直方图
(完整版)直方图
(二)直方图之制作
例：某厂之成品重量规格为130至190， 今按随机抽测方式抽取200个样本， 其重量测定值如表，试制作直方图。
132 162 165 137 145 153 158 127 155 136 144 157 150 136 126 132 127 147 144 152 137 150 133 162 147 150 157 145 156 152 150 167 152 142 147 142 137 148 143 152 145 136 134 160 142 149 167 146 156 163 139 160 153 147 148 140 152 150 142 153 142 152 144 158 143 148 152 147 153 164 126 159 154 156 147 141 170 151 141 150 137 151 147 152 144 147 142 142 150 150 127 162 160 142 140 143 126 152 147 149 139 146 146 151 125 143 140 141 151 148 128 138 127 143 147 151 134 157 148 150 126 144 142 153 130 144 135 156 147 142 132 142 132 145 144 155 141 148 149 151 145 138 143 154 131 156 129 157 146 143 145 143 134 128 140 157 146 146 150 152 138 142 125 146 132 154 130 154 138 145 146 144 135 162 141 160 145 145 151 142 162 124 127 130 126 143 152 150 157 149 126 140 142 168 152 150 153 150 142 146 162 162 165 162 147 156 167 157 157 164 150 167 160 168 152 160 170 157 151 153 126 124 125 130 125 143 129 127 138 136 126 138 127 128 126 132 126 145 141 142
直方图
j 0 j 0 k k
nj n
乘以n，再四舍五 入取整
44
说明
由于数字图像灰度取值的离散性，通过四 舍五入使得变换后的灰度值出现了归并现 象，从而致使变换后的图像并非完全均匀 分布，但是相比原始直方图要均匀得多
直方图修正
2.直方图规定化/直方图匹配 在某些情况下，并不一定需要具有均匀直 方图的图像，有时需要具有特定的直方图 的图像，以便能够增强图像中某些灰度级。 直方图规定化方法就是针对上述思想提出 来的。 直方图规定化是使原图像灰度直方图变成 规定形状的直方图而对图像作修正的增强 方法
0.89
0.95 0.98 1.00
6/7
1 1 1
s3=6/7
985
0.24
s4=1
448
0.11
41
例：
原图像的直方图
均衡后图像的直方图
42
例：直方图均衡化示例
43
例：
思考问题： 若在原图像一行上连续8个像素的灰度值分 别为：0、1、2、3、4、5、6、7，则均衡 后，对应的灰度值为多少？
46
直方图规定化
可见，它是对直方图均衡化处理的一种有 效的扩展。直方图均衡化处理是直方图规 定化的一个特例 对于直方图规定化，下面仍从灰度连续变 化的概率密度函数出发进行推导，然后推 广出灰度离散的图像直方图规定化算法
47
直方图规定化
假设pr(r)和pz(z)分别表示已归一化的原始 图像灰度分布的概率密度函数和希望得到 的图像的概率密度函数 首先对原始图像进行直方图均衡化，即求 变换函数：
H Pi log2 Pi
i 0 L 1
17
直方图
直方图与经验分布函数
由 伯 努 利 大 数 定 理 知 Fn(x) 依 概 率 收 敛 于 F(x) ．实际上， Fn(x) 还一致地收敛于 F(x) ，所谓 的格里文科定理指出了这一更深刻的结论，即
P{lim sup Fn ( x ) F ( x ) 0} 1
n x
实验步骤：
(1) 确定分组个数：因为 60 7.75，取分组个数为 8．数据的最小值为51，最大值为95，为分组方便 起见，考虑范围从 50 到 100 ，分为 8 个组，组距取 50 / 8 = 6.25 ，分点分别为： 50 ， 56.25 ， 62.5 ， 68.75 ， 75 ， 81.25 ， 87.5 ， 93.75 ， 100 。整理学生 成绩数据，在“组上限”栏中填入各组的上限值， 如图5-2左所示．
Fn(x)只在x = x(k)，（k = 1，2，…，n）处有跃度为 1/n 的间断点，若有 l 个观测值相同，则 Fn(x) 在此观 测值处的跃度为 l/n ．对于固定的 x ， Fn(x) 即表示事
k F ( x ) 件{X x}在n次试验中出现的频率，即 n ，其 n
中k为落在(-，x)中xi的个数．
5.2.3 直方图
直方图与经验分布函数
如前所述，数理统计所研究的实际问题（总体） 的分布一般来说是未知的，需要通过样本来推 断．但如果对总体一无所知，那么，做出推断的 可信度一般也极为有限．在很多情况下，我们往 往可以通过具体的应用背景或以往的经验，再通 过观察样本观测值的分布情况，对总体的分布形 式有个大致了解．观察样本观测值的分布规律， 了解总体 X 的概率密度和分布函数，常用直方图 和经验分布函数.
