初中数学竞赛专题选讲(初三12)-列表法
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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。
秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。
秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。
清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。
秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。
2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。
聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。
初中数学《逻辑推理》讲义及练习
1. 掌握逻辑推理的解题思路与基本方法：列表、假设、对比分析法等2. 培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口.3. 能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。
对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。
本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。
一列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设模块一、列表推理法【例 1】 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？【解析】 因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹．由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹．将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表．李强马辉刘刚小丽小红小英××××李强马辉刘刚小丽小红小英×√×××××√√刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹．【巩固】 王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；⑵跳伞运动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？【解析】 为了能清楚地找到所给条件之间的关系，我们不妨运用列表法，列出下表，在表中“√”表示是，“×”表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“√”，可推出其它两格是“×”知识精讲教学目标第十二讲：逻辑推理王文张贝李丽跳伞√××田径×游泳√由⑴⑶可知张贝、李丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；由⑶可知，李丽也不是田径运动员，可填出第三列，即李丽是游泳运动员，则张贝是田径运动员．【巩固】李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门．现知道：⑴顾锋最年轻；⑵⑵李波喜欢与体育老师、数学老师交谈；⑶⑶体育老师和图画老师都比政治老师年龄大；⑷⑷顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；⑸刘英与语文老师是邻居．问：各人分别教哪两门课程？【解析】李波教语文、图画，顾锋教数学、政治，刘英教音乐、体育．由⑴⑶⑷推知顾锋教数学和政治；由⑵推知刘英教体育；由⑶⑸推知李波教图画、语文．【巩固】王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴韩涛比大队长的成绩好．⑵王平和中队长的成绩不相同．⑶中队长比宋丹的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？【解析】根据条件⑵和⑶，王平和中队长的成绩不相同，中队长比宋丹的成绩差．，可以断定，王平不是中队长，宋丹也不是中队长，只有韩涛当中队长了．大队长中队长小队长王平×宋丹×韩涛√王平和宋丹两人谁是大队长呢？由⑴和⑶，韩涛比大队长的成绩好，中队长比宋丹的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，宋丹的成绩比中队长（韩涛）的成绩好，韩涛的成绩比大队长的成绩好．这样，宋丹、韩涛就都不是大队长，那么，大队长肯定是王平．【例 2】张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？【解析】这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系．三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表．我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件⑴得到表1，由条件⑵、⑶得到表2，由条件⑷得到表3．因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表2可填全为表5．由表5知农民在北京工作，又知席辉不是农民，所以席辉不在北京工作，可以将表1可填全完为表4由表4和表5知得到：张明住在上海，是工人；席辉住在天津，是教师；李刚住在北京，是农民．方法二：由题目条件可知：席辉不在上海工作，而在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，又不是农民，那么席辉只能是教师，不在北京工作，就只能是在天津工作，那么张明在上海工作，是工人。
初中数学竞赛解题模型
初中数学竞赛解题模型初中数学竞赛的解题模型有许多，以下是部分内容：
1. 将军饮马模型（对称点模型）
2. 利用三角形两边差求最值
3. 手拉手全等取最值
4. 手拉手相似取最值
5. 平移构造平行四边形求最小
6. 两点对称勺子型连接两端求最小
7. 两点对称折线连两端求最小
8. 时钟模型，中点两定边求最小值
9. 时钟模型，相似两定边求最小值
10. 转化构造两定边求最值
11. 面积转化法求最值
12. 相似转化法求最值
13. 相似系数化一法求最值
14. 三角函数化一求最值
15. 轨迹最值
16. 三动点的垂直三角形
17. 旋转最值
18. 隐圆最值-定角动弦
19. 隐圆最值-动角定弦
这些模型能够帮助解题者在面对复杂数学问题时找到解决方法。
使用这些方法需要具备一定的数学基础和思维能力，因此建议在掌握这些方法后多做一些练习题，以加深理解和提高应用能力。
初中数学列表法练习
将所有可能出现的情况列表如下： （红，红） （黄，红） （蓝，红） （绿，红） （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） （绿，黄） （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） （绿，蓝） （红，绿） （黄，绿） （蓝，绿） （绿，绿）
红1
（红1，白） （红1，红1）（红1，红2）
红2
（红2，白） （红2，红1）（红2，红2）
P(2次摸出红球)= 4 9
变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和 2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后 从中任意摸出一个球，记录下颜色后不再 放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次 都摸出红球的概率是多少？
红2
（红2，白） （红2，红1）
P（红，红） 1 16
