四川泸州市泸县第一中学2019届高三三诊模拟数学(文)试题及答案解析
的离心率为 ，且过点 ．
与 相交于 两点，且满足：① 与 （ 为坐标原点）的斜率之和为 相切，若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：
（1）由离心率
，已知点坐标代入得
及
（2）存在性问题，假设直线 存在，把
一个月内购买该流量包的人数会超过 20 万人.
【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，
确定两个变量具有线性相关关系；②计算
的值；③计算回归系数 ；④写出回归直线方程
为
； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们
分析两个变量的变化趋势.
,所以
，故当
PA 和抛物线相切时， 最小，再利用斜率公式及导数的几何意义确定切点 P 的坐标，即可求解.
【详解】抛物线
的焦点 F(0,1),准线方程为
，过点 P 作 PM 垂直于准线，M 为垂足，
则由抛物线定义可得
,
所以
,
为锐角，故当
最小时， 最小，
故当 PA 和抛物线相切时， 最小，设切点 P
，由
的左焦点，点 是该双曲线的右顶点，过 且垂直于 轴的直线与
双曲线交于 两点，若
是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
如图，根据双曲线的对称性可知，若 是钝角三角形，显然 为钝角，因此
，由于 过左
焦点且垂直于 轴，所以
，
，
，则
除以 得
，化简整理得：
，所以
，解得 或
)，再根据二倍角余弦公式求结果.
,所以
，
.
【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
15.在锐角
中，角
的对边分别为 ，已知
，
积为__________．
， ，则
的面
【答案】 【解析】 【分析】
利用正弦定理可得 公式计算求解即可.
，又 ，可求出 ，再求出 ，利用余弦定理可解的 ，利用面积
B.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式求结果.
【详解】小芳和小敏报名方法共有
C.
D.
种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有 种，因此所
求概率为 ，选 B. 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
9.设变量 满足约束条件
值为
A.
B.
【答案】C
【解析】
若目标函数
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与值域，即可确定实数 的取值范围.
【详解】由
得
，
令
,则
因此当 时
，
当
时
从而要有两个不同的零点，需 ，选 D.
【点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
17.已知数列 的 前 项和为 ，
（1）求 的通项公式；
（2）记
，数列 的前 项和为 ，求证：
.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据和项与通项关系得
，再根据等比数列定义以及通项公式得结果，（2）先化简 ，再根
据等差数列求和公式得 ，利用放缩以及裂项相消法求和，即证得结果.
【详解】（1）因为
【详解】由题意，集合
，
，
所以
，故选 B.
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，及集合的交集的定义的运算，其中正确求解两个集合，以及掌
握两个集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.已知 是虚数单位，复数
的共轭复数虚部为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果.
【详解】因为
，所以复数
的共轭复数为
，因此虚部为 4，选 C.
【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.在等差数列 中，前 项和 满足
，则 的值是
A. 5
B. 7
C. 9
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列性质求 的值.
【详解】因为
，所以
，即
【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
7.如图所示，网络纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 2
B.
C. 6
D. 8
【答案】A 【解析】 【分析】 先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为 1，下底为 2，高为 2，四棱锥的高为 2，
13.已知函数 是奇函数，且当 时 【答案】
【解析】
【分析】
先求
,再根据奇函数性质得
，则 的值是_______．
【详解】因为
,又函数 是奇函数，所以
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.若
【答案】 【解析】 【分析】
，则 的值是_____．
先根据诱导公式化简 【详解】因为 因此
（舍），故选择 D.
， ，即
，所以 ，两边同时
点睛： 求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利
用
和 转化为关于 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列
方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的
四川省泸县一中高 2019 届第三次诊断性模拟考试
数学（文科）试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1.若集合
，则 等于
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集，即可得到答案.
【点睛】本题考查茎叶图以及平均数、极差、众数、中位数等概念，考查基本分析判断与求解能力，属基
础题.
5.已知向量 A. 【答案】A 【解析】 【分析】
，若 间的夹角为 ，则
（）
B.
C.
D.
由
，然后展开利用数量积公式求解．
【详解】解：
，
， ， 的夹角为 ，
． 故选：A．
【点睛】本题考查平面向量的模长，数量积运算，是基础题．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据茎叶图估计平均数、极差、众数以及中位数，即可判断选项.
【详解】根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此（1）对；
甲的成绩的极差是 37-8=29，（2）对；乙的成绩的众数是 21，（3）对；乙的成绩的中位数
是
．（4）错，选 C.
代入 的方程得
可解得
得标准方程； ，同时
设
，则可得
，①
代入
得出 的一个等式，再由直线和圆相切又得一个等式，联立可解得 ，同时注意直线
沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过 20 万人.
参考数据：
，
，
.
参考公式：相关系数 .
【答案】(1)见解析;(2)①
，回归直线方程
，其中
，
;②一个月内购买该流量包的人数会超过 20 万人.
【解析】
【分析】
(1) 根据题意，得 , 计算出相关系数 ，从而可以作出判断;
(2) ①求出回归直线方程，②由①知，若
19.如图，平面
平面 ，其中 为矩形， 为直角梯形，
，
，
．
（1）求证：平面
平面 ；
（2）若三棱锥
体积为 ，求 与面 所成角的 正弦值．
【答案】（1）见解析（2） 【解析】
【分析】
（1）作
于 ，平面
平面 ，且 AD 为交线，只需证明
即可（2）连接 ，易知
为线 与面 所成的角,利用等体积法求
，
，解三角形即可求解.
6.将函数 A. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数
的图象向右平移 个单位，得到函数
B.
C.
的图象，则
（）
D. 0
的图象变换规律求得 的解析式，可得 的值．
【详解】解：将函数
的图象向右平移 个单位，
得到函数
的图象，
则
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数
的图象变换规律，属于基础题．
所以该四棱锥的体积为
.
故选 A
【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常
考题型.
8.学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都 已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为
A.
后可得四面体 体积的最大值.
四川省泸州市2019届高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题(解析版)
泸州市高2016级第一次教学质量诊断性考试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.命题“，”的否定是A. 不存在，使B. ，使C. ，使D. ，使【答案】D【解析】【分析】利用全称命题“”的否定为特称命题“”可得结果.【详解】全称命题的否定是特称命题，否定全称命题要改全称量词为存在量词,“，”的否定是，使，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.设，，，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4.已知函数，则函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果. 【详解】，的最小正周期为，故选C.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．5.函数的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，故选D.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】7.实数，满足，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法则可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数的性质与对数的运算法则，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.在中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】A【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，表面积为两个圆锥侧面积的和，，故选A.【点睛】求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 16B. 8C. 4D. 20【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考查数形结合思想的应用，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，则，要使的值域为，则，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，则，在上递增，在上递减，要使的值域为，则，，又，的范围是，故选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：（1）求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据单调性可得函数的极值，如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（3）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】本题主要考查对数的基本性质，意在考查对基础知识的理解与运用，属于简单题.14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．15.已知函数，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，，，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.（1）若，求的值；（2）的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】（1）由，则，且，由正弦定理，因为，所以，所以，（2），∴，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）。
四川省泸州市2019届高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题 文(含解析)
泸州市高2016级第一次教学质量诊断性考试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.命题“，”的否定是A. 不存在，使B. ，使C. ，使D. ，使【答案】D【解析】【分析】利用全称命题“”的否定为特称命题“”可得结果.【详解】全称命题的否定是特称命题，否定全称命题要改全称量词为存在量词,“，”的否定是，使，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.设，，，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4.已知函数，则函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，故选C.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．5.函数的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，故选D.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】7.实数，满足，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法则可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数的性质与对数的运算法则，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.在中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，表面积为两个圆锥侧面积的和，，故选A.【点睛】求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 16B. 8C. 4D. 20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考查数形结合思想的应用，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，则，要使的值域为，则，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，则，在上递增，在上递减，要使的值域为，则，，又，的范围是，故选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：（1）求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据单调性可得函数的极值，如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（3）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】本题主要考查对数的基本性质，意在考查对基础知识的理解与运用，属于简单题.14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．15.已知函数，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，，，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.（1）若，求的值；（2）的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】（1）由，则，且，由正弦定理，因为，所以，所以，（2），∴，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）。
