三角形的内角和
三角形的内角和
由平行线的性质，得 ∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（两直线平行，
内错角相等）
因为E、A、F在直线EF上（所作） 得∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的意义)
所以∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）
三角形的内角和性质：
三角形的内角和等于180°
√
√
例1、在△ABC中，已知∠B=35°，∠C=55°， 求∠A的度数，并判断△ABC的类型. 例2、在△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:2:3， 求∠A、∠B、∠C的度数.
解：根据题意，可设∠A、∠B、∠C的度数分别为x、 2x、3x. 因为∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角 (已知)， 所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于 180°）， 即 x+2x+3x=180. 解得 x=30. 所以 ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°.
作业：课本练习14.2(1) 练习册14.2(1)
练习2、在△ABC中，已知角平分线BD、CE相交于 点F，如果∠A=50°，求∠BFC的度数.
A E F D
BCΒιβλιοθήκη 14.2(1) 三角形的内角和
老师的问题
问题1、等边三角形的三个角分别是多少？三个内角的 和为多少？
问题2、一副三角尺的两个三角形的三个角分别是多少？ 三个内角的和是多少？
猜想 ：三角形的内角和等于180°
动动手
说理验证
猜想：三角形的内角和等于180°
已知：△ABC. 试说明：∠A +∠B +∠C=180°
想一想
一个三角形 最多有几个锐角？几个直角？几个钝角？ 一个三角形最多有 3 个锐角. 最多有 1 个直角. 最多有 1 个钝角.
三角形的内角和
三角形的内角和在我们的数学世界中，三角形是一个极其基础且重要的图形。
而三角形的内角和，更是一个具有关键性质的知识点。
让我们先从最基本的概念说起。
什么是三角形呢？三角形就是由三条线段首尾相连所组成的封闭图形。
这三条线段就叫做三角形的边，而它们两两相接的点则被称为三角形的顶点。
那三角形的内角又是什么呢？内角就是三角形相邻两边所夹的角。
一个三角形有三个内角。
现在，重点来了，三角形的内角和究竟是多少呢？答案是 180 度。
可能你会问，为什么三角形的内角和一定是 180 度呢？为了更直观地理解这个结论，我们可以通过一些简单的实验和推理来证明。
我们可以准备一个纸质的三角形，然后把三个角剪下来。
将这三个角的顶点拼在一起，你会发现它们恰好可以拼成一个平角，也就是 180 度。
这就直观地展示了三角形的内角和为 180 度。
再从数学推理的角度来看。
我们知道，平行线的性质在证明三角形内角和中起着关键作用。
假设三角形的三个顶点分别为 A、B、C，我们过点 A 作一条平行于 BC 的直线。
根据平行线的内错角相等，我们可以得到角 B 和角 B'相等，角 C 和角 C'相等。
而平角 BAC'是 180 度，所以角 A ＋角 B ＋角 C 也就是三角形的内角和，就是 180 度。
三角形内角和为 180 度这个性质在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
比如在几何证明题中，如果已知三角形的两个内角的度数，我们就可以很容易地求出第三个内角的度数。
又比如在实际生活中，三角形内角和的知识也有不少用处。
工程师在设计桥梁、建筑等结构时，常常需要考虑三角形的稳定性和角度关系，这其中就涉及到三角形内角和的知识。
在数学的学习过程中，理解三角形内角和不仅有助于我们解决与三角形相关的具体问题，还能帮助我们建立更深入的几何思维和逻辑推理能力。
当我们进一步拓展思维，会发现三角形内角和的概念还可以延伸到更复杂的图形中。
比如，由多个三角形组成的多边形，其内角和可以通过三角形内角和的知识来计算。
三角形的内角和
在一个三角形中，已知∠1=1400，∠3=250， 求∠2的度数？ 1800－1400－250 =400－250 =150
答：∠2的度数为150。
判断下列说法对吗?
①钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内 角和。（ × ） ②在直角三角形中，两个锐角的和等于90 º 。 （√ ） ③在钝角三角形中，两个锐角的和大于90 º 。 （×） ④三角形中有一个角是60 º ，那么这个三角形 一定是个锐角三角形。（ ×） ⑤一个三角形中一定不可能有两个钝角。（ ） √
4个三角形： 180°×4＝720°
总结：通过今天的学习， 大家有什么收获？
三角形内角和180°。
量
380
钝角三角形 0
260
116
1160＋260＋380=1800
量
640
直角三角形
260
900
260＋640＋900＝1800
方法二：
撕一撕 拼一拼
拼
3
1
2
3 平角：1800
方法三：
折一折
拼一拼
1
2
2
钝角三角形
1 1
2 2 2
2
3
3
直角三角形
锐角三角形
1
1
3
3
3
3
1
结论:
三角形的
内角和是180°
1、什么是三角形的内角？ ∠1， ∠2， ∠3 2、什么是三角形的内角和？ ∠1+∠2+∠3
1
2
3
90 +60 +30 =180
30° 90 +45 +45 =180 45°
三角形的内角和
（1）三角形越大，内角和（ C）。 A、越大 B、越小 C、不变
（2）在钝角三角形中，两个锐角之 和（ C ）90°。想：180°- 钝角＜90°
A、大于
B、等于
C、小于
（3）在直角三角形中，两个锐角之和 （ B ）90°。想：180°- 直角 = 90° A、大于 B、等于 C、小于
（4）在锐角三角形中，两个锐角之 和（ A ）90°。想：180°- 锐角＞90° A、大于 B、等于 C、小于
拿一个锐角三角形，先把∠2沿横的虚 线折过来，使它的顶点落在底边上，再 把∠1和∠3沿竖的虚线折过来，使三个 角正好拼在一起，这三个角组成一个什 么角？
再拿一个钝角来试试。
从以上可以得出什么结论？
三角形的内角和等于180°
在三角形中，已知∠1=78°， ∠2=44°，求∠3的度数。
∠3=180°－78°－44°
=58°
1、在三角形中，已知 ∠1=140°，∠3=25°，求∠2。 ∠2 =180°-140°-25°=15° 2、在一个直角三角形中，已知一 个锐角是65°，能求另一个锐角 的度数吗？为什么？ 180°-90°-65°=25°
3、在等边三角形中，求它一个角的 度数怎么求呢？
180°÷ 3 = 60°
小学数学
第八册
三角形的内角和
什么是三角形的内角？
三角形的三个内角的度 数之和叫着三角形的内 角和
量一量三角形中三个内角的度数， 算一60° 60°
60°
90°
30°
60°+ 60°+ 60°=180°
90°+ 60°+ 30°=180°
拿一个直角三角形，把∠1和∠2沿虚线 折过来，正好组成一个什么角？直角三角 形的内角和是多少度？
三角形的内角和
∵ ∠1+∠2 +∠ AC B+ = 180° ﹙平角定义﹚
∴ ∠A C B +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚ 17
证法三
已知：△A B C.
证明：
求证：∠A +∠B +∠C =180°
EA
F
过A 作E F∥B C.
则∠E A B =∠B.
B
C
∠F A C = ∠C ﹙两直线平行,内错角相等﹚ ∵ ∠B A C + ∠E A B +∠C A F =180°
如图：R t △A B C 中， ∠C =90° 则∠A +∠B =90 °
21
例1、 已知：在△ABC中，
∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高， 求 ∠DBC的度数。
分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求
∠DBC的度数,只要求出∠C的度数即可。 A
解：设∠A= X，则∠C=∠ABC=2X.
1
1 2 3
2
1 2 3
3
1 2 3
4
1 2 3
5
6
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于1800
已知：Δ ABC 求证：∠A+∠B+∠C=1800
A
B
C
7
已知：△A B C.
求证：∠A +∠B +∠C=180° A
B
C
8
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°
A
∴ ∠B A C + ∠B +∠C= 180°﹙等量代换﹚
18
一、填空.
（1）在△ABC中，∠A=500, ∠B=800, 则∠C= 500
三角形内角规律及关系
三角形内角规律及关系如下：
1.三角形内角和为180度，即三角形三个内角大小之和为180
度。
2.在三角形中，有一个角是直角，则该三角形为直角三角形；如
果一个角大于90度，则该三角形为钝角三角形；如果一个三
角形中最大的角小于90度，则该三角形为锐角三角形。
3.三角形内角之间存在以下关系：
•如果一个三角形的两个内角相等，则第三个内角也相等，这个三角形是等边三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于第三个内角，则这个三角形是直角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之差等于第三个内角，则这个三角形是钝角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于180度减去第三个内角的度数，则这个三角形是锐角三角形。
三角形的内角和
4 、一个等腰三角形的顶角是３0 °,它的 一个底角是( ７５ )度.
