二次曲面和复习(课后较大修改版)
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。
2. 掌握空间解析几何的基本知识。
3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。
教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。
2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。
3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。
教学准备：1. 教案和教材。
2. 多媒体教学设备。
教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。
2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成教材中的练习题。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。
教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。
2. 理解线性变换和矩阵运算。
3. 学会运用向量空间解决实际问题。
教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。
2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。
二次曲面及复习(课后较大修改版)
x = x, 再作平移变换 y = y+1,
z = z,
则上式化为 x2 = 2y.
可见原方程表示一个抛物柱面.
注1：在例16中将两个一次项之和化为一 个一次项时，用了一个正交变换，如何 看出它是一个旋转变换呢？
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
z
x = x,
再作平移变换 y = y1,
O y
z = z,
x
则上式化为 y2 + 2z2 = 1.
可见原方程表示一个椭圆柱面.
第六章 二次型与二次曲面
例16. x2 + y + z 2 = 0.
§6.3 二次曲面
x 1 0 0 x 该变换是对 令 y = 0 2/2 2/2 y , 坐标轴作了
0
Λ=
1
,
4 那么在变换 x=Qy的作用下，二次型变为
f = y22 + 4y32.
注意对应
P240第8题(2)：最后要写出可逆线性变 换 x = P z . 切记 x 写在左边.
建议：正交矩阵的记号用Q, Q1, Q2, …
P240第10题(3): QTAQ=Λ => A=Q ΛQT => A=QΛ1/2 Λ1/2 QT => A=QΛ1/2 QTQΛ1/2QT =>可取U=Q Λ QT
事实上，对于一个正交变换x=Qy, 如果 |Q|=1，则称该变换是第一类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个旋转。 如 果|Q|= - 1，称该变换是第二类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变 换”(可以先做一个旋转)。(了解即可)
28.8.5二次曲面(二)及习题课.
23
例1
选择题:曲线
5x2
3y2
3z2
12
y 3
在xOz面上的投影曲线分别绕 x 轴和z
轴旋转一周所成的曲面是
(A) 单叶双曲面、二次锥面． (B) 单叶双曲面、双叶双曲面． (C) 圆柱面、椭球面． (D)马鞍面、单叶双曲面．
24
解题方法 消去一个变量可得投影柱面的方程,即 可求出投影曲线的方程,再旋转即可.
解 消去 y 得平行 y 轴的投影柱面方程为
3z2 5x2 15 即 z2 x2 1
53
z2 x2
投影曲线为
5
3
1
y 0
25
则绕 x 轴旋转得单叶旋转双曲面为: y2 z2 x2 1 53
绕 z 轴旋转得双叶旋转双曲面 z2 x2 y2 1 53
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
X
x2
,
amn
xn
34
a11 a12
a1n x1
AX
a21
a22
am1 am2
a11x1 a12 x2
a21x1
a22
x2
a2n x2
d
3
பைடு நூலகம்
12 22 22
故圆的半径 r R2 d2 259 4.
27
例3
判断
A
1
1
1，B
解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 22000000 而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x§ 4.2锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(下册)二次曲面 9.2 课后习题详解【圣才出品】
即得
因而是 YOZ 平面上的共轭双曲线． 共轭双曲面
在 ZOX 平面上的交线，为
即可得
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因而是 ZOX 平面上的共轭双曲线．
第 2 节 直纹面
1．已知柱面的准线方程为 解：此柱面的准线方程
证
．
证：设 Pi 的坐标为
，这里 ri＞0，则有
由于 i≠j 时，
垂直，于是可得
即得
，i＝1，2，3．试
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是正交矩阵，所以有 又 Pi 在 S 上，故可得 即 将上面三式相加，即可完成证明． 5．证明方程 (λ为参数)表示经过曲线
因此它们垂直当且仅当 又 P0∈S，故有 于是 P0 的轨迹满足：
当 a≠b 时，为双曲线．当 a＝b 时，为二相交直线： 和
6．试证单叶双曲面，双曲抛物面的母线有下列性质： 1）同族的两条母线不共面； 2）异族的两条母线共面； 3）经过单叶双曲面的一条母线的平面也经过另一族的一条母线； 4）经过对双曲抛物面的不平行对称轴的一条母线的平面也经过另一族的一条母线．
将（2，1，3）分别代入．则得μ＝Aλ，μ′＝0，于是过点 M(2，1，3)的两条直母线为 ，
5．求双曲抛物面
上互相垂直的直母线的交点的轨迹．
解：由抛物面 S 的方程可写为
于是其两族直母线为 于是过
， 的两条直母线，为
于是可得它们的方向数：
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的椭球面族，并求此族曲面的中心的轨迹方程． 证：设
解析几何第四版吕林根期末复习课后习题重点详解
