2019届广州一模文科数学答案
（2）解：由（1）知， an 1 2n ，
……………………………………7 分
∴ an 2n 1，
2 1 2n
∴ Sn 1 2 n 2n1 n 2 ，
……………………………………8 分 ……………………………………9 分
数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 6 页
450 0.0015100
……………………………2 分
265 .
……………………………3 分
故该种蔬果日需求量的平均数为 265 公斤.
…………………………4 分
（2）当日需求量不低于 250 公斤时，利润 y=(25－15) 250=2500 元,
………………5 分
当日需求量低于 250 公斤时，利润 y=(25 15)x (250 x)5=15x 1250元 , ………6 分
又 FG 平面 BED ， OE 平面 BED ，
所以 FG 平面 BED ．
……………………………4 分
（2）证明：在 ABD 中， AD 1 ， AB 2 ， BAD 60 ，
由余弦定理得 BD 12 22 2 1 2 1 3 ， 2
数学（文科）试题参考答案及评分标准
F E
所以 OG DC 且 OG 1 DC 1，……………1 分 2
因为 EF AB ， AB DC ， EF 1， 所以 EF OG 且 EF OG ，……………………2 分
B G
C
A O
D
所以四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FG OE ，
………………………3 分
所以
y
15x 1250, 0 x 250, 2500, 250 x 500.
由 y 1750 得， 200 x 500 ,
……………………………8 分 ……………………………9 分
所以 P(y 1750) ＝ P(200 x 500)
……………………………10 分
2019 届广州市高三年级调研测试 文科数学试题参考答案及评分标准
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分．
（3）解法 1：由（1） FG 平面 BED ，
……………………………7 分
所以点 F 到平面 BED 的距离等于点 G 到平面 BED 的距离，
设点 G 到平面 BED 的距离为 h ， 过 E 作 EM DA ，交 DA 的延长线于 M ， 则 EM 平面 ABG ，所以 EM 是三棱锥 E ABG 的高． 由余弦定理可得 cos ADE 2 ，
即
1 3
SBDE
h
1 3
SDBG
EM
，解得
h
5. 6
所以点 F 到平面 BED 的距离为 5 ． 6
………………………………12 分
解法 2：因为 EF AB ，且 EF 1 AB , 2
13． 4 3
14． 3 10三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． 解：（1）证明：∵ a3 7 ， a3 3a2 2 ，∴ a2 3 , ……………………………………1 分
∴ an 2an1 1，
…………………………5 分 第2页共6页
因为 BD2 AD2 31 4 AB2 ，
所以 BD AD .
…………………………6 分
因为平面 AED 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ,平面 AED 平面 ABCD AD ，
所以 BD 平面 AED .
……………………………………2 分
∴ a1 1，
……………………………………3 分
an 1 2an1 2 2 n 2 ，
an1 1 an1 1
……………………………………5 分
∴an 1 是首项为 a1 1 2 ，公比为 2 的等比数列． …………………………………………6 分
∴ n Sn 2an n 2n1 n 2 2 2n 1 0 ，
……………………10 分
∴ n Sn 2an .
……………………11 分
即 n ， an ， Sn 成等差数列．
……………………12 分
18．解：
（1） x 500.0010100 1500.0020100 250 0.0030100 350 0.0025100
=0.0030100+0.0025100+0.0015100
=0.7 .
……………………………11 分
故估计利润 y 不小于 1750 元的概率为 0.7 .
……………………………12 分
19． 解：（1）证明：取 BD 的中点 O ，连接 OE ， OG 在 BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B C A D B A C A B D
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
3
……………………8 分 ……………………9 分
所以 sin ADE 5 , EM DE sin ADE 5 . 3
………………………………10 分
1
3
1
33
SDBG 2 DB BG 4 , SBDE 2 BD DE 2 .
因为VGBDE V EDBG ，………………………………11 分
2019届广东省广州市毕业班综合测试一文科数学试卷【含答案及解析】
2019届广东省广州市毕业班综合测试一文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（）（A）（B）（C） _________ （D）2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数所对应的点在（）（A）第一象限 ______________ （B）第二象限____________________ （C）第三象限 ___________ （D）第四象限3. 已知函数则的值为（）（A）___________________________________ （B）（C）____________________________ （D）4. 设是△ 所在平面内的一点，且，则△ 与△的面积之比是（）（A）___________________________________ （B）___________________________________ （C）___________________________________ （D）5. 如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（）（A） 3 ___________________________________ （B） 6 （C）12________________________________ （D） 246. 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为（）（A） 6 ___________________________________ （B） 8 （C）10____________________________________ （D） 127. 在平面区域内随机投入一点，则点的坐标满足的概率为（）（A） _________________________________ （B）___________________________________ （C）____________________________________ （D）8. 已知，若，则（）（A） ____________________ （B）______________________________ （C）______________________ （D）9. 如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则（）（A） ____________________ （B）______________________________ （C）________ （D）10. 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）（A） ____________________________ （B）______________________________ （C）______________________ （D）11. 已知下列四个命题：：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则，；：若，则，；：在△ 中，若，则．其中真命题的个数是（）（A） 1 ___________________________________ （B） 2 （C）3____________________________________ （D） 412. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）（A）（B）（C）_____________________________________ （D）二、填空题13. 函数的极小值为______________ ．14. 设实数，满足约束条件则的取值范围是______________ ．15. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为______________ ．16. 在△ 中，点在边上，，， ,，则的长为_________ ．三、解答题17. 已知数列是等比数列，，是和的等差中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和 .18. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2 件产品，求这2件产品都在区间内的概率．19. 如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．（Ⅰ ）证明：平面；（Ⅱ）若，求点到平面的距离．20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数 .（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，证明： .22. 如图所示，△ 内接于⊙ ，直线与⊙ 相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与⊙ 相切于点，且，，求线段的长．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为， .（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.24. 设函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．（5分）复数z＝（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A＝1，则cos B 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线y＝x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB＝（）A．B．C．D．212．（5分）函数f（x）＝（kx﹣2）lnx，g（x）＝2lnx﹣x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A．[1﹣，﹣）B．（1﹣，﹣]C．[﹣，2﹣）D．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”． （1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程＝x +，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），……，（x n ，y n ），其回归直线＝x +的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥﹣4a2+4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A∩B＝（0，3）．故选：D．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z＝的虚部为．故选：B．3．【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：，可得a＝，b＝，c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．4．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．5．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．6．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．7．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．【解答】解：∵cos C+cos A＝1，∴由余弦定理可得：•+•＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cos B＝＝≥＝，∴≤cos B＜1，即：cos B∈[，1）．故选：D．9．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．10．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．11．【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2﹣2x﹣4＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝2，y1+y2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y1+y2＝2+3＝5，点O到直线y＝x+1的距离d，d＝．∴则△OAB的面积S，S＝•|AB|•d＝．故选：C．12．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．14．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．16．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．18．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．19．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．20．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2，则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2，由，消x可得＝，整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y＝4上21．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4，设M（x，y）则P（2x﹣4，2y）在曲线C1上，所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形CMA中，CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2，①在直角三角形CMO中，CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2，②由①②得AB＝，∴OM＝，CM＝，k＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．。
2019年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题
