模糊数学——第16次 模糊语言变量讲解
数学建模中的模糊数学
关于模糊C任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
模糊变量的运算及模糊微分方程
研究生学期论文题目：模糊变量的运算及模糊微分方程学院数学与计算机学院专业运筹学与控制论学号20111063姓名王烨指导教师尤翠莲2011年12月16日模糊变量的运算摘 要模糊集合(Fuzzy Set)的概念最早由L.A.Zadeh 在1965年提出，用来表达模糊性概念的集合，又称为模糊集、模糊子集。
模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象。
Zadeh 在1978年又提出了可能性理论(Possibility Theory)，定义了可能性测度。
在2002年，刘宝碇和刘彦奎提出了可信性测度的概念，从而开创了一个数学分支——可信性理论(Credibility Theory)。
基于可信性测度，可以进一步研究模糊变量的计算及其相关性质。
模糊微分方程是描述不确定系统的有效工具，在物理学、化学、生物、计算机、管理、统计，以及社会科学等各个领域都发挥了重要的作用，因此研究模糊微分方程就显得十分有意义。
本文在简要介绍一些常见的模糊变量计算和模糊过程的相关内容的基础上，引进由Liu 过程驱动的模糊微分方程。
关键词：模糊变量；Zadeh 扩展原理；模糊过程；模糊微分方程1 模糊变量及其运算1.1 模糊变量定义1.1.1 模糊变量：(,,)C r R ΘP 从到的一个函数.定义1.1.2 模糊向量：12(,,...,),1,2,...,.n i i n ξξξξ⇔=为模糊向量为模糊变量1.2 模糊变量的运算定义1.2.1:,,,...,(,,...,)1212nf RR n n ξξξξξξξ→⇒=模糊变量为模糊变量.((),(),...,()).12f n ξθξθξθξθ=且()()()()(),1212ξξθξθξθ+=+()()()()1212ξξθξθξθ⋅=⋅刻画模糊变量，用分布函数，密度函数，隶属函数。
定义1.2.2 隶属函数：(,,)()2{}1,C r x C r x x RξμξΘP ==∧∈是定义在上的模糊变量，则隶属函数：注：一个隶属函数不唯一对应一个模糊变量，即给定μ可能与几个模糊变量ξ对应。
数学建模-模糊数学理论
1.2 模糊集与隶属函数
• 论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围 内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U， 称之为论域。 •普通集合——特征函数 设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合 A的特征函数 :（集合A可由特征函数唯一确定）
•模糊集合——隶属函数
1.2.1模糊集与隶属函数的概念
1）论域U上的模糊集合A指：对于任意的u∈U, 总是以某个程度 属于A；即对于所研究的 某个对象，我们不能确定它有或者没有一个模 糊概念所描述的性质。而只能讨论它具有这种 性质的程度是多少。用集合论的观点说，定义 一个模糊集合，我们无法确定一个元素是否属 于这个模糊集合，而只能说它有多大程度属于 这个模糊集合。这种从属程度我们用0，1之间 的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的 想法。
4）二元对比排序法
对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过 两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序， 再用数学方法加工得到隶属函数，其实是隶属函数的 一种离散表示法
2模糊关系与模糊矩阵
2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念
1）模糊关系
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系
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• 模糊数学所研究的不确定性是：它所处理事 物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，称这种不确定性为模糊性。 如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女 生”、“黎明时刻”、“班上高个子学生”等。 我们无法明确地指出，从几点钟开始就算黎明， 或身高多少就是高个子。这种概念具有模糊性， 无法用普通集合来描述。为了定量地表示这类 模糊概念，并研究它们的客观规律性，就必须 把普通集合的概念加以拓广，借助于模糊集合 来研究。
模糊数学
模糊数学简介
集合的运算规律 幂等律： ∪ 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； ， ； 交换律： ∪ 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； ∪ ， ； 结合律： ∪ ∪ 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ∪ ∪ ， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； ； 吸收律： ∪ 吸收律： A∪( A∩B ) = A， ， A∩( A∪B ) = A； ∪ ； 分配律： ∪ 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C ); ∪ ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C ); ∪ ∪ ∪
