( ) A.①②③④⑥ B.③⑤⑥ C.①②④ D.④⑥ 例2 若函数()321--+=m m x m y 是y 关于x 的反比例函数,则m= .例3 关于正比例函数x 31-y =和反比例函数x31-y =的说法正确的是 ( ) A.自变量x 的指数相同 B.比例系数相同C.自变量x 的取值范围相同D.函数y 的取值范围相同2.易错点解析 漏掉k ≠0这一条件解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k ≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.例4已知函数()2k -8x 3-k y =为反比例函数,则k= .二.反比例函数的图像和性质1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的性质反比例函数 )0(≠=k xk y k 的符号 k>0 k<0图像性质 ①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。
在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数小结
第十七章反比例函数小结昆明市实验中学初二（５）班陈璇Ⅰ、本章知识结构框图：Ⅱ、本章知识点：１、反比例函数的概念：一般地，形如ｙ＝（ｋ是常数，ｋ≠０）的函数叫做反比例函数。
注意：（１）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的左边是函数y，右边是分母为自变量x的分式。
也就是说，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式。
（２）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为０的常数，因此可以写成ｙ＝ｋｘ或ｘｙ＝ｋ的形式。
（３）反比例函数中，两个变量成反比例关系。
（４）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的自变量ｘ是不等于０的任意实数。
２、反比例函数的图象：反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象是双曲线。
注意：（１）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的两个分支时断开的。
（２）当ｋ＞０时，两个分支位于第一、三象限；当ｋ＜０时，两个分支位于第二、四象限。
（３）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象的两个分支关于原点对称。
（４）反比例函数的图象与ｘ轴、ｙ轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为ｘ≠０，ｙ≠０。
３、反比例函数解析式的确定：因为反比例函数的解析式ｙ＝（ｋ≠０）中，只有一个系数ｋ，确定了ｋ的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组ｘ、ｙ的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式。
４、反比例函数的性质：反比例函数的性质与ｋ的符号有关，反比例函数的性质如下表所示：注意：（１）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数ｋ的符号决定的。
反过来，有双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出ｋ的符号。
（２）反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论；当ｋ＞０时，在每一象限（第一、三象限）ｙ随ｘ的增大而减小，但不能笼统地说：当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而减小，同样，当ｋ＜０时，在每一象限（第二、四象限）ｙ随ｘ的增大而增大，也不能笼统地说：当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而增大。
５、反比例函数ｙ＝（ｋ≠０）中比例系数ｋ的几何意义：反比例函数中比例系数ｋ的几何意义：如图所示，过双曲线上任意一点Ｐ作ｘ轴、ｙ轴的垂涎ＰＮ、ＰＭ，所得矩形ＰＭＯＮ的面积Ｓ＝ＰＭ·ＰＮ＝︱ｘ︱·︱ｙ︱＝︱ｘｙ︱＝︱ｋ︱。
反比例函数图象及性质
2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1：在反比例函数 y x 的图象上有两点（x1，y1）、
（x2，y2）,若x1>x2 ，则y1>y2吗？
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
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k y=— x
y kx
（ k是不等于零的常数）. （ k是不等于零的常数）.
1
形式4： x y= k (k≠0)
形式5： ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量 y 与 x 成反比例，比例系数为k(k≠0)
课外练习
( ( ( ( ( (
判断下列说法是否正确(对”√”, 错”×”)
)(1)一矩形的面积为 cm2 , 相邻的两条边长分别为 (cm)和y (cm)， 20 x 则变量y是变量x的反比例函数 . )(2)圆的面积公式s r 2中，s与r成正比例 . )(3)矩形的长为a，宽为b，周长为C，当C为常量时， a是b的反比例函数 . )(4)一个正四棱柱的底面正 方形的边长为x，高为y， 当其体积V为常量时，y是x的反比例函数 . )(6)当被除数（不为零）一 定时，商和除数成反比 . 例 )(8)计划修建铁路 1200km, 则铺轨天数y (d )是每日铺轨量 x(km / d )的反比例函数 .
k y ( k为常数， k 0) x
练 习 1
1 、在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ） 2 8 （A）y = （B）y = 2 + 7 x X+5 （C）x y = 5
3 （D）y = x
练 习 2
2.已知函数 y = xm－7 是正比例函数,
8 则 m = ___
；
1 x x
函
数
一般地.在某个变化过程中,有两个变量x和
y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确
定的值和它对应,那么我们就把x叫自变量，
y叫因变量，称y是x的函数.
如：y＝3x 函数的实质是两个变量之间的关系
ztbwxczhaofeng
观察与思考:
因为改变电阻就能控制电流的变化，电阻大则 舞台灯光可以在短时间内明暗交替变化， 瞬间就能 产生白天与黑夜的舞台效果,难道幕后调光师有“魔 电流小，灯光就较暗；反之，电阻小则电流大， 手”?其实他们的做法挺简单，就是通过改变电阻来 灯光就较亮。从而达到瞬间控制灯光明暗的效 达到想要的明暗效果。你能来解释其做法道理吗？ 果。
课 外 练 习
在下列函数表达式中，x均为自变量，那么哪些是反 比例函数？每一个反比例函数相应的k的值是多少？
1 （） y 1 x
1 （2） y － x
2 （4） y 3x
3 （5） y 2x
x （3） y 2
1 （6） y 2 x
0 .4 (7 ) y x
2 (8) y 5x
y的值都等于 ，求y与x之间的函数关系。 10
归纳总结
反比例函数的定义：一般地，如果变量x、y有关系
k y = — （ k是不等于零的常数），那么称变量x、y x k 成反比例，函数 y = — 叫做反比例函数。 x
反比例函数的五种不同的表现形式：
形式1： y 是 x 反比例函数。 形式2： 形式3：
x （2）y= 4
×
√
（4）- x y=3√ （6）y= 5x -1√
（5）3+xy2=0√
例2，已知：函数Y=（m+2)X 是反比例函数，求：m值
m²-2m-9
例题 3 已知变量y与x成反比例，且当x=2时,y=9.