解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解第一章 矢量与坐标§1.3 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B、D 三点共线．证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , CN 可 以构成一个三角形.证明： )(21AC AB AL += )(21BM +=)(21CB CA CN +=)(21=+++++=++∴BM7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA += MB OM OB += +=)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴从而三中线矢量,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +＝4.[证明]：因为＝21(OA +OC ), ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB +OC +＝4. 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ．→→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1 [证明]：如图1-7，因为图1-5＝OP －, ＝－OP ,所以 OP －＝λ (－OP ), (1+λ)OP ＝+λ,从而 OP ＝λλ++1OB. 4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合;（2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合解：（1）()12123131,e e e e -==-=-= ，2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123132e e +=（2）因为 ||||TC ||11e 且 BT 与方向相同，所以 BT ||21e e . 由上题结论有AT||||1||212211e e e e e +||||21e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。
二次型(课后修改版)
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例3. 用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形, 用配方法化f +3x +3x +2x 为标准形,
并求所用的可逆线性变换. 并求所用的可逆线性变换.
例4. 用配方法化f =x12−3x22−2x1x2−6x2x3+2x1x3 用配方法化f 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 例5. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 用配方法化f =2x +2x 为标准形. 并求所用的变换矩阵. 并求所用的变换矩阵.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
把它们单位化可得正交矩阵 1 2 0 1 2 Q= 0 , 1 0 1 2 0 −1 2 令x = Qy, 得该二次型的标准形为 Qy, f = xTAx = (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y (Qy) Qy) AQ) = yT 0 1 0
0 0 2 0 0 0
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 用配方法化f =2x +2x 为标准形. 并求所用的变换矩阵. 并求所用的变换矩阵. 分析: 分析: 若用前面正交变换的方法化 f 为标准形, 为标准形, 求变换矩阵非常麻烦. 求变换矩阵非常麻烦. 因为 0 1 1 f(x1, x2, x3)的矩阵A = 1 0 −3 , 的矩阵A 1 −3 0 |λE–A| = (λ–3)[λ+1 (3+ 17 )][λ+ 1 (3− 17 )]. (3− 2 2 但由此可见 f 可化为 f = 3y12 − 1 (3+ 17 )y22+ 1 ( 17 − 3)y32. 3y )y 3)y 2 2
九年级数学上册 19《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程(二)课后练习 北京课改版(20
九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程（二）课后练习（新版）北京课改版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程（二）课后练习（新版）北京课改版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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二次函数与一元二次方程（二)课后作业1。
已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ )A。
抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴C。
当x=3时，y＜0 D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根2.根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（）x 2 2。
23 2。
24 2。
25 ax2+bx+c -0.05 —0.02 0。
03 0。
07A。
2＜x＜2。
23 B. 2。
23＜x＜2.24 C。
2.24＜x＜2。
25 D. 2.24＜x≤2.253。
根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0,a、b、c为常数)的自变量x与函数y的对应值,判断ax2+b x+c=0的一个解x的取值范围为（）x 1.43 1.44 1。
45 1。
46 y=ax2+bx+c -0.095 —0.046 0。
0030.052A。
1。
40＜x＜1.43 B. 1。
43＜x＜1.44C。
1.44＜x＜1。
45 D。
1。
45＜x＜1。
464。
根据下列表格对应值：x 3。
24 3。
25 3。
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本周五上午1-4节课，在教八400； 下周三下午2:00-4:30, 晚上6:30-9:00, 在图 书馆北楼五楼数学系525室
教材改错
P221最后一行: 根号里的y2 应替换为z2 . P222第6行: “球” 应为“球面” .
第6章 二次型与二次曲面
第3节 二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：
3. 本ppt还增加了几个结论和例题：
注：一个实矩阵A与对角阵Λ合同，则A
一定是对称阵.
例.若矩阵
1 2
a 2
b
,
0
0 1
合同，则参数
a , b 满足条件
。
例.对于非零n(n>1)维列向量, 计算A= T 的特征值和特征向量.
集体答疑通知
时间：1月14号9:00 - 16:30 地点：教八400(西侧楼梯口附件)
再作平移变换 y = y+1, z = z,
则上式化为 x2 = 2y.