或频率/组距，所得直方图分
别称为频数直方图、频率直
什么是直方图
什么是直方图直方图(Histogram)也叫柱状图，是一种统计报告图，由一系列高度不等的纵向条纹表示数据分布的情况。
假设我们有一堆硬币，如下图所示，我们想知道一共有多少钱。
我们当然可以一枚一枚地数，但这样如果硬币多了可能会搞乱，因此我们需要先把硬币分类，然后分别统计每种硬币的数量。
把统计的结果图示出来，就成了直方图。
下图的横向数轴标示出硬币的面额(Kind of Coins)，纵向标示出硬币的数量(Number of Coins)。
图像的直方图以灰度图为例，假设我们的图中一共只有0,1,2,3,4,5,6,7这8种灰度，0代表黑色，7代表白色，其它数字代表0~7之间不同深浅的灰度。
统计的结果如下，横轴标示灰度级别(0~7)，纵轴标示每种灰度的数量。
Photoshop(PS)中的显示。
直方图统计数据Photoshop CS提供了动态的直方图面板，CS之前的版本要通过图象>直方图来察看。
横轴标示亮度值(0~255)，纵轴标示每种像素的数量。
像素(Pixels) - 图像的大小，图像的像素总数。
[5*3=15]色阶、数量、百分位这三项根据鼠标指针的位置来显示横坐标当前位置的统计数据。
色阶(Level) - 鼠标指针所在位置的亮度值，亮度值范围是0~255。
[181]数量(Count) - 鼠标指针所在位置的像素数量。
[4]百分位(Percentile) - 从最左边到鼠标指针位置的所有像素数量÷图像像素总数。
[(1+2+1+2+3+4)/15 = 13/15 = 0.8667 = 86.67%]当鼠标拖动，选中直方图的一段范围时，色阶、数量、百分位将显示选中范围的统计数据。
下面举个简单的例子来说明平均值、标准偏差、中间值。
例如图像A只有4个像素，亮度分别是200、50、100、200。
平均值(算术平均数,Mean,Average) - 图像的平均亮度值，高于128偏亮，低于128偏暗。
质量管理工具-直方图
组中直 3.40 3.43 3.46 3.49
x 0 = 3.52 3.55 3.58 3.61 3.64 3.67
注:x 0为频数一栏的组中值
频数核对
频数f i 1 2 13 19
26
16 12 7 3 1 ∑f i = 100
三、直方图的范例
直方图
9. 画直方图，如下图所示。 直方图的横坐标表示质量特性值，纵坐标表示频数。横坐标上标明分组
四、直方图的观察分析
TL
TU
x TM
(h)
直方图
能力富裕型：
直方图的公布在公差范围内,且两边有过大 的余地.这种情况表明虽然不会出现不合格品, 但很不经济,属于过剩质量,除特殊精密、主要 的零件外，一般应适当放宽材料、工具与设备 的精度要求,或放宽检验频次以降低鉴定成本。
五、直方图在应用中常见的问题
(注：从全体数据中寻找最大值与最小值是比较困难的。为此可以找数据表各列（或各列）数据打最大值与最
小值，进而再从中找出全体数据的最大值和最小值。)
3. 确定组数k K值可以从下表选取，本例取k=10组。
由N求k的表
数据个数N
分组k
一般使用k
50~100
6~10
100~250
7~12
10
250以上
10~20
分析与判断 双峰型：
直方图出现两个顶峰，往往是由于把不同材 料、不同加工者、不同操作方法、不同设备生 产批次的产品混在一起而造成的。
这时若分层作一下直方图就能发现其差异。
锯齿型(包括掉齿型)：
直方图象锯齿一样凹凸不平(某几组直方柱的 频数少于两边紧邻组的频数),大多是由于分组不 当或是检测数据不准而造成的,应查明原因,采取 措施,重新作图分析。
食品质量管理的工具—直方图
