两向量的向量积
两向量相乘的计算公式
两向量相乘的计算公式向量的乘法有两种方式：数量积和向量积。
数量积又称点积或内积，是指两个向量相乘得到一个标量。
向量积又称叉积或外积，是指两个向量相乘得到一个新的向量。
下面将详细介绍这两种向量的乘法公式及其计算方法。
数量积的计算公式可以通过内积的定义来得到。
假设有两个向量A和B，它们的数量积定义为它们对应分量的乘积之和，即：A·B=A1B1+A2B2+A3B3+...其中，A1、A2、A3等表示A向量的各个分量，B1、B2、B3等表示B 向量的各个分量。
这个公式也可以写成矩阵的形式：A ·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的模长，θ表示A和B 之间的夹角。
通过这个公式，可以得到数量积的计算方法。
1.将向量A和向量B的对应分量相乘，得到一个新的序列。
2.将这个序列中的乘积相加，得到最终结果。
例如，假设有两个向量A=(1,2,3)和B=(4,5,6)，它们的数量积可以通过以下步骤进行计算：A·B=(1*4)+(2*5)+(3*6)=4+10+18=32所以，向量A和向量B的数量积为32数量积有以下几个重要的性质和应用：1.A·B=B·A，即数量积满足交换律。
2.A·A=，A，^2，即一个向量和自己的数量积等于向量的模长的平方。
3.如果A·B=0，则称向量A和向量B垂直或正交。
4.A·B=0，当且仅当夹角θ=90°或π/25.数量积可以用于计算两个向量之间的夹角。
向量积的计算公式可以通过外积的定义来得到。
假设有两个向量A和B，它们的向量积定义为一个新的向量C，它的模长等于A和B向量所围成的平行四边形的面积，方向垂直于A和B所在的平面。
向量积的计算公式如下：C=A×B其中，×表示向量积运算。
C=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)向量积的计算方法如下：1.将向量A和向量B的坐标分别表示为A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)。
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
空间几何中的向量积
空间几何中的向量积空间几何是数学中的一个重要分支，它研究的是在三维空间中点、线、面和体的性质以及它们之间的关系。
而向量积，又称为向量的叉乘，是空间几何中一个基本概念，它在几何表示和向量运算中起着重要角色。
本文将详细介绍空间几何中的向量积，包括定义、性质和运算法则。
一、向量积的定义向量积是两个向量之间的运算，结果是一个向量。
设有两个三维向量A和B，它们的向量积记作A×B。
向量积的计算公式如下：A×B = |i j k ||A1 A2 A3||B1 B2 B3|其中，i、j、k分别表示坐标轴单位向量，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别是向量A和B的分量。
根据定义，向量积的结果垂直于向量A和B所在的平面，且方向遵循右手法则。
二、向量积的性质向量积具有以下重要性质：1. 反交换律：A×B = -B×A这意味着向量积的结果与顺序有关，交换向量的顺序会改变结果的方向。
2. 分配律：A×(B + C) = A×B + A×C这表示向量积在向量的加法运算中满足分配律。
3. 结合律：(kA)×B = A×(kB) = k(A×B)这说明向量积在向量的数乘运算中满足结合律。
三、向量积的运算法则向量积的运算法则主要包括模长、方向和几何意义。
1. 模长向量积的模长等于相乘的两个向量模长的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
即|A×B| = |A| · |B| · sinθ，其中θ为向量A和B的夹角。
2. 方向向量积的方向垂直于向量A和B所在的平面，遵循右手法则。
将四指从向量A转向向量B，弯曲的大拇指指向向量积的方向。
3. 几何意义向量积的几何意义包括面积和垂直。
- 面积：向量积的模长等于以向量A和B为边的平行四边形的面积的一半。
这是因为平行四边形的面积可以表示为底边乘以高，而向量积刚好是底边的长度乘以高的长度，再乘以正弦值。
向量的数量积和向量积的性质
向量的数量积和向量积的性质向量的数量积和向量积是向量运算中非常重要的两种运算方式。
在数学和物理学中，它们具有独特的性质和应用。
本文将详细讨论向量的数量积和向量积的性质。
向量的数量积（也称点积或内积）是两个向量相乘所得的标量。
设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b。
数量积的计算方式为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角。
向量的数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a，a·a = |a|^2。
这表示一个向量的数量积与其自身的模长的平方相等。
2. 属于向量的交换律。
即，对于任意向量a和b，a·b = b·a。
因此，数量积可以看作是一种可交换运算。
3. 属于向量的分配律。
即，对于任意向量a、b和c，(a + b)·c = a·c + b·c。
这意味着在分配律的条件下，我们可以将向量的数量积展开为多项式的形式。
4. 数量积的结果可以用来判断向量之间的关系。
当且仅当两个非零向量的数量积为0时，它们是垂直的；当数量积大于0时，它们的夹角为锐角；当数量积小于0时，夹角为钝角。
向量的向量积（也称叉积或外积）是两个向量相乘所得的新向量。
向量积记作a×b。
向量积的计算方式为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角，n 为垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量的向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，它们的向量积垂直于a和b所在平面。
这表明向量积的结果是与原向量a和b均垂直的新向量。
2. 向量积满足右手法则。
将右手的四指指向a，然后握紧拇指，向量积的方向将由突起的中指所确定。
3. 向量积的模长可以用来计算平行四边形的面积。
即，对于向量a 和b，其向量积的模长等于由a和b两边所组成的平行四边形的面积。
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
点乘公式对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：定义向量：根据三角形余弦定理有：根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。
从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间a·b=0 正交，相互垂直a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：a和b的叉乘公式为：其中：根据i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。
如下图所示：在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
向量的内积和外积
向量的内积和外积
1）内积：两个向量a和b的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量和b的内积记作a,b或ab即a.b=|a||b|cos＜(a,b).