试卷类型：A广州市2019年普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2019.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．1 B ．1 C ．1 D ．25．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 A．3B．C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3- 8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．8 9．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．图1俯视图正(主)视图侧(左)视图12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点， 3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos2α的值． 5 121 22 图2 图317．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形． 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．图5PAD图4（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB ≤15，求2212S S - 的取值范围．2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14．15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分2==-…4分（2）解法1：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分所以2cos 22cos 1αα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-．………………………………………………………………………12分解法2：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………………………………………………………………143145-==-+．……………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=．………………………………………………1分解得0.03a =．……………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． …………………………………………………………………5分（3）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ．……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………………所以所求概率为()715P M =．…………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………2分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =， 所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC ，所以BE ===4分所以△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=5分因为2=PD ，所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯123=⨯=．……………………7分（2）证法1：因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．因为2PD =，3CD =，所以PC ==9分连接BD ，在Rt △BDE 中， 因为90BED ∠=，BE =1DE =，所以BD ===10分由（1）知PD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ， 所以PD ⊥BD ．在Rt △PBD 中，因为90PDB ∠=，2PD=，BD =，所以PB ===BPACD E在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．………………………………………………………………………………13分所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分证法2：连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=，BE =，1DE =，所以BD ===8分在△BCD 中，3CD =，BC =BD =，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．………………10分 由（1）知PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以BC PD ⊥． 因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．…………………………………………………………………………………12分因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n d =+-，()112n n n S na d -=+．……………………………………………………1分依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得6a =，4d =．……………………………………………………………………………………BPACD E5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………………………………6分（2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．…………………………………………………8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <．………………………………………………11分因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．………………………………12分所以116n T T ≥=．………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<．…………………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：因为32()f x x ax b =-++，所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭．……………………1分当0a =时，()0f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分当0a >时，令()0f x '>，得203a x <<． 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………………………………………………………3分当0a <时，令()0f x '>，得203ax <<． 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………………………4分综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………5分（2）解：，由（1）知，[]3,4a ∈时，()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =，……………………………………………………7分函数()f x 在23a x =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………8分由于对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，所以()00,20.3fa f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b ab <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027a b -<<．……………………………………………………………………………………11分因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分所以实数b的取值范围是()4,0-．……………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b =． 所以双曲线C的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦， 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++． (6)分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--． (11)分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x-=-+≤-=，得()2212max 1S S -=，给1分．。
2019广州一模数学答案_2019-2020学年11月市一模数学(文)试题(解析版)
《2019广州一模数学答案_2019-2020学年11月市一模数学（文）试题（解析版）》摘要：．已知集合则（）． B．．．【答案，题考函数图象识别般利用函数定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象特征排除错误选项得到答案 8．已知则关系（）． B．．．【答案，由余弦定理得由基不等式得（当且仅当“”成立）则即值方法二由正弦定理得则则值【睛09年月市模数学（）试题、单选题．已知集合则（）． B．．．【答案】【析】先不等式化简集合再交集即可【详】由得故又所以故选【睛】题考集合基运算涉及交集、不等式是道基础题．已知复数其虚数单位则（）． B．．．【答案】B 【析】先利用复数除法法则将复数表示般形式然利用复数模公式可出值【详】则故选B 【睛】题考复数除法法则以及复数模计算题关键就是利用复数四则运算法则将复数表示般形式考计算能力属基础题3．等差数列则数列前项和（）． B．．．【答案】【析】设公差把已知式化简再利用和公式即可【详】设公差由可得则所以故选【睛】题考等差数列基问题前项和是等差数列基量般可以利用条件建立关方程(组)问题．已知角终边则（）． B．．．【答案】【析】利用诱导公式可得再利用三角函数定义即可【详】因角终边所以所以故选【睛】题考三角函数定义和诱导公式是道基础题题要 5．执行如图所示程序框图如输入则输出等（）． B．．．【答案】【析】模拟执行程序框图逐步写出各变量取值变化判断循环条件是否成立终可得答案【详】执行程序框图各变量值依次变化如下成立；成立；不成立跳出循环输出等故选【睛】题考程序框图题般方法是模拟执行程序依次写出各变量取值变化题要留循环终止条件 6．棱长正方体被平面截部分余下部分三视图如图所示则截部分与剩余部分体积比（）．3 B．．5 ．6 【答案】【析】画出几何体直观图利用三视图数据几何体体积即可．【详】由题可知几何体被平面B平面分上下两部分设正方体棱长上部棱柱体积；下部截部分与剩余部分体积比．故选．【睛】题考三视图与几何体直观图关系棱柱体积法考计算能力 7．函数部分图象致是（）． B．．．【答案】B 【析】分析函数定义域、奇偶性以及函数值正变化排除错误选项可得答案【详】由可得故是奇函数图象关原对称排除当；当排除, 故选B 【睛】题考函数图象识别般利用函数定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象特征排除错误选项得到答案 8．已知则关系（）． B．．．【答案】【析】利用对数性质比较利用“”比较与关系【详】又所以故选【睛】题考指数、对数比较般利用指数函数、对数函数单调性和等值问题 9．下列说法正确是（）．若命题“”假命题则命题“”是真命题 B．命题“”否定是“” ．设则“”是“”充要条件．命题“平面向量满足则不共线”否命题是真命题【答案】【析】利用逻辑结词、全称命题否定、不等式性质、向量性质等逐判断各选项是否正确【详】选项,若命题“”假命题则命题至少有假命题即可能有真假也可能两都是假命题所以“”可能是真命题也可能是假命题故不正确选项B,命题“”否定是“”,故B不正确选项,无法得出故不正确选项, 原命题否命题“平面向量满足则共线” 因所以由可得所以则或即共线故正确故选【睛】题考常用逻辑用语涉及逻辑结词、全称命题否定、充要条件、否命题综合考了不等式性质、平面向量性质与其他知识综合命题是考常用逻辑用语般方式 0．已知函数若则取值围是（）． B．．．【答案】B 【析】先研究函数单调性和值域设得出取值围把表示函数从而可得答案【详】当单调递增且；当单调递增且因所以设则所以所以由可得故选B 【睛】题考函数与方程综合问题题要综合利用函数与方程、数形结合、等价化等数学思想方法．关函数下述四结论正确是（）．是奇函数B．值．有零．区单调递增【答案】【析】分析函数奇偶性、值、零、单调性对各选项进行逐判断即可【详】所以是偶函数不是奇函数故不正确且当取得等；且当取得等所以但等无法取得即值故B不正确由是偶函数且可得区上零数必偶数故不正确当单调递增故正确故选【睛】题考三角函数性质涉及奇偶性、值、零、单调性选择题要善利用排除法如选项B,可不必出具体值只判断值是不是即可．已知函数与图象恰有三不公共（其然对数底数）则实数取值围是（）． B．．．【答案】【析】由两图象有三公共可得有三实根变形得设则关方程有两不实数根且共有三实数根结合二次方程根分布和图象性质可得答案【详】令可得可得设则即当单调递增且；当单调递减且作出图象如图所示对设该方程有两不实根由题得共有三实数根若是方程根则即则方程另根不合题若是方程根则即则方程另根不合题所以关方程两根(不妨令)满足所以得故选【睛】题考函数与方程综合问题涉及导数、二次方程等是道难题题要灵活运用等价化、数形结合等数学思想方法二、填空题 3．若平面单位向量满足则向量夹角_________．【答案】【析】利用数量积运算法则即可【详】由单位向量可得设向量夹角则得则故答案【睛】题考利用数量积向量夹角题要单位向量模长还要向量夹角取值围．已知幂函数图象则_______．【答案】【析】利用幂函数定义可得再利用幂函数图象可得值则答案可得【详】由是幂函数可得由图象可得得所以故答案【睛】题考幂函数利用定义即可是道基础题 5．正项等比数列满足且成等差数列设则取得值值_________．【答案】【析】先由题列关方程组得通项公式再表示出即可得答案【详】设等比数列公比由成等差数列可得则所以得(舍)或因所以所以所以所以当取得值取得值故答案【睛】题考数列综合问题涉及等比数列、等差数列、等比数列积、值等利用等比数列基量进行运算是题突破口 6．已知函数对满足且若图象关对称则____________．【答案】【析】先由对称性可得是偶函数再利用赋值得值从而可判断周期性答案易得【详】因图象关对称所以图象关对称即是偶函数对令可得又所以则所以函数对满足所以所以即是周期周期函数所以所以故答案【睛】题考函数性质综合运用涉及对称性、奇偶性、周期性等遇恒等式问题可尝试通赋值得关键值三、答题 7．数列数列满足．（）证数列是等差数列并数列通项公式；（）设数列前项和．【答案】（）证明见析；（）【析】()利用可证数列是等差数列然可得通项公式 ()利用()可得是可用裂项相消法和【详】（）由即．而∴即．又∴数列是首项和公差等差数列是∴ （）∵∴ ∴ 【睛】题考等差数列判断、裂项相消法和通项公式形如(常数)数列可用裂项相消法和裂项要恒等变形调整系数即 8．角对边分别且满足．（）；（）若值．【答案】（）；（）【析】()先化切弦再利用三角恒等变换、正弦定理化简可得答案 ()利用余弦定理和值不等式也可以利用正弦定理和三角函数性质【详】（）由正弦定理得（）方法由余弦定理得由基不等式得（当且仅当“”成立）则即值方法二由正弦定理得则则值【睛】题考三角形涉及正弦定理、余弦定理、值法等般综合利用三角恒等变换和三角函数性质进行题 9．如图三棱锥平面平面等边三角形是（）证明；（）若到平面距离【答案】（）证明见析（）【析】() 取连接,证平面可得 ()作平面垂线或利用三棱锥等积换【详】（）证明取连接等边三角形是∴又平面（）方法取连接等边三角形平面平面平面又平面等边三角形是到平面距离倍等到平面距离到平面距离方法二由平面平面可得平面则等边三角形则是到平面距离设到平面距离由得【睛】题考空垂直关系化空距离面面垂直、线面垂直、线线垂直可以相化要合理创造化条件面距离常用方法是作—证—和等积换0．已知椭圆焦与抛物线焦重合且椭圆离心率（）椭圆标准方程；（）直线交椭圆、两线段直线是线段垂直平分线证直线定并出该定坐标．