2019届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试数学(文)试题(解析版)
2019届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}10A x x =->，{}2xB y y ==，则A B =I（ ）A ．[)0,+∞B ．()0,∞+C ．[)1,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】先化简集合A ，B ，再求解A B I . 【详解】已知{}{}101A x x x x =->=>，{}{}20xB y y y y ===>，所以则A B =I {}1x x > 故选;D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ）A ．12BC ．2D ．2【答案】C【解析】由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以2z == 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 3．若m ，n R ∈则“0-=m n ”是“1nm=”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义求解.0m n ==时，1n m =不成立，1nm=，则有m n =成立. 【详解】因为0-=m n ，所以m n =，当0m n ==时，推不出1nm=，故不充分， 因为1nm=，所以m n =，故必要. 故选：B 【点睛】本题主要考查充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，属于基础题.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．7【答案】B【解析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********a a S a a +===⇒=则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.6．已知某高中的一次测验中，甲乙两个班的九科平均分的雷达图如图所示，则下列判断错误的是（ ）A ．甲班的政治、历史、地理平均分强于乙班B ．甲班的物理、化学、生物平均分低于乙班C ．学科平均分分差最小的是语文学科D ．学科平均分分差最大的是英语学科 【答案】C【解析】根据雷达图，比较离中心位置的距离即可. 【详解】A. 甲班的政治、历史、地理平均分都在乙班的雷达圈之外，故正确.B. 甲班的物理、化学、生物平均分都在乙班的雷达圈之内，故正确.C. 地理学科离中心距离差最大，故错误.D. 英语学科离中心距离差最大，故正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查样本估计总体雷达图的应用，读懂图的几何意义是关键，属于基础题. 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C【解析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．1616π-B ．88π-C ．3616π-D ．3232π-【答案】A【解析】该几何体外部为一个圆柱，内部挖去一个长方体，分别求出圆柱的体积与长方体的体积，相减即为答案. 【详解】该几何体外部为一个圆柱，内部挖去一个长方体由图可知，该圆柱的体积为2212416V r h πππ==⋅⋅=，该长方体的体积为222416V =⨯⨯=所以该几何体的体积为121616V V V π=-=- 故选：A 【点睛】本题考查由三视图还原立体图形求体积，属于基础题. 9．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B【解析】由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案. 【详解】由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称 故m 的最小值为4π故选：B 【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.10．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若120NMF ∠=︒，则MF =（ ）A ．23B ．23C ．43D ．43【答案】C【解析】根据抛物线的定义，结合平面几何知识求解. 【详解】 如图所示：因为点M 在抛物线上，由抛物线的定义得：MN MF = 又因为120NMF ∠=︒所以30MNF NFM NFK ∠=∠=∠=o所以23tan 3023MNK y ==⨯=o 所以13M x =所以423M pMF x =+=故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及平面几何知识，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题.11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数【答案】C【解析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误； 选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确；选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3L L 上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 12．已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8，母线12SA =，点B 在SA 上，且3SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（ ） A ．27π B ．36πC ．54πD ．81π【答案】A【解析】设球的球心为O ，半径为R ，根据圆锥的高为8，母线12SA =，求得外接圆的半径9R =，再取SA 的中点N ，利用点B 在SA 上，且3SB BA =求得2236OB ON BN =-=，然后利用截面面性质，当截面面积最小时，则 OB ⊥截面，即点B 为截面圆的圆心求解. 【详解】 如图所示：设球的球心为O ，半径为R ， 则228,,45SM OA R AM SA SM ===-=，所以222OA OM AM =+， 即()(222845RR =-+，解得9R =，取SA 的中点N ，则3BN =， 所以2235ON R AN =-=，226OB ON BN =-=设点C 为截面圆周上一点，若截面面积最小，则 OB ⊥截面，此时截面圆半径为223r BC R OB ==-=所以截面面积的最小值为227r ππ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查球的截面面积的求法以及截面的性质，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,2a =r ，()2,b k =r ，若a b ⊥r r，则k =______.【答案】-1【解析】利用平面向量垂直的坐标公式求解. 【详解】已知向量()1,2a =r，()2,b k =r ，若a b ⊥r r，则1220k ⨯+⨯=解得1k =- 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查平面向量的垂直运算，要熟记公式，属于基础题.14．已知实数x ，y 满足约束条件3312x y y x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩，则yz x =的最小值为______.【答案】12【解析】作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，观察图形斜率最小在点B 处，联立32x y x +=⎧⎨=⎩，解得点B 坐标，即可求得答案.【详解】作出满足约束条件3312x y y x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩的可行域，该目标函数00y y z x x -==-视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，故OB OA k z k ≤≤由题可知，联立312y x x =-⎧⎨=⎩得()2,5A ,联立32x y x +=⎧⎨=⎩得()2,1B 所以51,22OA OB k k ==，故1522z ≤≤ 所以z 的最小值为12故答案为：12【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题. 15．设函数()()211log 2,121x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，则()()22log 12f f -+=______.【答案】9【解析】根据分段函数的定义域，分别求解()()22,log 12-f f ，再求和. 【详解】因为函数211log (2),1()21x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，所以()221log 43f -=+=， 因为22log 12log 21>=， 所以()22log 121log 62lo 2622g 1-===f ，所以()()22log 129-+=f f . 故答案为：9 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，对数的运算，要熟记性质法则，属于基础题. 16．已知圆221x y +=的圆心为O ，点P 是直线:3320l mx y m -+-=上的动点，若该圆上存在点Q 使得30QPO ∠=︒，则实数m 的最大值为______. 【答案】4【解析】根据从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两线均为切线时，夹角最大，利用存在点Q 使得30QPO ∠=︒，转化为CPQ CPR ∠≤∠求解. 【详解】从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两线均为切线时，夹角最大， 如图所示：过点P 作圆C 的切线PR ，切点为R ，则CPQ CPR ∠≤∠， 所以1sin sin 30sin CR CPQ CPR CP CP∠=≤∠==o， 所以2CP ≤有解，所以min 2CP ≤，即圆心到直线的距离23229m d m -=≤+，解得845m -≤≤. 所以实数m 的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题17．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222sin 3A b a c =+-. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若5c =，1cos 7B =，求b . 【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）8【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即可求出A , （Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出. 【详解】（Ⅰ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 所以2222cos b c a bc A +-=，1sin 2cos 2bc A bc A =，即tan A = 因为0A π<<， 所以3A π=；（Ⅱ）因为1cos 7B =，所以sin B =， 因为()sin sin C A B =+，sin cos cos sin A B A B =+1172=+=， 由正弦定理得sin sin b c B C =，所以sin 8sin cb B C=⋅=. 【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.18．下表是某公司2018年5~12月份研发费用x （百万元）和产品销量y （万台）的具体数据：（1）根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系，用线性相关系数说明y 与x 之间的相关性强弱程度（2）求出y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计当研发费用为20（百万元）时该产品的销量. 参考数据：1347ni ii x y==∑，211308n i i x ==∑，2193ni i y ==∑84.50≈参照公式：相关系数ni ix y nx yr -=∑，其回归直线y b x a ∧∧∧=+中的1221ni ii nii x y nx yb xnx∧==-=-∑∑【答案】（1）y 与x 之间的具有强相关关系；（2）5.12万台.【解析】（1）估计相关系数ni ix y nx yr -=∑，先求得x ，y ，再结合提供的数据代入公式求解.（2）根据（1）的数据，求得1221830.244340ni ii nii x y nx yb xnx ∧==-==≈-∑∑，得到ˆˆ30.244110.32ay bx =-=-⨯=，写出回归方程，再将20x =代入回归方程求解. 【详解】（1）因为2361021131518881188x+++++++===，112 2.56 3.5 3.5 3.5 4.524388y++++++++===，所以122211ni iin ni ii ix y nx yrx nx y n y===-=⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()()130881219389=-⨯-⨯830.9884.50340217140====⨯，所以y与x之间的具有强相关关系；（2）因为1221830.244340ni iiniix y nx ybx nx∧==-==≈-∑∑，所以ˆˆ30.244110.32a y bx=-=-⨯=，所以0.240.32y x=+r，当20x=时，ˆ0.24200.32 5.12y=⨯+=，所以当研发费用为20（百万元）时，该产品的销量约为5.12万台.【点睛】本题主要考查线性相关程度的判定和回归直线方程的求法及样本估计总体，还考查了数据分析处理的能力，属于中档题.19．如图，四棱锥E ABCD-中，平面ABCD⊥平面BCE，若2BCEπ∠=，四边形ABCD是平行四边形，且AE BD⊥.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若点F 在线段AE 上，且EC P 平面BDF ，60BCD ∠=︒，2BC CE ==，求三棱锥F BDE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）连接AC ，根据2BCE π∠=，得到BC CE ⊥，再由平面ABCD ⊥平面BCE ，得到EC ⊥平面ABCD ，则EC BD ⊥，又AE BD ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面AEC ，从而BD AC ⊥，再根据菱形的定义得证.