判断题:
1、大三角形的内角和一定大于小三角形 的内角和. ( × ) 2 、直角三角形中一个锐角是70°,另一个 锐角一定是20 °. ( √ ) ３ 、一个三形中最多只能有一个钝角或 直角. ( √ ) ４、把一个三角形分成两个三角形，其 中一个三角形的内角和应是９０度。（× ）
根据三角形的内角和是180°,你 能求出下面的图形的内角和吗?
(图一)
(图二)
１８０×２出你所剪的纸三角形中三个角的度数，
请你告诉老师其中两个角的度数，看老 师能否猜出第三个角的度数。
三角形的内角和是180 °。
例
在三角形中，已知∠1=78°， ∠ 2=44 ° ，求∠ 3的度数。
∠ 3 =180 ° - 78 °- 44 °
=58 °
填空:
1、三角形中, ∠1=140°, ∠ 3=25 °. ∠ 2=( １５ )度. 2 、一个等腰三角形的一个底角是70 °, 它的顶角是( ４０ )度. 3 、等边三角形的一个角是( ６０ )度.
三角形的内角和
一个等腰三角形的风筝, 它的一个底角是700，它 的顶角是多少度？
已知等腰三角形的风筝， 一个底角70°，顶角多少度？
180°－70°－70°=40° 180°－70°×2=40° 70° 70°
答：顶角的度数是400。
恭喜你过关啦！~ ＞▽＜
三角形的内角和是180°。
√
）
③钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和（×）
× ④红领巾有一个底角是30度，那么它的顶角是150度（ ）
⑤任何一个三角形的内角和都是180度。（ √ ）
23Βιβλιοθήκη 在一个三角形中，已知∠1=1400，∠3=250， 求∠2的度数？
1800－1400－250==150
1800－(1400+250 )=150
不对。我有一个 大钝角，所以我 的内角和才最大！ 我的三角形最 大，所以内角 和也就最大！ 我的三角形小， 难道我的内角 和就小吗？
三角形的内角和
提示： 可以用拼一拼、量一量、折一折 的方法探究三角形的内角和。
结论
三角形的内角和是180°。
我们的内角和都是180°
判断正误
①三角形越大，它的内角和就越大。 ②直角三角形的两个锐角和是90度。（ （ × ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学上册
三角形内角和定理(第一课时)
一、教学内容分析
1．教学主要内容
《三角形内角和定理》共两个课时,它分为三角形内角和定理以及三角形外角.三角形内角和定理在小学阶段学生已经学习过,七年级又通过活动再次验证了这一结论,本节课的主要内容则要严格地证明这一结论,进行简单的问题解决,并为下一课时利用这一结论推导有关三角形外角的定理做好铺垫.
2．教材编写特点
三角形内角和定理学生已经探究过,教材先引导学生回顾原来的探究与验证过程,力图从探究与验证活动中获取证明的思路.三角形内角和定理的证明思路都是将角“凑”到一起,而在七年级验证过程中,学生已经有了将三个角“凑”到一起的经验.因此,这样的回顾是十分有必要的.
3．我的思考
本节课的内容是学生已经非常熟悉的,而本节课的重点是让学生在原有基础上,利用添加辅助线的方式对定理进行严格的证明,这就要求学生有严谨的思维、清晰的表达能力以及灵活的思维.而教师在课堂中要充分发挥自己的引导启发能力,让学生从不同的角度、用不同的方式去思考问题,体会“条条大路通罗马”,从而训练学生的数学思维.
二、学生分析
1．学生已有知识基础
学生在小学、七年级已经学习并探索过三角形内角和定理,本节课由回顾原来探索方式的基础上展开,是一个很自然的过渡,应该不会有很大障碍.
2．学生学习该内容可能的困难
(1)一些学生可能在如何添加有效辅助线上产生困难.
(2) 一些学生可能在写证明过程时思路不太清晰.
(3) 一些学生可能在应用过程中产生困难,找不到问题之间的联系.