1, χ A( x) = ： (1)枚举法；(2)描述法，A={x | P(x)}. 枚举法； 描述法 描述法， 枚举法 A⊂B ⇔ 若x∈A，则x∈B； ⊂ ∈ ， ∈ ； A⊃B ⇔ 若x∈B，则x∈A； ⊃ ∈ ， ∈ ； A=B ⇔ A ⊂ B且 A ⊃ B. 且 集合A的所有子集所组成的集合称为 的 集合 的所有子集所组成的集合称为A的 的所有子集所组成的集合称为 幂集, 记为2 幂集 记为 A. 并集A∪ 并集 ∪B = { x | x∈A或x∈B }； ∈ 或 ∈ ； 交集A∩B = { x | x∈A且x∈B }； 交集 ∈ 且 ∈ ； 设全集是X, 余集A 设全集是 A⊂X, 余集 c = { x | x∈X, x∉A }. ∈ ∉
关系合成的矩阵表示法 设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = {y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的关系 , R1 = (aik)m×s， × Y 到Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， × 的关系可表示为矩阵形式： 则X 到Z 的关系可表示为矩阵形式： R1 ○ R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}, R1 R2 称为矩阵
模糊数学和其应用
04
总结与展望
模糊数学的重要性和意义
模糊数学是处理模糊性现象的一种数学 理论和方法，它突破了经典数学的局限 性，能够更好地描述现实世界中的复杂 问题。
模糊数学的应用领域广泛，包括控制论、信 息论、系统论、人工智能、计算机科学等， 对现代科学技术的发展起到了重要的推动作 用。
模糊数学的出现和发展，不仅丰富 了数学理论体系，也促进了各学科 之间的交叉融合，为解决实际问题 提供了新的思路和方法。
随着计算机技术的发展，模糊 数学的应用越来越广泛，成为 解决复杂问题的重要工具之一 。
模糊数学的基本概念
模糊集合
与传统集合不同，模糊集合的成员关系不再是确 定的，而是存在一定的隶属度。例如，一个人的 身高属于某个身高的模糊集合，其隶属度可以根 据实际情况进行确定。
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合的程度。隶 属函数的确定需要根据实推理规则不再是一 一对应的，而是存在一定的连续性。例如，在医 疗诊断中，病人的症状与疾病之间的关系可能存 在一定的模糊性，通过模糊逻辑可以进行更准确 的推理。
模糊运算
与传统运算不同，模糊运算的结果不再是确定的 数值，而是存在一定的隶属度。例如，两个模糊 数的加法运算结果也是一个模糊数，其隶属度取 决于两个输入的隶属度。
模糊数学在图像处理中的应用
总结词
模糊数学在图像处理中主要用于图像增强和图像恢复。
详细描述
通过模糊数学的方法，可以对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的视觉效果和识别能 力。例如，在医学影像处理中，可以利用模糊数学的方法对CT、MRI等医学影像进行降噪、增强和三 维重建等处理，提高医学诊断的准确性和可靠性。
02
模糊数学的应用领域
模糊控制
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
数学建模方法详解--模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
数学建模 模糊数学方法
模糊数学方法1965年美国加利福尼亚大学控制论专家扎德（Zadeh L ．A ．）教授在《Information and Control 》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets ”，这标志着模糊数学的诞生。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。
众所周知，经典数学是以精确性为特征的。
然而，与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的。
甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好。
例如，要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”。
尽管这里只提供了一个精确信息——男人，而其他信息——大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用。
§1 模糊集的基本概念要想掌握模糊数学方法，必须先了解模糊集的基本概念，特别是隶属函数的建立方法。
1.1 模糊子集与隶属函数定义1 设U 是论域，称映射():[0,1]A x U →确定了一个U 上的模糊子集A ，映射()A x 称为A 的隶属函数，它表示x 对A 的隶属程度。
使()0.5A x =的点称为A 的过渡点，此点最具模糊性。
当映射()A x 只取0或1时，模糊子集A 就是经典子集，而()A x 就是它的特征函数。
