一元二次方程方程与实际问题传染病问题-
九年级一元二次方程实际问题
九年级一元二次方程实际问题一、传播问题例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
第一轮传染后，有x + 1个人患流感；第二轮传染后，有x(x + 1) + x + 1个人患流感。
则可列方程：1 + x + x(1 + x) = 1211 + x + x + x^2 = 121x^2 + 2x - 120 = 0(x + 12)(x - 10) = 0解得x_1 = 10，x_2 = -12（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人。
二、增长率问题例：某工厂第一年的利润为 20 万元，第三年的利润为 y 万元。
假设每年的平均增长率为x，则 y 与 x 之间的函数关系式为？解析：第二年的利润为20(1 + x)万元，第三年的利润为20(1 + x)^2万元。
所以y = 20(1 + x)^2三、销售问题例：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。
若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？解析：设每件衬衫应降价x元。
每件利润为(40 - x)元，每天销售量为(20 + 2x)件。
则可列方程：(40 - x)(20 + 2x) = 1200800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200-2x^2 + 60x - 400 = 0x^2 - 30x + 200 = 0(x - 10)(x - 20) = 0解得x_1 = 10，x_2 = 20因为要尽快减少库存，所以x越大越好，故x = 20答：每件衬衫应降价 20 元。
四、面积问题例：用一块长 80cm，宽 60cm 的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为x cm 的小正方形，然后做成底面积为 1500cm²的没有盖的长方体盒子，求x的值。
一元二次方程传染病问题例题
一元二次方程传染病问题例题假设某传染病的传播模型可以用一元二次方程来描述，我们来解决一个与这个问题相关的实际例题。
假设某城市爆发了一种传染病，病毒的传播速度和人群的接触频率有关。
为了控制疫情，市政府采取了一系列的措施，包括隔离患者、提高人们的卫生意识等。
为了评估这些措施的有效性，我们希望用一元二次方程来模拟传染病的传播情况。
假设疫情爆发后，人们发现每天新增感染人数呈现出一个明显的二次函数规律，即每天新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程来描述。
我们来构建这个一元二次方程。
设t表示时间（天），S(t)表示累计感染人数，每天新增感染人数为S'(t)。
根据已知条件，我们假设新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程表示，即有：S'(t) = at² + bt + c其中a、b、c为常数，需要根据实际情况确定。
为了确定这些常数，我们需要已知的新增感染人数数据。
假设我们收集了连续7天的数据，如下所示：Day 1：新增感染人数为10人Day 2：新增感染人数为20人Day 3：新增感染人数为40人Day 4：新增感染人数为70人Day 5：新增感染人数为110人Day 6：新增感染人数为160人Day 7：新增感染人数为220人我们将这些数据带入方程中，可以得到如下方程组：a +b +c = 10 (1)4a + 2b + c = 20 (2)9a + 3b + c = 40 (3)16a + 4b + c = 70 (4)25a + 5b + c = 110 (5)36a + 6b + c = 160 (6)49a + 7b + c = 220 (7)为了解这个方程组，我们可以采用高斯消元法或矩阵方法进行求解。
在这里，我们采用矩阵方法。
将这个方程组转化成矩阵形式，有：[ 1 1 1 ] [ a ] [ 10 ][ 4 2 1 ] [ b ] [ 20 ][ 9 3 1 ] * [ c ] = [ 40 ][ 16 4 1 ][ 25 5 1 ][ 36 6 1 ][ 49 7 1 ]我们可以使用矩阵的逆来求解这个方程组。
一元二次方程实际问题--传染与传播问题
22.3实际问题与一元二次方程（1）教学内容本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决传播问题。
教学目标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题难点：发现传播问题中的等量关系关键：建立一元二次方程的数学模型解传播问题教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入【问题】下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．则0.5(0.2)2000.40.61300x yx y+-=⎧⎨+=⎩解得1000(1500(xy=⎧⎨=⎩股)股)答：（略）【思考】列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生口答，老师点评。
一元二次方程方程与实际问题传染病问题
