压轴题精选讲座六
动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)
动点的函数图象问题数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边作Rt△PMN，点N在AB 上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致为（）A．B．C．D．本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两段，用排除法解决．解：分析平移过程，①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，过点M作MT⊥BC于点T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD==BT=12BM=t，∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四边形CTMP为矩形，∴PM=CT=BC―BT=4―t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM2=4―t2，∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2，∵E为CD中点，∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数；②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，由①可得QN=ED=DM=2―2t，DN=32t，S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD==，∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1，∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数；③当1<t ≤2，即从点M 与点D 重合至点M 到达终点，如图，由①可得DN =32t ，MN =4―t 2，∵AD ==6， DG =12AD =3，∴NG =DG ―DN =3―32t ，∴QF =NG =3―32t ，∴PQ==，∴HQ ==1―12t ，∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数，综上，只有选项A 的图象符合，故选：A ．1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ,AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD －DC －CB 以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设△AMN的面积为y (cm2)，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x<4）分别求解y与x的解析式，从而求解．【解题过程】解：当0<x<1时，M、N分别在线段AB、AD上，此时AM=x cm，AN=2x cm，y=S△AMN=12×AM×AN=x2，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当1≤x<3时，M、N分别在线段、CD上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为AD=2cm，y=S△AMN=12×AM×AD=x，为一次函数，图象为直线；当3≤x<4时，M、N分别在线段AB、BC上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为BN=(8―2x)cm，y=S△AMN=12×AM×BN=12x(8―2x)=―x2+4x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有A选项符合题意，故选：A．2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=P为BC边上一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PB=x，S△BPQ=y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，根据S△BPQ=y=12QE⋅BP列出解析式再判断即可．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，∵AC =BC =∴∠A =∠ABC∵PQ∥AB ，∴∠CQP =∠A,∠CPQ =∠ABC∴∠CQP =∠CPQ∴CQ =CP =―x ．∵∠ACB =135°∴∠ECQ =45°在Rt △CEQ 中，∠ECQ =45°，∴QE ==―x )=2―，∴y =12QE ⋅BP =12x 2x =―2+x =――2+∴当x =y 最大值=故选：C.3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，点A 从点D 运动到点E 的过程中，AB 和DF 相交于点G ，AC 和EF 相交于点H ，(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ，点A 移动的距离为横坐标x ，则y 与x 关系的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，证明四边形ACFD 为平行四边形，可得AD =CF =x ，BF =4―x ，求解CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，再利用面积公式建立函数关系式即可判断．【解题过程】解：如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，由题意可得：AD∥CF ，DF∥AC ，∴四边形ACFD 为平行四边形，∴AD =CF =x ，∴BF =4―x ，∵△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，AD∥CF ，∴∠D =∠DFB =60°，而∠B =60°，∴△BGF 为等边三角形，同理：△CFH 为等边三角形，∵HT ⊥BC ，∴CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，∴y =12x +12(4―x )⋅―x )=2―+故选B4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B→C→D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象．根据矩形的性质求出点O 到BC 的距离等于4，到CD 的距离等于6，求出点Q 到达点C 的时间为6s ，点P 到达点C 的时间为12s ，点Q 到达点D 的时间为14s ，然后分①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，表示出CP 、CQ ，然后根据S ΔOPQ =S ΔCOP +S ΔCOQ ―S ΔPCQ 列式整理即可得解；③12<t ≤14时，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解题过程】解：∵矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离=12AB =4，到CD 的距离=12AD =6，∵点M 是BC 的中点，∴CM =12BC =6，∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s，点P到达点C的时间为12÷1=12s，点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s，①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×4=12；②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，CP=12―t，CQ=t―6，SΔOPQ=SΔCOP+SΔCOQ―SΔPCQ，=12×(12―t)×4+12×(t―6)×6―12×(12―t)×(t―6)，=12t2―8t+42，=12(t―8)2+10，③12<t≤14时，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×6=18；纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函数关系的图像大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点Q在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得AE =BE =12AB ，然后分①点Q 在CD 上时，表示出BP 、CP 、CQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，列式整理即可得解；②点Q 在AD 上时，表示出BP 、AQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．【解题过程】解：∵点P 、Q 的速度均为每秒1个单位，∴点P 在BC 上运动的时间为6÷1=6（秒），点Q 在CD 上运动的时间为4÷1=4（秒），∵E 为AB 中点，∴AE =BE =12AB =12×4=2，①如图1，点Q 在CD 上时，0≤x ≤4，则BP =x,CP =6―x,CQ =x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，=12(2+x )×6―12×2x ―12(6―x )⋅x =12x 2―x +6=12(x ―1)2+112②如图2，点Q 在AD 上时，4<x ≤6，则BP =x,AQ =6+4―x =10―x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，=12(x +10―x )×4―12×2x ―12(10―x )⋅2=10，综上所述，y =2―x +6(0≤x ≤4)10(4<x ≤6)，函数图象为对称轴为直线x =1的抛物线的一部分加一条线段，只有A 选项符合．故选：A ．6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC 中，∠B =60°，点D 从点B 出发，沿BC 运动，速度为1cm/s ．点P 在折线BAC 上，且PD ⊥BC 于点D ．点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．△PBD 的面积S (cm 2)与运动时间t (s)的函数关系图象如图2所示，E 是函数图象的最高点．当S (cm 2)取最大值时，PD 的长为（ ）A ．B ．(1+cm C ．(1+cm D ．(2+cm【思路点拨】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．先根据点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．从而求得PD ==，再由函数图象求得BC =(2+×1=(2+cm ，从而求得DC =BC ―BD =2+2=，得出PD =DC ，然后根据由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．所以当2≤t ≤2+点P 在AC边上，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，根据三角形面积公式求得S △PBD =―12t ―(13)2+2+【解题过程】解：由题意知，点D 运动2s 时，点P ，D 的位置如图1所示．此时，在Rt △PBD 中，BD =2cm ，∠B =60°，PD ⊥BC ，∴PB =2BD =4(cm)，∴PD ==．由函数图象得BC =(2+×1=(2+cm ，∴DC =BC ―BD =2+2=，∴PD =DC ．由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．当2≤t ≤2+P 在AC 边上，如图2，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，∴S △PBD =12×BD ×PD =12×t ×(2+t )=―12t 2+(1+t ．∵S △PBD =――(1+3)2+2+又∵―12<0，∴当t =1+S △PBD 的值最大，此时PD =CD =2+―(1+=(1+cm ．故选：B ．7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，CD ⊥AD ，∠BCD =90°, AB =BC =4，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A ―B ―C 向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，△APQ 的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分当0≤x <2时，点Q 在AB 上和当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：过Q 作QN ⊥AD 于N ，当0≤x <2时，点Q 在AB 上，∵∠A =60°，∴∠AQN =90°―60°=30°,∴AN = 12AQ =12×2x =x ，∴QN ==，∴y =12×AP ×NQ =12×x ×=2，当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，∵BM ⊥AD ，∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM = 12AB =12×4=2，∴BM ==∵CD ⊥AD ，QN ⊥AD ，∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD, CD ⊥AD ，∴四边形BMNQ 是矩形，∴QN =BM = ,y =12AP ⋅QN =12x ×=，综上所述，当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x ≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：D ．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD =，D 为AC 上一点，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C→B→A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF ，设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，当点P 由点C 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻t 1，t 2，t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等，当t 3=5t 1时，则正方形DPEF 的面积为（ ）A ．3B ．349C ．4D ．5【思路点拨】由题意可得：CD =CP =t ，当点P 在BC 上运动时S =t 2+2，由图可得，当点P 与点B 重合时，S =6，求出t=2，即BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，求出抛物线解析式为S=(t―2)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，t1+t2=4①，t2+t3=8②，结合t3=5t1③，求出t的值即可得出答案．【解题过程】解：由题意可得：CD=CP=t，当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2，由图可得，当点P与点B重合时，S=6，∴t2+2=6，∴t=2或t=―2（不符合题意，舍去），∴BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，则抛物线的表达式为S=a(t―4)2+2，将2，6代入得：a(2―4)2+2=6，∴a=1，∴抛物线的表达式为：S=(t―4)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，∴t1+t2=4①，t2+t3=8②，∵t3=5t1③，由①③③解得t1=1，∴S=t2+2=1+2=3，故选：A．9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，点O为AC 中点，点D为线段AB上的动点，连接OD，设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ，先根据直角三角形的性质求得AB =12,AC =OA =12AC =AE ==92可得DE =152―x ，然后再根据勾股定理求得函数解析式，最后确定函数图像即可．【解题过程】解：如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E∵∠C =90°，∠ABC =60°∴∠A =30°∵BC =6∴AB =2BC =12∴AC ===∵点O 为AC 中点∴OA =12AC =∵∠A =30°∴OE =12AO =∴AE ===92∴DE =|152―x |∴OD 2=OE 2+DE 2,即y =+―x 2=x +274当x =0时，y =0―+274=63当x =152时，y =―+274=274当x =12时，y =12+274=27则函数图像为．