2）外积：两个向量a和b的向量积（也称外积）是一个向量，记作a×b或[ab]它的模是|a×b|=|a||b|sin＜(a,b).
内积：两个张量（含矢量）相乘以后，其总阶数减少了，或曰缩小了。
形象地看，是向“内”收缩了。
外积：两个张量（含矢量）相乘以后，其总阶数增加了，或曰扩大了。
形象地看，是向“外”扩张了。
内积是一个向量在另一向量所在方向上的积，所以叫内积。
外积是一个向量在另一向量的无关方向上的积，所以才叫外积。
所以，两个相同向量的积在内积上达到最大，把外积方向给挤没了，所以外积中如果两个向量相同则为0。
因为向量相同外积为0，所以才有交换变号，即反对称性。
向量积的坐标公式
向量积的坐标公式向量积，也称为叉乘，这可是数学里一个相当有趣的概念！尤其是向量积的坐标公式，那更是藏着不少小秘密呢。
先来说说向量积是啥。
想象一下，在一个三维空间里，有两个向量，它们就像两个小箭头，不仅有长度，还有方向。
当这两个小箭头相互作用的时候，就产生了向量积。
咱们来聊聊向量积的坐标公式。
假设我们有两个向量 a = (a₁, a₂,a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃) ，那它们的向量积的坐标公式就是：a ×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)是不是看起来有点复杂？别担心，咱们来举个例子感受感受。
有一次，我在给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，一直皱着眉头。
我就问他：“怎么啦，小家伙，没听懂？”他苦着脸说：“老师，这公式太难记啦！”我笑了笑，然后拿出三根铅笔，摆成了两个有角度的向量。
我跟他说：“你看，这就像两个铅笔在打架，它们打架的结果，就是按照这个公式来决定的。
”我一点点给他解释每个坐标的计算，他眼睛突然亮了起来，兴奋地说：“老师，我好像懂啦！”这让我想到，其实学习向量积的坐标公式，关键是要理解它背后的意义。
就像刚刚说的那个例子，把抽象的公式和具体的东西联系起来，就会容易很多。
再深入一点，向量积的坐标公式在很多领域都有大用处。
比如说物理里，计算磁场对电流的作用力，就得用到向量积。
还有计算机图形学中，判断两个向量的方向关系，向量积也是一把好手。
在解决实际问题的时候，咱们可以先把向量的坐标确定好，然后按照公式一步步计算。
这就像是搭积木，一块一块地往上放，最后就能搭出漂亮的“建筑”。
总之，向量积的坐标公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做练习，多联系实际，就一定能掌握它，让它成为我们解决问题的有力工具。
就像那个一开始迷糊后来恍然大悟的学生一样，相信大家都能在这个知识点上找到属于自己的“灵光一闪”！。
向量积的行列式计算公式
向量积的行列式计算公式向量积是向量运算中的一种重要形式，它可以用行列式的形式来表示。
在数学中，行列式是一种非常重要的概念，它可以用来描述线性方程组的解、矩阵的性质等。
本文将介绍向量积的行列式计算公式，以及它的应用。
一、向量积的定义向量积，又称叉积，是指两个向量的积所得到的向量。
设有两个三维向量a和b，它们的向量积为：a ×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的结果是一个垂直于a和b所在平面的向量，其大小等于|a| |b| sinθ。
二、向量积可以用行列式的形式来表示，即：a ×b = det| i j k || ax ay az || bx by bz |其中，i、j、k分别为三维空间中的单位向量，ax、ay、az、bx、by、bz分别为向量a和b的三个分量。
det表示行列式的值，计算公式为：det = ax by cz + ay bz cx + az bx cy - az by cx - ay bx cz - ax bz cy三、向量积的应用向量积在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 计算平面面积设有两个向量a和b，它们的向量积为c，则以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积为|c|。
2. 判断向量的方向设有两个向量a和b，它们的向量积为c，则向量c的方向垂直于a和b所在平面，且满足右手定则，即右手握住a，让手指弯曲到b的方向，此时大拇指所指的方向即为向量c的方向。
3. 计算力矩在物理学中，力矩是指力对物体产生的旋转效应。
设有一个力F作用在向量r上，则力矩M等于向量r和力F的向量积，即M = r × F。
4. 计算电磁感应在电磁学中，电磁感应是指磁场的变化所引起的电场的变化。
根据法拉第电磁感应定律，电动势的大小等于磁通量的变化率。
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提示： aaxiay jazk, bbxiby jbzk, a·b(axiay jazk)·(bxiby jbzk) axbxi·iaxbyi·jaxbzi·k aybx j·iayby j·jaybz j·k azbxk·iazbyk·jazbzk·k axbxaybyazbz .
