高中数学 1.3.1 三角函数的周期性导学案 苏教版必修4(2021年整理)

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数学必修4课堂导学:1.3.1三角函数的周期性 含解析 精

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课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.(1)y=sin(x+3π);(2)y=3sin(2x +5π). 思路分析:运用周期函数的定义即可. 解:(1)令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f [(2π+x)+ 3π]=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期. 2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证:(1)y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析:观察特征,运用定义.证明:(1)f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析:运用定义进行证明.证明:假设y=sin|x|是周期函数,且周期为T ,则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时, 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π<T <2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.(1)f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解:(1)f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)=2sin [21(x+4π)+4π]=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈[0,2π]时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为( )A.21-B.21C.23-D.23 解析:由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案:D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数,且f(x)是偶函数,在区间[2,3]上,f(x)=-2(x-3)2+4,求x ∈[1,2]时,f(x)的解析表达式.解:当x ∈[-3,-2]时,-x ∈[2,3].∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数,当x ∈[1,2]时,-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2[(x-4)+3]2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x),其图象关于直线x=2对称,当x ∈(-2,2)时,f(x)=x 2+1,则x ∈(-6,-2)时,f(x)=__________________.解析:∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称,∴f(x+4)=f(x),f(x)是周期函数,且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案:x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.(1)y=x 3;(2)y=sinx 2.证明:(1)因为y=x 3在x ∈R 上单调,设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根,因此y=x 3不是周期函数.(2)设函数y=sinx 2是周期函数,周期为T ,那么对所有的x ∈R ,sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性,T=0,所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f (x)=1(x ∈R )是周期函数,但没有最小正周期.证明:因为对于任意实数T≠0,都有f(x+T)=f(x)=1,所以此函数是周期函数,其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明:∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解:设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1,因此,0≤2-x≤1,由已知有:f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2,且为偶函数,∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时,f(x)=-(2-x)2+4.。

