第三章《直线与方程》测试卷

第三章《直线与方程》测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若直线x ＝2 016的倾斜角为α，则α( ) A ．等于0° B ．等于180° C ．等于90° D ．不存在答案 C2．经过点M (－2，m 2)、N (m,4)的直线的斜率等于2，则m 的值为( ) A ．0 B ．0或－2 C ．－2 D ．0或2 答案 A解析 由题意得4－m 2m ＋2＝2.化简得m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－2.检验：当m ＝0时，符合题意；当m ＝－2时，直线的斜率不存在，不符合题意，舍去． 3．已知直线mx ＋n2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则( ) A ．m ＝－3，n ＝－2 B ．m ＝3，n ＝2 C ．m ＝3，n ＝－2 D ．m ＝－3，n ＝2 答案 A解析 根据题意，设直线mx ＋n2y －1＝0为直线l ，另一直线的方程为3x －y －33＝0，变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan 120°＝－3，又由l 在y 轴上的截距是－1，则其方程为y ＝－3x －1；又由其一般式方程为mx ＋n 2y －1＝0，分析可得：m ＝－3，n ＝－2.故选A.4．经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 设所求直线l 的方程为x ＋3y －10＋λ(3x －y )＝0，即(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0，∵原点到直线的距离d ＝|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，∴λ＝±3，即直线方程为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.5．若直线l 经过点A (1,2)，在y 轴上的截距的取值范围是(－2,3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．(－1，14)B ．(－1，12)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)D ．(－1,4) 答案 D解析 设直线方程为y －2＝k (x －1)， 令x ＝0，可得y ＝2－k ，∵直线l 在y 轴上的截距的取值范围是(－2,3)， ∴－2<2－k <3，∴－1<k <4.故选D.6．已知两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0，l 2：6x ＋by ＋c ＝0间的距离为3，则b ＋c 等于( ) A ．－12 B ．48 C ．36 D ．－12或48 答案 D解析 将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8， 由|10－c |62＋82＝3， 解得c ＝－20或c ＝40， 所以b ＋c ＝－12或48，故选D.7．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 D解析 由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过AB 中点(52，72)，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0.8．如图所示，直线l 1：ax －y ＋b ＝0与直线l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象应该是( )答案 B解析 ∵ab ≠0，∴可把l 1与l 2的方程都化成斜截式， 得l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ， ∴l 1的斜率等于l 2在y 轴上的截距．∵C 中l 1的斜率小于0，l 2在y 轴上的截距大于0；D 中l 1的斜率大于0，l 2在y 轴上的截距小于0，∴可排除C 、D 两选项．又∵l 1在y 轴上的截距等于l 2的斜率的相反数，∴可排除A.9．已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( ) A ．2 B ．－3 C ．－3或2 D ．－2或－3答案 C解析 方法一 当m ＝0时，l 1与l 2不平行； 当m ≠0时，若l 1∥l 2，只需2m ＝m ＋13≠4－2，即m 2＋m －6＝0，解得m ＝－3或2. 方法二 若l 1∥l 2,2×3－m (m ＋1)＝0， 解得m ＝－3或2.当m ＝－3或2时，A 1C 2－A 2C 1＝2×(－2)－m ·4＝－4－4m ≠0，∴m ＝－3或2.10．点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为d ，则d 的取值范围是( ) A ．0≤d ＜13 B ．d ≥0 C ．d ＞13 D ．d ≥13答案 A解析 直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ可化为 (x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (1,1)(不包括直线3x ＋2y －5＝0)， ∴|P A |＝(－2－1)2＋(－1－1)2＝13.∵当P A 与直线3x ＋2y －5＝0垂直时，点P (－2，－1)到直线的距离为13， ∴点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为0≤d ＜13，故选A. 11．已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．[12，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[12，＋∞)D ．[－2，12]答案 D解析 ∵直线l ：y ＝k (x －2)＋1过点P (2,1)，连接P 与线段AB 上的点A (1,3)时直线l 的斜率最小，为k P A ＝1－32－1＝－2， 连接P 与线段AB 上的点B (－2，－1)时直线l 的斜率最大，为k PB ＝－1－1－2－2＝12， ∴k 的取值范围是[－2，12]．故选D.12．已知△ABC 的三个顶点分别是A (0,3)，B (3,3)，C (2,0)，若直线l ：x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则a 的值是( ) A. 3 B ．1＋22C ．1＋33D. 2答案 A解析 只有当直线x ＝a 与线段AC 相交时，x ＝a 才可将△ABC 分成面积相等的两部分．S △ABC ＝12×3×3＝92，设x ＝a 与AB ，AC 分别相交于D ，E ，则S △ADE ＝12×a ×32a ＝12×92，解得a ＝3(负值舍去)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________．答案 x ＝12或x －3y ＋1＝0解析 易求得两直线交点的坐标为(12，32)，显然直线x ＝12满足条件．当斜率存在时，设过该点的直线方程为y －32＝k (x －12)，化为一般式得2kx －2y ＋3－k ＝0， 因为直线与原点的最短距离为12，所以|3－k |4＋4k 2＝12，解得k ＝33，所以所求直线的方程为x －3y ＋1＝0.14．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________． 