22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第一课时课件
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22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
3.把抛物线 y=ax2+bx+c，先向右平移 3 个单位，再向下平 移 2 个 单 位 ， 所 得 图 象 的 解 析 式 为 y=x2-3x+5, 则 a+b+c=__ ___.
4 ． 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ 2x ＋ c 的 顶 点 是 (－ 1 ， 2)， 则 a= ____________ ，c= ____________．
课堂练习
1．将下列二次函数写成顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并
写出其开口方向，顶点坐标，对称轴．最值
(1)y＝3x2＋2x；
(2)y＝－2x2＋8x－8.
当堂检测 1．已知二次函数 y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且 ac＝4， 则二次函数的顶点在第________象限．
2 抛物线 y＝ax2＋bx＋c，与 y 轴交点的坐标是________，当 ________ 时 ， 抛 物 线 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 (即 抛 物 线 的 ________)，交点坐标是________；当________时，抛物线与 x 轴有两个交点，交点坐标是________________________； 若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的两个交点坐标为(x1，0)， (x2，0)，则 y＝ax2＋bx＋c＝a(x－________)(x－________)．
y= ax2+ bx+ c（a≠0）的平移规律； 3.会用公式确定二次函数 y= ax2+ bx+ c（a≠0）的对称轴和顶
点.
探索新知
用配方法将 y＝ax2＋bx＋c 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，则 h ＝________，k＝________.则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象 的顶点坐标是________________，对称轴是________，当 x ＝________时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有最大(最小)值，当 a________时，函数 y 有最________值，当 a________时，函 数 y 有最________值．
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系课件
最有价值的知识是关于方法的知识
例1：根本符号的判断
快速答复：
y
抛物线y=ax2+bx+c如下图，
试确定a、b、c、△的符号：
o
x
问题是数学的心脏
快速答复：
1.抛物线y=ax2+bx+c如下图， 试确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
第一是数学，第二是数学，第三是数学。
快速答复：
抛物线y=ax2+bx+c如下图， 试确定a、b、c、△的符号：
3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是__直__线__x_=__- 2_ba_.
4.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是_〔___0_,_c_〕.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 a＞0 a＜0 b=0
a、b同号 a、b异号
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征
开口____向__上_______________ 开口____向__下_______________ 对称轴为___y__轴 对称轴在y轴的_左___侧 对称轴在y轴的_右___侧 经过原点 与y轴交于__正___半轴 与y轴交于__负___半轴
由数定形
14
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴 上方的条件是什么？
a＞0
x
b
2
4ac＜
0
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条 件是什么？
x
变式：不管x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕 的值永远是正值的 练条一件练是：什不么管？x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕的值永远是非负数 的条件是什么？
22.1.4二次函数Y=ax2+bx+C(1)
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
最新人教版初中数学九年级上册《22.1.4(第1课时)》精品教学课件
次函数的性质填空：
x=0时， y=c.
x b1
2a1 y
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0
c2_＝__ 0
对称轴在y轴 左侧，x＜0
O
x 开口向上，a＞0
x b1 ＜0 2a1
x b2 ＞0
2a2 对称轴在y轴 右侧，x＞0
探究新知 【思考4】 如何画二次函数y 1 x2 6x 21的图象？
2
x
…3 4 5 6 7 8
y 1 (x 6)2 +3 …
2
7.5
5
3.5
3
3.5 5
y
方法一：描点法
10
1. 利用图象的对称性列表
9… 7.5 …
2.然后描点画图，得到 图象如右图.
5
y
1 2
x2
-
6x
21
O
5
10 x
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
探究新知
y 1 x2 6x 21 2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。 2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
方法一：平移法
y
8
6
y 1 x2
4
2
y=ax2+bx+c (a≠0)
a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x-h)2+k情势.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
O
x
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件
2
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
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2
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对
2
称轴是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
··· 3
4
7.5 5 y 1 x2 6x 21 ··· 2
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax 2 bx c 的顶点是最
5
顶点坐标为 4,5
对称轴x 4
当 x 4时 ， y最小值＝ -5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
利用表格归纳各种形式二次函数的性质：
二次函数
y ax2
开口 顶点坐标 方向
对称轴
最大（小）值 增减性
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k
配方法转化
y ax2 bx c
P41习题22.1：6，7
y ax2 bx c a x b 2 4ac b2
y
2a 4a
y ax2 bx c
如果a>0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而减小，
a>0
当x> b 时，y随x的增大而增大；
2a
O
x
x b 2a
如果a<0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大，
y
y 1 x2 6x 21
10
2
5
O
5
10 x
5
6
7
8
9 ···
3.5 3 3.5 5 7.5 ···
先画出二次函数
y
1 2
x2
的
图像，然后把这个图像向
右平移6个单位长度，再向
上平移3个单位长度，得到
二次函数 y 1 x2 6x 21 2
观察归纳
从二次函数 y 1 x2 6x 21 的图像可以看出：
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k y ax2 bx c
各种形式二次函数图像的位置关系：
K>0，向上平移k个单位 K<0，向下平移-k个单位
h>0，向右平移h个单位 h<0，向左平移-h个单位
y ax2
先左右平移， 再上下平移
或者先上下平移， 再左右平移
探究
我们来画 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般地怎样
2
画二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象．
我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数的图像和性
质，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函 数 y 1 x2 6x 21 也能化成这样的形式吗？
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
另 b h, 4ac b2 ＝k 所以，有y=a(x－h)2+k
2a
4a
因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移
得到.