数学苏教版必修4学案:第1章 1.3 1.3.1 三角函数的周期性

数学苏教版必修4学案:第1章 1.3 1.3.1 三角函数的周期性

三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性预习课本P24~25,思考并完成下列问题1.周期函数的定义是什么?2.什么是最小正周期?3.y=A sin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的周期的计算公式是什么?[新知初探]1.周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x +T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.2.最小正周期(1)定义:对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y=tan x也是周期函数,并且最小正周期是π.3.一般地,函数y =A sin(ωx +φ)及y =A cos(ωx +φ)(其中A ,ω,φ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T =2πω.[点睛] (1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.(2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期,则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期.[小试身手]1.函数y =5sin 25x 的最小正周期是________.★答案★:5π2.函数y =tan ⎝⎛⎭⎫3x -π4的最小正周期为________. ★答案★:π33.函数y =2cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的最小正周期为________. 解析:T =2π|-2|=π. ★答案★:π4.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫πx -π2-1,则下列命题正确的是________. ①f (x )是最小正周期为1的函数; ②f (x )是最小正周期为2的函数; ③f (x )是最小正周期为12的函数;④f (x )是最小正周期为π的函数.解析:f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫πx -π2-1=-cos πx -1, ∴f (x )的最小正周期为T =2ππ=2.★答案★:②求三角函数的周期[典例] (1)f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x 3+π3; (2)f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎫-3x +π4;(3)f (x )=14sin ⎝⎛⎭⎫12x +π3; (4)f (x )=-2cos ⎝⎛⎭⎫2ax +π4(a ≠0). [解] (1)∵T =2π13=6π,∴最小正周期为6π. (2)∵T =2π|-3|=2π3,∴最小正周期为2π3.(3)∵T =2π12=4π,∴最小正周期为4π. (4)∵T =2π|2a |=π|a |,∴最小正周期为π|a |.(1)函数y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)的最小正周期T =2π|ω|; (2)函数y =A tan(ωx +φ)的最小正周期为T =π|ω|. [活学活用]1.函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫π2x +3的最小正周期为________. 解析:∵T =2ππ2=4, ∴y =3sin ⎝⎛⎭⎫π2x +3的最小正周期为4. ★答案★:42.若f (x )=-5sin ⎝⎛⎭⎫kx -π3的最小正周期为π5,求k 的值. 解:由T =2π|k |=π5.∴|k |=10,∴k =±10. 利用周期求函数值[典例] 若f (x )是以π2为周期的奇函数,且f ⎝⎛⎭⎫π3=1,求f ⎝⎛⎭⎫-5π6的值. [解] f ⎝⎛⎭⎫-5π6=-f ⎝⎛⎭⎫5π6=-f ⎝⎛⎭⎫π-π6 =-f ⎝⎛⎭⎫2×π2-π6=f ⎝⎛⎭⎫π6=f ⎝⎛⎭⎫π2-π3 =-f ⎝⎛⎭⎫π3=-1.(1)利用函数的周期性,可以把x +nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值.(2)利用函数性质,将所求转化为可求的x 的函数值,从而可解决求值问题. 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数,又是周期函数,若ƒ(x )的最小正周期为π,且当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,ƒ(x )=sin x ,求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值. 解:∵ƒ(x )是周期函数,且最小正周期为π, ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3=ƒ⎝⎛⎭⎫-π3+2π=ƒ⎝⎛⎭⎫-π3. 又∵ƒ(x )是偶函数, ∴ƒ⎝⎛⎭⎫-π3=ƒ⎝⎛⎭⎫π3. ∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,f (x )=sin x , ∴f ⎝⎛⎭⎫π3=sin π3=32,∴f ⎝⎛⎭⎫-π3=32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3=32.周期性质的应用[)=x ,求f (7)的值.[解] 由f (x +2)=-f (x ),得f (x +4)=f [(x +2)+2]=-f (x +2)=f (x ), 所以f (x )是以4为周期的函数,从而得f (7)=f (2×4-1)=f (-1)=-f (1)=-1. [一题多变]1.[变条件]设f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,求f (7)的值.解:∵f (x +4)=f (x ),∴f (x )是周期为4的函数, ∴f (7)=f (2×4-1)=f (-1), 又∵f (x )在R 上是奇函数, ∴f (-x )=-f (x ), ∴f (-1)=-f (1),而当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,∴f (1)=2×12=2, ∴f (7)=f (-1)=-f (1)=-2.2.[变条件]设f (x )在R 上是奇函数,且f (x )的图象关于x =1对称,当x ∈[0,1]时,f (x )=2x -1,求f (7)的值.解:函数f (x )为奇函数,则f (-x )=-f (x ). 又函数f (x )的图象关于x =1对称, 则f (2+x )=f (-x )=-f (x ),∴f (4+x )=f [(2+x )+2]=-f (2+x )=f (x ), ∴f (x )是以4为周期的周期函数.从而得f (7)=f (2×4-1)=f (-1)=-f (1)=-1.3.[变条件]设f (x )在R 上是奇函数,满足f (x )·f (x +2)=-13,若函数f (x )是增函数,求f (7)的值.解:由f (x )·f (x +2)=-13,得f (x +2)=-13f (x ), ∴f (x +4)=f [(x +2)+2]=-13f (x +2)=f (x ). ∴f (x )是以4为周期的周期函数. ∵f (-1)·f (1)=-13,所以f 2(1)=13, ∵函数f (x )是增函数,∴f (1)=13, ∴f (7)=f (2×4-1)=f (-1)=-f (1)=-13.由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )=f (a +x )(a >0),则f (x )是周期为a 的周期函数”得: (1)若函数f (x )满足-f (x )=f (a +x ),则T =2a ; (2)若f (x +a )=1f x (f (x )≠0)恒成立,则T =2a ;(3)若f (x +a )=f x +1f x -1(f (x )≠1),则T =2a .