第13章-投资分析(4)Black-Scholes期权定价模型
BLACK-SCHOLES模型
BLACK-SCHOLES模型1. 简介BLACK-SCHOLES模型是一种用于定价期权合约的数学模型，由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出。
该模型是金融学领域最为重要的模型之一，广泛应用于期权交易和金融衍生品定价。
BLACK-SCHOLES模型基于以下假设： - 市场完全有效，不存在交易成本和税收。
- 资产价格的波动性是已知且常数。
- 资产价格的对数收益率服从几何布朗运动，即满足随机微分方程。
2. 基本原理BLACK-SCHOLES模型的基本原理是通过建立对冲组合，利用风险中性定价的原理来确定期权的价格。
其中，对冲组合由资产组成，通过买卖资产来抵消风险，使投资组合的价值在不同市场情况下保持稳定。
基于上述原理，BLACK-SCHOLES模型通过推导出具有完全对冲组合的几何布朗运动方程，得出了期权的定价公式。
该定价公式包括以下几个重要参数： - 资产价格（S）：期权标的资产的当前市价。
- 行权价格（K）：期权合约规定的买卖资产的价格。
- 无风险利率（r）：在期权有效期内，无风险投资所能获得的收益率。
- 期权有效期（T）：期权合约的剩余时间。
- 波动率（σ）：资产价格的对数收益率的标准差。
BLACK-SCHOLES模型的定价公式如下：$$C = S_0 \\cdot N(d_1) - Ke^{-rT} \\cdot N(d_2)$$$$P = Ke^{-rT} \\cdot N(-d_2) - S_0 \\cdot N(-d_1)$$其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格，N(x)表示标准正态分布的累积分布函数，d1和d2的计算公式如下：$$d_1 = \\frac{\\ln(\\frac{S_0}{K}) + (r +\\frac{\\sigma^2}{2})T}{\\sigma\\sqrt{T}}$$$$d_2 = d_1 - \\sigma\\sqrt{T}$$3. 应用与限制BLACK-SCHOLES模型具有广泛的应用领域，主要包括以下几个方面： - 市场定价：BLACK-SCHOLES模型通过考虑市场因素，对不同的期权合约进行定价，帮助投资者在期权交易中作出合理的决策。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
Black-Scholes期权定价模型
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
dS Sdt Sdz
则：
S St Sz
（6.12）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望 值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： （6.4） dx adt bdz 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运 动。
dG ( G S
S
G t
1 G
2
2 S
2
S ) dt
2 2
G S
Sdz
(6.10)
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
六、证券价格自然对数变化过程
令 G ln S ，由于 代入式（6.10）:
dS S dt dz
（6.6）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为：
S S
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes 期权定价模型我们在第五章用二叉树定价方法介绍了动态无套利均衡分析方法并引入了风险中性假设。
本章将通过介绍Black-Scholes 期权定价模型来深化这些概念。
在该模型中我们假设标的资产遵循几何布朗随机过程（这是一个特殊的马尔可夫过程）。
因此在讨论之前，我们必须作一些有关概念和数学知识的准备。
一、预备知识（一）正态和对数正态分布1、均值为μ，方差为σ2的正态分布随机变量x 的密度函数为：)2)(exp(21)(22σμσπ--=x x f ⑴ 如果正态变量的均值为0，方差为1，则称为标准正态随机变量，它的密度于分布函数分别为n(x )和N (x )表示，这里2221)(x ex n -=π dt e x N x t ⎰∞--=2221)(π2、如果x 是均值为x μ，方差为2x σ的正态分布变量，那么称x e Z =是对数正态分布的，其中)2exp(2xx Z σμμ+=且]1))[exp(2exp(222-+=x x x Z σσμσ。
证明：由于x ～),(2x x N σμ，则x 的密度函数为)2)(exp(21)(22xx xx x f σμσπ--=又因为x e Z =，则Z 的密度函数为 )2)(ln exp(21])([ ))(()(2211xx x Z ZZ g Z g f Z g σμσπ--='=--。
Z 的截断均值，定义为):(a Z Z E >，其值为：)ln ()2exp()(1)2exp( )22)]([exp(21)2)(exp(2 )( )():(2ln 222ln 24222ln 22x xx xx a xxx xxx axxx x x x xa xx x x x aaN dx x n dx x dx x e e Z dZ Z Zg a Z Z E σσμσμσσμσσμσσσμσμσπσμσπ+-+=--+=--+--=--===>⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞++∞当0→a 时，截断均值成为普通的均值，则对数正态变量Z 的均值即为：)2exp(2xx Z σμμ+= （2）其中)()(x N x n 和分别表示为标准正态分布的密度和分布函数。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
Black-Scholes期权定价模型解析
虑任何交易成本和其他费用
二、无收益资产的期权定价公式
• （一）无收益欧式看涨期权的价格
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
（1）
式中：N(d)为标准正态分布函数值。
• 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系， 可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ：
p Xer(T t) N (d2 ) SN (d1)
（2）
• 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平 价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差 分三种数值方法以及解析近似方法求出。
三、有收益资产的期权定价公式
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
c er(T t)[FN (d1) XN (d2 )] （3） p er(T t)[ XN (d2 ) FN (d1)] （4）