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b2x
b
2 y
bz2
提示:
a ·b|a||b|cos .
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例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角.
轴上任取一点O作向量rOM , 并以 表示 与r的夹角, 那么
a|r|sin .
设线速度为v, 那么由物理学可知
|v|||a|||r|sin ;
v垂直于与r, 且v的指向是使、r、v符合右手规则. 因此有 vr.
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例3 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A, n为 垂直于A的单位向量, 计算单位时间内经过这区域流向n所指
一方的液体的质量P(液体的密度为r).
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、 斜高为|v|的斜柱体.
这柱体的高为
|v|cos,
体积为
A|v|cosAv·n.
a(2, 2, 1)-(1, 1, 1)(1, 1, 0), b(2, 1, 2)-(1, 1, 1)(1, 0, 1).
因为 ab1110011,
|a| 12 12 02 2 ,
所以 从而
|b| 12 02 12 2 ,
cosAMB ab |a||b|
1 2
2
1 2
.
AMB .
3
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从而 |c|2cc(a-b)(a-b)
aabb-2ab
|a|2|b|2-2|a||b|cos(a,^ b),
即
c2a2b2-2abcos.
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❖数量积的坐标表示 设a(ax, ay, az ), b(bx, by, bz ), 则 a·baxbxaybyazbz .
从而, 所求液体的质量为
PrAv·n.
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二、两向量的向量积
❖向量积的定义 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模|c||a||b|sin(a,^ b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即WFs.
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
❖数量积的运算律 (1)交换律: a·bb·a; (2)分配律: (ab)·ca·cb·c.>>>
(3)(a)·ba·(b)(a·b), (a)·(b)(a·b),
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例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的
线速度. 解 设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l
轴上任取一点O作向量rO M , 并以 表示 与r的夹角, 那么
提示：
刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量表示
角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定
(1) aa0; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab0, 则a//b; 反之, 如果a//b, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则
a//bab0.
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❖向量积的运算律 (1) 交换律: ab-ba; (2) 分配律: (ab)cacbc;
|OAOB| 表示以
OA 和 OB
为邻边的平行四边形的面积, 于是DOAB的面积为
因为
S
1
|OAOB|
2
i jk OAOB 1 0 3 -3i -3 j k
013
|OAOB| (-3)3 (-3)2 12 19
所以三角形DOAB的面积为
S
1
|OAOB|
1
19
2
2
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§7.2 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
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一、两向量的数量积
•数量积的物理背景 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s
表示位移. 由物理学知道, 力F所作的功为
W|F||s|cos , 其中 为F与s的夹角.
从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即 cab.
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右手规则
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二、两向量的向量积
❖向量积的定义
向量a与b的向量积cab: |c||a||b|sin(a,^b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则 从a转向b来确定. ❖向量积的性质
其中、为数.
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例1 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b2-2abcos .
记CB a, CA b, AB c, 则有
则有 ca-b,
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
❖数量积的性质 (1) a·a|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 a·b0, 则 ab; 反之, 如果ab, 则a·b0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则 aba·b0.
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当a0时, |b|cos(a,^ b)是向量b在向量a 的方向上的投影, 于是
a·b|a|Prjab. 同理, 当b0时, a·b|b|Prjba.
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
bx by bz
例4 设a2i-3jk, bi-j3k , 计算ab .
解:
i jk ab 2 -3 1 -8i -5 j k
1 -1 3
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例5
已知
OAi 3j
,
OB j 3k
,
求DOAB的面积.
解:
根据向量积的几何意义,
(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
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设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则
i jk ab ax ay az (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
提示：
iijjkk0, ijk, jki, kij.
ab(axiay jaz k)(bxiby jbzk)
axbyijaxbzik aybx jiaybz jk azbxkiazbykj.
(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
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小结
向量的概念 （注意与标量的区别） 向量的加减法 （平行四边形法则） 向量与数的乘法 （注意数乘后的方向）
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
•数量积与投影
由于|b|cos|b|cos(a,^ b), 所以,
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❖向量积的坐标表示 设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则 ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.