0
0 0.5 5.5
10.5 15.5 20.5 25.5 30.5 35.5 40.5 45.5 50.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
溢出量/g
植物油溢出量直方图
《食品安全与质量控制》
直方图的分析和注意事项
目录 Contents
1 直方图在PDCA循环中的地位 2 直方图的分析 3 使用直方图的注意事项
第1组上界限
第1组下界限加组距：0.5+5=5.5
直方图
直方图的应用
第2组下界限
与第1组上界限相同：5.5
第2组上界限
第2组下界限加组距：5.5+5=10.5 ………… 其他以此类推
直方图
直方图的应用 5.编制频数分布表
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
合计
组界 0.5~ 5.5 5.5~ 10.5 10.5~ 15.5 15.5~ 20.5 20.5~ 25.5 25.5~ 30.5 30.5~ 35.5 35.5~ 40.5 40.5~45.5 45.5~ 50.5
直方图
直方图的分析 ㈡ 与规范界限（公差）的比较分析
常见类型
TL
图例
MX
理想型
TL
X
M
偏心型
调整要点
TU
图形对称分布，且两边有一定 余量，此时，应采取控制和监督办 法。
TU
调整分布中心X，使分布中心 X 与公差中心M重合。
直方图
直方图的分析
常见类型
TL
无富余型
图例
MX
TL
能力富余型
直方图简介及详细绘制步骤
138138138145134130139131 134 137 142139137141132135 140127 136 132 148144137135135135141 136 137 131 145138133131134134138 128 133 139 140139140136132136137 138 121 136 141136130131134131137132 129 135 直⽅图简介及详细绘制步骤先啰嗦两句，在质量管理七⼤原则中，讲究询证决策，说⼈话就是“说话办事得有证据”。
质量数据便是可以很好的辅助决策的客观依据。
但简单粗糙未经整理的原⽣态数据显然是没办法完成它这个使命的。
所以如何整理质量数据进⽽清晰准确表达质量信息，可以说是质量⼈的⼀项基本⽣存技能。
⽽数据整理和表达的⼀个经典模型，便是直⽅图。
⼀、直⽅图是什么直⽅图⽤⼀系列宽度相等、⾼度不等的长⽅形来表⽰数据，其宽度代表组距，⾼度代表指定组距内的数据数（频数）。
它由英国拥有诸多头衔的天才学者卡尔卡尔·⽪尔逊（Karl Pearson ，1857—1936，右边这个帅男⼈，英国著名统计学家、应⽤数学家、历史学家、哲学家、伦理学家、民俗学家、宗教学家、优⽣学家、头⾻测量专家……名号⽐龙妈还多……）提出，并由在⽇本质量学者总结纳⼊经典QC 七⼤⼯具中。
直⽅图可使我们⽐较容易直接看到数据的分布形状、离散程度和位置状况：观察数据分布的类型，分析是否服从正态分布，有⽆异常；判断数据分布范围是否满⾜规格范围的要求；与产品规格界限做⽐较，判断分布中⼼是否偏离规格中⼼，以确定是否需要调整及调整量；但需要注意的是，虽然在过程能⼒分析中，我们常常利⽤直⽅图整理数据⽤以分析其分布状态，但有时根据观测数据所绘制的直⽅图呈⾮正态的异常分布。
这说明过程已出现了异常。
在这种状态下，是不能计算过程能⼒指数的，必须先排查异常原因，予以排查纠正后，再重新收集数据并分析。
统计调查-直方图
数据预测
通过对直方图的观察和分析，可以对 未来的数据变化趋势进行预测，为决 策提供依据。
直方图的局限性