• 其中：
d1
ln( F
/
X)
2
T
2(T t
t)
d2
ln( F
/
X)
2 2(T
T t
t)
d1
T t
• （一）有收益资产欧式期权的价格
• 当标的资产已知收益的现值为I时，用（S－I）代 替式（1）和（2）中的S即可求支付固定收益证券 的欧式看涨和看跌期权的价格。
• 当标的资产的收益为按连续复利计算的固定收益率
q（单位为年）时，用 Seq(T t) 代替式（1）和
（2）中的S即可求出支付连续复利收益率证券的欧 式看涨和看跌期权的价格。
• 使用Black-Scholes期权模型可能出现一下问题：
财务管理第13章-投资分析(4)Black-Scholes期权定价模型
2022/10/3
（13.16）
31
▪ 由于ST服从对数正态分布，其pdf为
f (ST ) ST
1
exp[ (ln ST E(ln ST ))2 ]
2
2 2
将 ln ST s, E(ln ST ) s , u 由(13.16)得到
Ct er
Xu
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
df (f f s 1 2 f 2s2 )dt f s dw
t s
2 s2
s
2022/10/3
19
f
(f t
f s
s
1 2
2 f s2
2s2 )t f s w
s
假设某投资者以δ份的标的资产多头和1个单位的 衍生证券空头来构造一个组合，且δ满足
f s
则该组合的收益为
f s f fs s
E(ST ) St exp[(T t)]
St exp( )
（13.13）
2022/10/3
29
▪ 根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性 条件下，则资产的期望回报为无风险回报， 则
E(ST ) St exp(r ) （13.14）
由（13.13）和（13.14）得到
r
（13.15）
这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金 融资产的回报率均为无风险利率。
10
▪ 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。
➢ 漂移率和方差率为常数不恰当
dxt adt bdwt
▪若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程
dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
Black-Scholes 期权定价模型
Therefore, concluding
EX EEX | Y
2013-7-29 36
Summary:
When Y is discrete,
EX | Y y PY y
y
When Y is continuous,
2013-7-29
E X | Y y fY y dy
2 2 2 2 2
E Var X | Y E E X | Y E X | Y
2
2013-7-29
40
Note as well …
VarE X | Y E E X | Y E E X | Y
2
2
E E X | Y E X
2013-7-29
24
24
Proof of Theorem (2)
But , and so
Now support X is a nonnegative random variable. If X is an indicator function X=IA , then
which is When Z>0 almost surely, is defined and we may replace X in by
E[max(ST X , 0) Ft ]
其现值为c er (T t ) E[max(ST X ,0) Ft ]
2013-7-29
18
证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μ S、 方差率为 2 S 2 的伊藤过程来表示(为何用布 朗运动)
dS Sdt SdBt
BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S 定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C —期权初始合理价格L —期权交割价格S —所交易金融资产现价T —期权有效期r —连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N()—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
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ds dt dw ds sdt sdw
s
其中，w代表维纳过程
2020/11/29
3
B-S模型证明思路
ITO过程 dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
ITO引理
df
(f tf xຫໍສະໝຸດ a1 22 f x2
b2 )dt f b dw x
B-S微分方程
f t
f rs＋ 1 2 f 2s2 rf s 2 s2
1 2
2g St2
(
St
)2
)dt
g St
St
dw
( 1 2 )dt dw
2
即
d
(ln
St
)
(
1 2
2
)dt
dw
2020/11/29
25
T
t d (ln St )
T ( 1 2 )dt dw
t
2
ln ST
ln
St
(
1 2 )
2
(wT
wt )
由（13.1）wT wt ~ iidN (0,1)
ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
T t,t [0,T ]
2020/11/29
24
令 g g(St ) ln St 则
g St
1 St
2g , St2
1 St2
, g t
0
这样由伊藤引理得到 (a Stdt,b St )
dg (g g t St
St
exp[
2
2u 2
]dST
（13.17） 第1项
第2项
2020/11/29
Ker
1 X ST u
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
32
（3）化简（13.17）中的第1、2项，先化简第1项
er
Xu
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
St exp( ln St )er
X exp(ln ST )
f
(f t
f
1 2 f
t x x 2 x2
x2 ) 2 f xt xt
1 2 f 2 t2
t 2
（13.8）
2020/11/29
14
3
在连续时间下，即 t 0 从而 t2 0 t 2 0
3
lim xt at2 bt 2 0
t 0
因此，（13.8）可以改写为
f
f t
f
1 2 f
t x x 2 x2
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （13.11）
由于 N (0,1),则 D( ) E[( 0)2 ] E( 2 ) 1