（2）设AC 与BD 的交点为O ，根据//EC 平面BDF ，平利用线面平行的性质定理，得到//FO EC ，根据EC ⊥平面ABCD ，则 FO ⊥平面ABCD ，即为平面ABCD 上的高，然后利用F BDE E ABCD E BCD F ABD V V V V ----=--求解. 【详解】 （1）如图所示：连接AC ，因为2BCE π∠=，所以BC CE ⊥，因为平面ABCD ⊥平面BCE ，所以EC ⊥平面ABCD ，所以EC BD ⊥，因为AE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，所以BD AC ⊥， 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以四边形ABCD 是菱形；（2）设AC 与BD 的交点为O ，因为//EC 平面BDF ，平面AEC I 平面BDF OF =， 所以//FO EC ，因为O 是AC 中点，所以F 是AE 的中点，因为EC ⊥平面ABCD ，//EC FO ，所以FO ⊥平面ABCD ，因为60BCD ∠=︒，2BC CE ==，所以三棱锥F BDE -的体积为：F BDE E ABCD E BCD F ABD V V V V ----=--()1111122sin 60222sin 60222sin 60133232⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒︒︒=. 【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化以及几何体体积的求法，还考查了转化化归思想和推理论证的能力，属于中档题.20．已知定圆()22:18M x y ++=，动圆N 过点()1,0F 且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程（2）若轨迹C 上存在两个不同点A ，B 关于直线12y mx =+对称，求AOB V 面积的最大值（O 为坐标原点）.【答案】（1）2212x y +=；（2）2【解析】（1）根据()1,0F 在圆()22:18M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M，则有=NM NF，即NM NF MF +=>，根据椭圆的定义，可知点N 的轨迹C 是椭圆再求解.（2）根据A ，B 关于直线12y mx =+对称，直线AB 的方程为1y x n m=-+，与椭圆方程联立22121x y y x nm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102nx x n m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，根据直线1y x n m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，224220n m ∆=-++>，AB 的中点2222,22mn m n M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭在直线12y mx =+上，得到m 的取值范围，再利用 ()12=⋅⋅S t AB d 求解.【详解】(1)因为()1,0F 在圆()22:18M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ，所以=NM NF即NM NF MF +=>，所以点N 的轨迹C 是以()1,0M -和()1,0F为焦点，长轴长为的椭圆，因为2a =，1c =，所以1b =，所以点C 的轨迹方程为：2212x y +=；（2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x n m=-+， 由22121x y y x nm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102nx x n m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 因为直线1y x n m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，所以224220n m ∆=-++>，① 所以AB 中点2222,22mn m n M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，代入直线方程12y mx =+，解得2222m m n +=-，②由①②解得3m <-，或3m >，令1t m ⎛⎫⎛=∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U，则22AB t =+，且O 到直线AB的距离为21t d +=，设AOB V 的面积为()S t ，所以()122=⋅⋅=≤S t AB d ，当且仅当212t =时，等号成立，所以AOB V 面积的最大值为2. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系和面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数()()2xf x x e ax =-+（1）已知2x =是()f x 的一个极值点，求曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程 （2）讨论关于x 的方程()ln f x a x =只有一个实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）()2120e x y +-+=；（2）a e =-或0a ≥【解析】（1）先根据2x =是()f x 的一个极值点，即()20f '=，解得2e a =，再求得()02f =，()20e 1f '=+，写出切线方程.（2）根据()ln f x a x =，将()ln f x a x =只有一个实数根，转化为()2e ln -=-x x a x x只有一个实数根，令()()2e ln -=-x x h x x x，转化为两函数图象交点问题求解. 【详解】（1）因为()()2e x f x x ax =-+，则()()1e xf x x a '=-+因为2x =是()f x 的一个极值点，所以()20f '=，即()212e 0a -+=，所以2e a =，因为()02f =，()20e 1f '=+，则直线方程为()2e 21y x -=+，即()2120e x y +-+=； （2）因为()ln f x a x =，所以()2e ln 0xx a x ax -+-=，所以()()2e ln xx a x x -=--，设()()ln 0g x x x x =->，则()()110g x x x'=->， 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，故()()110g x g <=-<，所以()()2eln xx a h x x x-==-，所以()()()221e ln 1ln x x x x x h x x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭'=-， 设()2ln 1m x x x x =+--，则()()()22211121m x x x x x x'=--=-+， 所以()m x 在()0,2上是减函数，()2,+∞上是增函数，所以()()22ln 20m x m >=->，所以当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 在()0,1上是减函数， 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上是增函数， 因为01x <<时，()0h x <，()1e h =-，()20h =， 所以，当a e =-或0a ≥时，方程有1个实根. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知点(P ，曲线C：2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以原点为极点，x 轴正半轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值. 【答案】（Ⅰ）点P 在直线l上；见解析（Ⅱ）11PA PB+=【解析】（Ⅰ）直线l：2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin θρθ+=线ly +=0+=，所以点P 在直线l 上；（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得. 【详解】（Ⅰ）直线l：2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin θρθ+=，所以直线ly +=0+=， 所以点P 在直线l 上；（Ⅱ）直线l的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的普通方程为22124x y +=， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得251240t t +-=， 设两根为1t ，2t ，所以12125t t +=-，11405t t ⋅=-<， 故1t 与2t 异号，所以125t t A P P B =-==+， 121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-=，所以11PA PB PA PB PA PB++==⋅【点睛】本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.23．已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=．（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（1）2；（2）92【解析】分析：（1）将()2f x x a x b =++-转化为分段函数，求函数的最小值 （2）分离参数，利用基本不等式证明即可． 详解：（Ⅰ）证明：2ba -<Q()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即22a b +=． （Ⅱ）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．。
四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学(文)试题 含解析
高中2019届毕业班第三次诊断性考试数学（文史类）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A=[-1,1],再求得解.【详解】由题得A=[-1,1],所以集合.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得z=-1+2i,再求复数的共轭复数-1-2i.【详解】由题得z=-1+2i,所以复数的共轭复数-1-2i.故选：B【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查共轭复数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的最小正周期为求出，再令=,即得函数的对称轴方程.【详解】因为函数的最小正周期为，所以.所以，令=,所以，当k=0时，.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的周期性和对称轴方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.下列说法中错误的是（）A. 从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样B. 线性回归直线一定过样本中心点C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据1、、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是2【答案】C【解析】【分析】利用每一个选项涉及的知识对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,由于样本的个体差异比较大，层次比较多，所以应采用的最佳抽样方法是分层抽样，所以该选项是正确的；对于选项B, 线性回归直线一定过样本中心点,所以该选项是正确的；对于选项C, 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，所以该选项是错误的；对于选项D, 若一组数据1、、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是2,所以该选项是正确的. 故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样和线性回归方程，考查相关系数的性质和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. -1 C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用斜率求的最小值得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，表示可行域内的点到定点（4,0）之间的线段的斜率，联立得A(2,3),如图所示，当点位于可行域内的点A(2,3)时，直线的斜率最小，所以的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.6.设曲线在点处的切线方程为，则（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由题得，再利用求a的值.【详解】由题得.故选：C【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A. 729B. 428C. 356D. 243【答案】D【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再利用棱锥的体积公式得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD，底面是边长为9的正方形，高PA=9,所以几何体的体积为.故选：D【点睛】本题主要考查根据三视图找原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. -1B. 0C.D. 1【答案】A【解析】【分析】直接模拟程序框图运行得解.【详解】由题得1≤3，S=2,i=2;2≤3，S=2+4,i=3;3≤3，S=2+4+8,i=4;.故选:A【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令m=1得，再利用累加法求数列的通项公式.【详解】令m=1,得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知四棱锥的底面四边形的外接圆半径为3，且此外接圆圆心到点距离为2，则此四棱锥体积的最大值为（）A. 12B. 6C. 32D. 24【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出底面四边形ABCD的面积的最大值，即得锥体体积的最大值.【详解】由锥体的体积公式v=，可知，当s和h都最大时，体积最大.由题得顶点P到底面ABCD的距离h≤2.当点P在底面上的射影恰好为圆心O时，即PO⊥底面ABCD 时，PO最大=2，即,此时,即四边形ABCD为圆内接正方形时，四边形ABCD的面积最大，所以此时四边形ABCD的面积的最大值=,所以.故选：A【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算和最值的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题设,其中，先利用两点间的距离公式求出，再利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图像和性质求最值得解.【详解】由题设,其中.可以由题得≤5，此时.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12.已知函数，对任意的，恒有成立，则的范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用导数求出，再解不等式即得解.【详解】由题得在[1，3]上单调递增，所以由题得，所以函数g（x）在[1,3]上单调递减，所以，由题得所以.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题。
