第三节：向量的内积与施密特正交化过程
-向量的内积与施密特正交化过程
2
，
， ……
r
r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
( (r
r , r1) 1, r1)
r
1
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
,
,r
r r
,
1,2, ,r 是正交规范向量组，且
显然 1,2, ,r 仍与 1,2 , ,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
对于两非零向量
,
当
2
时，称两向量正交。这里显然等价于
(, ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
定义3 若 (, ) 0 称 , 正交，记 , 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 设向量组 1,2 , ,r
例3令
1
2
0
1 2
0
1
A
2
0
1 2
0
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1 2
验证A为正交矩阵
解：因列向量组为两两正交
的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 设 X ,Y Rn则称线性变换
Y AX 是正交变换。
例4 证明线性变换
x cos x sin y
y
sin
x
cos
y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间
施密特正交化详细计算过程
施密特正交化详细计算过程是[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。
由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。
正交：
在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零，那么就说这两个向量是正交的。
正交最早出现于三维空间中的向量分析。
换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。
若向量α与β正交，则记为α⊥β。
对于一般的希尔伯特空间，也有内积的概念，所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。
特别的，我们有n维欧氏空间中的正交概念，这是最直接的推广。
施密特正交化详细计算
施密特正交化详细计算施密特正交化是一种方法，用于将一个向量集转化为一个正交的向量集。
这个过程创建了一个正交基，可以更轻松地处理向量集。
在本文中，我们将详细介绍施密特正交化的计算步骤。
步骤1：给定向量集首先，我们需要有一个向量集，我们将其表示为 {v1, v2, ..., vn}，其中vi是向量集中的第i个向量。
步骤2：计算第一个正交向量我们将求解向量集中的第一个正交向量。
我们选择 v1 作为我们正交基的第一个向量，因为它是向量集中的第一个向量。
步骤3：计算第二个正交向量为了计算第二个正交向量，我们需要将向量 v2 投影到基 v1 上。
投影的计算公式如下所示：projv1(v2) = ( v2 • v1 / ||v1||^2 ) * v1其中，• 表示向量的点积运算，||v1|| 表示向量v1 的范数（长度）。
然后，我们从 v2 中减去投影，以得到第二个正交向量：u2 = v2 - projv1(v2)步骤4：计算第三个正交向量为了计算第三个正交向量，我们将向量 v3 投影到基 v1 和 v2 上，然后从 v3 中减去这两个投影。
首先，计算 v3 在 v1 上的投影：projv1(v3) = ( v3 • v1 / ||v1||^2 ) * v1然后，计算 v3 在 v2 上的投影：projv2(v3) = ( v3 • v2 / ||v2||^2 ) * v2最后，我们可以计算第三个正交向量：u3 = v3 - projv1(v3) - projv2(v3)步骤5：重复步骤4直到所有向量都被处理完对于具有 n 个向量的向量集，我们可以重复步骤4的过程 n - 1 次，直到我们得到所有的正交向量。
总结：总而言之，施密特正交化是一种将向量集转化为正交向量集的方法。
该方法的计算步骤包括：1. 给定一个向量集。
2. 计算第一个正交向量，将其作为正交基的第一个向量。
3. 计算每个向量在前面的正交向量（基）上的投影，并从原向量中减去这些投影，得到下一个正交向量。
内积空间的标准正交基与施密特正交化
内积空间的标准正交基与施密特正交化在线性代数中，内积空间是一种具有内积运算的向量空间。
内积空间的一个重要性质是存在标准正交基，也可以通过施密特正交化方法得到正交基。
本文将介绍内积空间的标准正交基及施密特正交化方法，并分析它们在向量计算和应用中的重要性。
一、内积空间的标准正交基在内积空间中，向量的内积运算满足线性性、正定性和对称性等性质。
一个向量空间的标准正交基是指基向量两两正交且长度为1的基向量组。
对于内积空间中的任意两个不同的标准正交基，它们之间的过渡矩阵是正交矩阵。
为了构造内积空间的标准正交基，可以使用Gram-Schmidt正交化过程。
设V是一个内积空间，有n个线性无关的向量v1, v2, ..., vn，我们可以通过以下递推公式构造一个标准正交基：u1 = v1 / ||v1||u2 = (v2 - proj(v2, u1)) / ||(v2 - proj(v2, u1))||...un = (vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1)) / ||(vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1))||其中，proj(v, u)表示向量v在向量u上的投影。
通过Gram-Schmidt正交化过程，我们可以将任意线性无关的向量组转化为一个标准正交基。
标准正交基在计算和解决向量空间相关问题时非常有用，可以简化计算过程并提高计算效率。
二、施密特正交化方法施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法，并不要求正交向量组是标准正交基。
施密特正交化方法在实践中非常常用，特别是在信号处理、图像处理等领域。
给定一个向量空间V和线性无关向量组v1, v2, ..., vn，施密特正交化过程可以通过以下递推公式实现：u1 = v1u2 = v2 - proj(v2, u1)...un = vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1)在施密特正交化过程中，我们首先将第一个向量保持不变。
第三节：向量的内积与施密特正交化过程
⇔ A =A
T
。
−1
令
α 1T T α 2 A = M T α n
= ( β , β ,L , β ) 1 2 n
由上式不难得到： 为正交矩阵 由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i = j 1, ⇔(α ,α ) = ⇔ (βi , β j ) = 0. i ≠ j 0.