【答案】（）；（）直线定详见析【析】()由焦和离心率可得值则方程易 ()设出直线方程与椭圆方程立结合线段利用根与系数关系(或差法)可出直线斜率进而可表示出直线方程判断其所定【详】（）抛物线焦则椭圆离心率则故椭圆标准方程（）方法显然椭圆部故且直线斜率不当直线斜率存且不易知设直线方程代入椭圆方程并化简得设则得因直线是线段垂直平分线故直线即令是直线定当直线斜率不存易知直线故直线定综上所述直线定方法二显然椭圆部故且直线斜率不当直线斜率存且不设则有两式相减得由线段则故直线斜率因直线是线段垂直平分线故直线即令是直线定当直线斜率不存易知直线故直线定综上所述直线定【睛】题考圆锥曲线(椭圆)综合问题涉及弦问题常规方法是立直线与圆锥曲线方程利用根与系数关系；也可以利用差法．已知函数（）曲线处切线方程；（）若函数（其是导函数）有两极值且证明【答案】（）；（）证明见析【析】()由题可得曲线上出值由导数几何义切线方程即可 ()由题得极值是根把待证式变量换只含变量再证【详】（）定义域而即故所切线斜率所以切线方程即（）证明则定义域若有两极值且则方程判别式且得且所以设则上恒成立故上单调递减从而即【睛】题考导数综合问题涉及导数几何义、函数极值、不等式证明证明不等式常用方法是构造函数借助导数证不等式含有多变量则要考虑能否化单变量．平面直角坐标系曲线参数方程(参数)以坐标原极轴正半轴极轴建立极坐标系曲线曲线极坐标方程．（）曲线极坐标方程；（）若是曲线上两值．【答案】（）；（）【析】()先化参数方程普通方程再化极坐标方程利用曲线出值即可 ()把代入曲线方程对变形化简即可【详】（）将曲线参数方程化普通方程即由得曲线极坐标方程由曲线则(舍), 故曲线极坐标方程（）由题可知, 所以【睛】题考参数方程与极坐标方程化考对极坐标方程含义理是道基础题牢记化公式和极坐标系含义即可顺利题 3．已知函数．（）不等式；（）若对有证．【答案】（）；（）证明见析【析】()利用零分段讨论法绝对值不等式 ()利用绝对值三角不等式即可证明结论【详】（）由得则或或得或或即所以不等式集（）证明由所以【睛】题考绝对值不等式与证明利用零分段讨论法绝对值不等式利用绝对值三角不等式证明不等式。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题附(解析版)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B ={x|x＞0}，则（）A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. −2B. −12C. 12D. 23.已知双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线过点（b，4），则C的离心率为（）A. √52B. 32C. √5D. 34.a⃗，b⃗ 为平面向量，己知a⃗=（2，4），a−-2b⃗ =（0，8），则a⃗，b⃗ 夹角的余弦值等于（）A. −45B. −35C. 35D. 455.若sinα＞sinβ＞0，则下列不等式中一定成立的（）A. sin2α>sin2βB. sin2α<sin2βC. cos2α>cos2βD. cos2α<cos2β6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. ba B. abC. 3abD. 3ba7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则直线CE与D1F所成角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. π28.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A. B. C. D.9.函数f(x)=sin(x+π12)+sin(x+5π12)最大值是（）A. 2B. 32C. √3D. 2√310.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A. 13π2B. 7πC. 15π2D. 8π11.已知F为抛物线C：y2=6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A. 6B. 8C. 10D. 1212.已知函数f（x）=e|x|-ax2，对任意x1＜0，x2＜0，都有（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＜0，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,e2] B. (−∞,−e2] C. [0,e2] D. [−e2,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=x3+a log3x，若f（2）=6，则f(12)=______．14.已知以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则圆C的方程为______．15.已知关于x，y的不等式组{2x−y+1≥0x+m≤0y+2≥0，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，c=3，C=2B，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，且lg a1=0，lg a4=1．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，求k的值及数列{a n+b n}的前n项和．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=√6，cos∠BPD=−√33，求三棱锥A-BCD的体积．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；学时数[5，10）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）男性181299642女性24827134（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计100附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82820.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1，0），点P(23，2√63)在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M的坐标：若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=e x-1+a，g（x）=ln x，其中a＞-2．（1）讨论函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点，设直线y=t与的数y=f（x）和y=g（x）的图象分别交于点P，Q．证明：|PQ|＞a+1．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sin 2t x=cost（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12（a ∈R ）． （1）写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； （2）若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f （x ）=|x +a |-|2x -1|．（1）当a =1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，不等式f （x ）＜1对x ∈R 都成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由x2-2x＜0，得：0＜x＜2，则集合A={x|0＜x＜2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B ，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e===．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：己知=（2，4），-2=（0，8），∴=[-（-2）]=（1，-2），∴•=2-8=-6．设，夹角，又•=||•||•cosθ=2••cosθ=10cosθ，∴10cosθ=-6，∴cosθ=-，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得，夹角的余弦值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β，∵sinα＞sinβ＞0，∴sin2α＞sin2β＞0，-2sin2α＜-2sin2β，则1-2sin2α＜1-2sin2β，即cos2α＜cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则C（0，2，0），E（2，1，0），D1（0，0，2），F（1，2，0），=（2，-1，0），=（1，2，-2），设直线CE与D1F所成角的大小为θ，则cosθ==0，∴θ=．∴直线CE与D1F所成角的大小为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与D1F所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵sin（x+）=sin（+x-）=cos（x-），∴f （x ）=sin （x+）+cos（x-）=sinxcos +cosxsin +cosxcos+sinxsin=（sin +cos ）sinx+（sin +cos）cosx，∵sin+cos=sin（+）=sin =．∴f（x）=sinx+cosx=sin（x+）．∴f（x）的最大值为．故选：C．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f（x）即可得出结论．本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=6x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=-设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+=3（x2+），∴x1=3x2+3∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=，x2=，∴|AB|=（x1+）+（x2+）=8．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的长度．．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12.【答案】A【解析】解：由题意可知函数f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数，且当x＜0时，，据此可得：2axe x+1≥0，即恒成立，令g（x）=xe x（x＜0），则g'（x）=e x（x+1），据此可得函数g（x）在区间（-∞，-1）上单调递减，在区间（-1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则，据此可得：实数a的取值范围是．故选：A．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．13.【答案】178【解析】解：函数f（x）=x3+alog3x，若f（2）=6，则f（2）=8+alog32=6，变形可得alog32=-2，则=（）3+alog3=-alog32=；故答案为：．根据题意，由f（2）的值分析可得f（2）=8+alog32=6，变形可得alog32=-2，则有则=（）3+alog3=-alog32，代入计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．14.【答案】（x-1）2+（y-2）2=5【解析】解：根据题意，设圆C的半径为r，以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则有r==，则圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=5；故答案为：（x-1）2+（y-2）2=5．根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得r==，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15.【答案】（−∞，43]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】15√716【解析】解：∵b=2，c=3，C=2B，∴由正弦定理，可得：，可得：==，∴可得：cosB=，可得：sinB==，∴可得：sinC=sin2B=2sinBcosB=，cosC=cos2B=2cos2B-1=，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==，∴S=bcsinA==．故答案为：．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sinC，cosC的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：（1）数列{a n}是等差数列，设公差为d，且lg a1=0，lg a4=1．则：{a1=1a1+3d=10，解得：d=3所以：a n=1+3（n-1）=3n-2．（2）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，则：a k2=a1⋅a6，整理得：a k=3k-2，解得：k=2；所以：等比数列{b n}的公比为q=4．所以：b n=4n−1．则a n+b n=3n−2+4n−1，故：S n=(1+1)+(4+41)+⋯+(3n−2+4n−1)，=n(3n−1)2+4n−14−1，=32n2−12n+13(4n−1)．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：如图所示，因为△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，所以Rt△ABD≌Rt△BCD，可得AD=CD，又因为点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，又PD∩PB=P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以平面ACD ⊥平面BDP ；（2）设AB =a ，在Rt △ABD 中，BD =√6，则AD =√BD 2−AB 2=√6−a 2；在等边△ABC 中，BP =√32AB =√32a ，在等腰△ACD 中，DP =√AD 2−AP 2=√6−a 2−(12a)2=√6−54a 2； 在△BPD 中，由cos ∠BPD =−√33，得sin ∠BPD =√63；由余弦定理得BD 2=BP 2+DP 2-2•BP •cos ∠BPD ， 即6=34a 2+6-54a 2-2×√32a ×√6−54a 2×（-√33），解得a =2；所以△BPD 的面积为S =12•BP •DP •sin ∠BPD =√22，所以三棱锥A -BCD 的体积为V =13•AC •S △BPD =13×2×√22=√23． 【解析】（1）证明PD ⊥AC ，PB ⊥AC ，得出AC ⊥平面PBD ，从而证明平面ACD ⊥平面BDP ；（2）利用直角三角形以及余弦定理求出AB 的值，计算△BPD 的面积和AC 的值，即可求得三棱锥A-BCD 的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为x −=160（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92； 所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92． （ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A ，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l 0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a ），2人（设为A ，B ）4人，（设为c 1，c 2，c 3，c 4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA ，aB ，ac 1，ac 2，ac 3，ac 4，AB ，Ac 1，Ac 2，Ac 3，Ac 4，Bc 1，Bc 2，Bc 3，Bc 4，c 1c 2，c 1c 3，c 1c 4，c 2c 3，c 2c 4，c 3c 4，共21种，其中事件A 所包含的基本事件为：c 1c 2，c 1c 3，c 1c 4，c 2c 3，c 2c 4，c 3c 4，共6个， 则事件A 发生的概率P =621=27． （3）依题意得2×2列联表如下则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(48×24−16×12)264×36×60×40≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可． （3）完成2×2列联表，计算K 2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可． 