故选C ．10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =8，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 和点E 出发，沿着A→C→B 方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设△DMN 的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC 的中点F,连接DF 根据题意得到DF 和DE ，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<t ≤6时，得MN =AE =6，结合三角形面积公式求解即可；（2）当6<t ≤12时，得AM ，MC ，CN 和BN ，结合S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN ；（3）当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，结合DF 和MN 求面积即可．【解题过程】解：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，∴DF ∥AC ，DF =12AC =6∵点D 、E 是中点，∴DE =12BC =4，DF ∥CB ，∵∠C =90°，∴四边形DECF 为矩形，当0<t ≤6时，点M 在AE 上，点N 在EC 上，MN =AE =6，∴S =12MN ⋅DE =12×6×4=12；如图，当6<t ≤12时，点M 在EC 上，点N 在BC 上，∵AM =t ，∴MC =12―t ，CN =t ―6，BN =14―t ，∴S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN=12×8×12―12×4t ―12×6(14―t)―12(12―t)(t ―6)=12t 2―8t +42；如图，当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，∴S =12MN ⋅DF =12×6×6=18，综上判断选项A 的图象符合题意．故选：A ．11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是菱形的四个顶点，∠A =60°．现有两个机器人(看成点)分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C 和C→D→A ．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则 d²与t 之间的函数关系用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】设菱形的边长为2，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质即可解答．【解题过程】解：①设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴CK=1，FT=KB=∴AE=t，CF=2―t，∴FK=2―t―1=1+t，∴ET=2―t―(1+t)=1+2t，∴在Rt△EFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+2=4t2+4t+4；②设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴BM=t―2，CM=2―(t―2)=4―t，CP=1，PD=LQ=∴MQ=CM―CQ=(4―t)―1=―t，∴在Rt△LMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3―t)2+2=t2―6t+12，∴函数图像为两个二次函数图象；③当从A出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是BD；从A出发的机器人在A点，从C出发的机器人在C点，此时距离是AC；∵设AD=2，∠A=60°，∴BD=2，AE=∴AC=2AE=∴BD<AC，∴函数图象的起点和终点高于中间点；综上所述：A项符合题意；故选A．12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作AQ⊥BC于点Q，可知AQ=0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．【解题过程】解：如图①，设AC与DE交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,BC=1,过点A作AQ⊥BC于点Q，则BQ=CQ=12∴AQ===∵四边形DEFG 是矩形，∴∠DEF =90°,DE =AQ ==OF ―OE =5―2=3,当0<x ≤1时，在Rt △HCE 中，∠ACE =60°,EC =x,∴∠CHE =30°,∴HC =2x ，∴HE ===∴S =12EC ×HE =12x ×=2，所以，S 关于x 的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<x ≤1内的一段；当1<x ≤2时，如图，设AB 与DE 交于点P ，∵EC =x,BC =2,∴BE =BC ―EC =2―x,同理可得，PE =x ―2)，∴S =S △ABC ―S △PBE =12×2―12(2―x )⋅―x )=―x ―2)2+所以，图象为1<x ≤2时开口向下的一段抛物线索；当2<x ≤3时，如图，S =12×2×=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段，即S=<x≤3)，故选：C13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将△BCD 沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移距离为x，当点B1与点A重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点D作DM⊥AB于M，由△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，可设AB=BC=2，可得AD=CD=BD=DM=AM=BM=1，然后分情况讨论：当0<x≤1时，当1<x≤2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解．【解题过程】解：过点D作DM⊥AB于M，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴ AB =BC ，设AB =BC =2，∴ AD =CD =BD =DM =AM =BM =1，当0<x ≤1时，设B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交BD 于N ，∴ AB 1=AB ―BB 1=2―x ，由平移知B 1G ∥BD ，∠AB 1G =∠ABD ，∴ △AB 1G 是等腰直角三角形，∴ S △AB 1G =12AB 1·12AB 1=14(2―x )2，又∵ S △ABD =12×12×2×2=1，S △BB 1N =12x 2∴ S =S △ABD ―S △AB 1G ―S △BB 1N =1―14(2―x )2―12x 2=―34x 2+x ，当x =―=23时取得最大值，故排除A 、B 选项当1<x ≤2时，B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交AC 于点H ，∵ B 1H ∥BC ，∴ ∠B 1HG =∠ACB =45°，又∵ ∠D 1B 1C 1=45°，∴ △B 1GH 为等腰三角形，∵ ∠AB 1D 1=∠ABD =45°=∠A ，∴ AB 1G 为等腰三角形，∴ B 1G =1=―x )，∴ S =S △B 1GH =12·―x )―x )=14(2―x )2，即当1<x ≤2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C 选项故选：D ．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在AD上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案．【解题过程】解：设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，①当0≤x≤1时，点P在BC上时，过点P作PE⊥BA，，∵根据题知：∠B =60°，PB =3x,BQ =x ，∴BE =32x ，PE =，∴y =12BQ·PE =12x·=2；②当1<x ≤2时，点P 在CD 上时，过点P 作PH ⊥BA ，，∵根据题知：∠B =60°，BC =3,BQ =x ，∴PH =∴y =12BQ·PH =12x·=；③当2<x ≤3时，点P 在AD 上时，过点P 作PF ⊥BA 交DA 延长线于F ，，∵根据题知：∠B =60°，即∠FAD =60°，∵BC +CD +AD =3+3+3=9cm ，BC +CD +DP =3x ，∴AP =(9―3x)cm ，∴PF =9―3x 2·∴y =12BQ·PF =12x·9―3x 2·=―2；∴结合三种情况，图像如下所示：，故选：D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D，P(―1,―1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【解题过程】解：∵菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，∴ AB =AD =2，OA=∴ OB===1，∴ OC =OB +BC =1+2=3，∴ A ，B (1,0)，C (3,0)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A ，B (1,0)代入，得：k +b = ，解得k =b =∴直线AB 的解析式为y =―+∵ MN∥y 轴，∴N 的横坐标为x ，（1）当M 的横坐标x 在0∼1之间时，点N 在线段AB 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，∴ N (x,―+，∴ MN=(―+=，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=⋅(1+x)=2+，∴该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M 的横坐标x 在1∼2之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN =MN 上的高为1+x ，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x)=(1+x)=∴该段图象为直线；（3）当M 的横坐标x 在2∼3之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，由D ，C (3,0)可得直线CD 的解析式为y =―+∴ M (x,―+，N (x,0)，∴ MN =―+∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=12(+⋅(1+x )=―2∴该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A 满足条件，故选A ．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (2,0)，点B，点C (―，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，运动时间为t秒，则正确表达y与t 的关系图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．【解题过程】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，∴OA=2，OB∴AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，则OM =BM CM =3，∴OC =BC ∴△OBC 是等边三角形，∠BOC =60°，∴点P 在OA 上运动用时2s ，在AB 上运动用时4s ，点Q 在OC 上运动用时2s ，在OC 上运动用时2s ，即点P 和点Q 共运动4s 后停止；由此可排除D 选项．当点P 在线段OA 上运动时，点Q 在线段OC 上运动，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，由点P ，点Q 的运动可知，OP =t ，OQ ，∴QN =12OQ ==32t,∴PN =52t,∴y =PQ 2=(52t)2+2=7t 2.即当0＜t ＜2时，函数图象为抛物线，结合选项可排除A ，C ．故选：B ．17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情形∶①当0＜x≤2时，△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【解题过程】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，BC＝2，AM＝∴BM＝CM＝12BC•AM＝∴S△ABC＝12①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DGCD•DG2；∴S＝12②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG4﹣x），×（4﹣x）4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝﹣12∴S＝2﹣x﹣4）2③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）A ．AB:AD =4:5B ．当t =2.5秒时，PQ =C ．当t =294时，BQ PQ =53D ．当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 或475秒【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =5cm ，然后由5<t <7时，y =10可知△BPQ的面积是定值10cm 2、BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，AE ==4cm ，可以判定A ；当0<t ≤5时，根据y =25t 2得到y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，根据y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2求得PH =2，设QH =x cm ，根勾股定理计算QH =1cm ，可计算PQ =根据AB =CD =4cm ，得到再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，确定直线HN 或475秒；当t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，把t =294代入直线HN 的解析式计算BQ PQ =43．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y =at 2，当t =5时，y =10，∴10=25a ，解得a =25，∴y =25t 2，由图2中的函数图像得当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =BE =5cm ，∵5＜t ＜7时，y =10，∴△BPQ 的面积是定值10cm 2且BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，∴AE =5―2==4cm,AD=BC =5cm ，∴AB:AD =4:5，故A 正确，不符合题意；当0<t ≤5时，∵y =25t 2，t =2.5，∴BP =BQ =2.5cm ，y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，∴y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2解得PH =2，设QH =x cm ，则BH =BQ ―QH =(2.5―x )cm ，∴2.52=22+(2.5―x )2，解得x =1,x =4（舍去），∴QH =1cm ，∴PQ==故B 正确，不符合题意；根据AB =CD =4cm ，∴再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，设直线HN 的解析式为y =kt +b ，根据题意，得11k +b =07k +b =10 ，解得k =―52b =552 ，∴直线HN 的解析式为y =―52t +552，∵△BPQ 的面积为4cm 2，故4=25t 2或4=―52t +552解得t==―t =475，故D 正确，不符合题意；∵t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，当t =294时，y =―52×294+552=758，12PQ·BC =758解得PQ=154∴BQ PQ =5154=43．