T T
都正交的向量集。 都正交的向量集。 解：设与 α1,α2 都正交的向量为
T x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 α1T x = 0 α2 x = 0
T
得齐次线性方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 4 = 0
x = k1(−1,0,1,0)T + k2 (−1,0,0,1)T 解得
α1 = (1,0,1)T ,α2 = (1,1,0)T ,α3 = (0,1,1)T 例2 设
正交化过程将其化为标准正交组。 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 正交化过程将其化为标准正交组 解：取 β1 = α1 = (1, 0,1)T
(α2 , β1 ) 1 1 1T 1 T T β2 = α2 − β1 = (1,1,0) − (1,0,1) = ( ,1, − ) = (1,2, −1)T (β1, β1 ) 2 2 2 2
θ =
π
2
时，称两向量正交。这里显然等价于 称两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。 (α, β) = 0 因此可利用内积定义两向量正交。 正交， 定义3 定义 若 (α, β ) = 0 称 α , β 正交，记 α ⊥ β 中只要有一个为零向量， α , β 中只要有一个为零向量，必有 (α , β ) = 0 又零向量与任何向量看作是正交的， 又零向量与任何向量看作是正交的，且
向量的内积与施密特正交化过程
向量的内积与施密特正交化过程向量的内积（亦称点积、内积积）是线性代数中非常重要的运算，它是将两个向量映射成一个标量的二元运算。
在内积中，有几个重要的性质和应用。
另一方面，施密特正交化过程是将线性相关的向量组转变为线性无关的正交向量组的过程。
在施密特正交化过程中，我们通过对向量组进行逐步的处理，使新的向量与之前的向量都正交。
一、向量的内积在二维欧几里得空间中，向量的内积定义为：其中，和分别为向量和的坐标。
在三维欧几里得空间中，向量的内积定义为：1.对于任何向量，都有。
2.对于任何向量，都有。
3.对于任何向量和标量，都有。
4.若向量和满足，则称向量和正交，记作。
内积具有许多应用和重要性质，其中之一是通过内积计算向量的模长，即。
内积还可以用于计算两个向量之间的夹角。
对于向量和，，当且仅当和共线时夹角为0，在此情况下,称向量和共线。
施密特正交化过程是将线性相关的向量组转化为线性无关的正交向量组的过程。
施密特正交化过程的基本思想是，通过不断减去之前所有的向量在当前向量上的投影，得到与之前向量正交的新向量。
具体步骤如下：对于给定的向量组，我们希望将其转化为正交向量组。
施密特正交化过程的步骤如下：1.令，即第一个正交向量等于第一个向量。
2.对于向量，对其进行如下处理：a.计算向量在的投影，即。
b.令为向量减去其在上的投影，即。
c.实际得到的向量与垂直，即。
得到向量的长度。
3.对于向量，继续对其进行如上处理。
经过施密特正交化过程，我们最终可以得到单位正交向量组。
如果希望得到标准正交向量组，即长度为1的正交向量组，需要将单位正交向量组进行标准化处理。
施密特正交化过程的关键思想是不断减去之前的向量在当前向量上的投影，得到与之前的向量正交的新向量。
这样可以确保每次得到的新向量都与之前向量组成的空间正交。
施密特正交化过程广泛应用于数值计算中的线性代数问题，例如最小二乘法、特征值问题等。
它的作用是简化计算，提高计算的精度和稳定性。
向量的内积与施密特正交化过程
向量的内积与施密特正交化过程向量的内积是线性代数中重要的概念，它不仅可以表述两个向量之间的夹角关系，还可以用于正交化过程中的计算。
施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为一组正交向量组的过程。
本文将分为以下几个部分介绍向量的内积和施密特正交化过程。
一、向量的内积A·B=a1b1+a2b2+...+anbn1.交换律：A·B=B·A2.分配律：(A+B)·C=A·C+B·C3.结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数4.内积为0的充要条件：当且仅当A、B正交（或垂直）时，A·B=0内积具有很多实际应用，比如：1.计算向量的模长：，A，=√(A·A)2. 计算向量之间的夹角：cosθ = (A·B)/(，A，B，)3.判断两个向量是否垂直：当且仅当A·B=0时，A与B垂直4.判断向量的正负性：当A·B>0时，夹角θ为锐角；当A·B<0时，夹角θ为钝角二、施密特正交化施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为一组正交向量组的过程。
假设有一组线性无关的向量A1,A2,...,An，施密特正交化的过程如下：1.选择一个向量a1作为正交向量组的第一个向量，令b1=a1/，a1，即单位化。
