阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法
几种常见函数的傅里叶变换及推导
几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。
在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。
1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。
方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。
假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。
根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。
根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。
傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。
2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。
高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。
假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。
根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。
根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。
3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。
矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。
阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法
阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法何勇福 皮小林 潘芳芳 南昌大学共青学院[摘 要]因为阶跃信号不满足傅里叶变换所需的条件---信号绝对可积， 故不 能直接利用傅里叶变换的定义式来求阶跃信号的频谱密度函数， 本文从多个方面 给出求解其傅氏变换的方法。
[关键词]阶跃信号；频谱函数；傅里叶变换；拉普拉斯变换 我们在用傅里叶变换公式计算一个信号的频谱密度函数时， 要求该信号的积 分必须存在，这就意味着信号要满足绝对可积这个条件。
对于单位阶跃信号来 说很显然不满足绝对可积，所以我们只能采用别的方法求其频谱函数，通常，用 取极限的方法是比较多的， 下面就结合信号与系统相关知识进一步研究其频谱函 数的多种求解。
一、按定义求解F [e (t )] = ò e - jwt dt = ò cos( wt )dt - j ò sin( wt )dt0 0 0¥¥¥= =1 1 sin( wt ) ¥ cos( wt ) ¥ 0 0 w jwlim ê ët ®¥é cos( wt ) ù 1 é sin( wt ) ù é sin( wt ) ù - sin ê - lim ê ú+ ú w ú w û t ®0 ë û t ®¥ ë jw û jw上式中第一项即 pd ( w) ，中间两项都等于零，最后一项是1 jw1 ，所以可 jw得阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) + 二、利用求极限的方法这是一种在很多教材上都采用了的一种方法。
将 e (t ) 看作单边指数信号衰减 信号 e - at e (t ) 当 a ® 0 时的极限，对于单边指数衰减信号的傅里叶变换容易求出：F [e -at e (t )] = 1 a w = 2 -j 2 2 a + jw a + w a + w2 1 ，但实部满足以下关系： jw当我们取 a ® 0 时容易求出虚部的极限为由此可以看出，这正是冲激信号 d（t） ，然后求得定积分的值 p 即为此冲激 信号的强度，所以可以得到阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) +1 jw三、利用符号函数求解ì+ 1, f (t ) = sgn( t) = í î- 1,t > 0 t < 0处理方法如下，作一个双边函数f1 ( t ) = sgn ( t ) e-a t，求 F1 (w )，求极限得到 F (w ) .(a ® 0)F1 (w ) = ò - ea t e- jw t dt + ò e -a t e- jw t dt =0 -¥ 0¥-1 1 - j 2w + = 2 a - jw a + jw a + w 2F (w ) = lim F1 (w ) = lima ®0 a ®0- j 2w 2 = 2 2 jw a +w又e (t ) =1 1 + sgn (t ) 2 21 jw故 e (t ) « pd (w ) +四、由冲激信号与阶跃信号的关系及傅里叶变换积分定理也可求得e (t ) = ò d (t )dt-¥tF ( w) = F [d (t )] = 1F [e (t )] =F ( w) 1 + pF (0)d ( w) = + pd ( w) jw jw这一方法结合傅里叶变换的性质，计算出了阶跃信号的频谱函数，而且 也很简便。
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯-性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1.了解特性的内在联系2.用性质求严㈣3.了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§ 3. 7.1对称性质S（r）分1孑盹）=1 o In^fa}例3-7-2己知凤sgn(如=Z,则-O 2兀sgn(-0)卫jt—丿亦gn@>)相移全通网络£例3-7-3ITT叫/分何/(®)=+牛)-《 -牛〕卜若0C=2^,则有gOc盒％(魂度为込的方波§3.7.2线性§ 3. 7. 3奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3. 4的"傅里叶变换的特殊形式”中己经介绍过。
1駅2砂贝心"（p）证明：由定义日/血］=匸/（灯妝訪（期可佔f［心）］=!>-対妝=£/妙*%血=F®窃（*砂，硕-2 .若jT（g讯劲.则（劲证明：设f（r）是实函数（为虚函数或复函数情况相似.略）F（期=匚芦（％耳皿=cosfitdf-显然丘（劲=Ly（F）cosffifdf 貢佃）=*（p）二关于血的偶函数疋（硏=-忍-硏二关于b的奇函数二列-0）=叭仞）已知而（-圳"（-甸二血—怩吓）§3. 7.4尺度变换性质综合上述两种情况3・意义(1) 0<a<l时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少, 幅度上升a倍。
