3.4文克勒地基上梁的计算[研究材料]
文克尔地基上的龙门吊轨道基础梁计算
0． 90
三桩
3 218
27 899
3 218
2 930
0． 91
四桩
4 208
33 324
4 208
4 022
0． 96
六桩
6 072
43 885
6 072
5 296
0． 87
注：Nk 为荷载效应标准组轴心竖向力作用下，基桩或复合基桩的平均竖向力
2． 2 筏板设计
本工程上部结构的荷载由旋喷桩承担，筏板通过将相邻柱下 的承台连成整体，主要起到以下作用： 筏板与其上覆土的自重提供
M/kN·m
300 200 100
0 -100
-5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 14 X/m
图 6 地基梁弯矩分布示意图
5 结语
运用文克尔地基上的无限长梁模型，可以计算如龙门吊轨道 基础梁等类似构件的内力、变形及基底反力。计算方法具有计算 过程简便，计算结 果 精 确 等 优 点。对 于 半 无 限 长 梁、有 限 长 梁 亦 可运用文克尔地基上的半无限长梁、文克尔地基上的有限长梁理
（ 2K） ，最终有：
θ=
－
P0 λ2 K
Bx
，M
=
P0 4λ
C
x
，Q
=
－
P0 2
Dx
（ 8）
其中， Ax = e － λx （ cosλx + sinλx） ； Bx = e － λx sinλx （ 9）
Cx = e － λx （ cosλx － sinλx） ； Dx = e － λx cosλx
建筑工业出版社，1993．
2 000，翼缘厚度 hf = 300，梁截面示意图见图 3。梁混凝土强度等 ［2］ GB 50007-2002，建筑地基基础设计规范［S］．
文克尔地基上的有限长梁计算doc资料
研究背景
土质地基上受多个集中力作用的有限长梁, 是工程实践中时常遇到的 一种力学模型。
2.文克尔地基模型
1867年提出的winkler地基模型是一种最简单的线弹性地 基模型。它假定地基土界面上任一点处的沉降（s）仅取 决于作用于该点的压力（p），而与其他点上的压力无关。 即p=ks，其中，k为基床系数，与土的性质有关。
在文克尔模型中，地基和基础梁遵循变形协调条件，即梁 的挠度和地基的变形是一致的，也就是说即使在出现负的 地基反力的时候也不会发生分离，这一点在实用上是可行 的，因为结构的重量对地基施加了一个初始预压力。该假 定还认为地基的变形只发生在基础范围内，基础以外的变 形等于零（不考虑土的剪应力），使得计算结果与实际情 况有所不符，但由于该模型简单、参数少，而且参数k的 取值有较多的工程经验，所以目前在实际设计中被广泛采 用。
1.反力直线分布
是最古老的一种算法，假设地基梁与地基之间的 压力按直线分布，其地基反力图形在对称荷载作 用下是矩形的，在偏心荷载作用下是梯形的，视 上部结构的刚度为无穷大，将基础与上部结构的 连接点看做是不动的铰支点。这样，地基梁的问 题就成为静定问题，计算大为简化。但该假设完 全没有考虑地基梁与地基之间的相对弹性，在一 般情况下，计算所得的结果，是不能令人满意的。 通常只在初步估算或设计不太重要的基础梁的时 候使用。其代表方法有“倒梁法”。
2.文克尔地基上梁的解答 文克尔针对理想的无限延长梁和集中荷载作用于
文克勒地基上的基础板解题法--板壳理论
板壳理论课程设计第一部分 学习心得第二部分文克勒地基上的基础板解题法题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。
取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k = ，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法当并无支座沉陷时，其边界条件为(((( 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：11sin sin mn m n m x n yw A a b ππ∞∞===∑∑（1）其中的m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。
在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程oX须改变成为4k qD w wD D∇+=此时，将荷载q也展为同一形式的级数，即（2）将式（1）和式（2）代入微分方程4k qD w wD D∇+=中，即得002242224sin sin()a bmnm x n yq dxdyab a bAm nD ka bπππ=++⎰⎰（3）当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F时，可以得到当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F时，可以用微分面积dxdy上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q，于是除了在(),ξη处的微分面积上等于Fdxdy以外，在其余各处都等于零。
22421122sin sin4sin sin()m nm nF m x n ya bwm nab a bD ka bπξπηπππ∞∞===++∑∑（4）由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中心处()0.8,0.8的挠度最大，将坐标点()0.8,0.8代入式（4）,结果如下图所示00114sin sin sin sina bm nm x n y m x n yq q dxdyab a b a bππππ∞∞==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰解得max 3.092e w =-方法2——差分法2.1网格（4*4）差分法用4*4网格求解4a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
基础梁相关及计算
基础梁基础梁简单说就是在地基土层上的梁。
基础梁一般用于框架结构、框架剪力墙结构，框架柱落于基础梁上或基础梁交叉点上，其主要作用是作为上部建筑的基础，将上部荷载传递到地基上。