2.对于第k个向量向量Ak(k=2,3,...,n)，先将它与前k-1个向量的内积计算出来，然后减去它在前k-1个向量的投影：Ak' = Ak - (Ak·b1)b1 - (Ak·b2)b2 - ... - (Ak·bk-1)bk-1其中，bk = Ak'/，Ak'3. 重复步骤2，直到计算完所有向量。
经过施密特正交化，得到一组正交向量组b1,b2,...,bn。
施密特正交化的过程可以通过内积的运算来实现，将向量投影的概念用到了正交化过程中。
§34向量的内积与正交化
定义2 令 x ( x, x) xT x x12 x22 xn2 ||x||称为n维向量x的模 (或长度,范数)
特别,当||x||1时 称x为单位向量
当 x 0 时，称 1 x 为 x的单位化向量. || x ||
向量的长度的性质
设x y为n维向量 为实数 则
称为n维向量x与y的夹角
当(x y)0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向量都正交
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
二 向量组的正交化
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组 为正交向量组．
br 1
容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar
等价
把b1 b2 br单位化 即得一个规范正交向量组
e1
1 ||b1||
b1
e2
1 ||b2
||
b2
er
||
1 br
||
br
例1 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化
解 令b1a1
b2b2 aa2 2((b[b[b1b11,,1,,abab1212))]]bb11
311
4 6
定理：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是 单位向量 且两两正交
证明： AT A I
a11 a21 an1 a11 a12 a1n
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定义6 设
X , Y R n则称线性变换
其行（列）向量是两两正交的单位向量 故为正交矩阵，故上述线性变换是正交 变换。上述线性变换代表平面上的一个 坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换 是正交变换 下面介绍正交变换的性质：1）.设 Y CX 为一正交变换，则
Y CX
X Y
Y AX 是正交变换。
,r
3 3
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
(3 , 1 ) ( , ) 1 1 1 1 3 2 2 (0,1,1)T (1,0,1)T (1, 2, 1)T ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) 2 3 2
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一.向量的内积与施密特正交化过程 引言：在几何空间，我们学过向量的长 两向量夹角的概念，并由此定义两向量 的数量积
，
二次型
二次型化标准型
cos
，
利用坐标分别有下面计算公式：设 设 (a1 , a2 , a3 )T , (b1 , b2 , b3 )T 则
得齐次线性方程组
都正交的向量集
2
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2.施密特正交化方法 设
1 , 2 ,
,r
，
1 1
2 2
( 2 , 1 ) 1 ( 1 , 1 )
是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组
，
3 3
，
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
1 , 2 ,
, r 使其与 1 , 2 , , r 等价。
其作法分两步(1).正交化，令
， ……
r r
( r , 1 ) ( , ) 1 r 2 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
( r , r 1 ) r 1 ( r 1 , r 1 )
3
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令
T 1 T 2 ( , , A 1 2 T n
, n )
例3令
由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i j 1, ( , ) ( i , j ) 0. i j 0.