四川省泸州市泸县第一中学2019届高三三诊模拟数学(文)试题(含精品解析)
四川省泸县一中高2019届第三次诊断性模拟考试数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集，即可得到答案.【详解】由题意，集合，，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，及集合的交集的定义的运算，其中正确求解两个集合，以及掌握两个集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果.【详解】因为，所以复数的共轭复数为，因此虚部为4，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在等差数列中，前项和满足，则的值是A. 5B. 7C. 9D. 3【答案】A【解析】【分析】根据等差数列性质求的值.【详解】因为，所以，即选A.【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.4.军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图估计平均数、极差、众数以及中位数，即可判断选项.【详解】根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此（1）对；甲的成绩的极差是37-8=29，（2）对；乙的成绩的众数是21，（3）对；乙的成绩的中位数是．（4）错，选C.【点睛】本题考查茎叶图以及平均数、极差、众数、中位数等概念，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.5.已知向量，若间的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，然后展开利用数量积公式求解．【详解】解：，，，的夹角为，．故选：A．【点睛】本题考查平面向量的模长，数量积运算，是基础题．6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（）A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的值．【详解】解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．7.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A. 2B.C. 6D. 8【解析】【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.8.学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据古典概型概率公式求结果.【详解】小芳和小敏报名方法共有种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有种，因此所求概率为，选B.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.9.设变量满足约束条件若目标函数取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定取最优解所满足的条件，即得结果.【详解】作可行域，则直线为直线AB或直线AC时取最大值,此时或，选C.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.点睛：求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.11.点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求球的半径，再根据勾股定理得三角形ABC为直角三角形，根据勾股定理可得球心到平面ABC距离，最后可得四面体体积的最大值.【详解】因为球的表面积为，所以,因为所以三角形ABC为直角三角形，从而球心到平面ABC距离为,因此四面体体积的最大值为，选C.【点睛】本题考查四面体体积以及外接球，考查综合分析求解能力，属中档题.12.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与值域，即可确定实数的取值范围.【详解】由得，令,则，因此当时当时从而要有两个不同的零点，需，选D.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数是奇函数，且当时，则的值是_______．【答案】【解析】【分析】先求,再根据奇函数性质得【详解】因为,又函数是奇函数，所以【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若，则的值是_____．【答案】【解析】【分析】先根据诱导公式化简)，再根据二倍角余弦公式求结果.【详解】因为,所以，因此.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15.在锐角中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得，又，可求出，再求出，利用余弦定理可解的，利用面积公式计算求解即可.【详解】由正弦定理及，得，又，所以,锐角中,所以，解得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，属于中档题.16.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线定义可得,所以，故当PA和抛物线相切时，最小，再利用斜率公式及导数的几何意义确定切点P的坐标，即可求解.【详解】抛物线的焦点F(0,1),准线方程为，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线定义可得,所以,为锐角，故当最小时，最小，故当PA和抛物线相切时，最小，设切点P，由的导数为则PA的斜率为，求得，可得P(4,4),所以，，,即的最小值是.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线的斜率，导数的几何意义，属于中档题.三．解答题：共70分。
2019届四川省泸州高三临考冲刺模拟文科数学试题(附答案)
2019届四川省泸州高三临考冲刺模拟文科数学试题（附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}0)1)(2(|{<-+=x x x M ，}01|{<+=x x N ，则=N M ( )A ．)1,1(-B ．)1,2(--C ．)1,2(-D ．)2,1(2.已知复数z 满足i z i 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z （ ）A ．22B ．21 C ．2 D ．2 3.“b a >”是“b a 22log log >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨%10）又经历了3次跌停（每次下降%10），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况 C. 没有盈也没有亏损 D ．略有亏损5.已知函数)(cos 4sin 3)(R x x x x f ∈-=的一个对称中心是)0,(0x ，则0tan x 的值为（ ）A ．43-B ．43C ．34-D ．34 6.已知函数2)()(x x f x F +=是奇函数，且1)2(=f ，则=-)2(f （ ）A ．9B ．9- C. 7- D ．77.《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输入的T S ,的值分别为40,126，则输出b a ,的值分别为（ ）A ．17,23B ．21,21 C. 19,23 D ．20,208.已知41)3sin(=-απ，则=+)23cos(απ（ ） A ．85- B ．85 C. 87- D ．87 9.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的最小值是（ ）A ．π4B ．π8 C. π12 D ．π1610.某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是'''C B A ，如图（2）所示，其中2''''==B O A O ，3''=C O ，则该几何体的表面积为（ ）A ．31236+B ．3824+ C. 31224+ D ．3836+11.过抛物线C ：)0(22>=p px y 焦点F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，与C 的准线交于点D ，若||||BD AB =，则直线l 的斜率=k （ ）A ．31± B ．3± C. 322± D ．22± 12.已知函数x x x f ln )(=，关于x 的不等式0)()(2>+x af x f 只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]22ln ,33ln (--B ．]22ln ,1(--e C. ]33ln ,22ln [- D ．)1,22ln [e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=2),1(log 2,2)(23x x x x f x ，若1)(=a f ，则a 的值为 ． 14.已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若||||b a b a -=+，则实数λ的值为 ．15.当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x 时，01≥+++a y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16.在等腰ABC ∆中，AC AB =，AC 边上的中线BD 长为6，则当ABC ∆的面积取得最大值时，AB 长为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设1log 22-=n n a b ，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T .18.某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20为市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下： 甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81；乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间]100,85[的为A 等，在区间)85,70[的为B 等，在区间)70,60[的为C 等，在区间)60,0[为D 等.（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对两所学校办学的社会满意度进行比较，写出两个统计结论；（2）估计哪所学校的市民的评分等级为A 级或B 级的概率大，说明理由.19.如图，平面⊥ABCD 平面BCF ，四边形ABCD 是菱形， 90=∠BCF .（1）求证：DF BF =；（2）若点E 为AF 的中点， 60=∠BCD ，且2==CF BC ，求四面体BDEF 的体积.20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点与x y 342=的焦点重合，点)21,3(在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：m kx y +=（0≠k ）与椭圆交于Q P ,两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为)0,1(-，若362||=PQ ，求k 的值.21.设函数x e x f x sin )(+=（e 为自然对数的底数），ax x g =)(，)()()(x g x f x F -=.（1）若2=a ，且直线)0(≥=t t x 分别与函数)(x f 和)(x g 的图象交于Q P ,，求Q P ,两点间的最短距离；（2）若0≥x 时，函数)(x F y =的图象恒在)(x F y -=的图象上方，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线)0(03≥=-x y x 与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.选修4-5：不等式选讲 设函数)0(|||4|)(>++-=a a x ax x f （1）证明：4)(≥x f ；（2）若5)2(<f ，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5： BCBDD 6-10：BACAC 11、12：DA二、填空题13．2； 14．1-； 15．),21[+∞-； 16．54． 三、解答题17.（1）因为12a a S n n -=，所以)2(1≥-=-n S S a n n n ，即12-=n n a a （2≥n ），即数列}{n a 是以2为公比的等比数列，又321,1,a a a +成等差数列，所以)1(2231+=+a a a ，即)12(24111+=+a a a ，解得21=a ，所以数列}{n a 的通项公式为n n a 2=（2）由（1）得121log 22-=-=n a b n n ，因为)121121(21)12)(12(111+--=+-=+n n n n b b n n ，所以12)1211(21)]121121()5131()311[(21+=+-=+--++-+-=n n n n n T n . 18、解：（1）①甲校得分的中位数为71.5，众数为58,59,67,72,86，乙校得分的中位数为83.5，众数为69和86，甲校得分的中位数小于乙校得分的中位数，甲校得分的众数大多数不大于乙校得分的众数；②甲校得分的平均数小于乙校得分的平均数； ③甲校得分有2019居于90~50内，而乙校得分全部居于90~60内，对乙校的评分要高于甲校； ④甲校得分的方差大于乙校的方差，说明对乙校的评分较集中，满意度较高，对甲校的评分较分散，满意度较低.（2）对甲校评分等级为A 级或B 级的概率为55.020111==P ； 对乙校评分等级为A 级或B 级的概率为80.020162==P ，12P P >，故市民对乙校的评分等级为A 级或B 级的概率大.19、解：(1)连接OF AC ,，设O BD AC = ，因为平面⊥ABCD 平面BCF ，且交线为BC ， 因为 90=∠BCF ，所以⊥CF 平面ABCD ，⊂CF 平面BCF ，所以平面⊥BCF 平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，所以⊥BD 平面BCF ，所以OF BD ⊥，又DO BO =，所以DF BF =.(2)因为点E 为AF 的中点，所以点F 到平面ABCD 的距离是E 到平面ABCD 的距离的2倍，所以四面体BDEF 的体积，ABD F ABD E AED B DEF B V V V V ----===21，由（1）知⊥CF 平面ABCD . 