高三数学复习讲义——等差数列性质(1)新人教A版

等差数列性质（1）基本练习( B)1已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，11136a a ⋅=，则6a 的最小值为A 、4B 、5C 、6D 、7( A )2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.3B.4C.5D.2( A)3.等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（ ）A ．24B ．22C ．20D ．-8( B )4{a n }是等差数列，a 1>0，a 2009＋a 2010>0，a 2009·a 2010<0，使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是（ ） A ．4019 B ．4018 C ．4017 D ．4016( B )5.在等差数列1077,21,5,,}{S S a S n a n n 那么若项和为前中==等于（ ）A ．55B ．40C ．35D ．706设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知,144,324,3666===-n n S S S 则n =______18____.7在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项的和为n S ．若20072005220072005S S -=，则=2008S _____-200_8_____例1已知数列}{n a 中，531=a ，),2(121+-∈≥-=N n n a a n n ，数列}{n b 满足)(11+∈-=N n a b n n （1） 求证：数列}{n b 是等差数列；（2） 求数列}{n a 中的最大值和最小值，并说明理由 (1)11)12(111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ,而1111-=--n n a b , ∴),2(11+-∈≥=-N n n b b n n ,251111-=-=a b ；故数列}{n b 是首项为25-，公差为1的等差数列；（2）由（1）得27-=n b n ，则722111-+=+=n b a n n ；设函数7221)(-+=x x f ， 函数7221)(-+=x x f 在)27,(-∞和),27(+∞上均为减函数，当3≤x 时，1)3()(-=≥f x f ；当4≥x 时，3)4()(=≤f x f ；且53)1(=f ，当n 趋向于+∞时，)(x f 接近1，∴1)(3min -==a a n ，3)(4max ==a a n ．例2设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知0,24113==s a ，求： ①数列{}n a 的通项公式 ②当n 为何值时，n s 最大，最大值为多少？解析：由⎩⎨⎧==024113s a 得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+32210111124211d a d a 得⎩⎨⎧-==8401d a ∴n d n a a n 848)1(1-=-+=n n d n n na S n 4442)1(21+-=-+= ∴当65或=n 时，120max =S例3.在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+（1）设,21-=n nn a b 证明{}n b 是等差数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

解析：（1）由已知nn n a a 221+=+得1122222111+=+=+==-++n n nn n n n n n b a a a b ， 又111==a b ∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）知112,2--⨯=∴=n n n n n a n a 12223221-⨯++⨯+⨯+=n n n Snn n S 223222232⨯++⨯+⨯+= 两式相减得n n n n S 222221132⨯-++++=-- 12)1(+⨯-=∴n n n S等差数列的性质同步练习题一班级 姓名( )1．已知{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，它们前n 项和2n S M n P n t =⋅+⋅+，则,,M P T 满足的关系是A ．0,0M T ≠=．B ． 0M T ==．C ． 0T ≠．D ．,,0M P T ≠ ( )2．若等差数列的各项依次递减，且a 2a 4a 6=45,a 2+a 4+a 6=15，则数列{a n }的通项公式为A ．2n －3B ．－2n +3C ．－2n +13D ．2n +9 ( )3．在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 ( )4．等差数列{a n }的通项公式是a n =2n +1,由b n =na a a n+⋅⋅⋅++21 (n ∈N *)确定的数列{b n }的前n 项和是 A ．21n (n +5) B ．21n (n +4) C ． 21n (2n +7) D ．n (n +2)( )5．在等差数列{a n }中，a 1>0,且3a 8=5a 13,则S n 中最大的是 A ．S 21 B ．S 20 C ．S 11 D ．S 10( )6．等比数列的前n 项的和为54，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 A ．66B ．64C ．6632 D ．6032 ( )7．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,对一切正整数n ,都有231n n S nT n =+,则55a b 等于 A ．23． B ．914． C ．2031． D ．1117． ( )8．已知等差数列{}n a 公差是1，且12989999a a a a ++++=,则3699699a a a a a +++++=A ．99．B ．66．C ． 33．D ．0． ( )9．若关于x 的方程x -2–x+a=0和x 2-x+b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是 A ．83 B ．2411 C ．2413 D ．7231 ( )10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，501a 的“理想数”为2008，那么数列2， 1a ，2a ，……，501a 的“理想数”为A ．