层级一 学业水平达标1.函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4的最小正周期为________. ★答案★:π2.函数y =cos (1-3x )π2的最小正周期为________.解析:y =cos (1-3x )π2=cos ⎝⎛⎭⎫π2-3π2x =sin 3π2x ,故T =2π3π2=43. ★答案★:433.函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4(ω>0)的周期为π4,则ω=________. 解析:由题意T =2πω=π4,∴ω=2π×4π=8.★答案★:84.函数f (x )=3cos ⎝⎛⎭⎫ωx -π3(ω>0)的最小正周期为2π3,则f (π)=________. 解析:由已知2πω=2π3,得ω=3,∴f (x )=3cos ⎝⎛⎭⎫3x -π3, ∴f (π)=3cos ⎝⎛⎭⎫3π-π3=3cos ⎝⎛⎭⎫π-π3 =-3cos π3=-32.★答案★:-325.若f (x )是R 上周期为5的奇函数,且满足f (1)=1,f (2)=2,则f (3)-f (4)=________. 解析:由于f (x )的周期为5, 所以f (3)-f (4)=f (-2)-f (-1). 又f (x )为R 上的奇函数,∴f (-2)-f (-1)=-f (2)+f (1)=-2+1=-1. ★答案★:-16.已知函数f (n )=sin n π6(n ∈Z),求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (102)=____________.解析:由诱导公式知sin ⎝⎛⎭⎫n +126π=sin ⎝⎛⎭⎫n π6+2π=sin n π6, ∴f (n +12)=f (n ),且f (1)+f (2)+f (3)+…+f (12)=0,102=12×8+6, ∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (102) =f (1)+f (2)+f (3)+…+f (6) =sin π6+sin 2π6+…+sin 6π6=2+ 3. ★答案★:2+ 37.函数y =cos ⎝⎛⎭⎫k 4x +π3(k >0)的最小正周期不大于2,则正整数k 的最小值应是________. 解析:∵T =2πk 4=8πk ≤2,∴k ≥4π,又k ∈Z ,∴正整数k 的最小值为13. ★答案★:138.下列说法中,正确的是____________(填序号). ①∵sin(π-x )=sin x ,∴π是函数y =sin x 的一个周期; ②∵tan(2π+x )=tan x ,∴2π是函数y =tan x 的最小正周期;③∵当x =π4时,等式sin ⎝⎛⎭⎫π2+x =sin x 成立,∴π2是函数y =sin x 的一个周期; ④∵cos ⎝⎛⎭⎫x +π3≠cos x ,∴π3不是函数y =cos x 的一个周期. 解析:根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的,同时④是正确的;对于②,我们只能得出2π是函数y =tan x 的一个周期,但不是最小正周期.★答案★: ④9.求下列函数的最小正周期. (1)f (x )=-2sin ⎝⎛⎭⎫π3-16x ; (2)f (x )=3cos ⎝⎛⎭⎫mx +π6(m ≠0). 解:(1)T =2π⎪⎪⎪⎪-16=12π, 即函数f (x )=-2sin ⎝⎛⎭⎫π3-16x 的最小正周期为12π. (2)T =2π|m |,即函数f (x )=3cos ⎝⎛⎭⎫mx +π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 10.已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数,且x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,ƒ(x )=1-sin x ,当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2,3π时,求ƒ(x )的解析式.解:x ∈⎣⎡⎦⎤5π2,3π时,3π-x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2, 因为x ∈0,π2时,ƒ(x )=1-sin x ,所以ƒ(3π-x )=1-sin(3π-x )=1-sin x . 又ƒ(x )是以π为周期的偶函数, 所以ƒ(3π-x )=ƒ(-x )=ƒ(x ),所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )=1-sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤5π2,3π.层级二 应试能力达标1.函数ƒ(x )是以2为周期的函数,且ƒ(2)=3,则ƒ(6)=________. 解析:∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数,且ƒ(2)=3, ∴ƒ(6)=ƒ(2×2+2)=ƒ(2)=3. ★答案★:32.若函数f (x )=cos ωx (0<ω<5)满足f (x +π)=f (x ),则ω=________. 解析:∵f (x +π)=f (x ),∴π为函数f (x )的最小正周期的整数倍. 又∵T =2πω,0<ω<5, ∴ω=2或4. ★答案★:2或43.定义在R 上的函数f (x )既是奇函数,又是以2为周期的周期函数,则f (1)+f (4)+f (7)=________.解析:据题意f (7)=f (-1+8)=-f (1), 所以f (1)+f (7)=0,又f (4)=f (0)=0,∴f (1)+f (4)+f (7)=0. ★答案★:04.函数y =sin 3x +sin x ·cos 2x 的最小正周期是________.解析:y =sin 3x +sin x ·cos 2x =sin x (sin 2x +cos 2x )=sin x ,周期T =2π. ★答案★:2π5.若函数f (x )的定义域为R ,最小正周期为3π2,且满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧cos x ,-π2≤x <0,sin x ,0≤x <π,则f ⎝⎛⎭⎫-15π4=________.解析:∵T =3π2, ∴f ⎝⎛⎭⎫-15π4=f ⎝⎛⎭⎫-15π4+3π2×3 =f ⎝⎛⎭⎫3π4=sin 3π4=22. ★答案★:226.若函数f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π3的最小正周期为T ,且T ∈(1,3),则正整数ω的最大值是________.解析:∵1<2πω<3,∴2π3<ω<2π,∴正整数ω的最大值是6.★答案★:67.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫k 10x +π3,其中k ≠0,当自变量x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时,至少含有一个周期,求最小正整数k 的值.解:∵函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫k 10x +π3的最小正周期为 T =2π⎪⎪⎪⎪k 10=20π|k |.由题意知T ≤1,即20π|k |≤1,|k |≥20π≈62.8. ∴最小正整数k 的值为63.8.已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x +2)=-1ƒ(x )(ƒ(x )≠0). (1)求证:函数ƒ(x )是周期函数. (2)若ƒ(1)=-5,求ƒ(ƒ(5))的值. 解:(1)证明:∵ƒ(x +2)=-1ƒ(x ), ∴ƒ(x +4)=-1ƒ(x +2)=-1-1ƒ(x )=ƒ(x ), ∴ƒ(x )是周期函数,4就是它的一个周期. (2)∵4是ƒ(x )的一个周期. ∴ƒ(5)=ƒ(1)=-5, ∴ƒ(ƒ(5))=ƒ(-5)=ƒ(-1) =-1ƒ(-1+2)=-1ƒ(1)=15.。