故C错误，符合题意．故选：C．19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【解题过程】解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，∴△ABC是边长为6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0<x≤3，∵EG∥AC，∴∠MAD=∠AGE=30°，∴∠NAD=∠AGE=30°，∴AE=EG=x，在Rt△AEF中，∠EAF=60°，∴EF==，∴S=2；②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，x=6，解得x=4，则x+12由图2到图3，此时3<x≤4，如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，∴EQ=EB=BQ=6―x，∴GQ=x―(6―x)=2x―6，而∠PQG=60°，∴PG==2x―6)，∴S=S矩形EFHG―S△PQG=2x 2―12×(2x ―6)×2x ―6)=―2― ③如图6时，x =6，由图3到图6，此时4<x ≤6，如图5，同理△EKB 是正三角形，∴EK =KB =EB =6―x ，FC =AC ―AF =6―12x ，EF =， ∴S =S 梯形EKCF=―x +6―12x 2=―2， 因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线， 故选：A ．20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，现将菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为t （秒），菱形ABCD 位于y 轴右侧部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示，由菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，分①当0≤t ≤2时；②当2<t <4时；③当4≤t ≤6时；④当t >6时；四种情况，作图求解S 关于t 的函数解析式，作出图像即可得到答案．【解题过程】解：过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示：∵菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，∴OE =2,OB =4，∴∠OBE =30°，∴∠BOE =60°，BE =①当0≤t ≤2时，如图（1）所示：S =12OA ⋅OF =12×t ×=2；②当2<t <4时，如图（2）所示：S =S △ABE +S 矩形OEBG =12AE ⋅BE +BE ⋅OE =12×2×t ―2)=―③当4≤t ≤6时，如图（3）所示：∵∠C =60°，OD =OA ―AD =t ―4，∴∠KDO =60°,OK=t ―4)，∵HO =BE =∴HK =HO ―OK =―t ―4)=―+∵HB =OE =OA ―AE =t ―2，∴CH =BC ―HB =4―(t ―2)=―t +6，S =S 菱形ABCD ―S △CHK =AD ⋅BE ―12CH ⋅HK =4×―12(―t +6)(―+=―2―+=―2―当t >6时，S =S 菱形ABCD =AD ⋅BE=综上所述S =20≤t ≤2―2<t <4t2+―4≤t ≤6t >6 ，∴第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行于x轴的射线，故选：A．。
宁浩数学动点压轴题专项训练七年级33题讲解
宁浩数学动点压轴题专项训练七年级33题讲解摘要：一、引言1.介绍宁浩数学动点压轴题专项训练七年级33题2.强调动点问题在数学中的重要性二、动点问题的基本概念和解决方法1.动点问题的定义2.动点问题的分类3.解决动点问题的基本思路三、七年级33题讲解1.题目分析2.解题思路3.解题步骤4.解题技巧5.易错点分析四、动点压轴题的解题策略1.观察题目，提炼关键信息2.建立数学模型3.运用相关知识和技巧4.逐步解决，确保步骤清晰五、动点压轴题实战演练1.例题解析2.解题思路和方法总结六、总结与展望1.回顾动点压轴题的解题方法和技巧2.强调动点问题在数学学习中的重要性3.鼓励同学们多练习，提高解题能力正文：作为一名数学爱好者，你是否曾为解决动点压轴题而苦恼？不用担心，今天我们来一起学习宁浩数学动点压轴题专项训练七年级33题，掌握动点问题的解题方法和技巧。
一、引言动点问题在数学中占有重要地位，不仅考验了同学们的基本运算能力，还考查了逻辑思维能力。
为了解决这类问题，我们要从基本的动点问题入手，逐步提高自己的解题能力。
二、动点问题的基本概念和解决方法1.动点问题的定义动点问题是指在平面直角坐标系中，点随着自变量的变化而运动，从而产生的数学问题。
2.动点问题的分类动点问题可以分为直线动点、圆动点、函数动点等。
3.解决动点问题的基本思路解决动点问题的基本思路包括观察题目、建立数学模型、运用相关知识和技巧等。
三、七年级33题讲解1.题目分析七年级33题是一道典型的动点问题，主要考察了直线动点的相关知识。
2.解题思路首先，我们要观察题目，找出关键信息，如点的位置、运动规律等。
3.解题步骤接着，我们要根据关键信息建立数学模型，将动点问题转化为静点问题。
然后，运用相关知识和技巧，如解析几何知识，逐步解决。
4.解题技巧在解题过程中，要注意步骤的清晰，避免遗漏。
同时，要熟练掌握各类题型的解题技巧，如消元法、代入法等。
5.易错点分析易错点主要包括对题意的理解不清晰、计算失误等。
初中压轴题讲座心得体会
一、讲座背景近日，我有幸参加了一场关于初中压轴题的讲座。
讲座由我国知名数学教育专家主讲，旨在帮助同学们解决初中数学中的难题，提高解题能力。
通过这次讲座，我对初中数学压轴题有了更深入的了解，收获颇丰。
二、讲座内容1. 压轴题的特点讲座中，专家首先介绍了压轴题的特点。
压轴题通常出现在试卷的最后几题，难度较大，要求同学们具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。
压轴题往往涉及到多个知识点，需要同学们灵活运用所学知识，进行综合分析。
2. 解题思路与方法专家针对压轴题的解题思路与方法进行了详细讲解。
以下是一些常用的解题方法：（1）分析法：从已知条件出发，逐步分析，找出解题的关键。
（2）综合法：将所学知识进行综合运用，解决实际问题。
（3）类比法：通过类比已知问题，寻找解题思路。
（4）构造法：根据题意，构造合适的数学模型，解决问题。
（5）反证法：通过反证法，排除错误选项，得出正确答案。
3. 经典压轴题解析讲座中，专家针对几道经典压轴题进行了详细解析。
通过这些例题，同学们可以更好地理解压轴题的解题思路与方法。
4. 提高解题能力的建议为了提高解题能力，专家给出了以下几点建议：（1）加强基础知识的学习，掌握基本概念、公式、定理。
（2）多做题，尤其是历年真题，熟悉题型和解题方法。
（3）培养逻辑思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。
（4）善于总结归纳，找出解题规律。
三、心得体会1. 压轴题的重要性通过这次讲座，我深刻认识到压轴题在初中数学中的重要性。
压轴题不仅考察了同学们对知识的掌握程度，还考察了同学们的思维能力、解题技巧和应变能力。
要想在考试中取得好成绩，就必须做好压轴题。
2. 解题方法的多样性讲座中，专家介绍了多种解题方法，让我意识到解题方法的多样性。
在遇到难题时，要学会灵活运用不同的解题方法，寻找最佳解法。
3. 基础知识的重要性压轴题的解题过程中，基础知识起到了关键作用。
只有掌握了扎实的基础知识，才能在解题过程中游刃有余。
压轴题之求点的坐标
2010年名师辅导班中考冲刺讲座之一压轴题之求点的坐标1．如图，已知二次函数c bx x y ++-=2)0(>c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB =OC =3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ =m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形；如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：2.如图，已知半径为1的⊙O 1与x 轴交于A B ，两点，OM为⊙O 1的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P3. 如图，已知抛物线349432++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A在B 的左侧），与y 轴交于点C 。
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求直线BC 的函数解析式；（3）点P 是直线BC 上的动点，若△POB 为等腰三角形，请写出此时点P 的坐标。
（可直接写出结果）4、（本题满分14分）如图，直线y = – x + 3与x 轴、y 轴分别相交于点B 和点C ，经过B 、C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x = 2．（1）求A 点的坐标； （2）求该抛物线的解析式；（3）连结AC ，请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5（苏州市）29．设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．6．如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P(x ，0)，E(0，y)，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值； (2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．7．（甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关）如图1，抛物线y ＝x 2－2x ＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3）．（图2、图3为解答备用图）（1）k ＝_____________，点A 的坐标为_____________，点B 的坐标为_____________； （2）设抛物线y ＝x 2－2x ＋k 的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y ＝x 2－2x ＋k 上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．图1 图2 图38. (本题14分)如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．9．（四川省达州市）如图，抛物线y ＝a (x ＋3)(x －1)与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为(－2，6)． （1）求a 的值及直线AC 的函数关系式；（2）P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N ．①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．10．（广西来宾市）当x ＝2时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 取得最小值－1，并且抛物线与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于点A 、B ．（1）求该抛物线的关系式；（2）若点M (x ，y 1)，N (x ＋1，y 2)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小；（3）D 是线段AC 的中点，E 为线段AC 上一动点（A 、C 两端点除外），过点E 作y 轴的平行线EF 与抛物线交于点F ．问：是否存在△DEF 与△AOC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，则说明理由．11．（福建省宁德市初中毕业班质量检查）如图，已知直线l ：y ＝－43x －3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，且对称轴为直线x ＝－23． （1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交直线l 于点Q ．①若以AB 为直径的圆恰好与直线PQ 相切，求此时点Q 的坐标；②若点P 在y 轴右侧的抛物线上，在点P 的运动过程中，△APQ 能否为等腰三角形？若能，求出Q 点坐标；若不能，请说明理由．12、（浙江义乌）如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ， 使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．(备用图)13、（绍兴）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33）．将OAC ∆绕AC 的中点旋转1800，点O 落到点B 的位置．抛物线x ax y 322-=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点．(1) 求a 的值，点B 的坐标；(2) 若点P 是线段OA 上一点，且OABAPD ∠=∠，求点P 的坐标；(3) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上．写出点P 的坐标(直接 写出答案即可)．14、（本题满分12分）如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，tan ∠OCA=31， S △ABC =6．（1）求：点B 的坐标；（2）求：抛物线的解析式及顶点坐标；（3）若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形。
2015年高考数学专题讲座：数学压轴题
专题讲座：数学压轴题中国正在解郭本龙曾劲松黄文辉模块一函数、数列、不等式1.首先是翻译：读你的感觉像三月2.“萌萌哒”邂逅新概念3.再议审题：都云作者痴，谁解其中味？4.像个难题：我很丑，可是我很温柔5.讨论，还是不讨论？这是个问题6.弱水三千，只取一瓢7.著粉则太白，施朱则太赤8.要有分寸，别乱了方寸9.僧敲月下门，为寻突破口10.与自然数有关，所以很自然11.这一个条件貌似“鸡肋”12.一山二虎，谁主沉浮？13.学会整理：待从头，收拾旧山河14.百思不得其解的零点15.设而不求，兵不血刃16.分离更兼构造，总把新桃换旧符17.过犹不及与“过得刚好”18.岁月静好，人类想入非非19.不定方程：退一步海阔天空20.春江水暖，收放自如21.放缩法：让我一次爱个够22.在庸常的日子里守住常规、悄然绽放23.远上寒山石径斜24.既要沉进去，还得跳出来25.何去何从，让感觉与众不同26.问自己十万个为什么27.执果索因：为何会是这样？28.函数赋值：赋到沧桑句便工29.积与和，“告诉我我们都差不多”30.从未知数的丛林中突围31.说说心态：不畏难，不轻易32.加一项减一项，天堑变通途33.动作片：反证、迭代、搭配34.我要“累加”，风吹雨打也不怕35.至少还有你——数学归纳法36.凑项，为了不在命运中交错37.一段一段，“单调”的回忆38.曾经沧海，余音绕梁39.如层层剥笋，如潺潺流水模块二三角函数、平面向量40.熟记公式和结论，让自己满腹经纶41.函数与方程的无缝对接42.看方向、找关系、定顺序、顾大局43.一个“三角题”的现场直播44.山重水复，草根逆袭45.基底：向量的根基和底牌46.解析法一到，我们乐逍遥47.两大法宝，居家必备48.掀起向量的盖头来49.那一回，她最后一个出场模块三平面解析几何50.回到方程——解几问题的基本归宿51.汝果欲学诗，功夫在诗外52.“求轨迹方程”那些事儿53.由定义可定性，因定性而定型54.奔波操劳只为了那一“点”55.有点儿伟大的韦达定理56.继续研究，往前一步是幸福57.曲线有破洞，像很潮的牛仔裤58.你是我的“眼”59.朴素为文，一如朴实为人60.消元如PK，我为什么选择离开？61.字母“轮换”，风水轮流转62.都是动点？我不变，我等你63.对称弦：讲“理”与守“法”64.定值：先算计，再计算65.定点：先踩点，再打点66.定曲线：先找到它，再说服你67.为了三点共线，过着两点一线的生活68.变形须彻底：如果爱，请深爱69.关键词：直接、稳妥、简约70.求助于双曲线的“闺蜜”71.请这哥俩演一回二次曲线72.这次第，怎一个“繁”字了得？模块四立体几何73.工欲善其事，必先利其器74.三视图：横看成岭侧成峰75.推理如落霞，向量似孤鹜76.面面相觑二面角77.坐标系，治愈系78.最值问题：“把水倒掉”79.折折叠叠都是为了你80.点在何处？吾将上下而求索81.“四个平面”牵动四面八方82.看它们欢聚一堂、勾心斗角模块五概率统计83.庖丁之理解，郢人之鼻斵84.我们所“期望”的出场顺序85.谁说不胜枚举？只要不厌其烦86.有了递推关系就没关系了87.找一种模型自圆其说88.“概率”是黑马，你以梦为马牛师与后生的聊天记录时间——下午课外活动地点——某中学西校区人物——牛师，数学老师。
中考数学压轴题含解答与几何画板课件