所以33232213121=⨯⨯⨯⨯⨯=-DEF B V . 所以四面体BDEF 的体积为33. 20、解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的焦点为)0,3(，故得3=c ，所以322+=b a ，因点)21,3(在椭圆C 上，所以141322=+ba ，解得1,422==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x ；（2）设),(),,(2211y x Q y x P 的中点为),(00y x ，将直线m kx y +=（0≠k ）代入1422=+y x ，得0448)41(222=-+++m kmx x k ，所以0)41(1622>-+=∆m k ，则2210414)(21k km x x x +-=+=，221041)(21km y y y +-=+=，因为)0,1(-是以PQ 为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，所以kx y 11000-=+-，即2413k km +=，解得512>k ，则222241)41(161||k m k k PQ +-+⋅+=， 由36241)41(1612222=+-+⋅+k m k k 及2413k km +=，解得22=k 或21，均满足512>k ，所以2±=k 或22±. 21、（Ⅰ）因为2=a ，所以t t e PQ t 2sin ||-+=.令x x e x h x 2sin )(-+=，即2cos )('-+=x e x h x ，因为x e x h x sin )(''-=，当0>x 时，1>x e ，1sin 1≤≤-x ，所以0sin )(''>-=x e x h x ，所以2cos )('-+=x e x h x 在),0(+∞上递增，所以0)0('2cos )('=>-+=h x e x h x ，∴),0[+∞∈x 时，)(x h 的最小值为1)0(=h ，所以1||min =PQ .（Ⅱ）令ax x e e x F x F x x x 2sin 2)()()(-+-=--=-ϕ， 则a x e e x x x 2cos 2)('-+-=-ϕ，x e e x x S x x sin 2)('')(--==-ϕ，因为0cos 2)('≥-+=-x e e x S x x 当0≥x 时恒成立，所以函数)(x S 在),0[+∞上单调递增，∴0)0()(=≥S x S 当),0[+∞∈x 时恒成立；故函数)('x ϕ在),0[+∞上单调递增，所以a x 24)0(')('-=≥ϕϕ在),0[+∞∈x 时恒成立.当2≤a 时，0)('≥x ϕ，)(x ϕ在),0[+∞单调递增，即0)0()(=≥ϕϕx .故2≤a 时)()(x F x F -≥恒成立.当2>a 时，因为)('x ϕ在),0[+∞单调递增，所以总存在),0(0+∞∈x ，使)(x ϕ在区间),0[0x 上0)('<x ϕ，导致)(x ϕ在区间),0[0x 上单调递减，而0)0(=ϕ，所以当),0[0x x ∈时，0)(<x ϕ，这与0)()(≥--x F x F 对),0[+∞∈x 恒成立矛盾，所以2>a 不符合题意，故符合条件的a 的取值范围是]2,(-∞.22、解：(1)因为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x ，消参得：1)1(22=+-y x ，把θρθρsin ,cos ==y x 代入得1)sin ()1cos (22=+-θρθρ，所以圆C 的极坐标方程为θρcos 2=；(2)射线)0(03≥=-x y x 的极坐标方程是3πθ=，设点),(11θρP ，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2111πθθρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ，设点),(22θρQ ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+333)3(sin 2222πθπθρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3322πθρ， 由于21θθ=，所以2||||21=-=ρρPQ ，所以线段PQ 的长为2.23解：（Ⅰ）4|||4|2|||4||4||)()4(||||4|)(=⋅≥+=+=+--≥++-=a aa a a a a x a x a x a x x f ； （Ⅱ）当2=a 时，5|2||42|<++-a a显然满足； （1）当20≤<a 时，不等式化为54<+a a ，即0452<+-a a ，所以41<<a ，联立求解得21≤<a ；（2）当2>a 时，不等式化为042<--a a ，解得21712171+<<-a ， 联立求解得21712+<<a ， 综上，a 的取值范围为)2171,2(+.2019届四川省泸州市高三四诊（临考冲刺模拟）数学（文）试题一、选择题1．已知集合()(){|210}M x x x =+-<， {|10}N x x =+<，则M N ⋂= ( )A. ()1,1-B. ()2,1--C. ()2,1-D. ()1,2【答案】B【解析】由题意可得： {|21},{|1}M x x N x x =-<<=<-,则M N ⋂= ()2,1-- .本题选择B 选项.2．已知复数z 满足()12i z i +=（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 2B. 122 【答案】C【解析】由题意可得： 21i z i =+，则21i z z i ====+. 本题选择C 选项.3．“a b >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】略4．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨10%）又经历了3次跌停（每次下降10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）A. 略有盈利B. 无法判断盈亏情况C. 没有盈也没有亏损D. 略有亏损【答案】D【解析】设购进股票时的价格为(0)m m >元，先经历了3次涨停（每次上涨10%）又经历了3次跌停（每次下降10%）后的价格为： ()()()3333110%110%10.010.99m m m m ⨯+⨯-=⨯-=⨯<， 则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为略有亏损.本题选择D 选项.5．已知函数()()3sin 4cos f x x x x R =-∈的一个对称中心是()0,0x ，则0tan x 的值为（ ） A. 34- B. 34 C. 43- D. 43【答案】D【解析】由题意可得： ()()5sin f x x ϕ=-，其中4tan 3ϕ=， 函数的对称中心满足： ()00,x k x k k Z ϕππϕ-=∴=+∈，可得： ()04tan tan tan 3x k πϕϕ=+==. 本题选择D 选项.6．已知函数()()2F x f x x =+是奇函数，且()21f =，则()2f -=（ ）A. 9B. 9-C. 7-D. 7【答案】B【解析】由题意有： ()()2222145F f =+=+=，由奇函数的性质： ()()225F F -=-=-，且： ()()()()()2222245,29F f f f -=-+-=-+=-∴-=-. 本题选择B 选项.7．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输入的,S T 的值分别为40,126，则输出,a b 的值分别为（ ）A. 17,23B. 21,21C. 19,23D. 20,20【答案】A【解析】依据流程图运行程序： 40,126S T ==，此时2T S ≥成立， ()2246223T S -÷=÷=，余数为0，则： 223,4023172T S b a S b -===-=-=， 输出a,b 结束程序运行.综上可得输出,a b 的值分别为17,23.本题选择A 选项.8．已知1sin 34πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 58- B.58 C. 78- D. 78 【答案】C【解析】由题意： 1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则： 27cos 2cos22cos 13668πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择C 选项.点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．9．正四面体ABCD 的棱长为4， E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】A【解析】 将四面体ABCD 放置在正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球，因为正四面体ABCD 的棱长为4，所以正方体的棱长为2R ==R =又E 为BC 的中点，过E 作其外接球的截面，当截面到球心O 的距离最大时，此时截面圆的面积最小，此时球心O 到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为2r ==，得到截面圆的面积的最小值为24S r ππ==，故选A.10．某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是'''A B C ，如图（2）所示，其中''''2O A O B ==， ''O C = ）A. 36+24+24+36+【答案】C【解析】由图(2)可知该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为等边三角形，在如图所示的长方体中，长宽高分别为4,，三视图换元为几何体是图中的三棱锥P ABC -,且： 146122PAB PBC S S ==⨯⨯=， ABC 142S =⨯⨯=，△PAB 4的等腰三角形， PAB S =综上可得，该几何体的表面积为21224⨯+=+本题选择C 选项.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．11．过抛物线C ： 22(0)y px p =>焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，与C 的准线交于点D ，若AB BD =，则直线l 的斜率k =（ ）A. 13±B. 3±C. ± 【答案】D【解析】如图所示，作BE l ⊥于点E ， AF l ⊥于点F ，由题意可得：12BE BD AF AD ==， 由抛物线的定义有： 12BF BE AF AF ==， 由抛物线的性质： ,1cos 1cos p p AF BF θθ==-+可得： 1cos 11cos 2θθ-=+，则： 1sin cos ,sin tan 33cos k θθθθθ=====，由对称性可知直线l 的斜率k = ±.本题选择D 选项.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．12．已知函数()ln x f x x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. ln3ln2,32⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B. 1ln2,2e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C. ln2ln3,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ln21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意可得： ()21ln 'x f x x-=， 据此可知函数在区间()0,e 上单调递增，在区间(),e +∞上单调递减， ()()1f x f e e ≤=. 很明显当0a ≥时不合题意，当0a <时，不等式的解集： ()0f x <或()f x a >-，由于23e <<，且()()ln2ln32,323f f ==， 据此可得： ln2ln323a ≤-<， 整理可得实数a 的取值范围是 ln3ln2,32⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 本题选择A 选项.二、填空题13．已知函数()()232,2{log 1,2x x f x x x -<=-≥，若()1f a =，则a 的值为_________．【答案】2； 【解析】当2a <时： 21a -=，方程无解；当2a ≥时： ()23log 11a -=，解得： 2a =±，结合2a ≥可得： 2a =.点睛：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14．已知向量(,1),(2,1)a b λλ==+，若a b a b +=-，则实数λ= . 【答案】1-【解析】试题分析：因为a b a b +=-，由向量加减法的几何意义知，a b ⊥ （或将a b a b +=-平方得：0a b ⋅=）所以(2)101λλλ++=⇒=-【考点】 1、向量的模长；2、向量的数量积 15．当实数,x y 满足不等式组0{022x y x y ≥≥+≤时， 10ax y a +++≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；【解析】绘制不等式组表示的可行域，不等式即： ()()11a x y +≥-+，很明显10x +>，则：11y a x +≥-+恒成立，即max11y a x +⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭， 目标函数11y z x +=-+表示可行域内的点与点()1,1--连线的斜率的相反数，观察可知，目标函数在点()1,0处取得最大值111012+-=-+， 据此可得实数a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.16．在等腰△ABC 中，AB AC =，AC 边上的中线BD 长为6，则当ABC ∆的面积取得最大值时，AB 的长为 ．【答案】【解析】试题分析：根据题意，设2AB AC x ==，则AD x =(26)x <<，由余弦定理，得cos A ＝2222AB AD BD AB AD +-⋅＝2225365944x x x -=-，所以sin A =，所以1sin 2ABCS AB AC A ∆=⋅＝142x ⋅24≤，当220x =，即x =当当ABC ∆的面积取得最大值时，AB的长为【考点】1、余弦定理；2、三角形面积公式．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a =（2）21n nT n =+ 【解析】试题分析：(1)由递推关系结合题意可知该数列是首项为2，公比为2的等比数列，则数列的通项公式2n n a =. (2)整理数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后裂项可得前n 项和21nnT n =+. 试题解析：（1）因为12n n S a a =-，所以()12n n n a S S n -=-≥，即12n n a a -=（2n ≥），即数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又123,1,a a a +成等差数列，所以()13221a a a +=+，即()1114221a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =（2）由（1）得22log 121n n b a n =-=-，因为()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18．