⑵时域压缩，频域扩展Q倍。
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信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降E倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则耍以展开频带为代价。
014第三章-5常用信号的傅里叶变换
jct
jc t
F ( j( c ))
相乘，等效于在
频域中将整个频谱向频率增加方向搬移c
F f (t )e
jct
f (t )e
jct jt
e
dt dt F j jc
f (t )e
j c t
例：已知 f (t ) F ( j ) 求 f (t ) cosc t 的频谱。 解：
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
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2 A Sa( )
ASa (
2
)
A Sa ( ) 2 4
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
t
记 f1 (t ) e (t )
1 F f1 (t ) j
则 f (t ) e
|t|
t f1 (t ) f1 (t )
F ( j) F[ f1 (t )] F[ f1 (t )]
F1 ( j) F ( j)
* 1
F f at
f at e
若不符合绝对可积条件则不能直接计算， 但可通过其它变换对推出，并且一般含有 冲激函数。
常用信号的傅氏变换—8 8、周期性冲激序列δT(t)
间隔为T的均匀冲激序列， 以符号δT(t)表示
δT(t)是一个周期函数，可以展开成傅里叶级数：
1 jnt T (t ) (t nT ) An e 2 n n
详解傅里叶变换公式
详解傅里叶变换公式傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换到频域信号的数学方法。
它可以将一个信号分解为不同频率的正弦波之和，从而揭示信号的频率结构。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信、物理学等领域具有广泛的应用。
首先，我们要理解时域（Time Domain）和频域（Frequency Domain）的概念。
1. 时域：在时域中，信号表示为时间轴上的函数，例如：```f(t) = A * cos(2 * π* t) + B * sin(2 * π* t)```在这个例子中，f(t) 是一个正弦波函数，t 是时间。
2. 频域：在频域中，信号表示为频率轴上的函数，例如：```F(ω) = A * cos(2 * π* ω) + B * sin(2 * π* ω)```在这个例子中，F(ω) 是一个正弦波函数，ω是频率。
傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，公式如下：```F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^(-jωt) dt```其中，F(ω) 是频域信号，ω是频率，t 是时间，j 是虚数单位，e 是自然对数的底数。
傅里叶变换的逆变换公式如下：```f(t) = ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^(jωt) dω```现在，我们来通过一个简单的例子来说明傅里叶变换。
假设我们有一个正弦波信号，如下所示：f(t) = A * sin(2 * π* t) + B * sin(2 * π* t + π/4)```我们可以使用傅里叶变换将其转换为频域信号，如下所示：```F(ω) = A * cos(2 * π* ω) + B * cos(2 * π* ω+ π/2)```通过傅里叶变换，我们可以看到信号中包含的主要频率成分。
例如，在这个例子中，我们可以看到信号主要包含两个频率成分：一个是A = 1，ω= π/2 的正弦波，另一个是B = 1，ω= π/4 的正弦波。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质实质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段.之迟辟智美创作傅里叶变换具有唯一性.傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间简直定的内在联系.讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种水平的对称性.1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1．性质2．说明这个性质虽然简单，但实际上是应用最多的.例3-7-4§3.7.3 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过. 1.证明：由界说可以获得，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§3.7.4 标准变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩.脉冲继续时间增加a倍，信号变动减缓，信号在频域的频带压缩a倍.因此高频分量减少，幅度上升a倍.(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍.继续时间短，变动加快.信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍.此例说明：信号的继续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号继续时间压缩，则要以展开频带为价格.§3.7.5 时移特性性质幅度频谱无变动，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换.解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示.幅度频谱无变动，只影响相位频谱§3.7.6 时移+标准变换1. 性质：2. 证明：(仿的证明过程)那时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换两种方法结果相同.§3.7.7 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.8 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.9 时域微分性质1．性质2. 证明即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量独自求傅里变换，余下部份再用微分性质.§3.7.10 频域微分性质性质：则或例3-7-6解：例3-7-7解：……1. 性质2. 证明其中：（1）变上限积分用带时移的单元阶跃的无限积分暗示，成为（2）交换积分顺序，即先求时移的单元阶跃的信号的傅里叶变换（3）（5）.例题——时域积分性质1. 求单元阶跃函数的傅里叶变换.解：则2. 求门函数积分的频谱函数.解：。