例2： 一只不透明的袋子中装有1个白球和 2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀 后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放 回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球， 两次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次 第一次
白
红1
红2
白
（白，白） （白，红1） （白，红2）
变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这 些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记 录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两 次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次 第一次
白
白
红1
红2
（白，红1） （白，红2）
红1
（红1，白）
（红1，红2）
第12-16届“五羊杯”初中数学竞赛试题
第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题 (1)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (4)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (8)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题 (13)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (17)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (21)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初一试题 (27)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初二试题 (33)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初三试题 (39)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 (43)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题 (47)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 (51)2004年第16届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 (57)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题(考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(4选l型，选对得5分，否则得0分，本大题满分50分，)1，已知68 9□□□20 312≈690亿(四舍五入)，那么其中的三位数□□□有( )种填写的方法．(A)1 000 (B)999 (C)500 (D)4992，8 642 097 53l，6 420 875 319，4 208 653 197，2 086 43l 975，864 219 753的平均数是( )．(A)4 444 455 555 (B)5 555 544 444(C)4 999 999 995 (D)5 999 999 9943．图中一共能数出( )个长方形(正方形也算作长方形)。
(A)64 (B)63 (C)60 (D)484．五羊牌电视机连续两次降价20％后，又再降价10％，或者连续两次降价25％，则前者的售价比后者的售价( )，(A)少2％ (B)不多也不少 (C)多5％ (D)多2．4％5．甲、乙两人在长400米的直路上来回慢跑，速度分别为3米/秒和2．5米/秒。
南开中学初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
初中数学竞赛：数论的方法技巧(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：数论的方法技巧数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
沪科版八年级数学上册12.函数的表示方法-列表法与解析法课件
1 163
；当x=10时，y
1. 201
在实际问题中求自变量取值范围 例3 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以每时 25 m3 排 出量排水. （1）写出游泳池内剩余水量Q (m3)与排水时间t(h)之间的函数 表达式； （2）写出自变量 t 的取值范围；
解：（1）排水后的剩水量Q是排水时间t的函数，有 Q=-25t+300；
（ 2 ） 由 于 池 中 共 有 300m3 水 ， 每 时 排 25m3 ， 全 部 排 完 只 需 300÷25=12（h），故自变量t的取值范围是0≤t≤12.
（3）开始排水5 h 后，游泳池中还有多少水？ （4）当游泳池中还剩 150 m3 水时，已经排水多少时间？ 解：（3）当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3），
（2）y 3 ; 4 x
（3）y
x5
（4）y
1 2x2 1.
解：（1）x为全体实数.
（2）x≠4.
（3）x≥5.
（4）x为全体实数.
2.求下列函数当x=9和x=10的函数值：
（1）y x 5;
（2）y
1 2x2 1.
解：（1）当x=9时，y=-2；当x=10时， y 5.
（2）当x=9时，y
y 4x 5 x为一切实数
y x 2 x≥2
y 3 x 2 x为一切实数
3.某工厂投入生产一种机器，每台成本y（万元/台）与生产数 量x（台）之间是函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如 下表：
x（单位：台）
10
20
30
y（单位：万元/台） 60
55
50
则y与x之间的解析式是（ C ）
12.1.2 函数第2课时用列表法和解析法表示函数关系课件 2024-2025学年 沪科版数学八上
新课引入
根据上节课的学习回答下列题 1.什么叫变量？ 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量 2.什么叫常量？ 在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量
3.什么叫函数？
一般地,设在一个变化过程中有两个变量x，y,如果对于x在它允许取值 范围内的每 一个值, y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量, y是因变量, 此时也称 y是x的函数.
12.1.2 用列表法和解析法 表示函数关系
.
八年级上
沪科版
目录
01 学 习 目 标 02 新 课 引 入 03 新 知 学 习 04 课 堂 小 结
学习目标
1.了解并掌握函数表示方法：列表法、解析法，理解这两种表示方法的
优缺点;
重点
2. 掌握函数自变量范围的确定和函数值的求法；
3. 能用这两种表示函数的方法解决简单的实际问题. 难点
针对训练
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
y1 x
x≠0
y 1 x 1 x≠-1
y x
x≥0
y 4x 5 x为全体实数
y x2
y3 x2
x≥2
x为全体实数
2.水箱内原有水200 L，7点30分打开水龙头，以2 L/min的速度放水， 设经t min时，水箱内存水y L. （1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围； （2）7:55时，水箱内还有多少水？ （3）几点几分水箱内的水恰好放完？
（3）开始排水5h后，游泳池中还有多少水？ (3)当t=5时,代入函数表达式,得Q=-5 ×25 +300 = 175 ( m3)，即 排水5h后,池中还有水 175 m3.