由（13.11）得到
E(x2 ) b2t
（13.12）
2020/11/29
17
由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值 就收敛为真实值，即 x2 b2t
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
2020/11/29
28
B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
E(ST ) St exp[(T t)]
St exp( )
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
wt1 wt ws1 ws
2020/11/29
有效市场
6
▪ 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳 过程，其性质有
E(wt ) 0, D(wt ) t
▪ 当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻 到未来的T时刻）随机变量Δwt的满足
f s）r t s
整理得到
f t
f rs＋ 1 s2
2f s2
2s2
rf
2020/11/29
22
B-S微分方程的意义
f t
f rs＋ 1 s2
2f s2
2s2
rf
衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
E(dxt ) adt, D(dxt ) b2dt
10
▪ 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。
➢ 漂移率和方差率为常数不恰当
dxt adt bdwt
▪若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程
dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
f s
s w
f (st sw)
s
( f t
1 2
2 f s2
2s2 )t
2020/11/29
21
▪ 注意到此时Δπ不含有随机项w，这意味着该组合 是无风险的，设无风险收益率为r，且由于Δt较 小（不采用连续复利），则
又由于
rt
( f 1 2 f 2s2) t t 2 s2
f fs s
( f 1 2 f 2s2) t （ f t 2 s2
（13.13）
2020/11/29
29
▪ 根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性 条件下，则资产的期望回报为无风险回报， 则
E(ST ) St exp(r ) （13.14）
由（13.13）和（13.14）得到
r
（13.15）
这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金
融资产的回报率均为无风险利率。
1 ST
u
1
2
exp[
(s 2u
s
2
)2
]dST
当前时刻价格，不是变量
St
exp(ln
X
ST
ln
St
r )
1 ST
u
1
2
(s s )2 exp[ 2u2 ]dST
2020/11/29
（13.18）
33
➢ 标的股票不支付红利 ➢ 期权为欧式期权
2020/11/29
2
➢ 无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷 市场
➢ 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
➢ 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量 的标的股票
➢ 对卖空没有任何限制 ➢ 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗
x2
（13.9）
2020/11/29
15
x2 [at b t ]2
2
a2t2 b2 2t 2abt 2
b2 2t
（13.10）
且当t 0时，有t2 0,从而
lim D(x2 ) [b2t]2 D( 2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
2020/11/29
16
由（13.10）可得
ln ST
ln St
(
1 2 )
2
ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
2020/11/29
26
由于ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
则称ST服从对数正态分布，其期望值为
E(ST
)
St
exp[(
1 2
2
)
]
E[exp(
)]
E[exp( )] exp( 2 / 2)
所以 E(ST ) St exp( )
注意：E[exp( )] exp[ E( )]
2020/11/29
27
13.5 B-S买权定价公式
对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权 （买权）的在定价日t的定价公式为
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
2020/11/29
30
（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为 无风险利率r，故买权期望值的现值为
Ct er E[max(ST X , 0)]
e
r
E
(ST
X ), ST
X
0, ST X
er
X (ST X ) f (ST )dST
X
0 0 f (ST )dST
er
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当Δt→0时，由（13.9）可得
df
f t
dt
f x
dx
1 2
2 f x2
dx2
f t
dt
f x
(adt bdw)
1 2
2 f x2
b2dt
(f f a 1 2 f b2 )dt f b dw
t x 2 x2
x
■
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13.3 B-S微分方程
假设标的资产价格变动过程满足
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
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▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
N
N
wT i t t i
i 1
i 1
N
N
E(wT ) t E( i ) t E(i ) 0
i 1
i 1
N
B-S买权定价公式 C St N (d1) Ker N (d2 )
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13.1 维纳过程
▪ 根据有效市场理论，股价、利率和汇率具 有随机游走性，这种特性可以采用 Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。