（20XX 年北京市）25.如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－6,0),B (6,0),C (0,4 3 )延长AC 到点D ,使CD ＝12 AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC的延长线于点E .（1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点,点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点,若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短.（要求：简述确定G 点位置的方法,但不要求证明）答案2009年北京市（20XX 年重庆市）26.如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA ＝2,OC ＝3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA 于点E .（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为 65,那么EF ＝2GO 是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；（3）对于（2）中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.答案2009年重庆市(20XX年山西省)26.如图,已知直线l1:y＝23x＋83与直线l2:y＝－2x＋16相交于点C,l1、l2分别交x轴于A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合.（1）求△ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t(0≤t≤12)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于的t函数关系式,并写出相应的t的取值范围.答案2009年山西省（20XX年重庆綦江县）26.如图,已知抛物线y＝a(x－1)2＋33 (a≠0)经过点A(－2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.答案2009年重庆綦江县（20XX年河北省）26.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,AB＝5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）.（1）当t ＝2时,AP＝ ,点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形？若能,求t的值.若不能,请说明理由；t的值.（4）当DE经过点C时,请直接．．写出答案2009年河北省（20XX年河南省）23.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B（4,0）、C（8,0）、D（8,8）.抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.答案2009年河南省（20XX 年山西省太原市）29. 如左图,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ,D 重合）,压平后得到折痕MN .当CE CD ＝12 时,求AM BN 的值. 方法指导：为了求得AM BN 的值,可先求BN 、AM 的长,不妨设：AB ＝2.类比归纳：在左图中,若CE CD ＝13 则AM BN 的值等于 ；若CE CD ＝14 则AM BN 的值等于 ；若CE CD ＝1n (n 为整数),则AM BN 的值等于 .(用含n 的式子表示）联系拓广：如右图将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ,D 重合）,压平后得到折痕MN ,设 AB BC ＝1m (m ＞1) CE CD ＝1n ,则AM BN 的值等于 .（用含m ,n 的式子表示）答案2009年山西省太原市（20XX 年江西省）25.如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 是AB 的中点,过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F .AB ＝4,BC ＝6,∠B ＝60°.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ,过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP ＝x .①当点N 在线段AD 上时（如图2）,△PMN 的形状是否发生改变？若不变,求出△PMN 的周长；若改变,请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3）,是否存在点P ,使△PMN 为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由.答案2009年江西省 （20XX 年广东广州）25. 如图,二次函数y ＝x 2＋px ＋q (p ＜0)的图象与x 轴交于A 、B两点,与y 轴交于点C （0,－1）,△ABC 的面积为54.（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0,m ）作y 轴的垂线,若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD 为直角梯形？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由.（20XX年广东省中山市）22.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.市（20XX年哈尔滨市）28.如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为（－3,4）,点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S（S≠0）,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.答案2009年哈尔滨市(2009山东省泰安市)26.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC＝90°,AD∥BC,AB＝BC,E是AB的中点,CE⊥BD.（1）求证：BE＝AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由.答案2009山东省泰安市（20XX年烟台市）26.如图,抛物线y＝a2＋bx－3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C 点,且经过点(2,－3a),对称轴是直线x＝1,顶点是M.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；(3)设直线y＝－x＋3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E（不与B,D重合）,经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F,试判断△AEF的形状,并说明理由；(4)当E是直线y＝－x＋3上任意一点时,（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）.（20XX年山东省日照）24.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF ⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由. （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（20XX年潍坊市）24.如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y＝a2＋bx＋c与y轴交于点D,与直线y＝x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长. （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.答案2009年潍坊市（20XX年山东临沂市）26.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,－2)三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.答案2009年山东临沂市(20XX年山东省济宁市)26.在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A 点第一次落在直线y＝x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y＝x于点M,BC边交x 轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN 的周长为p ,在旋转正方形OABC 的过程中,p 值是否有变化？请证明你的结论.答案2009年山东省济宁市（20XX 年四川遂宁市）25.如图,二次函数的图象经过点D (0,79 3 ),且顶点C 的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P ,使P A ＋PD 最小,求出点P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q ,使△QAB 与△ABC 相似？如果存在,求出点Q 的坐标；如果不存在,请说明理由.答案2009年四川遂宁市（20XX 年四川南充市）21.如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A (3,3). （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点B (6,m ),求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E ,使四边形OECD 的面积S 1与四边形OABD 的面积S 满足：S 1＝23S ?若存在,求点E 的坐标； 若不存在,请说明理由.答案2009年四川南充市（20XX 年四川凉山州）26.如图,已知抛物线y ＝a 2＋bx ＋c 经过A (1,0),B (0,2)两点,顶点为D .（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后,点B 落到点C 的位置,将抛物线沿y 轴平移后经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后,所得抛物线与y 轴的交点为B 1,顶点为D 1,若点N 在平移后的抛物线上,且满足△NBB 1的面积是△NDD 1面积的2倍,求点N 的坐标.答案2009年四川凉山州（20XX 年鄂州市）27.如图所示,将矩形OABC 沿AE 折叠,使点O 恰好落在BC 上F 处,以CF 为边作正方形CFGH ,延长BC 至M ,使CM ＝｜CE —EO ｜,再以CM 、CO 为边作矩形CMNO .(1)试比较EO 、EC 的大小,并说明理由.(2)令m ＝S 四边形CFGHS 四边形CNMO ,请问m 是否为定值？若是,请求出m 的值；若不是,请说明理由(3)在(2)的条件下,若CO ＝1,CE ＝13 ,Q 为AE 上一点且QF ＝23,抛物线y ＝mx 2+bx +c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下,若抛物线y＝mx2＋bx＋c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由.答案2009年鄂州市（20XX年贵州安顺市）27.如图,已知抛物线与x交于A(－1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积；(3)△AOB与△DBE是否相似？如果相似,请给以证明；如果不相似,请说明理由.答案2009年贵州安顺市（20XX年湖北省黄石市）24、如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.（1）如果AB＝AC,∠BAC＝90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合）,如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 .②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么？（2）如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动.试探究：当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形,并说明理由.（画图不写作法）（3）若AC＝4 2 ,BC＝3,在（2）的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.答案2009年湖北省黄石市（20XX年武汉市）25.如图,抛物线y＝a2＋bx－4a经过A(－1,0)、C(0,4)两点,与x 轴交于另一点B.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m,m＋1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP＝45°,求点P的坐标.答案2009年武汉市（20XX年湖北省荆门市）25.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2,0),B(m＋2,0)两点,记抛物线顶点为C ,且AC ⊥BC . (1)若m 为常数,求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点,问是否存在实数m ,使得△BOD 为等腰三角形？若存在,求出m 的值；若不存在,请说明理由.答案2009年湖北省荆门市（20XX 年湖北省孝感市）25. 如图,点P 是双曲线y ＝k 1x(k 1＜0,x ＜0)上一动点,过点P作x 轴、y 轴的垂线,分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,交双曲线 y ＝k 2x（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点.（1）图1中,四边形PEOF 的面积S 1＝ ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)； （2）图2中,设P 点坐标为（－4,3）.①判断EF 与AB 的位置关系,并证明你的结论；②记S 2＝S △PEF －S △OEF ,S 2是否有最小值？若有,求出其最小值；若没有,请说明理由.答案2009年湖北省孝感市（20XX 年襄樊市）26.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝2,BC ＝4点M 是AD 的中点,△MBC 是等边三角形.（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形； （2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动,且∠MPQ ＝60°保持不变.设PC ＝x ,MQ ＝y ,求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时,以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时,判断△PQC 的形状,并说明理由.答案2009年襄樊市（20XX 年湖南省株洲市）23.如图,已知△ABC 为直角三角形,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为（3,m ）（m ＞0）,线段AB 与y 轴相交于点D , 以P （1,0）为顶点的抛物线过点B 、D . （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结 BQ 并延长交AC 于点F ,试证明：FC (AC ＋EC )为定值.答案2009年湖南省株洲市（20XX年衡阳市）26.如图,直线y＝－x＋4与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外）,过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D. （1）当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a(0＜a＜4),正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象.答案2009年衡阳市（20XX年湖南娄底市）25.如图在△ABC中,∠C＝90°,BC＝8,AC＝6,另有一直角梯形DEFH（HF∥DE,∠HDE＝90°）的底边DE落在CB上,腰DH落在CA上,且DE ＝4,∠DEF＝∠CBA,AH:AC＝2:3.