该变换是对 坐标轴作了 一个旋转.
可见原方程表示一个抛物柱面.
注1：在例16中将两个一次项之和化为一 个一次项时，用了一个正交变换，如何 看出它是一个旋转变换呢？
事实上，对于一个正交变换x=Qy, 如果 |Q|=1，则称该变换是第一类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个旋转。 如 果|Q|= - 1，称该变换是第二类正交变换， 其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变 换”(可以先做一个旋转)。(了解即可)
§6.3 二次曲面
一般方程 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + b1x + b2y + b3z + c = 0 xTAx + BTx + c = 0
a11 a12 a13
A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
x x= y
时，曲面为双叶双曲面.
5.当有两个特征值大于零，一个特征值等于零
时，曲面为椭圆柱面.
6.当有两个特征值小于零，一个特征值等于零
时，曲面为虚椭圆柱面.
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零
时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个Байду номын сангаас征值等于零，一个特征值大于零
时，曲面为一对平行的平面.
z
§6.3 二次曲面
二次型
b1 B = b2
b3
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
xTAx + BTx + c = 0 正交变换x = Qy y = (x, y, z)T
1x2 + 2y2 + 3z2 + b1x + b2y + b3z + c = 0
平移或旋转变换(见后面例题)
标准方程 (共17种,见教材231-233页)
注2：如进果一一步个, 如方果程一的个形方式程为的形式为 xx0,22 ++ adyx++abyz ++bcz=+0c, =
其中a, b 不同时为零，那么它一定 (表联示系一：个P2抛39物填柱空面第. 10题)
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例17. z = xy. 0 1/2 0 x
O y x
则上式化为 y2 + 2z2 = 1.
可见原方程表示一个椭圆柱面.
第六章 二次型与二次曲面
例16. x2 + y + z 2 = 0.
§6.3 二次曲面
x 1 0 0 x 令 y = 0 2/2 2/2 y ,
z 0 2/2 2/2 z
则原方程化为 x2 + 2( y 1) = 0. x = x,
，
x x= y
z
，
方程即为
xTAx = 1.
不难求出实对称阵A的特征值1, 2, 3 (从而
知道A的正负惯性指数), 然后对曲面分类.
1.当三个特征值均大于零时，曲面为椭球面.
2.当三个特征值均小于零时，曲面为虚椭球面.
3.当有两个特征值大于零，一个特征值小于零
时，曲面为单叶双曲面.
4.当有两个特征值小于零，一个特征值大于零
应修正为：
例题.设B为一个 n 阶对称阵，A是n 阶 正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的 个数分别等于B 的正负惯性指数.
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学： 2. 除了已经通知你们的集体答疑，我还安排 3. 了本班答疑，如下：
本班答疑
本周五上午1-4节课，在教八400； 下周三下午2:00-4:30, 晚上6:30-9:00, 在图 书馆北楼五楼数学系525室
解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 y , 0 00z
A
1 2 1 2 0
先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 ,
0 01
0 1/2 0
1/2 0 0
使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 .
0 00
0 00
第六章 二次型与二次曲面
x 1 2 1 2 0 x
令 y = 1 2 1 2 0 y ,
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
第六章 二次型与二次曲面
例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0.
§6.3 二次曲面
x
x
令 y = Q y ,
z
z
则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0.
即(y+1)2 + 2z2 = 1.
z
x = x,
再作平移变换 y = y1, z = z,
几何与代数
主讲: 王小六
写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：
1. 有一个例题(写了两次)是错误的. 原 题如下 : 例题. 设B为一个 n 阶方阵，左乘或右乘 一个正定矩阵 A 不会变 B 的正负惯性指 数.
例题. 设B为一个 n 阶对称阵，左乘或右 乘一个正定矩阵 A 不会改变 B 的正负惯 性指数。
z
0
0 1 z
则原方程化为 x2 y2 = 2z,
可见原方程表示一个双曲抛物面.
§6.3 二次曲面
特别地，假设二次曲面方程为如下形式，
a11x2 + a22y2 + a33z2
+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz = 1 记
a11 a12 a13
A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
第六章 二次型与二次曲面
例15. x2 + y2 + z2 2xz + 2y = 0.
§6.3 二次曲面
1 0 1
1 2 0 1 2
A= 0 1 0 , Q= 0 1 0 ,
1 0 1
12 0 12
0
x
x
QTAQ = 1 , 令 y = Q y ,
2
z
z
则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0.