【精品】江苏省启东市高中数学第一章三角函数第9课时1.3.1三角函数的周期性教案苏教版必修4

【精品】江苏省启东市高中数学第一章三角函数第9课时1.3.1三角函数的周期性教案苏教版必修4

第九课时 §1.3.1 三角函数的周期性【教学目标】一、知识与技能:1.理解周期函数、最小正周期的定义;2.会求正、余弦函数的最小正周期。

二、过程与方法通过对周期的定义的理解,对熟悉正余弦函数的有关图象与性质有着重要作用三、情感态度价值观:通过周期定义的理解,使学生认识到事物之间的相互联系关系。

教学重点难点:函数的周期性、最小正周期的定义【教学过程】一、创设情景,提出问题1.问题:(1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?……(2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢?2.观察正(余)弦函数的图象总结规律:正弦函数()sin f x x =性质如下:– – π 2π 2π- 2π 5π π- 2π- 5π-O x y 1 1-文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得;符号语言:当x 增加2k π(k Z ∈)时,总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==. 也即:(1)当自变量x 增加2k π时,正弦函数的值又重复出现;(2)对于定义域内的任意x ,sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。

二、新课讲解:1.周期函数的定义:对于函数()f x ,如果存在一个非零常数....T ,使得当x 取定义域内的每一个值....时,都有()()f x T f x +=,那么函数()f x 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明:(1)T 必须是常数,且不为零;(2)对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】(1)对于函数sin y x =,x R ∈有2sin()sin 636πππ+=,能否说23π是它的周期? (2) 正弦函数sin y x =,x R ∈是不是周期函数,如果是,周期是多少?(2k π,k Z ∈且0k ≠)(3)若函数()f x 的周期为T ,则kT ,*k Z ∈也是()f x 的周期吗?为什么? (是,其原因为:()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+)2.最小正周期的定义: 对于一个周期函数()f x ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.1 三角函数的周期性》3

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.1 三角函数的周期性》3

三角函数的周期性三角函数知多少正弦函数作代表赣榆区赣马高级中学李春利一、教学目标及分析1知识与技能1、了解周期函数的概念2、会判断一些简单、常见的函数的周期3、会求一些简单三角函数的周期2过程与方法1、通过组织学生从生活实际周期现象出发,逐步抽象出函数周期性的定义,不断增强学生分析问题、解决问题的能力2、通过本节的学习,归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期,使学生进一步体会观察、比拟、归纳、分析等一般科学方法的运用3、通过对例2的学习,使学生进一步理解周期函数的定义和正弦函数、余弦函数的最小正周期,通过观察、归纳、类比方法的运用得出一般情况:3情感、态度与价值观1 通过生活实例,使学生感受周期现象的广泛存在,让学生体会数学律,体会从感性到理性的思维过程,2 在教学过程中,通过学生的相互交流,来加深对三角函数周期性的理解,让学生在亲身经历数学研究的过程中,增强学生数学交流能力,培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

二、学情分析三角函数是必修4整本教材的核心内容,虽然初中学生已对三角函数有了一定的了解,但那只局限在直角三角形中,对三角函数的特征还很茫然。

进入高中后学生学习了三角函数的定义,诱导公式,让学生具备了有一定能力去进行深入的研究,而周期性是三角函数的重要性质之一,在高中数学课程编排中是以三角函数为载体引出周期性这一概念的,理解三角函数周期性的本质对于函数周期性的后续学习起到至关重要的作用。

正弦、余弦函数作为最重要的两类三角函数,对其周期性的学习对后面它们的图像和性质的探究和学习起到了非常关键的作用。

因此本节课的学习至关重要。

三、教学重点和难点,教学方法分析重点:1、周期函数的概念2、求一些简单三角函数的周期难点:周期函数的概念的理解教学方法:引导发现法、观察归纳法,合作讨论法依据:为了把发现创造的时机还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维开展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的时机;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程.四、教学过程〔一〕、问题情境问题1: 年复一年,日复一日,潮汐潮落、、、、、、,这些事物呈现一种什么现象?你能再举一些这样的例子吗?设计意图:是从简单的问题出发,可以让学生立即进入上课的状态。

江苏省徐州市高中数学第1章三角函数1.3.1三角函数的周期性学案(无答案)苏教版必修4(new)

江苏省徐州市高中数学第1章三角函数1.3.1三角函数的周期性学案(无答案)苏教版必修4(new)

1.3.1 三角函数的周期性主备审核【学习目标】了解周期函数的概念。

会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期。

【学习过程】一、问题情境:α的终边是的,即:每当角问题1、通过前面的学习,我们知道角α与)+πk∈2Zk(,增加(或减少)2π,所得角的终边与原来角的终边,故两角的正弦、余弦值也分别,所以正弦、余弦函数值的变化呈现出周而复始的现象.哪个公式能反映正弦、余弦值的这一变化规律呢?问题2、若记x)(=,上述公式说明:对于任意的Rxf sinx∈,都有,若记x(=,上述公式说明:对于任意的)f cosxx∈,都有,正弦、余弦函数所具有的这种性质称为周R期性。

若一般函数)f的函数值具有“周而复始”的变化规律,即周期性,如何用代(x数形式描述这一规律?二、建构数学1、周期函数的定义:一般地,对于函数)f,如果,使得定义域内(x的,都满足,那么函数)f就叫做周(x期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。

思考:(1)一个周期函数的周期有多少个?(2)周期函数的图像具有什么特征?2、最小正周期的定义:对于一个周期函数)(x f ,如果在它所有的周期中那么这个最小的正数就叫做)(x f 的最小正周期.结论:正弦函数和余弦函数都是周期函数, 都是它们的周期,它们的最小正周期都是 .思考:正切函数x x f tan )(=是不是周期函数?若是周期函数,其周期是什么?最小正周期是什么?说明:今后本书中所说的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期。

3、概念辨析:(1)若T 是周期函数)(x f 的周期,则kT (k Z ∈)都是)(x f 的周期,对吗?(2)[]ππ6,6,sin )(-∈=x x x f 是周期函数吗?为什么?(3)函数a x f =)((a 为常数)是不是周期函数?如果是,最小正周期是什么?总结:对于周期函数的定义需注意那几点?三、数学应用例1、下列图像所表示的函数是不是周期函数?若是,指出它的最小正周期。