课题实际问题与一元二次方程（一）组长成员导学目标会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。
导学重点会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，导学难点找出等量关系列出方程。
自主学习1. 应用方程解决实际问题的一般步骤：（1）审清题意，找，（2）设未知数，（3），（4），（5）检验作答.2. 两个连续奇数的积是323，求这两个奇数.解：设这两个连续奇数中较小的一个是2n－1，则较大的一个是，根据题意，列方程得．解方程，得n1＝，n2＝．合作探究【探究1】有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?（1）举例：如果每轮传染中，平均每人传染5人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了人，第一轮传染后共有人患流感；第二轮传染中又传染了人，第二轮传染后共有人患流感；（2）类比：如果每轮传染中，平均每人传染x人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了人，第一轮传染后共有人患流感；第二轮传染中又传染了人，第二轮传染后共有人患流感；（3）建模：怎样用方程思想解决这一问题？解：设每轮传染中，平均每人传染x人，得解方程，得：（4）再思考①如果按照这样的传染速度，第三轮传染后有多少人患流感？②综上所述，每轮传染后患流感的人数分别为：1、11、121、1331.你发现这组数据的规律了吗？第四轮传染后有人患流感．方程的两个展示交流【例题】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？分层达标1．某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？2.假设每位参加宴会的人跟其他与会的人均握一次手，在宴会结束时，所有的与会者总共握了28次手，则与会人士共有多少？3、解下列方程：(1) 2(1)2250x +-= (2) 2(2)(2)49x x x -=--。
数学人教版九年级上册实际问题与一元二次方程-传染病问题
数学八年级（下）《实际问题与一元二次方程（1）》广州市香江中学杨永亮一、教材分析：1、《课程标准》对本课内容相关知识的要求：（1）、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；（2）、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；（3）、能根据具体问题的实际意义，检测方程的解是否合理。
2、本节课的内容组成及在教材中的作用地位：一元二次方程的实际应用既是对一元一次方程实际应用的继续，又是后面将要学习的二次函数的基础，具有承前启后的重要作用。
它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型和工具。
二、学情分析：学生刚学完用“配方法”、“公式法”、“因式分解法”三种方法解一元二次方程，而且至少能保证用一种方法熟练的解题，因此本节课出现的解方程方面的问题不会很大，可以略讲。
一元二次方程的实际应用，重在考察学生在实际问题中构建方程模型，而学生在初一学习实际问题与一元一次方程过程中，受到了很大挑战，对实际应用问题有一定的畏惧感，因而在课堂教学中，老师通过设计不同梯度的习题，确保每一层次的学生都能学懂符合自己能力的一部分知识，同时也给水平较高的学生能力提升的空间。
同时在课堂上通过对学生的引导，逐渐培养学生学会利用方程模型解决问题。
利用生活中一些问题导入新课，吸引学生关注，更能激发学生对所学内容的学习兴趣。
三、教学目标：1、知识与技能：探索实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程并求解；2、过程与方法：（1）、体验将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对数量关系进行描述，培养学生讲实际问题转化为数学问题的能力；（2）、引导学生形成利用“方程模型”解决某些实际问题的思维。
3、情感态度与价值观：通过学生主动探究“用一元二次方程解决身边的问题”或发现“实际问题中包含一元二次方程知识”的过程，感受数学与生活的密切联系，体会数学知识的重要应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
一元二次方程方程与实际问题传染病问题- -
层
达
标
1．某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
2.假设每位参加宴会的人跟其他与会的人均握一次手，在宴会结束时，所有的与会者总共握了28次手，则与会人士共有多少？
3、解下列方程：
(1) (2)
（3）建模：怎样用方程思想解决这一问题？
解：设每轮传染中，平均每人传染x人，得
解方程，得：
（4）再思考
①如果按照这样的传染速度，第三轮传染后有多少人患流感？
②综上所述，每轮传染后患流感的人数分别为：1、11、121、1331.你发现这组数据的规律了吗？第四轮传染后有人患流感．
展
示
交
流
【例题】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
2. 两个连续奇数的积是323，求这两个奇数.