某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20为市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下：甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81； 乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间[]85,100的为A 等，在区间[)70,85的为B 等，在区间[)60,70的为C 等，在区间[)0,60为D 等.（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对两所学校办学的社会满意度进行比较，写出两个统计结论；（2）估计哪所学校的市民的评分等级为A 级或B 级的概率大，说明理由. 【答案】（1）见解析（2）市民对乙校的评分等级为A 级或B 级的概率大. 【解析】试题分析：(1)利用题意考查平均数、众数、方差等统计量即可；(2)利用题意求解概率值可得市民对乙校的评分等级为A 级或B 级的概率大. 试题解析：解：（1）①甲校得分的中位数为71.5，众数为58,59,67,72,86，乙校得分的中位数为83.5，众数为69和86，甲校得分的中位数小于乙校得分的中位数，甲校得分的众数大多数不大于乙校得分的众数； ②甲校得分的平均数小于乙校得分的平均数； ③甲校得分有1920居于50~90内，而乙校得分全部居于60~90内，对乙校的评分要高于甲校； ④甲校得分的方差大于乙校的方差，说明对乙校的评分较集中，满意度较高，对甲校的评分较分散，满意度较低.（2）对甲校评分等级为A 级或B 级的概率为1110.5520P ==； 对乙校评分等级为A 级或B 级的概率为2160.8020P ==， 21P P >，故市民对乙校的评分等级为A 级或B 级的概率大.19．如图，平面ABCD ⊥平面BCF ，四边形ABCD 是菱形， 90BCF ∠=. （1）求证： BF DF =；（2）若点E 为AF 的中点， 60BCD ∠=，且2BC CF ==，求四面体BDEF 的体积.【答案】（1）见解析（2）四面体BDEF 的体积为3. 【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得BD ⊥平面BCF ，然后由线面垂直的结论结合题意证得BF DF =.(2)转化顶点为点B ，结合(1)的结论可得四面体BDEF 的体积为3. 试题解析：解：(1)连接,AC OF ，设AC BD O ⋂=，因为平面ABCD ⊥平面BCF ，且交线为BC ，因为90BCF ∠=，所以CF ⊥平面ABCD ， CF ⊂平面BCF ，所以平面BCF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面BCF ，所以BD OF ⊥，又BO DO =，所以BF DF =.(2)因为点E 为AF 的中点，所以点F 到平面ABCD 的距离是E 到平面ABCD 的距离的2倍，所以四面体BDEF 的体积， 12B DEF B AED E ABD F ABD V V V V ----===，由（1）知CF ⊥平面ABCD .所以11122232B DEF V -=⨯⨯⨯=.所以四面体BDEF 点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与2y =的焦点重合，点12⎫⎪⎭在椭圆C上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ： y kx m =+（0k ≠）与椭圆交于,P Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为()1,0-，若3PQ =k 的值.【答案】（1）2214x y +=（2）k =【解析】试题分析：(1)由题意求得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；(2)联立直线与椭圆的方程，结合题意得到关于实数k 的方程，求解方程可得k =2±. 试题解析：解：（Ⅰ）抛物线2y =的焦点为)，故得c =223a b =+，因点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以223114a b+=，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设()()1122,,,P x y Q x y 的中点为()00,x y ，将直线y kx m =+（0k ≠）代入2214x y +=，得()222148440k x kmx m +++-=，所以()2216140k m ∆=+->，则()012214214kmx x x k =+=-+， ()01221214my y y k =+=-+，因为()1,0-是以PQ 为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，所以00011y x k -=-+，即2314km k =+，解得215k >，则PQ =，3=及2314km k =+，解得22k =或12，均满足215k >，所以k =±21．设函数()sin x f x e x =+（e 为自然对数的底数），()g x ax =， ()()()F x f x g x =-. （1）若2a =，且直线()0x t t =≥分别与函数()f x 和()g x 的图象交于,P Q ，求,P Q 两点间的最短距离；（2）若0x ≥时，函数()y F x =的图象恒在()y F x =-的图象上方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）min ||1PQ =.（2）a 的取值范围是(],2-∞. 【解析】试题分析：(1)由题意求得PQ 长度的函数解析式，然后利用导函数可得min ||1PQ =.(2) 令()()()2sin 2x x x F x F x e e x ax φ-=--=-+-，结合函数的性质和恒成立的条件可得a 的取值范围是(],2-∞. 试题解析：（Ⅰ）因为2a =，所以sin 2t PQ e t t =+-.令()sin 2x h x e x x =+-，即()'cos 2x h x e x =+-，因为()''sin x h x e x =-，当0x >时， 1x e >， 1sin 1x -≤≤，所以()''sin 0x h x e x =->，所以()'cos 2x h x e x =+-在()0,+∞上递增，所以()()'cos 2'00x h x e x h =+->=，∴[)0,x ∈+∞时， ()h x 的最小值为()01h =，所以min ||1PQ =.（Ⅱ）令()()()2sin 2x x x F x F x e e x ax φ-=--=-+-，则()'2cos 2x x x e e x a φ-=-+-， ()()''2sin x x S x x e e x φ-==--，因为()'2cos 0x x S x e e x -=+-≥当0x ≥时恒成立，所以函数()S x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00S x S ≥=当[)0,x ∈+∞时恒成立； 故函数()'x φ在[)0,+∞上单调递增，所以()()''042x a φφ≥=-在[)0,x ∈+∞时恒成立. 当2a ≤时， ()'0x φ≥， ()x φ在[)0,+∞单调递增，即()()00x φφ≥=. 故2a ≤时()()F x F x ≥-恒成立.当2a >时，因为()'x φ在[)0,+∞单调递增，所以总存在()00,x ∈+∞，使()x φ在区间[)00,x 上()'0x φ<，导致()x φ在区间[)00,x 上单调递减，而()00φ=，所以当[)00,x x ∈时， ()0x φ<，这与()()0F x F x --≥对[)0,x ∈+∞恒成立矛盾，所以2a >不符合题意，故符合条件的a 的取值范围是(],2-∞.22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1{x cos y sin φφ=+=（φ为参数）.以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()00y x -=≥与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2. 【解析】试题分析：(1)首先得到圆的直角坐标方程，然后整理可得极坐标方程为2cos ρθ=； (2)联立极坐标方程可得122PQ ρρ=-=. 试题解析： 解：(1)因为1{x cos y sin φφ=+=，消参得： ()2211x y -+=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；(2)()00y x -=≥的极坐标方程是3πθ=，设点()11,P ρθ，则有：1112{3cos ρθπθ==，解得111{3ρπθ==，设点()22,Q ρθ，则有：22223{3sin πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，解得223{3ρπθ==，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2. 23．选修4-5：不等式选讲 设函数()4(0)f x x x a a a=-++> （1）证明： ()4f x ≥；（2）若()25f <，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）a的取值范围为⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：(1)利用题意结合绝对值不等式的性质和均值不等式的结论可证得()4f x ≥； (2)由题意得到关于实数a 的绝对值不等式，零点分段讨论可得a的取值范围为⎛ ⎝⎭. 试题解析：解：（Ⅰ） ()()44444f x x x a x x a a a a a a a ⎛⎫=-++≥--+=+=+≥= ⎪⎝⎭； （Ⅱ）当2a =时， 4225a a-++<显然满足； （1）当02a <≤时，不等式化为45a a+<，即2540a a -+<，所以14a <<，联立求解得12a <≤； （2）当2a >时，不等式化为240a a --<a <<联立求解得2a <<， 综上， a的取值范围为⎛ ⎝⎭.。
四川省泸县第一中学2019届高三第二次诊断性模拟测试数学(文)试题及答案
绝密★启用前四川省泸县第一中学2019届高三第二次诊断性模拟测试文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则=B A A ． B ． C ． D ．2．已知复数i m n z )12()1(1++-=与i n z )2(22-+=为共轭复数，其中R n m ∈,，为虚数单位，则1z =A ．1B ．2C ．3D ．53．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-30101x y x y x 则y x z 32-=的最小值是A ．-7B ．-6C ．-5D ．-34．关于函数x x x f cos sin )(-=，下列叙述正确的是A ．关于直线2π=x 对称 B ．关于点)0,2(π对称C ．最小正周期π2=TD ．图象可由x y sin 2=的图像向左平移4π个单位得到 5．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为A ．63B ．47C ．23D ．76．若向量b a ,，满足1=a ，2=b ，且)(b a a -⊥，则a 与b 的夹角为A ．4πB ．3πC ．π43D ．π657．在区间[]1,0内任取两个实数x 与y ，则满足2x y ≤的概率等于A ．41B ．31C ．21D ．32 8.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[)16,30内的人数为A ．100B ．160 C.200 D ．2809．已知偶函数)(x f 在[)+∞,0单调递增，则对实数b a ,, b a >是)()(b f a f >的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. π4 C. 925π D.9100π 11已知函数2ln )(x x x f =。
2019届四川省泸州市泸县第一中学高三高考适应性考试数学(文)试题(PDF版)
3k k
2k
即 kx y k 0 ，由圆心 (3, 0) 到直线的距离为 d
，
1 k2
1 k2
当直线与圆相切时， d r 1，解得 k 3 ， 3
即直线方程为 y 3 (x 1) ； 3
-7-
(2)可设直线方程为 y
3 3
(
x
1),
A(
x1
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x
y
1 cos sin
(
为参数)，以坐标原点为极点，x
轴的正半
轴为极轴建立极坐标系 ( 0,θ [0, 2π) ，点 A 为曲线 C1 上的动点，点 B 在线段 OA 的延长线上，且满足
| OA | | OB | 8 ，点 B 的轨迹为 C2 ．
（I）求 C1 , C2 的极坐标方程． （II）设点 C 的极坐标为 (2, π ) ，求 △ABC 面积的最小值
2
23.（本大题满分 10 分）
设函数 f x 2x 1 x 1. （I）求不等式 f x 2的解集；（II）当 x R，f x ax 7 恒成立,求实数 a 的取值范围。
四川省泸县第一中学高 2019 届高考适应性考试
数学（文史） 注意：满分：150 分 时间：120 分钟
第 I 卷 选择题（60 分） 一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.集合 A {x | 2 x 2} ， Z 为整数集，则 A Z 中元素的个数是
log3
π
四川省2019届高三联合诊断数学文科试题含解析