可见经典子集就是模糊子集的特殊情形。
例 1 设论域123456{(140),(150),(160),(170),(180),(190)}U x x x x x x =（单位：cm ）表示人的身高，那么U 上的一个模糊集“高个子”（A ）的隶属函数()A x 可定义为140()190140x A x -=-，也可用Zadeh 表示法：12345600.20.40.60.81A x x x x x x =+++++， 上式仅表示U 中各元素属于模糊集A 的隶属度，不是普通分式与求和运算。
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v2
0
uv uv
2020年9月25日
8
例2：
Au
1 0
u4 u4
FA
u
vU
E
u,
v
A
v
E
u,
4
e u 4 2
0
u4 u4
2020年9月25日
9
3、判定化算子
P Au d Au
其中，P称为判定化算子，d 为定义在[0，1]上 实函数（0 < 0.5），即
0
d
x
1 2
1
x x 1 x 1
例4： 大 = 0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.8 + 1 + 1 + 1
4 5 6 7 8 9 10
小 = 1 + 0.8 + 0.6 + 0.4 + 0.2
12 3 4 5
2020年9月25日
12
不大 = 1 + 1 + 1 + 0.8 + 0.6 + 0.4 + 0.2
123 4 5 6 7
2020年9月25日
5
例1：
0
老
A
u
1
u
50 5
2
1
0 u 50 50 u 200
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6
2020年9月25日
7
2、模糊化算子
FA u
E
A
u
vU
E
u,
v
A
v
其中，F称为模糊化算子，E 是U= (, +)上的一个
近似关系，一般取为正态分布：
E
u,
v
eu
第三章 模糊逻辑与模糊推理 3.2 模糊语言
自然语言 模糊语言 研究目的： 实现自然语言和计算机直接对话
为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言 和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立模糊数 学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立 模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。
不小 =。。。。
不大也不小=不大 不小=。。。。。
很大 = 0.04 + 0.16 + 0.36 + 0.64 + 1 + 1 + 1
4 5 6 7 8 9 10
倾向大
=P0.5
大
=
0 4
+
0 5
+
1 6
+
1 7
+
1 8
+
1 9
+
1 10
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13
语言值四则运算
+ z x y x yz
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10
例3：
1
A
u
1
u
25 5
2
1
0 u 25 25 u 200
0
d
x
1
2
1
x x 1 x 1
P0.5
Байду номын сангаас
年青
=d0.5
年青
=
0 1
u 30 u 30
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11
语言值及其四则运算
语言值：自然语言中表示数理的词，如大、小、多、少、 长、短、高及很大、很多、相当多、比较少、可能、不大可能 等 注意：语言值是定义在实数域或子集上的模糊子集。
注意：
命名关系表示了U中研究对象属于术语集合T的隶属程度。
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3
模糊语言算子
表达语气的肯定程度：非常、很、极 使词义模糊化：大概、近似于 使词义肯定化：偏向、倾向于
1、语气算子 2、模糊化算子 3、判断化算子
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4
1、语气算子
H Au Au
其中，H称为语气算子， > 0, Au为模糊子集。
z x y x yz
z x y x• y z z x y xyz
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14
2020年9月25日
1
模糊语言：
模糊语言是用四元组L =（U, T, E, N）表示的系统，
（1）U是论域；
（2）T是表现U中模糊子集名称的词或术语的集合，
称为术语集合。 （3）E是由表示术语的字母和符号及它们的各种联
结构成的集合（联结方式不同，得到E的不同元 素，它们属于T的程度也不同。则T是E上的模糊集）
（4）N是指从E到U的模糊关系，称为命名关系。
N: E U [0,1]
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2
例： U = {花}, T = {红，绿，蓝，…}， E = {红，绿，蓝，红+绿，绿+蓝, …}
T: E [0,1]
N: E U [0,1] , N(红，玫瑰) = 0.9，N(蓝，玫瑰) = 0.4