（4）当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多长时间？ (4)当Q=150时,由 150 =- 25t+ 300 ,得t =6 ( h)，即池中还剩水150 m3 时,已经排水6 h.
13_列表法解应用题(教师)
例5：甲、乙两人进行汽车比赛. 第一分钟 内甲的速度为每秒6.6米，乙的速度为每秒 2.9米. 以后每分钟内的速度，甲总是前一 分钟的2倍，乙总是前一分钟的3倍. 出发之 后，经多少时间乙追上甲？
分析：以一分钟为一段时间，逐段计算 甲比乙领先的距离.当此距离为0时，就 是乙追上甲的时间.
注：可以先列出速度的时间表，再考虑.
16
8
例4：甲、乙、丙三只盘子里分别盛着6个苹果. 一凡按下面的办法搬动了5次.
第一次，甲盘不动，把1个苹果从一只盘子里 搬到另一只盘子里去；
第二次，乙盘不动，把2个苹果从一只盘子里 搬到另一只盘子里去；
第三次，丙盘不动，把3个苹果从一只盘子里 搬到另一只盘子里去；
第四次，甲盘不动，把4个苹果从一只盘子里 搬到另一只盘子里去；
第五次，乙盘不动，把5个苹果从一只盘子里 搬到另一只盘子里去.
最后发现每只盘子里仍然是6个苹果。你知道 一凡是怎样搬动的吗？
分析：关键是要确定每次搬动是从哪 一只盘子里搬到哪一只盘子里. 这需 要从整体上考虑.
甲
乙
丙
第1次 0
1
1
第2次 2
0
2
第3次 3
3
0
第4次 0
4
4
第5次 5
0
5
注1：要在上表中每个非零数目前添上 “＋”或“－”，表示增加或减少 ，使得每行的和为零.
时间(分)
1 3 5 7 9 11 13 15 17
从直径始
从直径始向下爬
2
46
8
行时间(分)
• 不掉头爬行时相遇需要 72 8(分钟).
5.5 3.5
练习1：有两个车间工人，因工作需要， 先将第一车间的五分之一调到第二车间， 又将第二车间的三分之一调到第一车间. 此时，第一车间有35人，而第二车间有22 人.问第一车间原来有多少人？（华附1998
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初中数学竞赛专题选讲(初三.12)
列表法
一、内容提要
只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处.因为图表常
能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多的
问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤.
图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解.
使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的从
属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必为
假”，“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现与
题设矛盾时就排除，在排除淘汰的基础上，推出满足所有条件的结论.
二、例题
例1. n为正整数，试证2 n+7 n+2能被5整除.
解： n分别取1，2，3，4时，观察2 n+7 n+2的个位数字情况如下：
n 1 2 3 4
2n的个位数
2 4 8 6
7n+2的个位数
3 1 7 9
2n+7n+2的个位数
5 5 5 5
并且∵2 4k+n与2 n； 74k+(n+2) 与7n+2 (k为整数)的个位数字相同.
∴n 不论取什么自然数值，2n+7n+2均能被5整除..
例2. 小张步行每小时走10里，骑车每小时走30里，他从甲地到乙地步行和骑车走了同样
长的路程；然后沿着同一条路从乙地返回甲地，这次步行和骑车走了同样多的时间，结果
返回时比去时少用了40分钟.求甲、乙两地的距离及从乙到甲所用的时间.
解：设甲乙两地的距离为x里，从乙到甲所用的时间是y 小时. 列表如下：
根据题意，得 xyyyxx23021032302102
解这个方程组，得240yx
答：甲乙两地的距离为40里，从乙返甲用了2小时.
从甲到乙 从乙到甲
S
x21里 x
2
1
里
x里
V
V步=10时里 V车=30时里 V步=10时里 V甲=30时里
T
y+32(时) 时2y 时2y
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例3. 从1到10这十个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于10，共有几种取法？试
列表统计.
解：有两种列表法：由大数取小数或以小数取大数
较大数 较 小 数 取法种数
10 1，2，3，4，5，6，7，8，9， 9
9 2，3，4，5，6，7，8， 7
8 3，4，5，6，7， 5
7 4，5，6， 3
6 5， 1
∴共有9+7+5+3+1=25种取法.