高中数学 第1章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课堂导学 苏教版必修4(2021年整理)

高中数学 第1章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课堂导学 苏教版必修4(2021年整理)

编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第1章三角函数1.3.1 三角函数的周期性课堂导学苏教版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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必修4三点剖析1。

周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期。

(1)y=sin (x+3π);(2)y=3sin(2x +5π). 思路分析:运用周期函数的定义即可。

解:(1)令z=x+3π,而sin (2π+z)=sinz, 即f (2π+z )=f(z),f [(2π+x)+ 3π]=f (x+3π)。

∴周期T=2π。

(2)令z=2x +5π, 则f (x)=3sinz=3sin (z+2π)=3sin (2x +5π+2π) =3sin (524ππ++x ) =f (x+4π).∴T=4π。

温馨提示理解好周期函数与周期的意义。

对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值。

也可用公式T=ωπ2求周期.2。

判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证:(1)y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx |+|cosx |的周期为2π。

思路分析:观察特征,运用定义. 证明:(1)f (x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f (x ),∴y=cos2x+sin2x 的周期是π。

(2)f (x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos (x+2π)|=|cosx |+|—sinx |=|sinx |+|cosx|=f (x),∴y=|sinx|+|cosx |的周期是2π。

2021年高中数学第一章第8课时三角函数的周期性教学案苏教版必修4

2021年高中数学第一章第8课时三角函数的周期性教学案苏教版必修4

2021年高中数学第一章第8课时三角函数的周期性教学案苏教版必修4教学目标:
1.理解周期函数、最小正周期的定义;
2.会求正、余弦函数的最小正周期.
教学重点:
函数的周期性、最小正周期的定义
教学过程:
Ⅰ.问题情境
1.今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?……
2.物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢?
Ⅱ.建构数学
1.周期函数的定义:
2.函数的周期:
Ⅲ.数学应用
例1:求下列函数周期:
(1),;(2),;(3),.
实用文档
练习:求下列函数的周期:
(1),;(2),;(3),.
例2:若对于函数y=f(x)定义域内的任何x的值,都有f(x+1)=f(x)成立,则函数的周期T= .
实用文档
练习:设f(x)定义在R上,并且对任意的x,有f(x+2)=f(x+3)-f(x+4),则函数的
周期T= .
例3:(1)对于函数,有,能否说是它的周期?
(2)正弦函数,是不是周期函数,如果是,周期是多少?
练习:若函数的周期为,则,k也是的周期吗?为什么?
Ⅳ.课时小结
实用文档
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P25-26 2,3,4实用文档。