在工业厂房中，一般都以柱作为主要的承重构件，而墙只起到围护作用，这时就需要在柱的基础上设置一根承担两柱之间墙体荷载的梁，此梁叫基础梁。
基础梁断面一般作成梯形1。
基础梁作为基础，起到承重和抗弯功能，一般基础梁的截面较大，截面高度一般建议取 1/4~1/6 跨距，这样基础梁的刚度很大，可以起到基础梁的效果，其配筋由计算确定。
水利、土建工程中连接上部结构与地基的梁式构件。
一般又称弹性地基梁。
在水闸、船闸、船坞等结构2的底板计算中 , 通常用图 1 所示方法截取梁条 , 以基础梁的计算来代替基础底板的计算。
图 2 为基础梁的计算简图。
基础梁除受梁上荷载作用外，有时还要考虑变温影响、边荷载作用等。
对于半无限大、有限深地基上的常截面梁，在各种外荷载以及边荷载作用下 , 梁的内力、位移均已制成表格 , 以便工程设计中查用。
基础梁计算的关键，在于选择合理的地基模型求解地基反力。
主要的地基模型如下。
①文克勒模型 : 又称基础梁弹簧垫层模型。
它假设地基单位面积上所受的压力与地基沉陷成正比。
半无限大弹性体模型: 它假设地基是半无限大的理想弹性体。
③中厚度地基模型：它假设地基为有限深的弹性层。
④成层地基模型：它假设地基为分层的平面或空间弹性体。
除①外，其余的模型，又称为连续介质地基模型。
此外，有时还采用双垫层弹簧模型、各向异性地基模型等。
在一些小型工程设计或初步设计中，有时直接采用地基反力直线分布假设，使反力的求解成为静定问题，计算大为简化。
②基础拉梁与基础梁拉梁的计算方法有两种：1、取拉梁所拉结的柱子中轴力较大者的1/10 ，作为拉梁轴心受拉的拉力或轴心受压的压力，进行承载力计算。
按此法计算时，柱基础按偏心受压考虑。
（基础土质较好，用此法较节约）2、以拉梁平衡柱底弯矩，柱基础按中心受压考虑。
文克尔地基上的有限长梁计算
基础梁计算方法：
基础梁承受着整个建筑物的重量和外来荷载，所 以它的安全度关系着整个建筑物能否正常用。因 此建筑物的设计者对基础梁的研究十分重视，使 基础梁的计算内力尽可能与实际受力相接近, 从而 合理设计、合理配筋。
目前基础梁的实用工程分析法多采用两种方法: 完 全不考虑上部结构-基础-地基的共同作用或只考 虑基础-地基的共同作用。
w
M 02
K
Bx
M 03
K
Cx
其中
M
M0 2
Dx
Ax ex (cosx sin x)
V
M 0
2
Ax
Bx ex sin x
Cx ex (cosx sin x)
Dx ex cosx
Ax、Bx、Cx、Dx的数值可以查表确定
3、有限长梁的判定
实际工程中的梁是属于无限长梁还是有限长梁并非
以梁的绝对尺寸划分，而是通过荷载在梁端引起
文克尔地基上的有限 长梁计算
研究背景
土质地基上受多个集中力作用的有限长梁, 是工程实践中时常遇到的 一种力学模型。
基础梁： 工程中，结构物与地基的连接方式主要取决于地基的条件和荷载的大
小这两个方面。如果地基的条件比较好，荷载比较小，可以直接通过 墙柱的作用，将荷载传至地基，但是如果地基的条件比较差，荷载比 较大，就需要通过设置基础梁，基础梁的作用是把上部结构的重量、 荷载等外力比较均匀地传给地基，可以在一定程度上调节建筑物沉降， 使其均匀化，以减小地基所受压力的强度，使地基满足承载力的要求。 因此，基础梁被广泛应用在工业与民用建筑上。 常用的基础梁包括：柱下条形基础、柱下交叉条形基础、筏形基础和 箱型基础等。
1.建立文克尔地基上梁的挠曲微分方程：
3.4文克勒地基上梁的计算解析
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。 影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
M0 M
q
M+dM V+dV
+q
x w bp
挠曲曲线
V bp x
+V
+M
w
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI 2 M dx
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
Wi Si
挠度=沉降量
解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x F o
dx q
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设： 地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
文克勒地基上梁的挠曲微分方程
由梁上竖向的静力平衡条件得：
F 0
dV Bp q dx
M 0
dM V dx
根据材料力学，梁挠度w的
微分方程式为：
Ec I
d 2w dx2
M
式中: Ec ——梁材料的弹性模量（kPa）; I ——截面惯性矩（m4）。
dM V dx
dV Bp q dx
将
Ec I
2、地基非均质性的影响
外荷载及基础相同，地基不同，基底反力不同
2、地基非均质性的影响
外地基及基础相同， 外载荷不同，基底 反力不同
二、地基变形对上部结构的影响
整个上部结构对基础不均匀沉降或挠曲的 抵抗能力，称为上部结构的刚度或整体刚度， 根据其大小分为：
柔性结构 敏感结构
刚性结构
1、柔性结构
∑F－作用在基础上的竖向外荷载和基底反力之和 ∑M－外荷载和基底反力对基础任一点的力矩之和
2、 变形协调条件（接触条件）
变形前后基础与地基总是保持接触，不得脱开， 即基础底面任一点的挠度wi应等于该点的地基
沉降si：
wi si
§3.4文克勒地基上梁的计算
一、微分方程式
从宽度为B的梁，取出长为dx为一小段梁元素， 其上作用着分布荷载q和基底反力p以及截面上的 弯矩M和剪力V。
(2)考虑基础—地基共同作用分析法 (3)考虑上部结构-基础-地基共同作用分析法
§3.3 地基计算模型
地基计算模型：在进行地基上梁和板的分析时， 能够表达基底压力分布和地基沉降的关系式， 最常用的三种线性弹性模型：
文克勒地基模型 弹性半空间地基模型
有限压缩层地基模型
一、文克勒地基模型 (又称“基床系数法”）
文克勒地基模型