本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）由题意可得c =1，点P(23，2√63)在C 上，∴49a +83b =1， 又a 2=b 2+c 2=b 2+1， 解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，（2）假设y 轴上存在点M （0，t ），△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为N （x 0，y 0）， 由{x 24+y 23=1y =x +m ，消去y 可得7x 2+8mx +4m 2-12=0， △=64m 2-28（4m 2-12）=16（21-3m 2）＞0，解得m 2＜7， ∴x 1+x 2=-8m 7，x 1x 2=4m 2−127，∴x 0=-x 1+x 22=-4m 7，y 0=x 0+m =3m 7，∴N （-4m 7，3m 7），依题意有AM ⊥BM ，MN ⊥l ，由MN ⊥l ，可得t−3m 70−(−4m7)×1=-1，可得t =-m7，由AM ⊥BM 可得y 1−t x 1•y 2−t x 2=-1，∵y 1=x 1+m ，y 2=x 2+m ，代入上式化简可得2x 1x 2+2（m -t ）（x 1+x 2）+（m -t ）2=0， 则2(4m 2−12)7-（8m 7）2+（8m 7）2=0，解得m =±√3，当m =√3时，点M （0，-√37）满足题意，当m =-√3时，点M （0，√37）满足题意【解析】（1）先求出c 的值，再根据+=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1，即可得到椭圆的方程，（2）假设y 轴上存在点M （0，t ），△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为N （x 0，y 0），根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM ⊥BM ，MN ⊥l ，即可求出m 的值，可得点M 的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.【答案】解：（1）函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象交点个数即方程e x -1+a =ln x 根的个数，设F （x ）=e x -1+a -ln x ，x ＞0．则F ′(x)=e x−1−1x 在（0，+∞）上单调递增，且F ’（1）=0．当x ∈（0，1）时，F ’（x ）＜F ’（1）=0，则F （x ）在（0，1）上单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ’（x ）＞F '（1）=0，则F （x ）在（1，+∞）上单调递增． 所以，当x =1时，F （x ）min =F （1）=l +a ．当a +1＞0，即a ＞-1时，函数F （x ）无零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象无交点； 当a =-1时，函数F （x ）有一个零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象有一个交点； 当-2＜a ＜-1时，F(e a )=e ea −1＞0．又F （1）=1+a ＜0．F （3）=e 2+a -ln3＞e 2-2-ln3＞e 2-4＞0，所以F （x ）=e x -1+a -ln x 在（e a ，1）和（1，3）上分别有一个零点． 所以，当-2＜a ＜-1时，F （x ）有两个零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象有两个交点． 综上所述：当a ＞-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为0； 当a =-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为1； 当-2＜a ＜-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为2． （2）由（1）可知，当函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象无交点时，a ＞-1． 设P （m ，t ），Q （n ，t ），由得m =1+In （t -a ），由ln=t 得n =e t ， |PQ |=|n -m |=|e t -ln （t -a ）-1|． 设h （t ）=e t -ln （t -a ）-1，先证明不等式e t ≥1+t ，再证明t -In （t -a ）≥a +1，t ∈（a ，+∞）．设p （t ）=e t -1-t ．则p ’（t ）=e t -1．当t ∈（0，+∞）时，p ’（t ）=e t -1＞0，p （t ）=e t -1-t 在（0，+∞）上单调递增， 当t ∈（-∞，0）时，p ’（t ）=e t -1＜0，p （t ）=e t -1-t 在（-∞，0）上单调递减， 所以p （t ）≥p （0）=0，即e ≥1+t ．设q （t ）=t -ln （t -a ）-a -1．则q ′(t)=1−1t−a =t−a−1t−a．当t ∈（a ，a +1）时，q ’（t ）＜0，q （t ）单调递减： 当t ∈（a +1，+∞）时，q ’（t ）＞0，q （t ）单调递增． 所以q （t ）≥q （a +1）=0，即t -1n （t -a ）≥a +1．所以h （t ）=e t -ln （t -a ）-1≥1+t -ln （t -a ）-1=t -ln （t -a ）≥a +1．因为t =a +1时，t -ln （t -a ）≥a +1中等号成立，t =0时，e t ≥l +t 中等号成立， 而t =a +1＞0，所以等号不能同时成立． 所以h （t ）=e t -ln （t -a ）-1＞a +1． 所以IPQl ＞a +1． 【解析】（1）原问题等价于求解方程e x-1+a=lnx 根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；（2）由（1）可知，当函数y=f （x ）与y=g （x ）的图象无交点时，a ＞-1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）曲线C 1的普通方程为y =1-x 2（-1≤x ≤1），把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=12， 得直线C 2的直角坐标方程为y -ax =12，即ax -y +12=0， （2）由直线C 2：ax -y +12=0，知C 2恒过点M （0，12）， 由y =1-x 2（-1≤x ≤1），当时，得x =±1， 所以曲线C 1过点P （-1，0），Q （1，0）， 则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12，直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=-12，因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点， 所以k 2≤a ≤k 1，即-12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[-12，12]． 【解析】（1）利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C 2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：（1）函数f （x ）=|x +1|-|2x -1|，f （x ）＞0即为|x +1|＞|2x -1|， 可得（x +1+2x -1）（x +1-2x +1）＞0， 即3x （x -2）＜0，解得0＜x ＜2， 则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a ＞0，不等式f （x ）＜1对x ∈R 都成立， 即有1＞f （x ）max ，由f （x ）=|x +a |-|2x -1|=|x +a |-|x -12|-|x -12| ≤|x +a -x +12|-0=|a +12|，可得f （x ）的最大值为|a +12|=a +12，（a ＞0）， 则a +12＜1，解得0＜a ＜12． 【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f （x ）max ，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年广州一模文科答案
2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2 ．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3 ．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D A C B C A D B C 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题 5 分，满分20 分．其中14~15 题是选做题，考生只能选做一题．11．1,2 12 ．12. 38 13 ．8 ， 2 2n n 14 ．111, 15 ．4 6说明：①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．②第14题的正确答案可以是：111,2k ( k Z).6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵ f (x) 的最大值为2，且 A 0 ，∴A 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵f ( x) 的最小正周期为8，∴ 2T 8 ，得 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴( ) 2sin( )f x x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4 4（2）解法1：∵ f (2) 2sin 2cos 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分∴OP 6, PQ 2 3, OQ 3 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴cos POQ2 2 22 2 2 63 2 2 3 3OP OQ PQ2 OP OQ 2 63 2 3.⋯⋯12分解法2：∵(2)2sin 2 c o s 2f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴OP (2, 2), OQ (4, 2). ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴cos POQ cos OP ,OQOP OQOP OQ6 336 3 2. ⋯⋯⋯⋯⋯12 分解法3: ∵(2) 2sin 2cos 2f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4yPf (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分O P1Q1x作PP x轴,QQ x轴,垂足分别为P,Q ,1 1 1 1Q ∴O P 6, OP 2, PP 2, OQ 3 2, OQ1 4, QQ1 2 . ⋯⋯⋯8 分1 1设POP , QOQ ,1 13 6 1 2 2则s in ,cos ,sin ,cos . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 3 3 3∴cos POQ cos 3cos cos sin sin . ⋯⋯⋯12 分317．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解: 样本中产量在区间45, 50 上的果树有 a 5 20 100a （株），⋯⋯⋯⋯ 1 分样本中产量在区间50, 60 上的果树有 b 0. 02 5 20 100 b 0. 02（株），⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分依题意，有4100a 100 b 0. 02 ，即34a b 0. 02 . ①⋯⋯⋯⋯3 分3根据频率分布直方图可知0. 02 b 0. 06 a 5 1，②⋯⋯⋯⋯ 4 分解①②得: a 0. 08, b 0. 04 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）解：样本中产量在区间50, 55 上的果树有0. 04 5 20 4 株，分别记为A, A , A , 1 2 3 A ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分4产量在区间55, 60 上的果树有0. 02 5 20 2 株，分别记为B , B . ⋯8 分1 2从这6株果树中随机抽取两株共有15 种情况：A1, A2 , A1, A3 ，A1, A4A ,B , A , B , A , A , A , A , A , B , A , B ,1 1 12 23 24 2 1 2 2 A , A ,3 4A ,B ,3 1A ,B ，3 2 A , B , A , B ,4 1 4 2B , B . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 2其中产量在55, 60 上的果树至少有一株共有9 种情况：A , B , A , B ,1 1 1 2A ,B , A , B , A , B , A , B ,2 1 2 23 1 3 2 A , B , A , B ，4 1 4 2B , B . ⋯⋯⋯111 2分记“从样本中产量在区间50, 60 上的果树随机抽取两株，产量在区间55, 60 上的9 3果树至少有一株被抽中”为事件M，则P M . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分15 518．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）(1) 证明:连接A C ，AC 与BD 相交于点O , 连接M O ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵M 为PC 的中点，∴MO // AP . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵PA 平面BMD , MO 平面BMD ,∴PA // 平面BMD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分(2) 证明:∵PD 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，∴PD AD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∵BAD BCD 60 ，AB 2AD ，P∴ 2 2 2 2 60BD AB AD AB AD cos M2 2 2 2 ABAD AD2 2AB AD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分D N C∴ 2 2 AB AD2BD . AOB∴AD BD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵PD BD D ，PD 平面PBD ，BD 平面PBD ，∴AD 平面PBD . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分∵PB 平面PBD ，∴AD PB . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分（3）解：取CD 的中点N ，连接M N ，则M N // PD 且 1MN PD .2∵PD 平面ABCD ，PD 2 ，∴MN 平面ABCD ，MN 1. ⋯⋯⋯⋯⋯9 分1 12 2在Rt△PCD 中，CD AB PD 2 ，DM PC PD CD 2 ，2 2∵BC // AD , AD PB ,∴BC PB .在Rt△PBC 中，1BM PC 2 .2在△BMD 中，BM DM ，O为B D 的中点,∴MO BD .在Rt△ABD 中，60 2 3 3BD AB sin .2在Rt△MOB 中，MO BM 2 OB25 2.∴1 3S AD BD ，ΔABD2 21 15S BD MO . ⋯⋯⋯⋯11 分ΔMBD2 4设点A到平面BMD 的距离为h，∵V V ，M ABD A MBD∴13 MN1S hΔABD3S . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分ΔMBD即13 13213h154，解得2 5h . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分52 5 ∴点 A 到平面 BMD 的距离为5. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯14 分19．（本小题满分 14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：∵当n 2 时，S S S ，1 4 1 5n n n∴S 1 S 4 S S 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯1 分n n n n∴a a . ⋯⋯⋯⋯⋯2 分1 4n n∵a，1 2 a2 8 ，∴a2 4a1 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴数列a是以na1 2为首项，公比为 4 的等比数列.∴n 1 2n 1a 2 4 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯4 分n（2）解：由（1）得：2n 1log log ，⋯⋯⋯⋯⋯5 分2 a 2 2 2n 1n∴T log a log a log an 2 1 2 2 2 n1 3 2n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分n 1 2n 12 ⋯⋯⋯⋯⋯7 分2n . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分（3）解：1 1 11 1 1T T T2 3 n1 1 11 1 12 2 22 3 n⋯⋯⋯⋯⋯9 分2 2 2 22 13 14 1 n 12 2 2 22 3 4 n1 32 43 5 n 1 n 12 2 2 22 3 4 n⋯⋯⋯⋯⋯10分n 1. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分2n令n 12n10102013，解得：4n 287 . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分7故满足条件的最大正整数n的值为287 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆 C 的方程为12 2x y2 2 1a b 0 ,a b2 22 32 2a b2 2a b 1,4.解得:2a2b16,12.依题意: ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴椭圆 C 的方程为12 2x y16 121. ⋯⋯⋯⋯⋯3 分解法2：设椭圆2 2x yC 的方程为2 2 11a ba b 0 ，根据椭圆的定义得2a AF AF 8，即a 4，⋯⋯⋯⋯⋯1 分1 2∵c 2 ，∴b2 a2 c2 12 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴椭圆2 2x yC 的方程为116 121 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分1 1 12 2 2 2(2) 解法1：设点)B( x1, x , C(x2 , x ) ，则BC (x2 x , ( x x )) ，1 2 1 2 14 4 412BA (2 x1,3 x ) ，14 ∵A, B, C 三点共线,∴BC // BA. ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴1 12 2 2x x 3 x x x 2 x , 2 1 1 2 1 14 4化简得：2(x x ) x x 12. ①⋯⋯⋯⋯⋯ 51 2 1 2分由 2 4x y , 即12y x , y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6分1 x2 1∴抛物线C在点B 处的切线x1 x xl 的方程为y( ) ，1 2 14 2即x 11 2y x x . ②⋯⋯⋯⋯⋯712 4分同理，抛物线C在点C 处的切线l 的方程为2 2x 12 2y x x . ③⋯⋯⋯⋯⋯822 4分设点P(x, y) ，由②③得：x 1 x 1 2 1 2 2x x x x，1 22 4 2 4而1x1 x ，则x ( ) . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分x1 x2 22代入②得1y x x ，⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 24则2x x x ，4y x1x2 代入①得4x 4y12 ，即点P 的轨迹方程为1 2y x 3. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分若P F PF AF AF ，则点P 在椭圆C1 上，而点P 又在直线y x 3上，1 2 1 2⋯⋯⋯⋯⋯12 分∵直线y x 3经过椭圆 C 内一点(3,0) ,1∴直线y x 3与椭圆 C 交于两点. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分1∴满足条件P F PF AF AF 的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分1 2 1 2````````````````````解法2：设点B(x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ，P(x0 , y0 ) ，由 2 4x y , 即12y x , 得y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4分∴抛物线 C 在点B 处的切线2x1l 的方程为y1 (x x )y ，1 12即x 11 2y x y x . ⋯⋯⋯⋯⋯5 分1 12 2∵1 x2 11xy x ，∴y x y1 .1 412∵点P( x , ) 在切线0 yx1l 上, ∴y x0 y1 . ①⋯⋯⋯⋯⋯612分同理，x2y x y . ②⋯⋯⋯⋯⋯70 20 2分x 综合①、②得，点B( x1, y ), C(x , y ) 的坐标都满足方程x yy0 01 2 22 ∵经过B( x1 ,y ),C(x , y )两点的直线是唯一的，1 2 2 .⋯⋯8 分x ∴直线L 的方程为x yy0 02 ，⋯⋯⋯⋯⋯9 分∵点A( 2,3) 在直线L 上，∴y0 x0 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴点P 的轨迹方程为y x 3. ⋯⋯⋯⋯⋯11分若P F PF AF AF ，则点P 在椭圆C 上，又在直线y x 3上，⋯12 分1 2 1 2 1∵直线y x 3经过椭圆C 内一点(3,0) ,1∴直线y x 3与椭圆C交于两点. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分1∴满足条件PF PF AF AF 的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯141 2 1 2````````````````````解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y k x 2 3，由y k x2,x 4y,2 3 消去y ，得 2 4 8 120x k x k . ⋯⋯⋯⋯⋯4分设B x , y , C x , y , 则1 12 2 x1 x2 4k, x1x2 8k 12. ⋯⋯⋯⋯⋯ 5分由 2 4x y , 即12y x , 得y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6分∴抛物线 C 在点B 处的切线2x1l 的方程为y y1 (x x ) ，1 12即x11 2y x y x . ⋯⋯⋯⋯⋯71 12 2````````````````````∵12y x ，∴1 41x 121y x x .12 4x 12 2同理, 得抛物线C在点C 处的切线l2 的方程为y x x . ⋯⋯⋯⋯⋯82 22 4 分由x 11 2y x x ,12 4解得x x1 2 ,x 2k2x 12 ,2y x x22 4x xy 2k 3.1 24∴P 2k, 2k 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵P F PF AF AF ,1 2 1 22 2x y∴点P 在椭圆C1 : 1上. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分16 12∴2 22k 2k 316 121.化简得 27k 12k 3 0.(*) ⋯⋯⋯⋯⋯12 分由 2Δ12 4 7 3 228 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯13 分可得方程(*) 有两个不等的实数根.∴满足条件的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵2 3x xy f2(x) kx 1 x kx, ⋯⋯⋯⋯⋯1 分2 3∴ 2 2y 1 x x k ( x x k 1). ⋯⋯⋯⋯⋯2 分方程 2 1 0x x k 的判别式2Δ 1 4 k 1 3 4k .当3k 时，Δ0 ，42y (x x k 1) 0，故函数y f2(x) kx 在R上单调递减；⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分````````````````````当3k 时，方程41 3 4k2 1 0x x k 的两个实根为x ，121 3 4kx . ⋯⋯⋯⋯⋯ 422 分则x, x 时，y 0 ；x x1, x2 时，y 0；x x2 , 时，y 0 ；1故函数y f2(x) kx 的单调递减区间为, x1 和x2, ，单调递增区间为x , x . ⋯⋯⋯⋯⋯5 分1 2*（2）解：存在t 1，对于任意n N ，关于x的方程f n (x) 0在区间t, t 1 上有唯````````````````````一实数解，理由如下：当n 1时，f x x，令1( ) 1 f1(x) 1 x 0，解得x 1，∴关于x的方程f1( x) 0有唯一实数解x 1. ⋯⋯⋯⋯⋯6 分当n 2时，由f (x) 1 xn2 3 2n 1x x x，2 3 2n 1得 2 2n 3 2n 2f (x) 1 x x x x . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分n若x 1，则f(x) f ( 1) (2n 1) 0 ，n n若x 0 ，则f(x) 1 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯8 分n若x 1且x 0 时，则f(x)n2n 1 1xx 1, ⋯⋯⋯⋯⋯9 分当x 1时，2n 1x 1 0, x 1 0, f (x) 0 ,n当x 1时，2n 1x 1 0,x 1 0, f (x) 0 ,n∴f n (x) 0，故f ( x)在( , ) 上单调递减.⋯⋯⋯⋯⋯10 分n∵ fn1 1 1 1 1 1(1) (1 1) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 2n 2 2n 10 ，⋯⋯⋯11分f n2 3 4 5 2n 2 2n 12 2 2 2 2 2(2) (1 2) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 2n 2 2n 11 2 1 2 1 21 ( )2 ( )2 ( )22 3 4 5 2n 2 2n 12 4 2n 21 3 2n 32 4 2n 21 2 2 22 3 4 5 (2n 2)(2 n 1)0 . ⋯⋯⋯⋯12 分∴方程f n (x) 0在1,2 上有唯一实数解. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分当x , 1 时，f x f 1 0；当x 2, 时，f x f 2 0 .n n n n综上所述，对于任意n N f x 在区间1, 2 上有唯一实数解.* ，关于x的方程( ) 0n∴t 1. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分````````````````````。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2x＜16}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3.双曲线9x2-16y2=1的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.若sin（）=，则cos2α=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，依次输入x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A. ，即5个数据的方差为4B. ，即5个数据的标准差为4C. ，即5个数据的方差为20D. ，即5个数据的标准差为208.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A=1，则cos B的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16-12-3=，则（）A. B.C. D.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足==≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A. B. C. D.11.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，直线y=x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D.12.函数f（x）=（kx-2）ln x，g（x）=2ln x-x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f（f（2））=______．14.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y=m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18.在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2，∠EAD=30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20.