（1）延长HF交AB于G,求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC,将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动,直到点D与点B重合时停止,设运动的时间为t秒,运动后的直角梯形为DEFH （如图2）.探究1:在运动中,四边形CDH'H能否为正方形？若能,请求出此时t的值；若不能,请说明理由.探究2:在运动过程中,△ABC与直角梯形DEFH'重叠部分的面积为y,求y与t的函数关系.答案2009年湖南娄底市（20XX年陕西省）25.问题探究:P,并说明理由.（1）请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB＝90°的一个．．点P,并说明理（2）请在图②的正方形ABCD内（含边）,画出使∠APB＝60°的所有．．的点由.问题解决:（3）如图③,现在一块矩形钢板ABCD,AB＝4,BC＝3.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP'D钢板,且∠APB＝∠CP'D＝60°.请你在图③中画出符合要求的点P和P',并求出△APB的面积（结果保留根号）.答案2009年陕西省（20XX年福建宁德市第26题）如图,已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P,与x 轴相交于A、B两点（点A在点B的左边）,点B的横坐标是1.（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1）,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式；（3）如图（2）,点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C 4.抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边）,当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标.答案2009年福建宁德市第26题(2009贵州省黔东南苗族侗族自治州)26.已知二次函数22-++=a ax x y . （1）求证：不论a 为何实数,此函数图象与x 轴总有两个交点.（2）设a ＜0,当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时,求出此二次函数的解析式. （3）若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点,在函数图象上是否存在点P ,使得△P AB 的面积为2133,若存在求出P 点坐标,若不存在请说明理由. 答案(20XX 年湖南省益阳市第20题)阅读材料：如图,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆,即三角形面积图等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； (3)是否存在一点P ,使S △P AB ＝89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标；若不存在,请说明理由. 答案（20XX 年江苏省）28.如图,已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D (3,0)和点E (0,4).动点C 从点M (5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动,与此同时,动点P 从点D 出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动.设运动时间为t 秒.（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,连接P A 、PB .①当⊙C 与射线DE 有公共点时,求t 的取值范围； ②当△P AB 为等腰三角形时,求t 的值.答案2009年江苏省(2009浙江省杭州市)24. 已知平行于x 轴的直线y ＝a (a ≠0)与函数y ＝x 和函数y ＝1x的图象分别交于点A 和点B ,又有定点P （2,0）.（1）若a ＞0,且tan ∠POB ＝19,求线段AB 的长；图2xCOy AB D1 1（2）在过A ,B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中,已知线段AB ＝83,且在它的对称轴左边时,y 随着x 的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过A ,B ,P 三点的抛物线,平移后能得到y ＝95x 2的图象,求点P 到直线AB 的距离.答案2009浙江省杭州市（20XX 年台州市）24.如图,已知直线121+-=x y 交坐标轴于A ,B 两点,以线段AB 为边向上作正方形ABCD ,过点A ,D ,C 的抛物线与直线另一个交点为E . （1）请直接写出点C ,D 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑,直至顶点D 落在x 轴上时停止.设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ,求S 关于滑行时间t 的函数关系式,并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D 停止,求抛物线上C ,E 两点间的抛物线弧所扫过的面积.答案2009年台州市（20XX 年浙江丽水市）24. 已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图,C ,D 两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发,点P 沿线段AD 向终点D 运动,点Q 沿折线CBA 向终点A 运动,设运动时间为t 秒.(1)填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、高BE 的长是 ▲ ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位,点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时,求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式,以及S 的最大值；②若点P 的速度为每秒1个单位,点Q 的速度变为每秒k 个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值,使得△APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t ＝4秒时的情形,并求出k 的值.答案2009年浙江丽水市（20XX 年浙江省湖州市）24.已知抛物线y ＝x 2－2x ＋a (a ＜0)与y 轴相交于点A ,顶点为M .直线a x y -=21分别与x 轴,y 轴相交于B ,C 两点,并且与直线AM 相交于点N . (1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则M ( , ), N ( , )； (2)如图,将△NAC 沿y 轴翻折,若点N 的对应点N '恰好落在抛物线上, AN '与x 轴交于点D ,连结CD ,求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线y ＝x 2－2x ＋a (a ＜0)上是否存在一点P ,使得以P ,A ,C ,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出P 点的坐标；若不存在,试说明理由.答案2009年浙江省湖州市（20XX 年浙江省湖州市自选题）25.若P 为△ABC 所在平面上一点,且∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°,则点P 叫做△ABC 的费马点.(1)若点P 为锐角△ABC 的费马点,且∠ABC ＝60°,P A ＝3,PC ＝4,则PB 的值为_____； (2)如图,在锐角△ABC 外侧作等边△ACB '连结BB '.求证：BB '过△ABC 的费马点P ,且BB '＝P A ＋PB ＋PC .答案2009年浙江省湖州市自选题B(20XX 年甘肃省兰州市)29.（本题满分9分）如左图,正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为（0,10）,（8,4）,点C 在第一象限.动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒.(1)当P 点在边AB 上运动时,点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如右图所示,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的t 的值；若不能,请说明理由.答案2009年甘肃省兰州市（20XX 年威海市）25.一次函数y ＝ax ＋b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点M ,N ,与反比例函数y ＝k x的图象相交于点A ,B .过点A 分别作AC ⊥x 轴,AE ⊥y 轴,垂足分别为C ,E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴,BD ⊥y 轴,垂足分别为F ,D ,AC 与BD 交于点K ,连接CD .（1）若点A ,B 在反比例函数y ＝k x的图象的同一分支上,如左图,试证明： ①S 四边形AEDK ＝S 四边形CFBK ；②AN ＝BM .（2）若点A ,B 分别在反比例函数y ＝kx的图象的不同分支上,如右图,则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论.答案2009年威海市(20XX 年浙江省嘉兴市)24.如图,已知A 、B 是线段MN 上的两点,MN ＝4,MA ＝1, MB ＞1.以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成△ABC ,设AB ＝x . （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形,求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？答案2009年浙江省嘉兴市（20XX 年安徽省）23.已知某种水果的批发单价kg ））第23题图（1）第23题图（2）与批发量的函数关系如图（1）所示.（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义.（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.（3）经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示,该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.答案。
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解： 圆锥曲线解答题突破(解析版)
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解 圆锥曲线解答题突破（解析版）1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，点P为椭圆上的一个动点，12PF F △面积的最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD ⋅=，求+AC BD 的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解：(1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取最大值此时121212PF F S F F OP bc ∆=⋅⋅=所以bc = 因为12e =，所以b =4a = 所以椭圆方程为2211612x y +=（2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为(2,0)-因为0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+= ②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，则其方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y则点A 、C 的坐标是方程组22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的两组解所以2222(34)1616480k x k x k +++-=所以212221221634164834k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以212224(1)134k AC x k+=+-=+ 此时直线BD 的方程为()12y x k=-+ 同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)3443(34)(43)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++令21(0)t k k =+≠，则1t >，2168112AC BD t t+=-+ 因为1t >，所以21104t t -<≤ 所以96[,14)7AC BD +∈ 综上96[,14]7AC BD +∈2．已知椭圆C ：2212x y +=.（1）曲线D ：3y x =与C 相交于A ，B 两点，H 为C 上异于A ，B 的点，若直线HA 的斜率为1，求直线HB 的斜率；（2）若C 的左焦点为F ，右顶点为E ，直线l ：4x =.过F 的直线l '与C 相交于P ，Q （P 在第一象限）两点，与l 相交于M ，是否存在l '使PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和.若存在，求直线l '的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12-；（2）直线l '不存在，理由见解析(1)由已知设(),H x y ,()11,A x y ,()11,B x y --, 因为点,H A 均在椭圆C 上,所以2222x y +=,221122x y +=,两式相减得()2222112x x y y -=-,又221112211112HA HBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-,且1HA k =, ∴12HB k =-;(2)设()04,M y ,()33,P x y ,()44,Q x y ,则()0303111222MPE S FE y FE y FE y y =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-△,312PFESFE y =⋅⋅, ()412QFESFE y =⋅⋅-, 假设存在l '使得PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和,则PFE MPE QFE S S S =+△△△,即0342y y y =+①, 设l :1x my =-,令4x =,得05y m =,∴3452y y m+=②, 把1x my =-,将之代入2212x y +=,整理得()222210m y my +--=,∴34222my y m +=+③, 34212y y m =-+④,②③联立得32522m y m m =-+,42452m y m m=-+⑤, 把⑤代入④得22252451222m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭, 化简得4219500m m ++=,由于此方程无解,故所求直线l '不存在.3．如图，已知椭圆2214y x +=，点()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 作直线l 交抛物线于,M N 两点，延长,MO NO 分别交椭圆于,A B 两点，记OMN ，OAB 的面积分别是12,S S .