2002B ． 2004C ． 2006D ． 2008 思路分析】：200850150050150121⨯=+++a a a200650220085012502500501502250121=⨯+=++++⨯a a a11．一凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是10，最小内角是100，则边数n =_____8_____．12．在等差数列{}n a 中，391115170a a a a a ++++=，则11a =___0_____,21S =_____0____． 13．已知等差数列{a n }中，前三项之和为6，末三项和60，S n = 231，则n = 21 ．14．等差数列{a n }中，S 2 = S 19且公差d ＜0，当n = 10或11 时，S n 最大．15．设),(p n f =p n C 2)2,,(*n p N p n ≤∈，数列}{p n a 满足⋅⋅⋅+++p p p a a a 321),(p n f a np =+，则数列}{2n a 的通项公式是 342-=n a n.【思路分析】:令2=p 则2222212)2,(n n C n f a a a ==+⋅⋅⋅++,则)2(,)2,1(2222)1(2212≥=-=+⋅⋅⋅++--n C n f a a a n n ，两式相减得：2≥n 时，34222222-=-=-n C C a n n n ，且31412212-⨯===C a ，∴342-=n a n .16．已知数列｛a n ｝的前n 项和是S n =32n －n 2,求数列｛｜a n ｜｝的前n 项和S n ′．【解】 ∵a 1=S 1=32×1－12=31, 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=33－2n , 又由a n ＞0，得n ＜16．5,即｛a n ｝前16项为正，以后皆负．∴当n ≤16时，S n ′=｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜ =a 1+a 2+…+a n =33n －n 2．当n ＞16时，S n ′=a 1+a 2+…+a 16－a 17－a 18－…－a n =S 16－(S n －S 16)＝2S 16－S n ＝512－32n ＋n 2．∴2232 (16)'51232 (16)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ 17．已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4－14-n a (n ≥2)，令b n =21-n a ,(1)求证数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)【证明】 a n +1－2=2－n n n a a a )2(24-= ∴2121)2(2211-+=-=-+n n n n a a a a (n ≥1) 故2121211=---+n n a a (n ≥1) 即b n +1－b n =21 (n ≥1) ∴数列{b n }是等差数列．(2)【解】 ∵{21-n a }是等差数列 ∴221)1(21211nn a a n =⋅-+-=- ∴a n =2+n 2∴数列{a n }的通项公式a n =2+n218．已知数列{a n }中，211=a ． 点(n , 2a n +1 – a n )在直线y = x 上，其中n = 1，2，3…． (1)令b n = a n +1 – a n – 1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项；(3)设S n 、T n 分别为数列{a n }、{b n }的前n 项和． 是否存在实数λ，使得数列}{n T S nn λ+为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由． 【解析】（1）由已知得n a a a n n +==+112,21，∴432=a ，21131311424a b a --=--=-=， 又b n = a n +1 – a n – 1，∴b n +1 = a n +2 – a n +1 – 1，∴111121----=++++n n n n nn a a a a b b 1122)1(11---+-++=++n n n n a a na n a 12111----=++n n n n a a a a 21=． ∴{b n }是以43-为首项，以21为公比的等比数列．（2）由（1）知，1)21(43-⨯-=n n b =n 2123⨯-，∴n n n a a 212311⨯-=--+，∴2123112⨯-=--a a ，22321231⨯-=--a a ，…… ∴1121231--⨯-=--n n n a a ， 将以上各式相加得：)1(1---n a a n =)212121(2312-+++-n ， ∴211)211(2123111--⨯--+=-n n n a a =)211(23)1(211----+n n =223-+n n ． ∴223-+=n a nn ．（3）解法一：存在λ=2，使数列}{nT S nn λ+是等差数列． ∵S n = a 1 + a 1 +…+a n =)212121(321n++++ (1 + 2 +…+ n ) – 2n=n n n n 22)1(211)211(213-++--⨯=23)211(32n n n -+-=323232+-+-n n n ． T n = b 1 + b +…+b n =)211(23211)211(43n n --=---=12323++-n ． 数列}{n T S n n λ+是等差数列的充要条件是B An nT S nn +=+λ，(A 、B 是常数) 即Bn An T S n n +=+2λ，又323232+-+-=+n n T S n n n λ+)2323(1++-n λ=)211)(21(3232n n n --+-λ ∴当且仅当=-21λ0，即2=λ时，数列}{nT S nn λ+是等差数列． 解法二：存在λ=2，使数列}{nT S nn λ+是等差数列． 由（1）、（2）知，a n + 2b n = n – 2， ∴n n n T S n n 22)1(2-+=+． ∴n T T n n n n T S nn n n λλ+--+=+222)1(=n T nn 223-+-λ． 又T n = b 1 + b 2 +…+b n =211)211(43---n =)211(23n --=12323++-n ． ∴)2323(2231++-⋅-+-=+n n n n n n T S λλ． ∴当且仅当λ=2时，数列}{nT S nn λ+是等差数列．。