概率统计二

概率统计（二）

1．某批零件的尺寸X 服从正态分布(

)2

10,N σ

，且满足()198

P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为

2.网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：

（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；

（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是

1

2

，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k 到2k +）

，直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.

附：在线性回归方程ˆˆˆy

bx a =+中，1

2

2

1

ˆˆˆ,n

i i

i n

i

i x y nx

y

b a

y b x x

nx ==-==--∑∑. 3.湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城.

城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游.为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中

13的人计划只游览岳麓山，另外2

3

的人计划既游览岳麓山又参观马王堆.每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分.假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n 人（*n ∈N ），记这n 人的合计得分恰为1n +分的概率为n P ，求

12n P P P +++L ；

（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为n a ，随着抽取人数的无限增加，n a 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由. 4. 随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有．．．．1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量单位．．．．．．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当1

2

p =

时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用共需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.

5. 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为

1

2

，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C 中有

超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.(1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成，设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望;(3)为提高G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C 可以正常工作，问:p 满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率?

6.在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲、乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下：第一种：选取,,,,,,,,,A B C D E F G H I J 共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：

84,87,89,91,92,92,86,89,90,90；第二种：选取,,,,,,,,,a b c d e f g h i j 共10只患病白鼠，

服用乙药后某项指标分别为：81,87,83,82,80,90,86,89,84,79；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效.

（1）已知第一种试验方案的10个数据的平均数为89，求这组数据的方差；（2）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取7只，记其中服药有效的只数为ξ，求ξ的分布列与期望；（3）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中900只为正常白鼠，100只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%变为正常白鼠，但正常白鼠仍有%010t t <<（）

变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用n 次甲药后此实验室正常白鼠的只数为n a .

（i ）求1a 并写出1n a +与n a 的关系式；

（ii ）要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有950只，求最大的正整数t 的值. 7.红铃虫能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面

的散点图及一些统计量的值.（表中7

1

1ln ,7i i i z y z z ===∑）