（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12S S 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）2p =，准线方程1x =-；（2）12S S 的最小值为2，此时:1l x =. （Ⅰ）因为点()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，所以12p=，即2p =，因此该抛物线的准线方程为：1x =-； （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线方程为：24y x =，根据题意，不妨令点M 在第一象限，点N 在第四象限，则点A 在第三象限，点B 在第二象限；若直线l 的斜率不存在，则:1l x =，代入24y x =可得2y =±，即()1,2M ，()1,2N -，则1122OMNS SOF MN ==⋅=；2OM k =，2ON k =-， 则直线:2OM y x =，直线:2ON y x =-，由22214y x y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22122AA x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以2A A x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即A ⎛ ⎝；同理：B ⎛ ⎝，则AB x ⊥轴，因此21122OABS S==⨯⨯=； 此时122S S =，:1l x =；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，(1,M x，(2,N x -，由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2214k x x -=，整理得()2222240k x k x k -++=， 则212224k x x k++=，121=x x ；()224224416160k k k ∆=+-=+>，所以11sin 2OMNS SOM ON MON MON ==⋅∠=∠MON MON =∠=∠；又1OM k==，2ON k ==， 所以直线:OM y x=，:ON y x =， 由2214y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1221x x x +=，即2111A x x x =+，则2211441A y x x x ==+，所以OA ==；同理OB =，所以21sin 2OABS SOA OB AOB AOB ==∠=∠A OB ∠=又AOB MON ∠=∠，所以12S S MON ===∠2==>=； 综上，12S S 的最小值为2，此时:1l x =.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a ba b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k .已知212·k k k =. ①求k 的值；②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）①12k =；②112y x =±.解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则222c a b =-.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以=c .，则22a c = 所以2a =，1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，所以122841km x x k -+=+，212244·41m x x k -=+， 又OP 的斜率111y k x =，OQ 的斜率222y k x =，所以2221212121212121212()()()·y y kx m kx m k x x km x x m k k k x x x x x x +++++====，化简得212()0km x x m ++=，所以228·041kmkm m k -+=+.又因为0m ≠，即241k =， 又0k >，所以12k =. ②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+， 且122x x m +=-，212·22x x m =-，22m <. 又0m ≠，所以0m <<所以12PQ x ==-== 点O 到直线PQ的距离d ==，所以221(2)·122OPQm m SPQ d +-===≤=， 当且仅当222m m =-，即1m =±时，OPQ △的面积最大， 所以，直线PQ 的方程为112y x =±. 5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1(F，2F ，且椭圆上一点P ，满足12|||4|PF PF +=，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ，且OA OB OM λ+=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若k =||2AB λ==，求||||HG HM ⋅的值；（3）当△OAB 面积取得最大值，且点M 在椭圆C 上时，求λ的值.【答案】（1）2214x y +=（2）3（3）λ=（1）由题意可得2,1a c b ==⇒=，∴椭圆方程为2214x y +=（2）由题意得，此时直线方程为y m =+，将其代入椭圆方程整理可得229440x m ++-=，其中()222212836441441609m m m m ∆=--=->⇒<设()()1122,,,A x y B x y ，则2121244,99m x x x x -+=-=∴12322AB x m =-==⇒=±，由椭圆具有对称性，∴不妨取32m =，则310,,,26H G M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴3HG HM ⋅ （3）将直线方程y kx m =+代入椭圆方程整理可得()222418440k x kmx m +++-=，其中()()222222644414464160k m k m k m ∆=-+-=-+16＞，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，∴12AB x=-=原点到直线的距离d=，∴()222241141ABCm k mSk∆++-=≤=+，当且仅当22412k m+=时等号成立，又()()121211,M x x y yλλ⎛⎫++⎪⎝⎭代入椭圆方程可得()()2212122214x x y yλλ+++=，其中221114xy+=，222214xy+=，∴整理得212128284x x y yλ++=再将1122,kx m y kx my=+=+代入，()()122128284kx mx m kxxλ+=+++整理得()()2221212828884k x x km x x mλ+++++=，()2222224488288844141m kmk km mk kλ-⎛⎫++-++=⎪++⎝⎭，整理得22λ=，λ=6．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，过点(-.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，定点()2,0P，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线2x=的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，3(,0)2.（1）由题知2211112c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 解得22a =，21b =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)210m y my ++-=， 则12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+， 因为以AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ,所以AQ PQ ⊥，则1(2,)Q y ，则2122BQ y y k x -=-，故BQ 的方程为：2112(2)2y y y y x x --=-- ， 由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0y =，则1212121212121(2)(1)222y x y my my y y x y y y y y y -----+=+=+=+---，而12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+，12122y y my y +-=-， 所以121211322222y y y x y y +-+=+=-+=-，故直线BQ 恒过定点，且定点为3(,0)2.7．已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AMB ∠，求抛物线C 的标准方程. （2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）28x y =（2）AB 方程为122py x =±+．（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p pp∆=->+==， ∵直线py 4=平分AMB ∠， ∴k k 0AM BM +=， ∴1212p p y y 440x x --+=，即：12121212p px 1x 1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =． （2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零， 设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx bpy=+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pkpb∆=+>+==-，∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴p b 2=．∴直线AB 的方程为：p y kx 2=+． 假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQ PQ 3PA PB+=， 作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、，∴121212p pPQ PQ OQ OQ y y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='， ∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p·4k 2pPA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=. 【解析】（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠， 由方程组1{23y x m y x =+=-+，， 可得223{21.3mx my =-=+， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得m <<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==--，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()R CD AB λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值．【答案】（1）22184x y +=；（2）3，y x =． 解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=．即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C 过点)1P，∴22611a b +=．②由①②解得a =2b =．故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由题知圆221:2O x y +=，设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l的距离d =，由弦长公式可得AB ==．将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD === 由CD AB λ=，得CD AB λ===∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值3，此时直线l 的方程为y x =．10．在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线():,R,0l y kx t k t k =+∈≠．（1）若椭圆C 的一条准线方程为4x =，且焦距为2，求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线l 过点F ，且与FA 垂直，交椭圆C 于M ，N （M 在x 轴上方），若2NF FM =，求椭圆C 的离心率；（3）在（1）的条件下，若椭圆C 上存在相异两点P ，Q 关于直线l 对称，求2t 的取值范围（用k 表示）．【答案】（1）22143x y +=；（2）e =（3）220,34k k ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭.（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为椭圆C 的一条准线方程为4x =，且焦距为2，所以22224,22a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为22143x y +=．（2）如图，因为()0,A b ，(),0F c -，所以AF b k c=， 因为直线l 过点F ，且与FA 垂直，所以直线l 的方程为bx y c c=--，与椭圆C 的方程联立得()4222324220b a c y b c y b c ++-=，因为l 过左焦点F ， 所以>0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则321242242124222,b c y y b a cb c y y b a c ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（*）， 因为2NF FM =， 所以212y y =-，代入（*）得32142242214222,2b c y b a cb cy b a c ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩， 消去1y 并化简得4222280b a c b c +-=， 因为222b a c =-， 所以()()2222222280a ca c a a c c -+--=，即4224990c a c a -+=， 因为c e a=，所以429910e e -+=，解得2e =，所以6e ==．（3）如图，设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的中点()00,x y ，则221122221,43143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得 2121212134y y y y x x x x -+⋅=--+，即0034PQ y k x ⋅=-，因为1PQ k k=-，所以0034ky x =， 又00y kx t =+，所以004,3t x k y t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 因为点()00,x y 在椭圆C 的内部，所以()2243143t t k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭+<，化简得22234k t k <+．故2t 的取值范围为220,34kk ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F，离心率为2，P 是椭圆上一点，且△12PF F 面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得22||:||:AN BN AF BF =，若存在，求出点(,0)N n ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=;（2）(1,0)N ,过程见解析（1）121212PF F P SF F y =，由椭圆性质知当=P y b 时，△12PF F 面积最大. 由题得：22212122c b c a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y22(1)21y x x y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简得2222(21)4220k x k x k +-+-= 22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 22||:||:AN BN AF BF =，如图，作//AM BN 交2NF 延长线与M 点， 易证得22||||AF AM BN BF =,22||:||:AN BN AF BF = AM AN ∴= 22ANF BNF ∴∠=∠所以2F N 是ANB ∠的角平分线,则有0NB NA k k +=12120y yx n x n+=-- ，1221(1)(1)0y x y x ∴-+-= 1122,y kx k y kx k =-=-1221()(1)()(1)0kx k x kx k x ∴--+--= 12212()(+)20kx x kn k x x kn ∴+++=22222242()202121k k k kn k kn k k -∴⨯+++=++ 化简得1n =所以存在点(1,0)N 满足题意.12．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上顶点为P ，4,33b Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆E 上的一点，以PQ 为直径的圆经过椭圆E 的右焦点F .