文克勒地基模型：地基上任意一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比，即 p=ks 式中比例系数k称为基床反力系数刚性桩：当桩很短或桩周土很软弱时，桩、土的相对刚度很大，属刚性桩。
扩展基础的分类：无筋扩展基础（墙下条形基础、柱下独立基础）和钢筋混凝土扩展基础（墙下钢筋混领土条形基础、柱下钢筋混凝土独立基础）Pk =( FK+GK)/A各物理量的含义： GK=γGAd γG=20P k ：相应于荷载标准组合时，基础底面的平均压力值FK：相应于荷载标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力值GK：基础自重和基础土重，若在地下水以下部分应扣去浮托力地基基床系数：1.按基础的预估沉降量确定：k=P0/Sm（p基地平均附加压力 sm基础的平均沉降量）2. 对于为h的薄压缩层地基，k=Es/h（Es土层的平均压缩模量）弹性半空间地基模型：是将地基视为均质的线性变性半空间，并用弹性力学公式求解地基中的附加应力或位移的一种模型。
S=P(1-μ2) /πEor预制桩的沉桩方式：锤击沉桩法，振动沉桩法，静压沉桩法群桩效应：在竖向荷载的作用下，由于承台、桩、土的相互作用，群桩基础中的一根桩单独受荷时的承载力合沉降性状，往往与相同地质条件和设置方法的同样独立单桩有显著差别，这种现象称之为群桩效应。
软弱下卧层：承载力显著低于持力层的高压缩性土层沉管灌注桩：是指采用锤击沉管打桩机或振动沉管打桩机，将套在预制钢筋混凝土桩尖或带有活瓣桩尖的钢管沉入土层中成孔，然后边灌注混凝土、边锤击或边振动边拔出钢管并安放钢筋笼而形成的灌注桩。
竖向荷载作用下单桩沉降构成：（1）：桩身弹性压缩引起的桩顶沉降。
（2）：桩侧阻力引起的桩周土中的附加应力一压力角向下传递，致使桩端下土体压缩而产生的桩端沉降。
（3）：桩端荷载引起桩端下土体压缩所产生的桩端沉降。
基底附加压力P0：基底压力与基础建造前土中自重应力之差P=Pk-σc d（σc d基地处土的自重应力值）振动法沉桩：是采用振动锤进行沉桩的施工方法，适合可塑状的黏性土和沙土对受振动时土德抗剪强度有较大降低的砂土地基和自重不大的钢桩，沉桩效果更好桩按性质和竖向受力情况分类：端承型桩和摩擦型桩条形基础内力计算方法分类：简化计算法和弹性地基梁法按规范承载力表确定承载力特征值时，基础宽度如何修正：当基底宽度小于3m 时按3m考虑，大于6m时按6m考虑摩擦型群桩承台脱地的情况下群桩效应受三个因素影响是：承台的刚度影响、基土性质的影响、桩距s的影响影响基础埋深的主要因素是那几个条件：与建筑物有关的条件、工程地质条件、水文地质条件、地基冻融条件、场地环境条件相邻建筑物基础影响及处理措施：靠近原有建筑物新修建的新基础时，如基坑深度超过原有的基础埋深，则可能引起原有基础下沉或倾斜。
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（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧调模研型学；习（c）文克勒地基上的刚性基础
5
适用范围：
1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
dw
dx
dM
d 3w
V dx EI dx3
M
EI
d 2w dx2
p kw
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22
w ex C1 cos x C2 sin x ex C3 cos x C4 sin x
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
EI
d 4w dx4
d 2M dx2
dV dx
bp q
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
EI
d 4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
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18
采用文克勒地基模型时
EI
d 4w dx 4
bp
p ks
sw
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
S p(1 2 ) / E0r
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
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7
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
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8
即对于整个基础有
[δ]称为地基柔 度矩阵
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9
优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近 荷载的影响。
基础工程
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
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1
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。
影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
EI
d 4w dx 4
bkw
文克勒地基上梁
的挠曲微分方程
d 4w dx 4
kb EI
w
0
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19
柔度特征值： 4 kb
4EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基 床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础 的相对刚度愈大。