已知点（1，），（，）都在椭圆C：=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上．21.已知函数f（x）=e x-2ax（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥-4a2+4a22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线C l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y=kx与曲线C2交于A，B两点，若=3，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）-5＜0的解集为（m，n），且n-m=，求a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x-1＜2}=（-∞，3），B={x|1＜2x＜16}=（0，4）∴A∩B=（0，3）．故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z=的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线9x2-16y2=1的标准方程为：，可得a=，b=，c==，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：sin（）=-cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-，故选：B．利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；∴f（-1）=-1；∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜-1得，f（x）＜f（-1）；∴x＞-1；∴不等式f（x）＜-1的解集为（-1，+∞）．故选：D．根据条件可得出f（-1）=-1，根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜-1得出f（x）＜f（-1），从而得到x＞-1，即得出原不等式的解集．考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，∵=（17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式S=[（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．故选：A．根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵cosC+cosA=1，∴由余弦定理可得：•+•=1，化简可得：b2=ac，由余弦定理可得；cosB==≥=，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16-12-3=，这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，故选：B．先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，得解．本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2-2x-4=0，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5，点O到直线y=x+1的距离d，d=．∴则△OAB的面积S，S=•|AB|•d=．故选：C．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）lnx＜2lnx-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h′（x）=-=-，由h′（x）＞0得-（lnx-1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得-（lnx-1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k A==-，k B==1-，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1-＜k≤-，即实数k的取值范围是（1-，-]，故选：B．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|=π，∴ω==2，设P（x0，m），则Q（-x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|=-2x0，|QR|=+2x0，∴2（-2x0）=+2x0，解得x0==，∴m=sin（2×）+=+=1，∴ω+m=2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）①．当n=1时，解得：，当n≥2时，S n-1=1-a n-1．②①-②得：2a n=a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n=log2a n=-n．所以：b n+1=-（n+1），则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为AD=2，DC=4，AC=2，所以AD2+DC2=AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，，，所以，，所以．当x=10时，，当x=11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2，故椭圆C的方程为+=1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y=kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（0，2），A2（0，-2），∴直线A1P的方程为y=x+2=•x+2=（k-）x+2，则直线A2Q的方程为y=x-2=（k+）-2，由，消x可得=，整理可得y===+4=+4=4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y=4上【解析】（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y=，根据韦达定理化简整理可得直线y=4 本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-2a，f′（0）=1-2a=2，解得：a=-，∴f（x）=e x+x，则f（0）=1．∴切线方程为y=2x+1；（2）证明：f′（x）=e x-2a，由f′（x）=e x-2a=0，解得x=ln2a．∴当x∈（-∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（ln2a）=e ln2a-2a ln2a=2a-2a ln2a．令g（a）=2a-2a ln2a+4a2-4a=2a2-2a-2a ln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，则h′（a）=1-=，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）=0，即a-1-ln2a≥0．∴f（x）≥-4a2+4a．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），得到关于a的方程，求得a，得到函数解析式，求得f（0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f（x）≥-4a2+4a转化为证f（x）的最小值大于等于-4a2+4a，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，求其最小值大于等于0即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2=4，设M （x ，y ）则P （2x -4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x -4）2+（2y ）2=4，即（x -2）2+y 2=1，即x 2+y 2-4x +3=0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+3=0． （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2=CA 2-（ AB ）2=1-AB 2，① 在直角三角形CMO 中，CM 2=OC 2-OM 2=4-（ AB ）2=4-AB 2，②由①②得AB = ，∴OM =，CM =，k ===．【解析】（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2=4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C 1德轨迹C 2的直角坐标方程，再化成极坐标方程； （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM ，OM 后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）= ， ， ＜ ＜ ，，∴x =1时，f （x ）的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时，f （x ）-5＜0的解集为（a -3，1-），∴1--a +3=4- =，∴a =2符合，当2a +2≤5即0＜a ≤时，f （x ）的解集为（ --1，1-），∴1- ++1=2≠． 综上可得a =2． 【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试（一）文科数学试题2019.03一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x<0}，B={x|x>0}，则()A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B【答案】D【解析】解：由x2−2x<0，得：0<x<2，则集合A={x|0<x<2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B 的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.已知a为实数，若复数(a+i)(1−2i)为纯虚数，则a=()A. −2B. −12C. 12D. 2【答案】A【解析】解：(a+i)(1−2i)=a+2+(1−2a)i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1−2a≠0，得a=−2且a≠12，即a=−2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.已知双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线过点(b,4)，则C的离心率为()A. √52B. 32C. √5D. 3【答案】C【解析】解：双曲线C：x2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e=ca=√1+4=√5．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.a⃗，b⃗ 为平面向量，己知a⃗=(2,4)，a−−2b⃗ =(0,8)，则a⃗，b⃗ 夹角的余弦值等于()A. −45B. −35C. 35D. 45【答案】B【解析】解：己知a⃗=(2,4)，a−−2b⃗ =(0,8)，∴b⃗ =12[a⃗−(a⃗−2b⃗ )]=(1,−2)，∴a⃗⋅b⃗ =2−8=−6．设a⃗，b⃗ 夹角，又a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosθ=2√5⋅√5⋅cosθ=10cosθ，∴10cosθ=−6，∴cosθ=−35，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得a⃗，b⃗ 夹角的余弦值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.若sinα>sinβ>0，则下列不等式中一定成立的()A. sin2α>sin2βB. sin2α<sin2βC. cos2α>cos2βD. cos2α<cos2β【答案】D【解析】解：∵cos2α=1−2sin2α，cos2β=1−2sin2β，∵sinα>sinβ>0，∴sin2α>sin2β>0，−2sin2α<−2sin2β，则1−2sin2α<1−2sin2β，即cos2α<cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a,b∈N∗,b<a)，则圆固率的近似值为()A. ba B. abC. 3abD. 3ba【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：S正十二边形S圆=ba，所以12×12×2×2×sin3004π=ba，即π=3a b，故选：C ．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：S 正十二边形S 圆=ba ，所以12×12×2×2×sin3004π=ba ，即π=3a b，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则直线CE 与D 1F所成角的大小为( )A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】D【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C(0,2，0)，E(2,1，0)，D 1(0,0，2)，F(1,2，0)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−2)， 设直线CE 与D 1F 所成角的大小为θ，则cosθ=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， ∴θ=π2．∴直线CE 与D 1F 所成角的大小为π2．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE 与D 1F 所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8. 如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数ℎ=f(t)的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】解：函数ℎ=f(t)是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选：B ．根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9. 函数f(x)=sin(x +π12)+sin(x +5π12)最大值是( )A. 2B. 32C. √3D. 2√3【答案】C【解析】解：∵sin(x +5π12)=sin(π2+x −π12)=cos(x −π12)，∴f(x)=sin(x +π12)+cos(x −π12) =sinxcosπ12+cosxsinπ12+cosxcosπ12+sinxsin π12=(sinπ12+cos π12)sinx +(sinπ12+cos π12)cosx ，∵sin π12+cos π12=√2sin(π12+π4)=√2sin π3=√62． ∴f(x)=√62sinx +√62cosx =√3sin(x +π4). ∴f(x)的最大值为√3．故选：C ．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f(x)即可得出结论． 本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.13π2B. 7πC.15π2D. 8π【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：14×4π×12+2×π×12+2π×2=7π．故选：B ．