11.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§1.3.1三角函数的周期性

11.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§1.3.1三角函数的周期性

§1.3 三角函数的图像和性质§1.3.1 三角函数的周期性教学目标了解周期函数的概念,会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求成过急些简单三角函数的周期.教学重点:周期函数的定义和正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性;教学难点:函数的周期性、最小正周期的定义.教学过程一.问题情境日月光华,旦复旦兮;昼夜光暗,循环往复;朝潮夜汐,周而复始;……………………物质世界存在着大量的周期性现象,三角函数是描述周期现象的数学模型,也是一种基本初等函数,在数学的各个领域中具有重要的作用.1.周期现象我们生活的地球就充满了各种时间尺度的循环往复.有些我们熟视无睹,如昼夜交替,四季轮换,月亮盈亏等;有些我们却茫然无知,如气候的长周期性变化,太阳系在银河系中的运动等;还有一些现象看似杂乱无章,其实隐含着难以觉察的周期性,如有些地方的洪水、干旱和地震等.象上述的周期现象是物质运动的普遍现象.(1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?……(2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢?(3)观察正(余)弦函数的图象总结规律:剖析:01三角函数是刻画圆周运动的数学模型,那么“周而复始”的基本特征必蕴含在三角函数性质中;02单位圆中,正弦函数值、余弦函数值的变化呈周期现象:每当角增加(或减少)2π,所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦函数值、余弦函数值也分别相同,也就是有sin(2)sin cos(2)cos x xx xππ+=+=03再强化:对于正弦函数,进一步地描述如下:设()sin f x x =,则上面所说的“周期性”还可以描述成:文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言:当x 增加2k π(k Z ∈)时,总有sin((2)()2)sin f x x x f x k k ππ=+==+.也就是:(1)当自变量x 增加2k π(k Z ∈)时,正弦函数的值又重复出现;(2)对于定义域内的任意x ,sin(2)sin x k x π+=(k Z ∈)恒成立. 2.归纳总结:以上三个问题有个共同的特征,那就是它们都具有“周而复始”的特征. 对于“星期二”的重复出现;单摆振动、圆周运动、质点运动的“规律”;正弦函数、余弦函数的“函数值”的重复出现等等现象,数学中,将它们所具有的这种性质称为周期性.二.周期函数的定义:1.定义:对于函数()f x ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有()()f x T f x +=,那么函数()f x 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.– –π2π2π-2π5ππ-2π- 5π-O x 11-2.对定义的解读:(1)T 必须是常数,且不为零; (2)对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立.【思考】(1)对于函数sin y x =,x R ∈有2sin()sin 636πππ+=,能否说23π是它的周期?(2)正弦函数sin y x =,x R ∈是不是周期函数,如果是,周期是多少?(2,0k k Z k π∈≠且) (3)若函数()f x 的周期为T ,则*()kT k N ∈也是()f x 的周期吗?为什么?(是,其原因为:()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+ )三.最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期.说明:(1)我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都是指的最小正周期;(2)从图象上可以看出sin ,y x x R =∈;cos ,y x x R =∈的最小正周期为2π;(3)判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期?答:不是. 反例如:函数()f x c =(c 为常数,x R ∈),它没有最小正周期;四.例题分析:例1:求下列函数周期:(1)3cos y x =,x R ∈; (2)sin2y x =,x R ∈;(3)12sin()26y x π=-,x R ∈.解:(1)∵3cos(2)3cos x x π+=,∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+,函数3cos ,y x x R =∈的值才能重复出现, 所以,函数3cos ,y x x R =∈的周期是2π. (2)∵sin(22)sin2()sin2x x x ππ+=+=, ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+,函数sin2,y x x R =∈的值才能重复出现, 所以,函数sin2,yx x R =∈的周期是π. (3)∵1112sin(2)2sin [()]2sin ()262626x x x πππππ-+=+-=-,∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+,函数12sin()26y x π=-,x R ∈的值才能重复出现,所以,函数12sin()26y x π=-,x R ∈的周期是π.思考:若0ω<,例如:①3cos(),y x x R =-∈;②sin(2),y x x R =-∈;③12sin(),26y x x R π=--∈.这三个函数的周期又分别是什么?例2:求下列函数的周期:(1)sin3,y x x R =∈; (2)cos ,3xy x R =∈;(3)3sin ,4x y x R =∈; (4)s i n (),10y xx R π=+∈; (4)cos(2),3y x x R π=+∈;(5)),24x y x R π=-∈;(6)sin()32y x ππ=-,x R ∈.解析:(1)23,3T πω=∴= ;(2)12,6133T πωπ=∴== ;(3)12,8144T πωπ=∴== ;(4)22,2T πωπ=∴== ; (5)12,4122T πωπ=∴== ;(6)12,412||2T πωπ=-∴==- .评析:有了一般结论,只要检验满足哪些条件,然后对照结论.直接应用即可.2.周期的性质: 性质1:若()()f x a f x +=-,则2a 是f (x )的周期.证明: ∵()()f x a f x +=-,∴(2)[()]()[()]()f x a f x a a f x a f x f x +=++=-+=--=,即2a 是f (x )的周期.性质2:若1()()f x a f x +=,则2a 是f (x )的周期.证明:∵1 ()() f x af x+=,∴11(2)[()]()1()()f x a f x a a f xf x af x+=++===+,即2a是f (x)的周期.例 3.若函数()y f x=是奇函数,且(1)()f x f x+=-,求证: 2是f (x)的周期.证明:∵()y f x=是奇函数,∴f (-x)=-f(x) ,∴(1)()()f x f x f x+=-=-,∴(2)[(1)1](1)[()]()f x f x f x f x f x+=++=-+=--=, ∴2是f (x)的周期.练习:若函数()y f x=是奇函数,且1 ()() f x af x+=-,求证: 2a是f (x)的周期.例4: 下列函数是周期函数的是( )①f (x)=x;②xxf2) (=;③f (x)=1;④1,()0,xf xx⎧=⎨⎩ (为有理数), (为无理数)..A. ①②B. ③C. ③④D. ①②③④解析: ①由f (x +T )=x +T ≠x ,T ≠0,知f (x )=x 不是周期函数.②由0,2222)(≠≠⋅==++T T x f x x T T x ,知x x f 2)(=不是周期函数. ③由f (x +T )=1=f (x ),知f (x )=1是周期函数.④设T 是任意一个有理数,那么当x 是有理数时,x +T 也是有理数;当x 为无理数时,x +T 也是无理数,就是说f (x )与f (x +T )或者都等于l 或者都等于0,即得f (x +T )= f (x ).因此在两种情况下,都有f (x +T )=f (x ),所以f (x )是周期函数.故应选C.(了解)例3.证明:若函数y =f (x ) (x ∈R)的图像关于x =a 对称,且关于x =b 对称,则f (x )是周期函数,且2(b -a )是它的一个周期.证明:设x 是任意一个实数,因为函数y =f (x )的图像关于直线x =a 对称,故f (a +x )=f (a -x ),同理,f (b +x )=f (b -x ). 于是f [x +2(b -a )]=f [b +(b +x -2a )]=f [b -(b +x -2a )]=f (2a -x )=f [a +(a -x )]=f [a -(a -x )]=f (x ).∴f (x )是周期函数,且2(b -a )是它的一个周期.例4.如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,其中心O,若从A点处上去,顺时针转动,4.5分钟时到过最高点,若点B处与点A在同一高度处,且由B到A的时间为1分钟.A B(1)求该摩天轮旋转周期是多少分钟?(2)某游客上去后15分钟时,在摩天轮左边还是在右边?(3)此时游客至少还需多长时间可以从B处下摩天轮?解析:(1)设摩天轮旋转周期为T,由已知可得由A到最点处时间为4.5分种,则由最高点到B也为4.5分种,由B到A的时间为1分种,则周期T=4.5+4.5+1=10分种.(2)15分钟为一个周期零5分钟,此时游客第二次经过点A处,又4.5分种后经过最高点处,因此5分钟后在摩天轮的右侧.(3)从最高点么B 处需要4.5分钟,由于15分钟后游客刚过最高点处0.5分种,故还需4分钟后可以从B 处下摩天轮.练习: 如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,其中心O , O 离地面15m, 若从A 点点处上去,顺时针转动, 4.5分钟时到过最高点,若点B处与点A 在同一高度处,且由B 到A的时间为1分钟. 若A 点距地面10 m,摩天轮的半径为20 m .某游客上去后24.5分钟时,距地面的高度是多少?答案: 设摩天轮旋转周期为T,由已知可得由A 到最点处时间为4.5分种,则由最高点到B 也为4.5分种,由B 到A 的时间为1分种,则周期T=4.5+4.5+1=10分种.上去后24.5分钟则为两个周期零4.5分钟,此时又到达摩天轮的最高点处,即离地面的高度为15+20=35m.练习2:如图所示,一个半径为R 的大球面镜固定在水平面,其最低点是O 点.将一只小 球a 从镜面上离O 点不远处无初速释放,若从最高点向下运动到点B 的时间为4s,再由点B 向右运动,直至到点A(点A 与B 在同样的高度位置)的时间为6秒,求周期T 及由A向右运动至点B 的时间.A B答案: 设该简谐运动的周期为T,由A 运动到点O 的时间为x, 由最高点向下运动到点B 的时间为44T x +=,又由点B 向右运动,直至到点A 的时间为644T T x x -++=,解得12T =s, 1x =s ,故得周期T=6s 及由A 向右运动至点B 的时间为22x s =.拓展性练习:1.课时练17P 第8课时 三角函数的周期 (例1)下列命题中,正确的是A.()sin f x x x =+是周期函数 B.()3g x =是周期函数C.()sin(23)h x x =+不是周期函数 D.()sin()u x x =-不是周期函数解析:用定义考察.从正面考虑,B、C、D都显然是周期函数,故选B .直接法针对A还有一定难度.2. 课时练17P 第8课时 三角函数的周期 (例3)已知函数()f x 2cos()143kx π=+-的最小正周期不大于2,求正整数k 的最小值.解析:直接用公式:224kπ≤,解得4k π≥,所以满足条件的最小正整数13k =.五.小结:1.周期函数、最小正周期的定义;2. sin()y A x ωϕ=+ x R ∈(其中A 、ω、ϕ 为常数,且0A ≠)型函数的周期的求法.(牢记:这里的说法,周期是指最小正周期)六.作业P第8课时三角函数的周期课时练17。