当h>0时，向左平移h个单位，当h<0时，向右平移|h| 个单位，
当k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移|k| 个单位，
2
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
例如，y=2x2－8x＋12,通过配方得y=2(x－2)2＋4就 可以通过平移y=2x2得到，如演示所示
把抛物线y=2x2先向右平移2个单位， 再向上平移4个单位就得到抛物线 y=2x2－8x＋12.
8
6
4
2
－4 －2
24
从二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像可以看出：
低（高）点，所以当 x b 时，二次函数y ax 2 bx c
2a
有最小（大）值 4ac b2
4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x
为何值时y的值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为 2,0
对称轴x 2
当 x 2时 ， y最 大 值＝0
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
y ax2 bx c
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
y
当x> b 时，y随x的增大而减小.
2a
y ax2 bx
a<0
O
x
x b 2a
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的 变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地的周长是60m，一边长为l， s
则另一边长为 30 l m ，场地的面积
S＝l ( 30－l )
200
即 S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 ) 100
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线 的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图 O
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
x顶
2
2 1
1
22 y顶 4 1 1
顶 点 坐 标 为 1,1
对称轴x 1
当 x 1时 ， y最 大 值＝1
（3）y 2x2 8x 8
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
8
x顶 2 2 2
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶
点
坐
标
为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时
， y最小值＝ -
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对
2
称轴是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
··· 3
4
7.5 5 y 1 x2 6x 21 ··· 2
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax 2 bx c 的顶点是最
5
顶点坐标为 4,5
对称轴x 4
当 x 4时 ， y最小值＝ -5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
利用表格归纳各种形式二次函数的性质：
二次函数
y ax2
开口 顶点坐标 方向
对称轴
最大（小）值 增减性
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k
配方法转化
y ax2 bx c
P41习题22.1：6，7
y ax2 bx c a x b 2 4ac b2
y
2a 4a
y ax2 bx c
如果a>0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而减小，
a>0
当x> b 时，y随x的增大而增大；
2a
O
x
x b 2a
如果a<0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大，
y
y 1 x2 6x 21
10
2
5
O
5
10 x
5
6
7
8
9 ···
3.5 3 3.5 5 7.5 ···
先画出二次函数
y
1 2
x2
的
图像，然后把这个图像向
右平移6个单位长度，再向
上平移3个单位长度，得到
二次函数 y 1 x2 6x 21 2
观察归纳
从二次函数 y 1 x2 6x 21 的图像可以看出：
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k y ax2 bx c
各种形式二次函数图像的位置关系：
K>0，向上平移k个单位 K<0，向下平移-k个单位
h>0，向右平移h个单位 h<0，向左平移-h个单位
y ax2
先左右平移， 再上下平移
或者先上下平移， 再左右平移
探究
我们来画 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般地怎样
2
画二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象．
我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数的图像和性
质，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函 数 y 1 x2 6x 21 也能化成这样的形式吗？
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
另 b h, 4ac b2 ＝k 所以，有y=a(x－h)2+k
2a
4a
因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移
得到.
当h>0时，向左平移h个单位，当h<0时，向右平移|h| 个单位，
当k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移|k| 个单位，
2
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
例如，y=2x2－8x＋12,通过配方得y=2(x－2)2＋4就 可以通过平移y=2x2得到，如演示所示
把抛物线y=2x2先向右平移2个单位， 再向上平移4个单位就得到抛物线 y=2x2－8x＋12.
8
6
4
2
－4 －2
24
从二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像可以看出：
低（高）点，所以当 x b 时，二次函数y ax 2 bx c
2a
有最小（大）值 4ac b2
4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x
为何值时y的值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为 2,0
对称轴x 2
当 x 2时 ， y最 大 值＝0
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
y ax2 bx c
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
y
当x> b 时，y随x的增大而减小.
2a
y ax2 bx
a<0
O
x
x b 2a
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的 变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地的周长是60m，一边长为l， s
则另一边长为 30 l m ，场地的面积
S＝l ( 30－l )
200
即 S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 ) 100
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线 的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图 O
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
x顶
2
2 1
1
22 y顶 4 1 1
顶 点 坐 标 为 1,1
对称轴x 1
当 x 1时 ， y最 大 值＝1
（3）y 2x2 8x 8
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
8
x顶 2 2 2
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶
点
坐
标
为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时
， y最小值＝ -
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下