2018-2019学年四川省高三（上）9月联考数学试卷（文科）一、选择题.1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}32,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{}1B ．{}4C ．{}1,3D ．{}1,42．复数()1i i ⋅+（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则()sin f x 的定义域为（ ） A ．RB ．[]1,1-C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]sin1,sin1-4．已知角α的终边上一点坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（ ） A ．56πB ．116πC ．53π D ．23π 5．函数()sin cos f x x x =-的最小正周期为（ ） A ．2πB ．32π C ．π D ．2π 6．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程是（ ）A ．3450x y -+=B ．3450x y --=C ．3450x y +-=D ．3450x y ++= 7．由直线1y x =+上的一点向圆()2231x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B ．22C ．7D ．38．函数22x y x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C．D．9．已知双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为F ，则点F 到C 的渐近线的距离为（ ） A ．3 B ．3 C ．a D ．3a10．若函数()ln f x a x x =+有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =4，AB AC ⊥，AA 1=12，则球O 的半径为（ ） A ．3172B ．210C ．132D ．31012．若()f x 函数满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为14-，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．eC ．2D ．1二、填空题.13．已知1a =，2b =，向量a 与的b 夹角大小为60°，若ma b +与2a b -垂直，则实数m = ．14．设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()22log 12f f -+= ．15．设变量x ，y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为 ．16．已知函数()3sin f x x x x =+-则满足不等式()()2120f m f m -+≤成立的实数m 的取值范围是 ． 三、解答题.17．等差数列{}n a 中，34574,6a a a a +=+=． （1）求{}n a 的通项公式．（2）记n S 为{}n a 的前项和，若12m S =，求m ．18．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：℃）的数据，如表：x 2 5 8 9 11 y1210887（1）求y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）判定y 与y 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且//,2442AB EF AF AB AD ===，平面ABCD ⊥平面ABEF（1）求证：BE ⊥DF ；（2）求三棱锥C ﹣AEF 的体积V ．20．已知点A ，B 分别是椭圆2213620x y +=的左右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上位于x 轴上方，且满足PA ⊥PF ． （1）求点P 的坐标；（2）设点M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，求M 点的坐标． 21．已知函数()32ln 2,f x x x ex ax a R =-+-∈，其中e 为自然对数的底数． （1）若()()f x f x 的图象在x e =处的切线斜率为2，求a ； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．考生从所给的第22题、23题两题中任选一题作答（答题前务必用2B 铅笔将所选做题的方框涂黑）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2cos :3sin x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）．（Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当a =3时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．23．已知定义在R 上的函数(),*f x x m x m N =-+∈，若存在实数x 使()2f x <成立． （1）求实数m 的值；（2）若1a >，1b >，()()4f a f b +=，求证：413a b+>．2018-2019学年四川省高三（上）9月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题.1．【分析】把A 中元素代入32y x =-中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【解答】解：把x =1，2，3，4分别代入32y x =-得：y =1，4，7，10，即{}1,4,7,10B =， ∵{}1,2,3,4A =， ∴{}1,4A B =， 故选：D ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．【分析】利用复数的运算即可得出． 【解答】解：原式21i i i =+=-+． 故选：C ．【点评】熟练掌握复数的运算法则是解题的关键．3．【分析】根据()f x 的定义域为[]1,1-即可得出，()sin f x 满足1sin 1x -≤≤，而对任意的x R ∈都有1sin 1x -≤≤，从而得出()sin f x 的定义域为R ． 【解答】解：∵()f x 的定义域是[]1,1-；∴()sin f x 满足1sin 1x -≤≤； ∴x R ∈；∴()sin f x 的定义域为R ． 故选：A ．【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知()f x 定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦定义域的方法，以及正弦函数的定义域．4．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得1cos 2α=，且3sin 2α=-，可得α的最小正值．【解答】解：角α的终边上一点坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而该点13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在第四象限， 且满足1cos 2α=，且3sin 2α=-，故α的最小正值为53π，故选：C ．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．【分析】利用了函数()sin y A x ωϕ=+的最小正周期为122πω⋅，得出结论．【解答】解：函数()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭|的最小正周期为1221ππ⋅=， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的周期性，利用了函数()sin y A x ωϕ=+为函数()sin y A x ωϕ=+的周期性的一半，属于基础题．6．【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于x 轴的对称点坐标，代入已知直线方程，即可．【解答】解：设所求对称直线的点的坐标（x ，y ），关于x 轴的对称点的坐标（x ，﹣y ）在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：3450x y ++=． 故选：D ．【点评】本题是基础题，考查直线关于直线的对称直线方程的求法，考查计算能力，常考题型，注意特殊直线为对称轴的情况，化简解题过程．7．【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．【解答】解：切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为301222d -+==，圆的半径为1，故切线长的最小值为22817d r -=-=， 故选：C ．【点评】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．8．【分析】根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y =0，图象与x 轴的交点的个数，排除BC ，再取特殊值，排除D【解答】解：分别画出函数()2x f x =（红色曲线）和()2g x x =（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，()f x 与()g x 有3个交点， 所以3220y x x =-=，有3个解，即函数22x y x =-的图象与x 轴由三个交点，故排除B ，C ， 当x =﹣3时，()23230y -=--<，故排除D 故选：A ．【点评】本题主要考查了函数图象的问题，关键是理解函数图象的交点和方程的解得个数的关系，排除是解决选择题的常用方法，属于中档题9．【分析】求出双曲线的右焦点坐标，渐近线方程，利用已知条件求解即可．【解答】解：双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为F （c ，0），点F 到渐近线3y x a =的距离为：23333c cb ca ===+， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．10． 【分析】求导()'ln 1f x x =+，从而可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，结合函数在定义域内的极限，可得函数()ln f x a x x =+有两个零点时，实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数()ln f x a x x =+有两个零点， ∴函数()'ln 1f x x =+，当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数为减函数；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数为增函数；故当1x e =时，函数取最小值1a e-，又∵()0lim x f x a +→=，()lim x f x →+∞=+∞； ∴若使函数()f x 有两个零点，则0a >且10a e -<，即10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B ．【点评】本题考查了导数法求函数的最小值，函数的零点，对数函数的图象和性质，属于中档题11．【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．【解答】解：因为三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面11B BCC ，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB =3，AC =4，BC =5，BC 1=225+12=13， 所以球的半径为：132． 故选：C ．【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力． 12【分析】由已知得：()()()112424f x f x f x =+=+，设()4,2x ∈--时，则()40,2x +∈，代入可得()()()()1114ln 44444f x f x x a x =+=+-+，再根据当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为14-，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a 的值，进而求得结论；【解答】解：由已知得：()()()112424f x f x f x =+=+， 当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，设()4,2x ∈--时，则()40,2x +∈， ∴()()()4ln 44f x x a x +=+-+ ∴()4,2x ∈--时，()()()()1114ln 44444f x f x x a x =+=+-+ ∴()()()()()114141'4444444x a x a a a f x x x x ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=-==-+++， ∵12a >， ∴142a->， ∴142a ⎛⎫--<- ⎪⎝⎭，∴当144x a-<<-时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当142x a-<<-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， ∴()max 1111114ln 444f x f a a a a⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a =1， 故选：D ．【点评】考查函数解析式的求法以及函数恒成立问题，体现了转化和分类讨论的思想方法，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 二、填空题.13．【分析】利用向量垂直的充要条件可解决此问题． 【解答】解：根据题意得，()()20ma b a b +⋅-=， ∴()222120ma m a b b --⋅=-=而11212a b ⋅=⨯⨯= ∴2180m m -+-= ∴7m =- 故答案为﹣7．【点评】本题考查向量的夹角，向量垂直的充要条件．14．【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得()()22log 12f f -+的值．【解答】解：由函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，可得()()()()()22log 121log 6222log 121log 42122369f f --+=++=++=+=， 故答案为：9．【点评】本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的运算性质，求函数的值，属于基础题．15．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数2z y x =-对应的直线进行平移，可得当x =5且y =3时z 取得最小值，可得答案．【解答】解：作出不等式组3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （3，3），B （5，3），C （2，0，） 设(),2z F x y y x ==-，将直线:2l z y x =-进行平移，观察y 轴上的截距变化，可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值 ∴()5,37z F ==-最小值 故答案为：﹣7【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2z y x =-的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．【分析】利用导数判断原函数为定义域上的增函数，再由奇偶性定义判断为奇函数，把原不等式转化为关于m 的一元二次不等式求解．【解答】解：由()3sin f x x x x =+-，得()2'31cos 0f x x x =+-≥， ∴函数()f x 为增函数，又()()()()()33sin sin f x x x x x x x f x -=----=-+-=-，∴()f x 为奇函数．由()()2120f m f m -+≤，得()()212f m f m -≤- 即212m m -≤-，∴2210m m +-≤． 解得112m -≤≤． 故答案为：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与奇偶性的应用，是中档题．三、解答题.17． 【分析】（1）结合等差数列的通项公式及已知条件可求1a ，d ，进而可求n a ， （2）由（1）结合等差数列的求和公式n S ，结合已知可求m 【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差为d ， ∵34574,6a a a a +=+=，∴1125453a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解方程可得，1a =1，25d =， ∴()2231155n n a n +=+-=； （2）由（1）可知，()()142255n n n n n S n -+=+⨯=， 由12m S =，可得，()4125m m +=， ∴m =6或m =﹣10（舍）． 故m =6．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题． 18． 