常用函数的傅里叶变换
常用函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。
在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)]mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)]end{aligned}$$其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频，$delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。
2. 矩形函数矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下：$$mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。
3. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= -jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)-jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0)end{aligned}$$其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。
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阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法
何勇福 皮小林 潘芳芳 南昌大学共青学院
[摘 要]因为阶跃信号不满足傅里叶变换所需的条件---信号绝对可积， 故不 能直接利用傅里叶变换的定义式来求阶跃信号的频谱密度函数， 本文从多个方面 给出求解其傅氏变换的方法。
[关键词]阶跃信号；频谱函数；傅里叶变换；拉普拉斯变换 我们在用傅里叶变换公式计算一个信号的频谱密度函数时， 要求该信号的积 分必须存在，这就意味着信号要满足绝对可积这个条件。
对于单位阶跃信号来 说很显然不满足绝对可积，所以我们只能采用别的方法求其频谱函数，通常，用 取极限的方法是比较多的， 下面就结合信号与系统相关知识进一步研究其频谱函 数的多种求解。
一、按定义求解
F [e (t )] = ò e - jwt dt = ò cos( wt )dt - j ò sin( wt )dt
0 0 0
¥
¥
¥
= =
1 1 sin( wt ) ¥ cos( wt ) ¥ 0 0 w jw
lim ê ë
t ®¥
é cos( wt ) ù 1 é sin( wt ) ù é sin( wt ) ù - sin ê - lim ê ú+ ú w ú w û t ®0 ë û t ®¥ ë jw û jw
上式中第一项即 pd ( w) ，中间两项都等于零，最后一项是
1 jw
1 ，所以可 jw
得阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) + 二、利用求极限的方法
这是一种在很多教材上都采用了的一种方法。
将 e (t ) 看作单边指数信号衰减 信号 e - at e (t ) 当 a ® 0 时的极限，对于单边指数衰减信号的傅里叶变换容易求出：
F [e -at e (t )] = 1 a w = 2 -j 2 2 a + jw a + w a + w2 1 ，但实部满足以下关系： jw
当我们取 a ® 0 时容易求出虚部的极限为
由此可以看出，这正是冲激信号 d（t） ，然后求得定积分的值 p 即为此冲激 信号的强度，所以可以得到阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) +
1 jw
三、利用符号函数求解
ì+ 1, f (t ) = sgn( t) = í î- 1,
t > 0 t < 0
处理方法如下，作一个双边函数
f1 ( t ) = sgn ( t ) e
-a t
，求 F1 (w )，
求极限得到 F (w ) .(a ® 0)
F1 (w ) = ò - ea t e- jw t dt + ò e -a t e- jw t dt =
0 -¥ 0
¥
-1 1 - j 2w + = 2 a - jw a + jw a + w 2
F (w ) = lim F1 (w ) = lim
a ®0 a ®0
- j 2w 2 = 2 2 jw a +w
又
e (t ) =
1 1 + sgn (t ) 2 2
1 jw
故 e (t ) « pd (w ) +
四、由冲激信号与阶跃信号的关系及傅里叶变换积分定理也可求得
e (t ) = ò d (t )dt
-¥
t
F ( w) = F [d (t )] = 1
F [e (t )] =
F ( w) 1 + pF (0)d ( w) = + pd ( w) jw jw
这一方法结合傅里叶变换的性质，计算出了阶跃信号的频谱函数，而且 也很简便。
五、通过计算 1/ ω反变换的方法 此方法采用广义积分计算 1/ω的反变换,得到了阶跃信号的傅立叶变换。
计
算过程如下：
六、利用阶跃信号的拉普拉斯变换求其傅里叶变换 因为 L[e (t )] =
1 ， 而且阶跃信号的收敛边界为以虚轴为界的右半平面， 在 s=0 s
处有极点，因此，要由像函数导出傅里叶变换可将 s = jw 代入，并补足 pd ( w) 即 可，于是可得：
F [e (t )] = 1 s
s = jw
+pd ( w) =
1 + pd ( w) jw
最后我们也可以借助矩形脉冲的傅里叶变换， 再令矩形脉冲宽度趋于无穷大 来求得。
其中会用到 lim
t ®¥
t sa ( wt ) = d ( w) p
t sa ( wt ) p t p
w
-
p t
p t
π π t -, ¯,曲线下的面积 减小。
t t
t ® ¥, 能量压缩到 w = 0，面积仍为
由此可得强度为 七、小结
π t
t 的抽样函数取极限后为一冲激函数。
p
对于单位阶跃信号这一类不满足绝对可积条件的信号的傅里叶变换求法， 本 人认为还是应用跟教材联系比较紧密的方法进行求解， 本文给出了对阶跃信号频 谱密度函数的多种求解方法， 主要考虑对于这一类多种求解问题的研究有利于我 们揭示事物的本质，提高从多种角度观察同一事件的能力。
阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 何勇福， 皮小林， 潘芳芳 南昌大学共青学院 科学时代 KEXUE SHIDAI 2012(11)
本文链接：/Periodical_kxsd201211195.aspx
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