对数据量要求较高
直方图适用于数据量较大的情况，对于少量数据，直方图的分布 可能不够稳定，难以准确描述数据的分布特征。
对数据的处理方式较为简单
直方图只是一种简单的数据处理方法，对于一些复杂的数据分布情 况可能无法准确描述。
颜色区分
使用不同的颜色或标记来区分不同的数据系列或类别，以便更直观地比较。
强调异常值
对于异常值或关键点，可以使用不同的颜色或标记来突出显示，以便引起关注。
05
直方图与其他统计图的比较
柱状图与直方图的区别
柱状图主要用于展示分类数据的频数分布，而直 方图则主要用于展示连续变量的频数分布。
柱状图的柱子是互相独立的，而直方图中的柱子 是连续的，表示数据在某个范围内的频数分布。
考虑数据量
对于大量数据，应选择较小的分组间 距，以便更好地观察数据分布；对于 少量数据，则可以适当增大分组间距 。
合理设置坐标轴和刻度
刻度设置
坐标轴的刻度应与分组间距相匹配，以便准确反映数据分布 情况。
标签和标题
在直方图上添加适当的标签和标题，以清晰地说明数据的含 义和比较的基准。
使用适当的颜色和标记
直方图的绘制方法
确定数据范围和分组
将数据分成若干个组，每组的 数据范围称为组距。
计算每组的频数
统计每个组内数据的数量。
计算每组的组中值
组中值是该组中间位置的数值 ，用于代表该组的平均水平。
绘制条形图
根据频数和组中值绘制条形图 ，条形的高度代表该组的频数 ，条形的长度代表该组的组距
。
直方图的应用场景
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首先，将样本数据排成一列，最好对数据进行排序，本例中已利 用排序操作排好序，为A1：A51。输入分组标志，本例中为B1： B10，分别是899、999、1099、1199、1299、1399、1499、1599、1699
（如图10-10所示）
然后 ，利用直方图分析工具进行分析，具体操作步骤如下。
第一步：单击“工具”菜单，选择“数据分 析”选项；打开“数据分析”对话框，从“分 析工具”列表中选择“直方图”选项，（如图10-11所
示）
第二步：打开“直方图”对话框，确定输入区 域、接收区域和输出区域，（如图10-12所示）
（1）“输入区域”输入待分析数据区域的单元格引
用，若输入区域有标志项，则选中“标志”复选框； 否则，系统自动生成数据标志。“接收区域”输入 接收区域的单元格引用，该框可为空，则系统自动 利用输入区域中的最小值和最大值建立平均分布的 区间间隔的分组。本例中输入区域为$A$2:$A$51， 接收区域为$B$2:$B$10。 （2）在“输出”选项中可选择输出去向，输出去 向类似于“抽样”对话框的输出去向。本例中选择 “输出区域”为$C$1。 （3）选择“柏拉图”可以在输出表中同时按降序排 列频数数据；选择“累积百分率”可在输出表中增 加一列累积百分比数值，并绘制一条百分比曲线； 选择“图表输出”可生成一个嵌入式直方图。
用Excel搜集与整理数据
一、用Excel搜集数据 二、用Excel整理数据 三、用Excel作统计图
2．直方图分析工具
与频数分布函数只能进行统计分组和 频数计算相比，直方图分析工具可完 成数据的分组、频数分布与累积频数 的计、绘制直方图与累积折线图等一 系列操作。仍以例10-2为操作范例，阐 述直方图分析工具的统计整理功能， 其操作过程如下。
第三步：单击“确定”按钮，在输出区域单元 格可得到频数分布，（如图10-13所示）
第四步：将条形图转换成标准直方图，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（如图10-14所示）