d 4w dx4
kb EI
w
0
d 4 w 44 w 0
地基；
3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系
代替群桩。
优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。
缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传 递剪力。
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6
二、 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性 变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移， 地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布 有关。
有限单元法 有限差分法
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15
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
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x dx
q
+q
F
q
M0
M
M+dM
o
x
V V+dV
w bp
+V
+M
bp
w
挠曲曲线
x
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
EI
d2w dx 2
M
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
M Vdx bpdx dx / 2 qdx dx / 2 M dM 0
dM V dx
qdx (V dV ) V bpdx 0
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dV bp q dx
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EI
d2w dx 2
莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土
（6）粘弹性模型
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3
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：
地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
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4
➢ 把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型
（2）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、
土压力等计算。
（3）理想弹塑性模型
（4）非线性弹性模型
E-μ模型（邓肯-张Duncan-Chang、双曲线）
K-G模型
（5）弹塑性模型
剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土
缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑 性重分布。
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13
四、 相互作用基本条件
两个条件
1）静力平衡
外荷载和基底反力作用下满足
F 0 M 0
2）变形协调 Wi Si
挠度=沉降量
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➢ 解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。
➢ 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
dx 4
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四阶常系数线性常微分方程
d 4 w 44 w 0
dx 4
特征方程 特征方程根
r 4 44 0
r1,2 1 i r3,4 1 i
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21
解得该方程的通解为：
w ex (C1 cos x C2 sin x) ex (C3 cos x C4 sin x)
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
nc
ij t 1
h tij ti Esti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
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优点：
➢较好地反映了地基土扩散应力和变形地能 力，反映邻近荷载的影响；
➢考虑了土层沿深度和水平方向的变化。
缺点：
➢ 模型的扩散能力往往超过地基实际情况， 沉降量和沉降范围比实测结果大。
➢ 未能考虑到地基的成层性、非均质性以及 土体应力应变关系的非线性等重要因素。
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三、有限压缩层地基模型
有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。
w ex C3 cos x C4 sin x
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w exCcos x sin x