答案 －23解析 设P (x,1)，则Q (2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0，得2－x ＋3－7＝0. ∴x ＝－2，∴P (－2,1)， ∴k l ＝－23.15．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________． 答案 (2,10)或(－10,10)解析 设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10.16．已知点A (1，－1)，点B (3,5)，点P 是直线y ＝x 上的动点，当|P A |＋|PB |的值最小时，点P 的坐标是________． 答案 (2,2)解析 易知当点P 为直线AB 与直线y ＝x 的交点时，|P A |＋|PB |的值最小，直线AB 的方程为y －5＝5－(－1)3－1(x －3)，即3x －y －4＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －4＝0y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以当|P A |＋|PB |的值最小时，点P 的坐标为(2,2)． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得直线l ′的方程．解 在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3， 即M (－3，0)．∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33， 故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18．(12分)已知直线l 1：y ＝－k (x －a )和直线l 2在x 轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l 1过点P (－3,3)．如果点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，求l 2的方程． 解 由题意，可设直线l 2的方程为y ＝k (x －a )，即kx －y －ak ＝0， ∵点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，∴|2k －2－ak |k 2＋1＝1，① 又∵直线l 1的方程为y ＝－k (x －a )，且直线l 1过点P (－3,3)，∴ak ＝3－3k .②由①②得|5k －5|k 2＋1＝1，两边平方整理得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.∴当k ＝43时，代入②得a ＝－34，此时直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0；当k ＝34时，代入②得a ＝1，此时直线l 2的方程为3x －4y －3＝0.综上所述，直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.19．(12分)已知直线l 平行于直线x ＋y －4＝0，且实数x ，y 满足直线l 的方程，又知(x －1)2＋(y －1)2的最小值为2，求直线l 的方程． 解 依题意，设l 的方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠－4)， 因为x ，y 满足该方程，所以y ＝－x －m .则(x －1)2＋(y －1)2＝(x －1)2＋(－x －m －1)2＝2x 2＋2mx ＋2m ＋2＋m 2＝2(x ＋m 2)2＋12m 2＋2m ＋2，当x ＝－m 2时，上式取得最小值12m 2＋2m ＋2，由题意知，12m 2＋2m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝－4(舍)，所以直线l 的方程为x ＋y ＝0.20．(12分)已知△ABC 中，A 点坐标为(0,1)，AB 边上的高线方程为x －2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0，求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．解 由已知易得直线AB 的斜率为2，∵A 点坐标为(0,1)，∴AB 边所在的直线方程为2x －y ＋1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2，故直线AB 与AC 边上的中线的交点为B (12，2)．设AC 边中点D (x 1,3－2x 1)，C (4－2y 1，y 1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝4－2y 1，2(3－2x 1)＝1＋y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1，∴C (2,1)，∴BC 边所在的直线方程为2x ＋3y －7＝0， AC 边所在的直线方程为y ＝1.21．(12分)光线从点A (2,3)射出，若镜面的位置在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射光线经过B (1,1)，求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所经过的路线长． 解 设点A 关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)， ∵线段AA ′被l 垂直平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋22＋y 0＋32＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－3.∵点A ′(－4，－3)，B (1,1)在反射光线所在直线上， ∴反射光线所在直线的方程为y ＋31＋3＝x ＋41＋4，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0得入射点的坐标为(－23，－13)．由入射点及点A 的坐标得入射光线所在直线的方程为y ＋133＋13＝x ＋232＋23，即5x －4y ＋2＝0.光线从A 到B 所经过的路线长为 |A ′B |＝(－4－1)2＋(－3－1)2＝41.22．(12分)已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，直线l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求出P 点坐标；若不能，说明理由． 解 (1)l 2可化为2x －y －12＝0，∴l 1与l 2的距离为d ＝|a －(－12)|22＋12＝7510.∵a >0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)满足②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上且|c －3|5＝12·|c ＋12|5，即c ＝132或c ＝116，∴有2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式有：|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.∵P 点在第一象限，∴3x 0＋2＝0不满足题意． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.(舍去) 由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.∴P (19，3718)即为同时满足条件的点．。