3．我的思考：
在教学过程中,对学生的引导要到位、有效,教学生如何进行严谨证明,规范书写格式,对学生出现的问题、困难及时发现、解决,所学知识及时强化.
三、学习目标
1.知识与技能:
（1）理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；
（2）能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明；
2.过程与方法
教师引导和学生自主探究、合作交流相结合
3.情感态度价值观
体会一题多解,体会思维实验和符号化的理性作用．
四、教学活动
本节课的设计分为六个环节：复习引入——自主探索——及时应用——当堂检测——总结反思——布置作业
活动内容:
Ⅰ. 复习引入：
1.提问：三角形内角和定理的内容是什么？
2.我们曾经用哪些方法验证或者证明过这个定理？
3.试用自己的语言说明你的证明思路.
设计意图：三角形内角和定理是学生已经熟悉的内容,通过预习,他们对以前的探索过程已有过回顾,回答前两个问题困难不大.只是第三个问题,将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难,因此这是一个台阶,使学生思维逐步过渡到严格的证明．
Ⅱ.自主探索:
三角形内角和定理的证明
问题：1.我们以前的证明思路是将三角形的三个内角通过撕、拼的方式移到一起,如果不移动角,能否借助辅助线实现这种移动效果？你有哪些方法？ 学生想到最多的可能是以下两种：
设计意图：经过第一环节,学生的思维已经开始活跃起来,而通过前一课时的学习,学生已经建立了通过平行线构造相等的角的意识,因此,本环节让学生结合前面的证明思路,自主思考,作出辅助线,找到证明方法,鼓励多样的方法.
2.能否将你的证明过程写出来？
设计意图：本节课的重点是训练学生严格证明的能力,因此,要求学生把自己的思路很清晰地写出来,之后由学生点评,最后由教师再做细致的补充.使学生了解：几何证明,第一步就是在图形中准确地标注已知信息,并进一步思考：根据这些信息还可以得到哪些接了？另外,标注顺序可能正反映解题顺序.
A B C D E A B C E D
3.前面大家找到的几种方法都是把三角形的三个角“凑”到某个角的顶点处, 能不能把他们“凑”到某条边上边上的一点？或者是三角形内一点,或者三角形外一点？
设计意图：学生受前面的探索过程的影响,只会想到把角“凑”到顶点处,这个问题的设置,引导学生进行发散思维,体会数学的变化无穷,激发学习兴趣.找到方法说明思路即可,不要求书写严格的证明过程.
Ⅲ. 及时应用:
1.正三角形的一个内角是多少度？证明你的结论.
2.△ABC中可以有3个锐角吗？3个直角呢？2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？
3.△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠B=
4.三角形中三角之比为1∶2∶3,则三个角各为多少度？
5．在△ABC中,∠B=38°,∠C=62°, AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
设计意图：本环节练习层层递进,是对本节课所学知识的一个巩固练习,让学生体会知识的实际应用.学生做完之后各小组派代表展示,并互相评价,再由老师做最后点评,尤其是在思考问题的方法、解题思路的写法上重点强调.
Ⅳ. 当堂检测:
1.∠A=50°,∠B=∠C,则△ABC中∠B=？
2.三角形的三个内角中,只能有____个直角或____个钝角．
3.任何一个三角形中,至少有____个锐角；至多有____个锐角．
4.已知：△ABC中,∠A=60°,∠C=70°,点D,E分别在AB和AC上,且DE∥BC.求证：∠ADE=50°.
设计意图：本环节是对本节课教学效果的检测,让教师对课堂有所把握,让学生对自己本节课学习结果有所了解,从中发现问题,做好反思,为以后的学习做好铺垫.
Ⅴ. 总结反思:
1、本节课你有哪些收获？
2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？
3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方？
设计意图：本环节是教师和学生对本节课的一个小结,检查学生这节课的学习情况,是否把握了重难点,对于没有提到的,要给予补充,对于容易出错的,要给予
强调.另外,还要让学生掌握学习新知识的方法,如可把它与所学的旧知识融合到一起．让可能多的学生谈谈自己的收获,只要积极的正确的都要给予肯定,并及时的鼓励.
Ⅵ. 布置作业：
设计意图：本环节让学生通过做作业进一步巩固所学知识,并且尝试把新知识用于实践,培养学生的创新意识和运用知识的能力.。