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11. 已知F 为抛物线C ：y 2=6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=6x 的焦点坐标为(32,0)，准线方程为x =−32 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则∵|AF|=3|BF|，∴x 1+32=3(x 2+32)，∴x 1=3x 2+3 ∵|y 1|=3|y 2|，∴x 1=9x 2，∴x 1=92，x 2=12， ∴|AB|=(x 1+22)+(x 2+32)=8．故选：B ．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A ，B 的中点横坐标，即可求出线段AB 的长度..本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12. 已知函数f(x)=e |x|−ax 2，对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]【答案】A【解析】解：由题意可知函数f(x)是(−∞,0)上的单调递减函数， 且当x <0时，f(x)=e −x −ax 2,f′(x)=−1e x−2ax =−2axe x +1e x≤0，据此可得：2axe x +1≥0，即a ≤−12xe x 恒成立， 令g(x)=xe x (x <0)，则，据此可得函数g(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(−1,0)上单调递增，函数g(x)的最小值为g(−1)=−1e ，则(−12xe x )min =e2，据此可得：实数a 的取值范围是(−∞,e2]．故选：A ．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a 的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 3+alog 3x ，若f(2)=6，则f(12)=______． 【答案】178【解析】解：函数f(x)=x 3+alog 3x ，若f(2)=6， 则f(2)=8+alog 32=6，变形可得alog 32=−2， 则f(12)=(12)3+alog 312=18−alog 32=178；故答案为：178．根据题意，由f(2)的值分析可得f(2)=8+alog 32=6，变形可得alog 32=−2，则有则f(12)=(12)3+alog 312=18−alog 32，代入计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．14. 已知以点(1.2)为圆心的圆C 与直线x +2y =0相切，则圆C 的方程为______． 【答案】(x −1)2+(y −2)2=5【解析】解：根据题意，设圆C 的半径为r ，以点(1.2)为圆心的圆C 与直线x +2y =0相切，则有r =√1+4=√5，则圆C 的方程为(x −1)2+(y −2)2=5； 故答案为：(x −1)2+(y −2)2=5．根据题意，设圆C 的半径为r ，由直线与圆的位置关系可得r =|1+2×2|√1+4=√5，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15. 已知关于x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0，表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0)，满足x 0−2y 0=2，则m 的取值范围是______． 【答案】(−∞,43]【解析】解：作出x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0对应的平面如图：交点C 的坐标为(−m,−2)， 直线x −2y =2的斜率为12，斜截式方程为y =12x −1，要使平面区域内存在点P(x 0,y 0)满足x 0−2y 0=2， 则点C(−m,−2)必在直线x −2y =2的下方，即−2≤−12m −1，解得m ≤2，并且A 在直线的上方；A(−m,1−2m)， 可得1−2m ≥−12m −1，解得m ≤43， 故m 的取值范围是：(−∞,43]. 故答案为：(−∞,43].作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P(x 0,y 0)满足x 0−2y 0=2，则平面区域内必存在一个C 点在直线x −2y =2的下方，A 在直线是上方，由图象可得m 的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =2，c =3，C =2B ，则△ABC的面积为______． 【答案】15√716【解析】解：∵b =2，c =3，C =2B ，∴由正弦定理bsinB =csinC ，可得：2sinB =3sinC ，可得：2sinB =3sin2B =32sinBcosB ， ∴可得：cosB =34，可得：sinB =2B =√74，∴可得：sinC =sin2B =2sinBcosB =3√78，cosC =cos2B =2cos 2B −1=18，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√74×18+34×3√78=5√716， ∴S =12bcsinA =12×2×3×5√716=15√716．故答案为：15√716． 由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB 的值，利用二倍角公式可求sinC ，cosC 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是等差数列，且lga 1=0，lga 4=1．(1)求数列{a n }的通项公式(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和． 【答案】解：(1)数列{a n }是等差数列，设公差为d ，且lga 1=0，lga 4=1． 则：{a 1=1a 1+3d =10，解得：d =3所以：a n =1+3(n −1)=3n −2．(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，则：a k 2=a 1⋅a 6，整理得：a k =3k −2， 解得：k =2；所以：等比数列{b n }的公比为q =4． 所以：b n =4n−1．则a n +b n =3n −2+4n−1，故：S n =(1+1)+(4+41)+⋯+(3n −2+4n−1)， =n(3n−1)2+4n −14−1，=32n 2−12n +13(4n −1)．【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(2)利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18. 如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90∘，点P 是 AC 的中点，连接BP ，DP(1)证明：平面ACD ⊥平面BDP ；(2)若BD =√6，cos∠BPD =−√33，求三棱锥A −BCD 的体积．【答案】解：(1)证明：如图所示，因为△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90∘， 所以Rt △ABD≌Rt △BCD ，可得AD =CD ，又因为点P 是AC 的中点，则PD ⊥AC ，PB ⊥AC ， 又PD ∩PB =P ，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 所以平面ACD ⊥平面BDP ；(2)设AB =a ，在Rt △ABD 中，BD =√6，则AD =√BD 2−AB 2=√6−a 2； 在等边△ABC 中，BP =√32AB =√32a ，在等腰△ACD 中，DP =√AD 2−AP 2=√6−a 2−(12a)2=√6−54a 2；在△BPD 中，由cos∠BPD =−√33，得sin∠BPD =√63；由余弦定理得BD 2=BP 2+DP 2−2⋅BP ⋅cos∠BPD ，即6=34a 2+6−54a 2−2×√32a ×√6−54a 2×(−√33)，解得a =2；所以△BPD 的面积为S =12⋅BP ⋅DP ⋅sin∠BPD =√22，所以三棱锥A −BCD 的体积为V =13⋅AC ⋅S △BPD =13×2×√22=√23．【解析】(1)证明PD⊥AC，PB⊥AC，得出AC⊥平面PBD，从而证明平面ACD⊥平面BDP；(2)利用直角三角形以及余弦定理求出AB的值，计算△BPD的面积和AC的值，即可求得三棱锥A−BCD的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d数的平均值为x−=160(7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2)≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．(2)设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5,10)，[l0,15)，[15,20)的女性客户中抽取1人(设为a)，2人(设为A，B)4人，(设为c1，c2，c3，c4)，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P=621=27．则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(48×24−16×12)264×36×60×40≈16.667>10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【解析】(1)根据平均数的公式进行计算即可．(2)利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可． (3)完成2×2列联表，计算K 2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F(1,0)，点P(23,2√63)在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y =x +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M 的坐标：若不存在，说明理由．【答案】解：(1)由题意可得c =1，点P(23,2√63)在C 上，∴49a 2+83b 2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1， 解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，(2)假设y 轴上存在点M(0,t)，△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0)， 由{x 24+y 23=1y =x +m ，消去y 可得7x 2+8mx +4m 2−12=0， △=64m 2−28(4m 2−12)=16(21−3m 2)>0，解得m 2<7， ∴x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127，∴x 0=−x 1+x 22=−4m 7，y 0=x 0+m =3m 7，∴N(−4m 7,3m7)，依题意有AM ⊥BM ，MN ⊥l ， 由MN ⊥l ，可得t−3m 70−(−4m7)×1=−1，可得t =−m7， 由AM ⊥BM 可得y 1−t x 1⋅y 2−t x 2=−1，∵y 1=x 1+m ，y 2=x 2+m ，代入上式化简可得2x 1x 2+2(m −t)(x 1+x 2)+(m −t)2=0， 则2(4m 2−12)7−(8m 7)2+(8m 7)2=0，解得m =±√3，当m =√3时，点M(0,−√37)满足题意，当m =−√3时，点M(0,√37)满足题意 【解析】(1)先求出c 的值，再根据49a 2+83b 2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1，即可得到椭圆的方程，(2)假设y 轴上存在点M(0,t)，△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0)，根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM ⊥BM ，MN ⊥l ，即可求出m 的值，可得点M 的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21. 已知函数f(x)=e x−1+a ，g(x)=lnx ，其中a >−2．(1)讨论函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数；(2)若函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点，设直线y =t 与的数y =f(x)和y =g(x)的图象分别交于点P ，Q.证明：|PQ|>a +1．【答案】解：(1)函数y =f(x)与y =g(x)的图象交点个数即方程e x−1+a =lnx 根的个数，设F(x)=e x−1+a −lnx ，x >0．则F ′(x)=e x−1−1x 在(0,+∞)上单调递增，且F’(1)=0．当x ∈(0,1)时，F’(x)<F’(1)=0，则F(x)在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时，，则F(x)在(1,+∞)上单调递增．所以，当x =1时，F(x)min =F(1)=l +a ．当a +1>0，即a >−1时，函数F(x)无零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点； 当a =−1时，函数F(x)有一个零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象有一个交点；当−2<a <−1时，F(e a )=e e a −1>0.又F(1)=1+a <0．F(3)=e 2+a −ln3>e 2−2−ln3>e 2−4>0，所以F(x)=e x−1+a −lnx 在(e a ,1)和(1,3)上分别有一个零点．所以，当−2<a <−1时，F(x)有两个零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象有两个交点．综上所述：当a >−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为0；当a =−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为1；当−2<a <−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为2．(2)由(1)可知，当函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点时，a >−1．设P(m,t)，Q(n,t)，由得m =1+In(t −a)，由ln =t 得n =e t ，|PQ|=|n −m|=|e t −ln(t −a)−1|．设ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1，先证明不等式e t ≥1+t ，再证明t −In(t −a)≥a +1，t ∈(a,+∞)．设p(t)=e t −1−t.则p’(t)=e t −1．当t ∈(0,+∞)时，p’(t)=e t −1>0，p(t)=e t −1−t 在(0,+∞)上单调递增， 当t ∈(−∞,0)时，p’(t)=e t −1<0，p(t)=e t −1−t 在(−∞,0)上单调递减， 所以p(t)≥p(0)=0，即e ≥1+t ．设q(t)=t −ln(t −a)−a −1.则q ′(t)=1−1t−a =t−a−1t−a ．当t ∈(a,a +1)时，q’(t)<0，q(t)单调递减：当t ∈(a +1,+∞)时，q’(t)>0，q(t)单调递增．所以q(t)≥q(a +1)=0，即t −1n(t −a)≥a +1．所以ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1≥1+t −ln(t −a)−1=t −ln(t −a)≥a +1． 