【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （2）将x=6代入回归方程计算估计值．【解答】解：（1）()125891175x =⨯++++=，()1121088795y =⨯++++=．5214256481121295ii x==++++=∑，512450647277287i ii x y==++++=∑，∴287579ˆ0.56295572b-⨯⨯==--⨯， ()ˆ90.56712.92a=--⨯=． ∴回归方程为：ˆ0.5612.92yx =-+．（2）∵ˆ0.560b=-<，∴y 与x 之间是负相关． 当x =6时，ˆ0.56612.929.56y=-⨯+=． ∴该店当日的营业额约为9.56千元．【点评】本题考查了线性回归方程的求解，利用回归方程进行数值估计，属于基础题． 19．【分析】（1）取EF 的中点G ，连结AG ，推导出四边形ABEG 为平行四边形，AG ∥BE ，且AG=BE=AF =2，再求出AG ⊥AF ，AD ⊥AB ，从而AD ⊥平面ABEF ，AD ⊥AG ，进而AG ⊥平面ADF ，再由AG ∥BE ，得BE ⊥平面ADF ，由此能证明BE ⊥DF ；（2）首先证明CD ∥平面ABEF ，可得C AEF D AEF V V --=，由（1）得DA ⊥平面ABEF ，再求出三角形AEF 的面积，代入棱锥体积公式得答案． 【解答】（1）证明：取EF 的中点G ，连结AG ， ∵EF =2AB ，∴AB =EG ，又AB ∥EG ，∴四边形ABEG 为平行四边形， ∴AG ∥BE ，且AG =BE =AF =2，在△AGF 中，GF =1222EF =，AG =AF =2，∴222AG AF GF +=，∴AG ⊥AF ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD 平面ABEF =AB ， ∴AD ⊥平面ABEF ，又AG ⊂平面ABEF ， ∴AD ⊥AG ， ∵ADAF=A ，∴AG ⊥平面ADF ，∵AG ∥BE ，∴BE ⊥平面ADF ， ∵DF ⊂平面ADF ，∴BE ⊥DF ；（2）解：∵CD ∥AB 且CD ⊄平面ABEF ，BA ⊂平面ABEF ， ∴CD ∥平面ABEF ， ∴C AEF D AEF V V --=，由（1）得，DA ⊥平面ABEF ，∵142242AEF S ∆=⨯⨯=，∴1424233C AEFD AEF V V --==⨯⨯=．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20． 【分析】（1）先求出PA 、F 的坐标，设出P 的坐标，求出,PA PF 的坐标，由题意可设点P （m ，n ），则()()6,,4,AP m n FP m n =+=-．由题意可得()2221,603620m n m m n +=++=，且0n >，解得32m =，即可求得点P 的坐标． （2）求出直线AP 的方程，设点M 的坐标，由M 到直线AP 的距离等于MB ，求出点M 的坐标．【解答】解：（1）由已知可得点A （﹣6，0），F （4，0）， 设点(),P m n ，则()()6,,4,AP m n FP m n =+=-．由题意可得()2221,603620m n m m n +=++=，且0n >， 化为229180m m +-=，解得32m =，或6m =-． 由于0n >，只能32m =，于是532n =．∴点P 的坐标是353,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）直线AP 的方程是360x y -+=．设点(),0M m ，则M 到直线AP 的距离是62m +．于是662m m +=-，又66m -≤≤，解得m =2， 故点M （2，0）．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M 的坐标，是解题的难点．21． 【分析】（1）求出函数的导数，计算()'f e ，求出a 的值即可； （2）求出2ln 2x x ex a x -+=，记()2ln 2xF x x ex x=-+，根据函数的单调性求出()F x 的最大值，从而求出a 的范围即可． 【解答】解：（1）()21'34f x x ex a x=-+-， ()21'2f e e a e=+-=，∴212a e e=--．（2）由32ln 20x x ex ax -+-=， 得2ln 2xx ex a x-+=， 记()2ln 2xF x x ex x=-+， 则()()1ln '2xF x x e x-=--， (),x e ∈+∞，()'0F x <，()F x 递减；()0,x e ∈时，()'0F x >，()F x 递增．∴()()2max 1F x F e e e==+．而x →0时()F x →-∞，x →+∞时()F x →-∞，故21a e e<+．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．考生从所给的第22题、23题两题中任选一题作答（答题前务必用2B 铅笔将所选做题的方框涂黑）22． 【分析】（I ）曲线C 1：112x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），化为：32y x =-．令y =0可得与x 轴的交点．曲线C 2：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）的直角坐标方程为：22219x y a +=．利用y =0可得与x 轴的交点．（II ）当a =3时，曲线C 2：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩化为：229x y +=．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离d ．利用弦长公式可得222AB r d =-．【解答】解：（I ）曲线C 1：112x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），化为：32y x =-．与x 轴的交点为3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 曲线C 2：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）的直角坐标方程为：22219x y a +=．与x 轴的交点为（±a ，0）． ∵0a >，∴32a =． （II ）当a =3时，曲线C 2：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩化为：229x y +=．圆心到直线的距离33555d ==． ∴2223512522955AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆的标准方程及其应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23． 【分析】（1）要使不等式2x m x -+<有解，则2m <，再由*m N ∈，能求出实数m 的值．（2）先求出3αβ+=，从而()411413αβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由此利用基本不等式能证明：413αβ+>．【解答】解：（1）因为()x m x x m x m -+≥--=．…（2分） 要使不等式2x m x -+<有解，则2m <，解得22m -<<．…（4分） 因为*m N ∈，所以1m =．…（5分）证明：（2）因为,1αβ>，所以()()21214f f αβαβ+=-+-=，则3αβ+=．…（6分） 所以()41141141455+2=3333βαβααβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．… （当且仅当4=βααβ，即=2α，1β=时等号成立）…（9分） 又因为,1αβ>，所以413αβ+>恒成立．故413αβ+>．…【点评】本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意基本不等式性质的合理运用．。
四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学(文)试题(精品解析).doc
高中2019届毕业班第三次诊断性考试数学(文史类)注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A = {x\x2-l<0}t F = {x|0<x<2},则集合AnB=()A.(-1,1)B. [-1,1]C. (0,1]D. [72]【答案】C【解析】【分析】先化简集合A二卜1,1],再求4 n 〃得解.【详解】由题得A=[・l,l],所以集合4 nB = (0,1].故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数z对应的点是Z(-l,2),则复数z的共辘复数z=()A. -1 + 2?B. -l-2iC. l + 2iD. l-2i【答案】B【解析】【分析】由题得z二l+2i,再求复数z的共辘复数方=-l-2i.【详解】由题得z二l+2i,所以复数z的共轨复数i =故选：B【点睛】本题主要考查复数的儿何意义，考查共觇复数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.注的最小正周期为7T,则几坊的图象的一条对称轴方程是（【答案】B【解析】【分析】根据函数心）=sin^x +环的最小正周期为7T 求出3 = 2,再令2兀+尹7T +弊G Z ）,即得函数的对称轴方程. 【详解】因为函数fO ） =+ £）的最小正周期为"，所以三=応、・・・3 = 2.所以fO ） = sin （2x + yk . Ti . Ti . ，一. kn n令2x + -=kn + -//c G Z),所以无t , n当 k=0 时，x = -6故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性和对称轴方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力. 4. 下列说法屮错误的是（）A. 从某社区65户高收入家庭,280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样B. 线性回归直线y = bx + a 一定过样本屮心点（元刃C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数厂的值越接近于1D. 若一组数据1、Q 、2、3的众数是2,则这组数据的中位数是2【答案】C【解析】【分析】利用每一个选项涉及的知识对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,由于样本的个体差异比较大，层次比较多，所以应采用的最佳抽样方法是分层抽样，所以该选项是正确的；对于选项B,线性回归直线夕= bx + a —定过样本中心点（元刃，所以该选项是正确的；对于选项C,两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数厂的绝对•值越接近于I,所以该选项是错误的； 对于选项D,若一B ・ x = - 6组数据1、0、2、3的众数是2,则这组数据的屮位数是2,所以该选项是正确的.故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样和线性回归方程，考查相关系数的性质和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.(3x—2y > 0 y5.若变量兀，y满足约束条ft 3x-y-3<0 ,则三的最小值为()(y>0 兀-43A. --B.-1C. 0D. 1乙【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用斜率求丄的最小值得解.x-4联立｛證~/3=°0 得A(2,3),如图所示，当点位于可行域内的点A(2,3)时，直线的斜率最小，v 3 3所以一的最小值为x-4 2-4 2故选：A【点睛】木题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解常握水平和数形结合分析推理能力.6.设曲线y = 0(/一1)_兀在点(0,0)处的切线方程为y = x,贝lja=()A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】【分析】由题得/&) = a・e x-l,再利用f (0) = 1求a的值.【详解】由题得f (x) = a • e x—l, •・• f (0) = a—1 = 1, ••・a = 2.故选：C【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()俯视图A. 729B. 428C. 356D. 243 【答案】D【解析】【分析】先找到三视图对应的儿何体，再利用棱锥的体积公式得解.【详解】由题得儿何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD,底面是边长为9的正方形，高PA二9,1 9所以几何体的体积为y = -92 9 = 243.故选：D【点睛】本题主要考查根据三视图找原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.&执行如图所示的程序框图，贝U输出的S值为（）（开始）Q2A.-lB. 0C. —D. 12【答案】A【解析】【分析】直接模拟程序框图运行得解.【详解】由题得1W3, S=2,i=2;2^3, S=2+4,i=3;3W3, S=2+4+&i=4;14S = sin—yr = —1.4故选:A【点睛】木题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9•在数列仙｝中，己知= 1,且对于任意的m f neN\都有% + “ =臥+勺+如，则数列仙｝的通项公式为【答案】D【解析】【分析】令m=l 得a n + 1-a n = n^l f 再利用累加法求数列｛%｝的通项公式.【详解】令 m=l,得 a n + l= a n + n + t ••• «n +1-% = n + ••- a 2~a l = 2>a 3~a 2 = 3 …吗一= n, ~ n C n+1)所以 a n —1 = 2 + 3 + 4 ------- n, A a n = 1 + 2 + 3 + 4 4 --------- n = ----- --- . 乙故选：D【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平和分析推理能力.10.己知四棱锥P-ABCD 的底面四边形MCD 的外接圆半径为3,且此外接圆圆心到P 点距离为2,则此四棱锥体积的最大值为（）A. 12B.6 【答案】A【解析】 【分析】 先求出^ = 2,再求出底面四边形ABCD 的而积的最大值，即得锥体体积的最大值.【详解】由锥体的体积公式v=|sh,可知，当s 和h 都最大时，体积最大.由题得顶点P 到底面ABCD 的距离hW2.当点P 在底面上的射影恰好为圆心O 时，即PO 丄底面ABCD 时, PO 最大=2,即h max = 2.1111-• 3 - 3siri 乙AOB 4 3 ・ 3sin^COB 4 3 ・ 3sin^AOD H 3 - 3siri 乙COD 2 2 2 2=\sinZ-AOB + sin 厶COB + sin^AOD + sin 厶C0D) <-(14-1 + 1 + 1) = 18, 2 2n此日寸"OB =乙 BOC =乙 COD = zAOD = 一, 2A. aD ・a n n(n + 1) C. 32 D. 24n(n-l)即四边形ABCD为圆内接正方形时，四边形ABCD的面积最大, 所以此时四边形ABCD的面积的最大值=字=18,所以K mox = |-2.18=12.故选：A【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算和最值的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.4, B是0 6 x2 + y2 = l上两个动点，且"OB = 120。