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高中数学1.3.1 三角函数的周期性导学案苏教版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学1.3.1 三角函数的周期性导学案苏教版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.3.1 三角函数的周期性且A ≠0,ω>0)的周期。

1.周期函数的概念(1)周期函数的定义:一般地,对于函数f (x ),如果存在一个非零的常数T ,使得定义域内的每一个x 值,都满足f (x +T )=f (x ),那么函数f (x )就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:对于一个周期函数f (x ),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期.预习交流1周期函数的定义中,能否把“定义域内的每一个x 值”改为“定义域内存在一个x 值”? 提示:不能.反例:y =sin x (x ∈R )对于x =错误!,T =错误!,显然有sin (x +T )=sin 错误!=sin 错误!=sin x ,但T =π3不是它的周期. 2.三角函数的周期(1)正弦函数和余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是2π;正切函数y =tan x 也是周期函数,且最小正周期是π.(2)一般地,函数y =A sin(ωx +φ)及y =A cos (ωx +φ)(其中A ,ω,φ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T =错误!。

若函数y =f (x )的周期为T ,则函数y =Af (ωx +φ)的周期为错误!(其中A ,ω,φ为常数,且A ≠0,ω≠0).预习交流2所有周期函数都有最小正周期吗?为什么?提示:并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,常数函数f (x )=5,x ∈R .当x 为定义域内的任何值时,都有f (x )=C ,即对定义域内的每一个x 值,f (x )都有f (x +T )=C =f (x ),因此f (x )是周期函数.由于T 是不为零的任意常数,而正数集合中没有最小者,所以f (x )=C 没有最小正周期.一、函数周期性的证明已知函数f (x )对任意实数x ,都有f (x +m )=-f (x ),求证:函数f (x )是周期函数,并且2m 是f (x )的一个周期.思路分析:要证函数f (x )是周期函数,就是要找到一个常数T ,使得对于任意实数x ,都有f(x+T)=f(x),可根据f(x+m)=-f(x)推导寻找.证明:∵函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=-f(x),∴f(x+2m)=f[(x+m)+m]=-f(x+m)=-[-f(x)]=f(x).∴函数f(x)是周期函数,并且2m是f(x)的一个周期.若函数y=f(x)是奇函数,且f(x+a)=错误!,求证:2a是f(x)的周期(a≠0).证明:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(x+a)=错误!=-错误!。

∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-错误!=-错误!=f(x).∴f(x)是以2a(a≠0)为周期的周期函数.周期函数的证明一般利用周期函数的定义;对抽象函数的周期性证明,要注意利用条件,结合定义进行灵活的转化.对于函数最小正周期的证明,不仅可以用周期函数的定义,而且还可以运用反证法.二、求三角函数的周期求下列函数的周期:(1)y=3sin错误!;(2)y=2cos错误!;(3)y=|sin x|。

思路分析:利用公式法或定义法求解即可.若ω<0,则先用诱导公式转化为正值,再用公式.解:(1)T=错误!=错误!=4。

(2)y=2cos错误!=2cos错误!,∴T=错误!=4π。

(3)由y=sin x的周期为2π,可猜想y=|sin x|的周期应为π.验证:∵|sin(x+π)|=|-sin x|=|sin x|,∴由周期函数的定义知y=|sin x|的周期是π.用定义法求下列函数的周期:(1)y=cos 4x;(2)y=2sin错误!;(3)y=tan(ωx+φ)(ω>0).解:(1)设函数f(x)=cos 4x的周期为T。

令4x=μ,由f(x)=cos μ的周期是2π,知f(μ+2π)=cos(μ+2π)=cos(4x+2π)=cos错误!=f错误!=f(μ)=cos μ=cos 4x=f(x)对一切x都成立,∴T=π2.(2)令错误!+错误!=μ。

由y=2sin μ的周期是2π,知f(μ+2π)=2sin(μ+2π)=2sin错误!=2sin错误!=f(x+6π)=f(μ)=2sin错误!=f(x)对一切x都成立,∴T=6π。

(3)令μ=ωx+φ。

由y=tan μ的周期为π,知f(μ+π)=tan(μ+π)=tan(ωx +φ+π)=tan错误!=f错误!=f(μ)=tan(ωx+φ)=f(x)对一切x都成立,∴T=错误!是y=tan(ωx+φ)的周期.求三角函数的周期,通常有三种方法:(1)定义法.(2)公式法.对y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0),有T=错误!。

(3)观察法(图象法).三、函数周期性的应用设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(2+x)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,求f(7.5)的值.思路分析:解答此类题目的关键是利用化归思想,借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求解.解:方法一(直接计算):∵f(2+x)=-f(x),f(x)为奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,∴f(7.5)=f(5。

5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-[-f(3。

5)]=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1。

5)=-f(2-0。

5)=f(-0。

5)=-f(0。

5)=-0。

5.方法二(利用周期性):∵f(4+x)=f[2+(2+x)]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x+4)=f(x),故函数的周期为4.∴f(7.5)=f(8-0。

5)=f(-0。

5)=-f(0.5).∵0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(7。

5)=-0。

5.1.今天是星期一,那么从明天算起,第7k(k∈N*)天是星期__________,第100天是星期__________.答案:一三解析:每周7天,则7k是k个周期,即第7k(k∈N*)天仍是星期一.∵100=7×14+2,∴第100天是星期三.2.(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=__________。

(2)设f(x)是定义在R上的以4为周期的奇函数,且f(1)=-1,则f(2 011)=__________。

答案:(1)-1 (2)1解析:(1)由于f(x)的周期为5,所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1).又f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.(2)∵f(x)的周期为4,f(x)为奇函数,且f(1)=-1,∴f(2 011)=f(4×503-1)=f(-1)=-f(1)=-(-1)=1。

如果一个函数是周期函数,要研究该函数的有关性质,结合周期函数的定义域可知,只研究该函数一个周期上的特征,再加以推广便可得到该函数在定义域内的有关性质.利用函数的周期性可以求值,可以推理判断,可以解决许多实际问题.应注意等价转化思想的应用.1.若函数y=cos错误!(ω>0)的最小正周期是错误!,则ω=__________.答案:10解析:∵T=错误!=错误!,∴ω=10。

2.下列函数是周期函数的是__________(填序号).①f(x)=x;②f(x)=2x;③f(x)=1。

答案:③解析:①由f(x+T)=x+T≠x,T≠0,知f(x)=x不是周期函数;②由f(x+T)=2x+T=2T·2x≠2x,T≠0,知f(x)=2x不是周期函数;③由f(x+T)=1=f(x),知f(x)=1是周期函数.3.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,是周期函数的有______(填序号).答案:①②③解析:根据周期函数的定义观察图象可得.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈错误!时,f(x)=sin x,则f错误!的值为__________.答案:错误!解析:∵T=π,∴f错误!=f错误!=f错误!=f错误!=f错误!。

∵f(x)是偶函数,且当x∈错误!时,f(x)=sin x,∴f错误!=f错误!=sin 错误!=错误!。

∴f错误!=错误!.5.求下列函数的周期:(1)y=3sin 4x;(2)y=-2cos错误!。

解:(1)T=错误!=错误!=错误!.(2)y=-2cos错误!=-2cos错误!,T=错误!=4π。

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