（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，在直线2x =上是否存在一点D ，使得ABD △为等边三角形？若存在，求出等边三角形ABD △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2.解：依据题意得22224331b a b⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，得22a =，()0,P b ，(),0F c 又2220a b c PF QF ⎧=+⎨⋅=⎩， 22224033b cb c c ⎧=+⎪⎨⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎩， 1b c ∴==， ∴椭圆的方程为2212x y +=.（2）假设在直线2x =上存在一点D 使得ABD ∆为等边三角形，设直线():1l y k x =-由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得，()2222214220k x k x k +-+-= ()()()42221642122810k k k k ∆=-+-=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,M x y则2122421k x x k ，21222221k x x k -=+ 202221k x k =+，()002121k y k x k -=-=+ )22121k AB k +∴=+.DBA △为等边三角形，所以MD 的斜率为1k-，又D 点的横坐标为2，2022221D k x k MD +∴=-=+DBA △为等边三角形，DM B ∴=)222212221221k k k k ++=++，得22k =.AB ∴=，DBA ∴△的面积为2513．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为13．（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F 左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N ，为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程.【答案】（1）22198x y （2）0y -+=（1）由题意，得2b =c 1a 3=.又222a c b -=，∴a 3=，b =c 1=.∴椭圆C 的标准方程为22x y 198+=（2）由（1），可知()A 3,0-，()B 3,0，()1F 1,0-. 据题意，直线1F M 的方程为x my 1=-记直线1F M 与椭圆的另一交点为M '，设()()111M x ,y y 0>，()22M x ,y '.∵12FM //F N ，根据对称性，得()22N x ,y --. 联立228x 9y 721x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()228m 9y 16my 640+--=，其判别式Δ0>，∴12216m y y 8m 9+=+，12264y y 8m 9=-+.① 由123k 2k 0+=，得12123y 2y 0my 2my 2+=++，即12125my y 6y 4y 0++=.② 由①②，解得12128m y 8m 9=+，22112my 8m 9-=+ ∵1y 0>，∴m 0>.∴()()12222128m?112m 64y y 8m 98m 9--==++.∴m = ∴直线1F M的方程为x y 1=-，即y 0-+=. 14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O 为坐标原点，椭圆的离心率为，且TFO △面积的最大值为12.（1）求椭圆的方程；（2）设点()0,1A ，直线l ：(1)y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ；直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.（1）设()00,T x y ，(c,0)F，由2c a =，可得222a c =， 依题意max 1122S cb =⋅=，所以a =1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得()222124220k x ktx t +++-=，>0∆，122412kt x x k +=-+，21222212t x x k -=+，直线AP ：1111y y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =，所以()12121212122111x x x x y y y y y y --==---++化简得221121t t t -=-+，解得只有0t =满足题意， 所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点（0，0）.15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，AD DB =.（1）若49OD k =（O 为坐标原点），求直线l 的方程； （2）点P 在x 轴上运动，若0,2FAP π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求点P 横坐标的取值范围.【答案】(1) 210x y --=或440x y --=；(2) [)()0,11,9;解：（1）由题意得(1,0)F ，设直线l 的方程为：1x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，线段MN 的中点()00,D x y ，联立直线与抛物线的方程：214x ty y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y ty --=，可得124y y t +=，124y y =-，所以02y t =，200121x ty t =+=+，即()221,2D t t +，所以2221OD t k t =+，由题意可得224219t t =+，解得2t =或14t =， 所以直线l 的方程为：210x y --=或440x y --=；（2）0,2FAP π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,即FAP ∠恒为锐角，等价于0AF AP ⋅>，设()2110,,(1,0),,0,4y A y F P x ⎛⎫⎪⎝⎭2211011,,1,44y y AP x y AF y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则224222111101103110441644y y y y AP AF x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=++-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立， 令214y t =，则0t >，原式等价于203(1)0t t t x ++->，对任意的0t >恒成立，令200()(3)h t t x t x =+-+，①△220000(3)41090x x x x =--=-+<，解得:019x <<，②00302(0)0x h ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩，解得：001x ， 又01x ≠，故001x <， 综上所述：0x 的取值范围[)()0,11,9．16．已知()1,0F -，Q 是圆K ：222150x x y -+-=上的任意一点，线段FQ 的垂直平分线交QK 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过F 作E 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，直线OM 与E 交于点C 、D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）6S ≤< （1）由题意可知42PF PK PQ PK FK +=+=>=， 所以动点P 的轨迹是以F 、K 为焦点且长轴长为4的椭圆.因此E 的方程为22143x y +=.（2）由题意可设AB 的方程为1x ky =-，代入2234120x y +-=，得()2234690k y ky +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122634k y y k +=+，122934y y k =-+.设1200023(,),234y y kM x y y k +==+， 2002234113434k x ky k k =-=-=-++， 所以2243,3434k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，OM 的斜率为34k -. 直线OM 的方程为34ky x =-， 代入2234120x y +-=，解得221634x k =+，所以CD ==， 设点A ，B 到OM 的距离分别为1d ，2d ，则1d =，2d =()1212ACBDS CD d d =+===12y =-==== 所以，6S ≤<（当且仅当0k =等号成立）.17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10（1）由12F F =c =设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边所在直线方程为y kx m =-，另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241k m +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k +=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnkS d dk=⋅==+44==44==因为0k≠，所以20k>，所以2212kk+≥(当且仅当21k=时等号成立)，所以22990,142kk⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S∈.综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.18．已知椭圆2214yx+=，直线1l y kx=+：分别与x轴y轴交于,M N两点，与椭圆交于,A B两点.（1）若AM NB=，求直线l的方程;（2）若点P的坐标为()0,2,-求PAB△面积的最大值.【答案】（1）21y x=±+；（2(1)设()()1122,,,A x yB x y联立直线方程与椭圆方程有22141yxy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx++-=有12224x x kk+=-+，()1212224224k x xy yk+++==+，所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,1N ，MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为AM NB =，所以线段MN 的中点与AB 的中点重合，有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得：2k =± (2)12|3|21PABSx x =⨯⨯-=由（1）中可知12224kx x k +=-+，12243x x k =-+⋅故PABS=661==因为3,43所以6331PAB S ∆=，当0k =时PAB △面积最大.19．如图所示，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）过点()0,1E 作不与y 轴重合的直线l 与椭圆交于点M 、N ，直线1MB 与直线2NB 交于点T ，试讨论点T 是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定直线方程为3y =. （1）由题意可得1123c e a A F a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩，解得2a =，1c =，b ∴==因此，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立2213412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得()2243880k x kx ++-=， ()()22264324396210k k k ∆=++=+>， 由韦达定理得122843k x x k +=-+，122843x x k =-+.易知点(1B、(20,B ，直线1MB的斜率为(11111kx k x +==，直线1MB的方程为1y k x = 直线2NB的斜率为(222221kx y k x x ++==，直线2NB的方程为2y k x =由1y k x =，2y k x =(112212211kx kx x x k k x ++-===，其中12122843kkx x x x k =-=++，((121221222122x x x x x x x ⎡⎤-+++++====解得3y =.因此，点T 在定直线3y =上.20．如图，焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点(0,1)M ，中心都在坐标原点，且椭圆1C 与2C.（1）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；（2）过点M 且互相垂直的两直线分别与椭圆1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当MAB △的面积取最大值时，求直线MA ，MB 斜率的比值.【答案】（1）2213x y +=，22+31y x =；（2.（1）设椭圆2212211:1x y C a b +=，2222222:1y x C a b +=，依题意得对1C ：11b =，222112123a b e e a -=⇒==，得213a ，1C ∴：2213x y +=，同理对2C ：21a =，2222222233a b e e a -=⇒==，得2213b ， 2C ∴：22+311x y =，即22+31y x=；（2）设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，， 则MA ：11y k x =+，与椭圆方程联立得：2222111313031x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩（）， 得22113160k x k x （）++=，得1216=31A k x k -+,212131=31A k y k -++，所以2112211631(,)3131k k A k k -+-++,同理可得222222223,33k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 所以221122222211226622=(,),,313133k k k k MA MB k k k k ⎛⎫----= ⎪++++⎝⎭,MA MB ⊥，从而可以求得611=22S MA MB ⎛⋅=- 112222222242436412334163k k k k k k 121=2313k k ++， 因为121k k =-，所以()()3112216+=31k k S k+，不妨设()()31111221+031k k k f k k >=+，，()()2341112136131k k f kk'--+=+，令()0f k '=，即4211361=0k k --+，解得2113=,3k k -=当1111()0,),(0)k f k k f k ∈'>∈+∞'<，当1k =时，1()f k 取得极大值也是最大值，即S 取得最大值， 此时两直线MA ，MB斜率的比值21123==3k k k --. 21．已知椭圆D ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长为2（1）求椭圆D 的方程；（2）点()0,2E ，轨迹D 上的点A ，B 满足EA EB λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）由已知2221a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⇒⎨⎪⎪=⎪⎩ 2a =，1b =，c =所以D 的方程为2214x y +=（2）过()0,2E 的直线若斜率不存在，则13λ=或3.设直线斜率k 存在()11,A x y ，()22,B x y222440y kx x y =+⎧⇒⎨+-=⎩ ()221416120k x kx +++=则()()()()122122120,116,21412,314,4k x x k x x kx x λ⎧∆≥⎪-⎪+=⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩由（2）（4）解得1x ，2x 代入（3）式得()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+ 化简得()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ 由（1）0∆≥解得234k ≥代入上式右端得 ()2311641λλ<≤+ 解得133λ<<综上实数λ的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛:解析中出现EA EB λ=属于 λ问题，由EA EB λ=得出12x x λ=，结合韦达定理找到λ与k的关系，再利用0∆≥建立不等关系即得解.22．