（1）写出y与x之间的函数解析 k 解：因为 y与x成反比例,所以y= x (k≠o) 把x=2,y=9代入, 得k=2×9=18 , （2）当x=3.5时，求y的值. 18 36 1 解：当x=3.5时， y = = =5 3.5 7 7 （3）当y=5时，求x的值. 3 18 18 =3－ 解：当y=5时，5= , X= X 5 5
是反比例函
数，则m = ___ . 0
②若函数
y (m 2) x
m 5
2
-2 是反比例函数，则m=_____.
作 业 1
已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时，y=9. （1）写出y与x之间的函数解析式. （2）当x=8时，求y的值. （3）当y=5时，求x的值.
巩固与提高 2
已知y y1 y2，y1与x成正比例， y2与x成反比例，并且 2与x 3时， x
100 P ( S 0) S
例6.你吃过拉面吗？一体积面团做成拉面，面 条总 长度Y（m)是面条横截面积S （m㎡)的 反比例函数，若当面条横截面积S =4 m㎡时， 面条总长度Y=32m (1)你能求出Y与S的关系式吗？（2）当横截 面积S为1.6 m㎡时，你能求面条总长度吗？
反比例函数 与正比例函数 y kx(k为常数，k 0)
，这样的 做一做 已知一个矩形的面积是10cm²
矩形你能做出来吗？ 1 长 x(cm) 10 宽 y(cm)
2.5 4
5 2
10cm² 10cm² 10cm²
问: 长 ( X )与宽( y )之 间存在怎样的关系?
设矩形的一边长为x cm，另一边长为y cm。
xy 10( 定值 ), 10 y ( x 0). x
1 (9) s 2 x
1 (10) z x
(13) y 5 x
(11) y 3x
1 (12 ) xy 3
2a (14) y (a为常数， a 0) x
同 学 们 再 见 ！
18 ∴ y与x之间的函数关系式是 y= X
想一想：
如果变量z与y成正比例，y与x成反比例， 那么z与x成正比例还是反比例？为什么？
解：∵ z与y成正比例， y与x成反比例
k2 ∴可设z=k1y, y= x ,(其中k1、k2为常数） k2 k1k2 ∴z=k1· x = x
例4.已知：Y=Y1+Y2 ，Y1与X-1 成正比例，Y2与X反比例，且当 X=1时，Y=2：当X=2时，Y=4， 求：Y与X 之间函数关系式
它们有何共同特点？
反比例函数的定义：
k 一般地，形如 y x （k是常数，k 0 ）
的函数叫做反比例函数.
其中k叫反比例系数.
（也可以用y = kx-1或者XY=K表示）
例题 1 判断下列函数表达式中，表示反比例函
数的是哪几个？如果是，反比例系数k是多少？
1 （1）y= 2x √
3 （3）y= 4x
60 m （0 n 7的整数） n
观察思考 10 变量y与x之间的关系： y= x :
5 变量t与v之间的关系： t （v 0） v 2 变量a与b之间的关系： a （b 0） b 60 变量m与n之间的关系： m （0 n 7的整数） n
220 变量I与R之间的关系： I R
. 例题 5 写出下列函数的解析式，并判断它们是不
是反比例函数，如果是，写出自变量的取值范围.
⑴一个圆柱形钢材的体积是800cm3,写出它的 底面积和高的函数关系. 800 S ( h 0) h ⑵压强大小是由单位面积所受到的压力决定的， 那么当物体受到的垂直压力为100牛时，写出压 强与受力面积的函数关系.
生活中的数学
1.小红家到学校的路程有5km，她上学所用的时间t(h)与 速度v(km/h)的函数； 5
t
v
（ v 0）
2.有一个矩形面积是2m2，它的长a(m)是宽b(m)的函数； 2 a （b 0） b 3.十一放七天假，老师布置要记忆60个单词。设小明 完成的天数为n，每天的单词量为m，写出m与n的函数 关系式.
我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满 足关系式 U=IR 当电压U=220V时 220 . （1）你能用含R的代数式表示I吗？ I= （2）利用写出的关系式完成下表：
R/Ώ 20 40 60 80 100
R
I/A
11
1 5 2
2 3 3
3 2 4
1 2 5
(3)当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？ (4) 变量I是R的函数吗?
1
3.已知函数 y = 3x m－7是反比例函数,
6 则 m = ___ .
练 习 3
2x＋1 ①已知y与x成反比例, 并且当x=3时，y=7， 21 y= x 求y与x的函数关系式. ②已知y与x2成反比例,并且当x=3时，y=4， 求x=1.5时，y的值. y=16
巩固与提高1 ①若函数
m2-1 y=2x