。
以上证明留给读者。
定义2 设
(a1 , a2 ,
, an )T
2 an
向量的长度有下列性质： (1).非负性：
；
2 ( , ) a12 a2
0; 0当且仅当
。
0
称向量
，
的长度。长度为1的向量称单位向量。 设 0
0
1
(2).齐次性： k k
x1 x2 x3 x4 0 x1 x3 x4 0
T T 解得 x k1 (1,0,1,0) k2 (1,0,0,1)
都正交的向量集。 解：设与 1 , 2 都正交的向量为 即为与
1 , 2
x ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 由 1T x 0 2T x 0
为两两正交的非零向量， 称其为正交向量组。
。
1 i j (i , j ) 0 i j
i 1,2, , r
定理1 设 1 , 2 ,
, r 为正交向量组，则
1 , (1,1,1,1) , 2 (1,0,1,0)
cos
2 a12 a2 a32 , a1b1 a2b2 a3b3
（设
a1b1 a2b2 a3b3 2 a12 a2 a32 b12 b22 b32
0, 0
为了今后应用的需要，将这些概念 及公式推广到n维向量。 1. 向量的内积 定义1 n n维向量空间 R 中任两个向量
(2). 单位化（规范化）：取
1 2 r 1 ,2 , ,r , 1 2 r
T T T 例2 设 1 (1,0,1) , 2 (1,1,0) , 3 (0,1,1)
用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 解：取 1 1 (1, 0,1)T
；
(3).三角不等式： 以上性质证明留给读者。
，即为一单位向量。称将
单位化。
( , ) 证略。 (4).柯西不等式：
1
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由柯西不等式得
( , )
对于两非零向量 , 当
：
2
1
时，称两向量正交。这里显然等价于 ( , ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。 定义3 若 ( , ) 0 称 , 正交，记
2 ( 1,1,1)T 3
1 单位化得
1
1
1
1 (1, 0,1) 2
1 2 (1, 2, 1) 2 2 6
3
1
1
3. 正交矩阵与正交变换 定义5方阵A满足
AAT I
则称A为正交矩阵。由定义不难得到： A为正交矩阵
。
3
1 3 ( 1,1,1) 3
AT A1
则有
( X1 , X 2 ) (Y1 , Y2 )
即正交变换下向量内积不变。由于正交 变换保持向量长度、内积不变，因而保 持两向量夹角及正交性不变，因此施以 正交变换后图形的几何形状不变，因此 可利用正交变换研究图形的几何性质。
4
, 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
由此可定义两非零向量的夹角：
；
cos
( , )
或
arc cos
( , )
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。 定义4 设向量组
1 ,2 , , r
如果正交向量组中。每个向量还是单位向量 量则称其为标准正交向量组或正交规范向 量组。如它们还是向量空间的基底则分别称 其为正交基或标准（规范）正交基。即正交 规范组（基）满足
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间 内积具有下列性质： （交换性）; (1)( , ) ( , )
(2)( k , ) k ( , ) ( , k ) (3)( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
k为数（性质(2)， (3)称单线性）
（
(a1 , a2 , , an )T , (b1 , b2 , , bn )T
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
0 (4)( , ) 0; ( , ) 0 当且仅当
2 2
( 2 , 1 ) 1 1 1 1 1 (1,1,0)T (1,0,1)T ( ,1, )T (1, 2, 1)T ( 1 , 1 ) 2 2 2 2
1 , 2 , , r
显然
是正交规范向量组，且 仍与
1 , 2 , , r
1 , 2 ,
T i T j
i j i j
A
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
验证A为正交矩阵 解：因列向量组为两两正交 的单位向量，故为正交矩阵 。
即A的行（列）向量是两两正交的单位向量 即是 Rn 的正交规范基）
例4 证明线性变换
x cos x sin y y sin x cos y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
cos sin sin cos
即正交变换保持向量长度不变。2）设 为一正交变换，对任意
X 1 , X 2 R n Y1 CX1, Y2 CX 2