已知点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点00(3,)(1)P y y >是抛物线C 上一点，且134PF =，Q 的方程为22(3)6x y +-=，过点F 作直线l ，与抛物线C 和Q 依次交于.（如图所示）（1）求抛物线C 的方程； （2）求()MB NA AB +的最小值.【答案】（1）；（2）．由在抛物线上得，又由得，解得，，又，故.所以抛物线的方程为.由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为.则圆心到直线的距离为，.设，，由得，则，由抛物线定义知，.设，则，，函数在上都是单调递增函数，当时即时，有最小值.23．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）2,2⎡⎢⎣⎦.（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由1PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x=由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，由已知可得=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立，得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-，可知121sin 1212sin 2OA OB AOBS OA OB S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠==将根与系数的关系代入整理得：12S S = 结合()2221m k =+，得12S S = 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则122,2S S ⎡===⎢⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是⎡⎢⎣⎦．.24．如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b+=，()22222:1044x y C a b a b+=>>，椭圆2C 的右顶点和上顶点分别为A 和B ，过A ，B 分别引椭圆1C 的切线1l，2l ，切点为C ，D .（1）若2a =，1b =，求直线1l 的方程； （2）若直线1l 与2l 的斜率之积为916-，求椭圆1C 的离心率. 【答案】（1）)4y x =±-；（2（1）当2a =，1b =，221:14x C y +=，222:1164x y C +=.()4,0A ， 设过()4,0A 处的切线方程为()4y k x =-，代入1C ，得()222214326440k x k x k +-+-=.令()()()2222324146440k k k ∆=-+-=，得2112k =，k =， 所以1l的方程为：)4y x =-. （2）设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12916k k =-， 1l ，2l 的方程分别：()12y k x a =-，22y b k x -=.联立()1222221y k x a x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222324222111440b a k x a k x a k a b +-+-=. 由()()64222422211116440a k b a k a k a b ∆=-+-=，得22213a k b =.联立2222221y b k x x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222222222430b a k x a bk x a b +++=.由()422222222216120a b k b a k a b '∆=-+=，得22223a k b =.故422412a k k b =，344a b e ⇒=⇒=.25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1)2M -是椭圆C 上的一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，(1,0)-.（1）∵c a =，222a b c =+，∴224a b =，∴222214x y b b+=，将1)2M -代入椭圆C ，∴21b =，∴22:14xC y +=.（2）显然AB 斜率存在，设AB 方程 为：(4)y k x =+，2222221(14)3264404(4)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 2161920k ∆=->，∴2112k <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，∴21223214k x x k +=-+，212264414k x x k -=+，∵()211121:y y BD y y x x x x ++=--，∴0y =时211112*********()()8x y x y kx x k x x x x y y k x x k -++=+=+++2233222332644322()4()1288128141413232832()814k k k k k k k k k k k k k k kk -+---++===--++-++，∴直线BD 过定点(1,0)-.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，过2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1l 的方程为y kx m =+，直线2l 的方程为2()y kx m =+，其中01m <<.设1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2l 与圆22:4O x y +=交于P ，Q 两点，求MONPOQS S ∆∆的值.【答案】（1）2214x y +=；（2）12.（1）由题意，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且1ABF 的周长为8，根据椭圆的定义，可得1ABF 的周长为12124AF AF BF BF a ，即48a =，即2a =，又因为c e a ==c =1b ==， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()222418410k x kmx m +++-=.由()()222264164110k m k m ∆=-+->，可得2241k m +>，且2121222844,1414km m x x x x k k-+=-+=++由弦长公式，可得12214MN x k=-=⋅+ 又因为点O 到直线1l的距离1d ==所以112MONS MN d =⋅=△.因为圆O 的方程为224x y +=，所以圆O 的圆心到直线2l的距离2d =所以PQ ==，所以212POQS PQ d =⋅=△，所以12MON POQ S S =△△. 27．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以. 当时，，所以. 综上，为定值.28．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F ，点1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-；（ii ）求ABMN的取值范围.。
2008压轴题精选讲座六
2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座六阅读理解问题【知识纵横】阅读理解的整体模式是：阅读—理解—应用。
重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略。
【典型例题】【例1】（聊城市）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h )x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km )y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ；（2）请解释图中点B 的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段B C 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？【思路点拨】理解图象的实际意义。
【例2】(江苏镇江)理解发现阅读以下材料：对于三个数a b c ，，，用{}M a b c ，，表示这三个数的平均数，用{}min a b c ，，表示这三个数中最小的数．例如：{}123412333M-++-==，，；{}min 1231-=-，，；{}(1)m in 121(1).aa a a -⎧-=⎨->-⎩≤；，，解决下列问题：（1）填空：{}min sin 30cos 45tan 30=，， ；如果{}min 222422x x +-=，，，则x 的取值范围为x ________≤≤_________． （2）①如果{}{}212min 212M x x x x +=+，，，，，求x ； ②根据①，你发现了结论“如果{}{}min M a b c a b c =，，，，，那么 （填a b c ，，的大小关系）”．证明你发现的结论；（第28题） y③运用②的结论，填空： 若{}{}2222m in 2222Mx y x y x y x y x y x y +++-=+++-，，，，，则x y += ．（3）在同一直角坐标系中作出函数1y x =+，2(1)y x =-，2y x =-的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：{}2min 1(1)2x x x +--，，的最大值为 ．【思路点拨】（2）②{}min a b c c =，，，则a c ≥，b c ≥．若()()0a cbc ∴-+-=，可得a b c ==；（3）作出图象，通过观察图象解答。
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压轴题精选讲座六
2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座六
阅读理解问题
【知识纵横】
阅读理解的整体模式是：阅读—理解—应用。
重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略。
【典型例题】
【例1】（聊城市）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为 km ；
（2）请解释图中点B 的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙
地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求
（第A B C
D O y /1x 4
第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
【思路点拨】理解图象的实际意义。
【例2】(江苏镇江)理解发现
阅读以下材料：
对于三个数a b c ，，，用{}M a b c ，，表示这三个数
的平均数，用{}min a b c ，，表示这三个数中最小的数．例如：
{}123412333
M -++-==，，；{}min 1231-=-，，；{}(1)min 121(1).a a a a -⎧-=⎨->-⎩≤；，，
解决下列问题：
（1）填空：{}min sin30cos 45tan30=，， ；
如果{}min 222422x x +-=，，，则x 的取值范围为x ________≤≤_________．
（2）①如果{}{}212min 212M x x x x +=+，，，，，求x ；
②根据①，你发现了结论“如果
{}{}min M a b c a b c =，，，，，那么 （填a b c ，，的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：
若{}{}2222min 2222M x y x y x y x y x y x y +++-=+++-，，，，，则
x y += ．
（3）在同一直角坐标系中作出函数1y x =+，2(1)y x =-，2y x =-的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：{}2min 1(1)2x x x +--，，的最大值为 ．
【思路点拨】（2）②{}min a b c c =，，，则a c ≥，
b c ≥．
若()()0a c b c ∴-+-=，可得a b c ==；（3）作出图象，通过观察图象解答。
【例3】（广东佛山）我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造．．．．．．．．．的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．据问题构造图形），并加以研究．．．．．．．．．．．．．．
. 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，
可以提出“两条直线平行”、“两条直线相
交”的概念；若增加第三条直线，则可以
提出并研究“两条直线平行的判定和性
质”等问题（包括研究的思想和方法）.
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的
问题进行研究：
(1) 如图1，在圆O 所在平面上，放置一条．．
直线m （m 和圆O 分别交于点A 、B ），根据这
个图形可以提出的概念或问题有哪些（直
接写出两个即可）？
(2) 如图2，在圆O 所在平面上，请你放置与
圆O 都相交且不同时经过圆心．．．．．．．的两条．．
直线m
和n （m 与圆O 分别交于点A 、B ，n 与圆
O 分别交于点C 、D ）.
请你根据所构造的图形提出一个结论，并
证明之.
(3) 如图3，其中AB 是圆O 的直径，AC 是
弦，D 是ABC 的中点，弦DE ⊥AB 于点F . 请
找出点C 和点E 重合的条件，并说明理由.
【思路点拨】（2）分四种情形讨论；(3) 构A B O m 第25题图1 O 第25题图2 A O E 第25题图3 D C F G
D C
建关于角的方程。
【学力训练】
1、（宁波市）阅读解答：2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）
从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
2、（温州市）解方程|1||2|5x x -++=。
由绝对
值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值。
在数轴上，12的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图（17）可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3
4 0 2 - 1 1
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|3|4x +=的解为
（2）解不等式|3||4|x x -++≥9；
（3）若|3||4|x x --+≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围.
3、(江苏盐城)阅读理解：对于任意正实数
a b ，，2
()0a b -≥，
20a ab b ∴-≥，2a b ab ∴+≥，只有点a b =时，等号成立．
结论：在2a b ab +≥a b ，均为正实数）中，若
ab
为定值p ，则2a b p +≥，只有当a b =时，
a b +有最小值2p ．
根据上述内容，回答下列问题：
若0m >，只有当m = 时，1m m +有最小值 ．
思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点，（与点A B ，不重合）．过点C 作
CD AB ⊥，垂足为D ，AD a =，DB b =．试根据图形验
证2a b ab +≥，并指出等号成立时的条件．
4、（07宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，PA≠PC ，则点P 为四边形ABCD
A O D C 图1
的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC 上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(
说
出
相
应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．。