较小数 较 大 数 取法种数
1 10, 1
2 10，9, 2
3 10，9，8 , 3
4 10，9，8，7, 4
5 10，9，8，7，6， 5
6 10，9，8，7， 4
7 10，9，8， 3
8 10，9， 2
9 10, 1
共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法.
例4. A，B，C，D，E五个人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种.他们
看见别人所戴的帽子颜色，分别说了以下的话：
A说：我看到的是3白1红； B说：我看到的是4红；
C说：我看到的是1白3红； E说：我看到的是4白.
已知戴白帽子的人说真话，而戴红帽子的人说假话.试判断A，B，C，D，E各戴什么
颜色的帽子.
解：先由易到难，用否定判断法：
若E说了真话，则共有5白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E
必是戴红帽；
若A说了真话，则共有4白1红，那么 除A、E以外，还有2人说真话，就是B、C
也说真话，这也不可能，所以A也 戴红帽；
在确定A、E之后，我们把B、C说真话或假话的情况列表来判断：
A B C D E
设B说真话 红 白 红
设C说真话 红 红 白 白 红
若B说真话，则C、D都为红(∵B看到的是4红)，那么C应是说假话，但C说1白3
红却是真的，所以矛盾，B没有说真话，应是戴红帽.
最后，C确实说了真话(看到1白3红).这时可知D是戴白帽.
∴A，B，C，D，E所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红.
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三、练习
1. 用列表法,求不等式(2x+1)(x－2)(x－3)<0的解集
当x取值为
x<－21 －21
2x+1的符号 － ＋
x－2的符号
x－3的符号
(2x+1)(x－2)(x－3)
的符号
∴不等式(2x+10(x－2)(x－3)<0的解集是_____________或____________
2. n为自然数,3n与7n的和或差必有一个能被10整除.试证之，并说明n取什么值时，其和
能被10整除.
3. 若自然数a不是2和3的倍数，试证a2+23能被24整除.
4. 原计划在一定时间内插秧152亩，实际工作时，每天比原计划多插2亩，结果比原计划
提前3天并超额完成8亩.问原计划每天插秧几亩？
5. 甲，乙两人接受同样的任务，开始时乙比甲每天少做4件，做到两人都剩下624件时，
乙比甲多用了2天.此后乙改进技术，每天比原来多做6件，这样两人在同一时间内定成
任务.求甲、乙两人的工作效率.
6. A，B，C，D，E，F六个球队，进行单循环比赛（每队都要与其他各队各比赛一场），
经过一段时间询问了A，B，C，D，E五个队，结果是他们都参加了比赛，并且比赛的
场数各不相同，问未查询的F队比赛了几场？
7. 甲，乙，丙三人参加高考后，甲说：我一定考上重点大学.乙说：重点大学我考不上.丙
说：我考上大学是没有问题的.发榜后，这三人中有一人考上重点天学，一人考上一般大
学，一人落选.对他们的预言，只有一人正确.试判断甲，乙，丙的录取情况.
8. 甲，乙，丙三同学，来自初三①，② ③班各一人，参加语、数、英兴趣小组各一项.
已知甲不是①班的，乙不在②班，在①班的不参加数学组，在②班的参加英语组，乙不
参加语文组.问丙是哪个班？参加什么组？
9. 甲，乙，丙，丁四人参加数学竞赛，得了前四名，三位同学在议论名次.A说：甲第一，
乙第二；B说：甲第二，丁第四；C说：丙第二，丁第三.结果他们各对了一半.问甲，乙，
丙，丁的正确名次是多少？
10. 一次校运会，小王，小林，小江三人包揽了五个项目的前三名，小王共得22分，小林，
小江各得9分，每项目的一，二，三名得分，分别是5，2，1分，并知小江得铅球第一
名.试问他们各得几个第一名，第二名，第三名？
11. 四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三个人会说，
但没有一种大家都会说的语言.还知道：
① A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈；
② B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译；
③ B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言；
④ 四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.
试问A，B，C，D四人各会讲何种语言.
练习题参考答案
2. 列表 n=1,2,3,4(仿例1
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3. 已知可表示为6k±1
4. 8亩
5. 24，20
6. 3场（仿例3）
7. 甲落选，乙重点，丙一般
8.丙是（1）班学生，参加语文组
9.甲，乙，丙，丁分别是1，3，2，4.
10. 王（4个一，1个二）；江（1个一，4个三）；林（4个二，1个三）.
11. 用1表示会说，0表示不会说
该种语言，答案列表如右：
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