解：设这两个连续奇数中较小的一个是2n－1，则较大的一个是________，
根据题意，列方程得______________．解方程，得n1＝______，n2＝______．
合
作
探
究
【探究1】有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
课题
组长
成员
导学目标
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。
导学重点
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，
导学难点
找出等量关系列出方程。
自
21.3实际问题与一元二次方程1传播问题(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程1——传播问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过信息或病毒传播的情况？”（如微信朋友圈的谣言传播、流感病毒传播等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索传播问题的奥秘。
4.培养学生数据分析素养，使学生能够通过对传播问题的研究，理解数据背后的规律，为现实生活中的类似问题提供解决思路。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解传播问题背景，能从实际问题中抽象出一元二次方程。
-通过案例分析，让学生明确如何从传播问题中提炼出一元二次方程，掌握方程构建的方法。
-强调一元二次方程在解决传播问题中的应用，如病毒传播、信息传播等。
3.通过传播问题，掌握解决实际问题时如何列出相关的一元二次方程，并求解。
4.分析以下案例：
（1）病毒传播问题：在某次疫情中，病毒通过接触传播，假设每个感染者在接触一个人后，有50%的概率将病毒传播给对方。如果已知病毒最初由一个人传播，求经过5次传播后，预计有多少人可能感染病毒。
（2）信息传播问题：在社交网络上，一个热门话题最初由一名用户发布，如果每个阅读该话题的用户有20%的概率转发，求经过3次转发后，预计有多少人看到该话题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
一元二次方程应用(4)传染病问题
（2）在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感。
解：
答：
完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
【当堂训练】
1.一个同学经培训学会做某项实验，会校后，第一节课他教会了若干同学，第二节课会做人教会了多少人？
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3.养鸡场有一只鸡患上了禽流感,经过两轮传染后共有121只鸡患了禽流感.假设每一轮传染中病鸡传染经其他鸡的只数相同,求经过三轮传染后共有多少只鸡患有禽流感?
4.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
鸡西市第十九中学学案
班级姓名
学科
数学
课题
应用（4）传染病问题
课型
新课
时间
2014年月日
人教版
八年级下
学习
目标
根据某些具体问题中的数量关系列出一元二次方程。
重点
难点
能列一元二次方程解一些简单的应用题，并能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。
学习内容
【自主探究】
例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
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了吗第四轮传染后有
人患流感．
【例题】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、 支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少小分支
展 示 交 流
1．某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多 少个细菌
2.假设每位参加宴会的人跟其他与会的人均握一次手，在宴会结束时，所有的与会者总共握了 28 次手，则与会人士共有多少
合
________人，第一轮传染后共有
人患流感；第二轮传染中又传染了
人，第二
作
轮传染后共有
人患流感；
（3）建模：怎样用方程思想解决这一问题
探
解：设每轮传染中，平均每人传染 x 人，得
方程的两个解，
究
解方程，得：
（4）再思考
哪个有意义
①如果按照这样的综上所述，每轮传染后患流感的人数分别为：1、11、121、1331.你发现这组数据的规律
习
【探究 1】有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染
了几个人
（1）举例：如果每轮传染中，平均每人传染 5 人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了
________人，第一轮传染后共有
人患流感；第二轮传染中又传染了
人，第二
轮传染后共有
人患流感；
（2）类比：如果每轮传染中，平均每人传染 x 人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了
1. 应用方程解决实际问题的一般步骤：（1）审清题意，找__________ ，（2）设未知数，（3）
自
____ ，（4）________，（5）检验作答.
2. 两个连续奇数的积是 323，求这两个奇数.
主
解：设这两个连续奇数中较小的一个是 2n－1，则较大的一个是________，
学
根据题意，列方程得______________．解方程，得 n1＝______，n2＝______．
课题
实际问题与一元二次方程（一）
组长
成员
导学目标
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的 结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。
导学重点
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的 结果是否合理，
导学难点 找出等量关系列出方程。
分
层
达
标
3、解下列方程：
(1) (1 x)2 225 0
(2) 2(x 2) x(x 2) 49