因为t =a +1时，t −ln(t −a)≥a +1中等号成立，t =0时，e t ≥l +t 中等号成立， 而t =a +1>0，所以等号不能同时成立．所以ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1>a +1．所以IPQl >a +1．【解析】(1)原问题等价于求解方程e x−1+a =lnx 根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；(2)由(1)可知，当函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点时，a >−1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sin 2t x=cost (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．【答案】解：(1)曲线C 1的普通方程为y =1−x 2(−1≤x ≤1)，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ(cosθ−asinθ)=12，得直线C 2的直角坐标方程为y −ax =12，即ax −y +12=0，(2)由直线C 2：ax −y +12=0，知C 2恒过点M(0,12)，由y =1−x 2(−1≤x ≤1)，当时，得x =±1，所以曲线C 1过点P(−1,0)，Q(1,0)，则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12， 直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=−12， 因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即−12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[−12,12].【解析】(1)利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程；(2)根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 已知函数f(x)=|x +a|−|2x −1|．(1)当a =1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若a >0，不等式f(x)<1对x ∈R 都成立，求a 的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=|x +1|−|2x −1|，f(x)>0即为|x +1|>|2x −1|，可得(x +1+2x −1)(x +1−2x +1)>0，即3x(x−2)<0，解得0<x<2，则原不等式的解集为(0,2)；(2)若a>0，不等式f(x)<1对x∈R都成立，即有1>f(x)max，由f(x)=|x+a|−|2x−1|=|x+a|−|x−12|−|x−12|≤|x+a−x+12|−0=|a+12|，可得f(x)的最大值为|a+12|=a+12，(a>0)，则a+12<1，解得0<a<12．【解析】(1)运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；(2)由题意可得1>f(x)max，由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019广州一模文科数学试题及答案文字版
2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑2019年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学眼尘编辑一、选择题: 本题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1. （）已知集合2A x|x 2x 0 ,B x|x 0 , 则A．A B B．A B R C．B A D．A B 2. （）已知 a 为实数, 若复数( a + i ) ( 1 - 2 i ) 为纯虚数, 则 a =A．-2 B．12C．12D．23. （）已知双曲线2y2C : x 1的一条渐近线过点( b , 4 ), 则 C 的离心率为2bA．52 B．32C． 5 D．34. （）a, b 为平面向量, 已知 a = ( 2 , 4 )． a 2b ( 0 , 8 ), 则 a , b 夹角的余弦值等于A．45B．35C．35D．455. （）若s in sin 0 , 则下列不等式中一定成立的是A．s in 2 sin 2 B．s in 2 sin 2C．c os2 cos2 D．c os2 cos26. （）刘微是我国魏晋时期的数学家, 在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”, 是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示, 圆内接正十二边形的中心为圆心O．圆O 的半径为2．现随机向圆O 内投放 a 粒豆子, 其中有 b 粒豆子落在正十二边形内a,b N*, b a , 则圆周率的近似值为A．baB．abC．3abD．3ba7. （）在正方体ABCD - A1B1C1D1 中, 点E, F 分别是棱AB, BC 的中点, 则直线CE 与D1F 所成角的大小为A．B．C．D．6 4 3 2眼尘编辑1 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑8.（ ）如图 , 一高为 H 且装满水的鱼缸 , 其底部装有一排水小孔 , 当小孔打开时 , 水从孔中匀速流出 , 水流完所用时间为 T ．若鱼缸水深为 h 时 , 水流出所用时间为 t , 则函数 h = f (t) 图象大致是9. （）函数5 f xsin xsin x的最大值是1212A ．2B ．32C ．3 D ．2 310. （ ） 一个几何体的三视图如图所示 , 其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形 , 则该几何体的表面积为A ． 13 2B ． 7正视图侧视图C ．15 2D ． 8俯视图11. （）已知 F 为抛物线2C : y 6x 的焦点 , 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点 , 且 | AF |= 3 | BF | , 则 | AB | = A ．6B ．8C ．10D ．1212. （） 已知函数 |x| 2fx e ax , 对任意 x 1 0, x 20, 都有 x 2 x 1 f x 2f x 10．则实数 a 的取值范围是A ．, e 2B ．,e 2C ． 0,e 2e D ． ,02二、 填空题: 本题共 4小题 , 每小题 5分, 共20分． 13. 已知函数3f x x a log x , 若 f 26 , 则 31f____________214. 已知以点 ( 1, 2 ) 为圆心的圆 C 与直线 x + 2y = 0 相切 , 则圆 C 的方程为 _______________________2x y 1 015. 已知关于 x, y 的不等式组x m 0 y 2 0表示的平面区域内存在点 P x 0 ,y 0 , 满足 x 0 2y 0 2, 则m 的取值范围是 _____________________________16. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 b=2, c=3, C=2B, 则 △ABC 的面积为 _____________眼尘编辑2 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．（一）必考题: 共60分17.(12分)已知a n 是等差数列, 且lg a1 0, lg a4 1.(1)求数列a n 的通项公式；(2)若a1,a k ,a6 是等比数列b n 的前 3 项, 求k 的值及数列a n b n 的前n项和．18.(12分)如图, 在三棱锥A-BCD 中, △ABC 是等边三角形．∠BAD＝∠BCD = 90 °,点P 是AC 的中点, 连接BP , DP．(1)证明: 平面ACD ⊥平面BDP ;(2)若B D 6 , cos3BPD , 求三棱锥A-BCD 的体积．3APB DC3 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑19.(12分)某网络平台从购买该平台某课程的客户中, 随机抽取了100位客户的数据, 并将这100个数据按学时数．客户性别等进行统计, 整理得到下表．学时数[5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40)男性18 12 9 9 6 4 2女性 2 4 8 2 7 13 4(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表, 结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中, 对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人, 再从这7人中随机抽取2人, 求这2人购买的学时数都不低于15的概率；(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”, 25学时以下者视为“非十分爱好该课程者”, 请根据已知条件完成以下2x2列联表, 并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计100附 :2n ad bc2 ,K n a b c da b c d a c b d2P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.8284 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑20.(12分)已知椭圆2 2x yC : 1 a b 02 2a b的一个焦点为 F (1, 0) , 点2 2 6P , 在 C 上．3 3(1)求椭圆 C 的力程;(2)若直线l : y x m 与椭圆 C 相交于A, B 两点, 问y 轴上是否存在点M, 使得△ABM 是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在, 求点M 的坐标;若不存在, 说明理由．21.(12分)已知函数x 1f x e a ,g x ln x, 其中 a 2 .(1)讨论函数y f x 与y g x 的图象的交点个数；(2)若函数y f x 与y g x 的图像无交点, 设直线y t 与函数y f x 和y g x的图象分别交于点P, Q．证明: PQ a 1．5 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑（二）选考题: 共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．22.[必修4-4:坐标系与参数方程](10分)x cost在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 2y sin t( t 为参数)．以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线C2 的极坐标方程为1sin a cos a R ．2(1)写出曲线C1 的普通方程和直线C2 的直角坐标方程;(2)若直线C2 与曲线C1 有两个不同交点, 求a的取值范围．23.[选修4-5:不等式选讲](10分 )已知函数 f x x a 2x 1(1)当 a = 1 时, 求不等式 f x 0 的解集:(2)若 a > 0, 不等式 f x 1 对x R 都成立, 求 a 的取值范围．6 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑参考答案一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D A C B D C D B C B B A 二．填空题24.17825.2 2x 1 y 2 5 15. ,4316. 15 716三．解答题（2）17.解（1）设 b 公比为q设an公差为1dnb a 1,b a 3k 2,b a lg a 011 12 k3 62a a aa1k 1 16ak4又lg a 143k N*a a 3d 104 1a 3k 2k44解得k2b2b1 16n 1 n 1b b q 4n 1设 a b 前n项和为Sn n nS a b a b a bn 1 1 2 2 n na a ab bb1 2 n 1 2nn1 3n2 n 1 42 1 4n3n 1 n 4 12 3dq a a n 1 d 3n 2n 1解:(1)在△中, 为的中点ABC BA BC, P AC∴BP⊥AC又∵∠BAD ∠BCD90°2 2 22 ∴AD BD AB ，CD BD BC ∴AD CDBP PDBDP、平面又∵P为AC的中点∴PD⊥AC∵BP⊥AC，PD⊥AC，BP PD P，∴AC⊥平面BDP又∵AC 平ACD面∴平面⊥平面ACD BDP(2)设AB AC BC a32∴BP a,CD 6 a252 22 PD CD PC 6a 4在△BPD中，由余弦定理，得cos∠BPD3 52 2a 6 a4 43 52 a 62 4解得∴4∴或（舍去）a2a2BP3,PD12 sin∠=1-cos∠=BPDBPDS△BPVA BC31 2 223 2 3∴∴6 18.(解：1)7.5 18 12.5 12 17.5 9 22.5 9 27.5 6 32.5 4 37.5 218 12 9 8 6 4 2(3)203 12 16.92非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性48 12 60 (2)学时数20以下的女性：2 4 8=14人16 24 40女性合计64 36 100 分层抽样7人，则学时数在5,10 ，10,15 ，15, 20 分别为1、2、4人7 6抽取2人共有=21种可能2 K 22100 4 824 1 16250 16.6760 40 64 36 310.8284 3在中抽取人共有15,20 2 =62所以有99.9%的把握认为?十分爱好该课程者”与性别有关所以这人购买的学时数都不低于=的概率P 6 = 2 21521 77 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑26. (1)解由已知，得222a bc将 代入 ，得 [1] [2]2223x4 x2mx m123 4 m t m7 71∴t m7 c 1 4 24229a 9b解得122∴7x 8mx 4m -12 0∴ 2 2=64m 4 7 4m -12248 7 m 01 1 ∴ x xym y m1 21277 11x xx m m ym m1 212772a42b 3 12c∴椭圆 C 的方程：22x y1 4 3(2)联立方程组 y x m[1]22x y1 [2]43设A x , y , B x , y , G x , y中点112228m 4m 12 ∴xx = , x x121 27 78m4m 3m∴ x2, y7 7 7设存在M 0,t 满足题意 即AM BM 0x x y t y t 1 2 1 2由MGAB 得,整理，得 86422x xm xxm =0 1 2127 49 24m 12 8 8m 642∴2mm =0 777 49解得m3∴t1 3377∴当m3时， 3 3存在点M 0, 或M 0,满足题意77解：(1) 27. x由f x g x ,得 a ln x e 设 x 1h x ln x ex 01x 1h ' xe x1x 1h" xe2x∴h ' x 单调减，又 h ' 11x 1设P x ,ea ,Q x ,ln x1122∴x 11e a t lnx t2整理，得 xln t a11txe2∴ tPQ xxe ln t a 1, t21[1] a 0时， F ' t 0，F t 递增[2] 10 'a 时，设 F t∴ te1 ta∴ tln ta∴tPQF teln1 tat1x0,11 1,∴h ' x设tF t e ln t a 1, t a1tata a 01h x 1∴当时，有2个交点2 a 1当时，有1个交点a= 1当a 1时，没有交点(2)由(1)知a 1，t 0，t at1taF ' t e1tF " t e 02t a∴' 单调增F t又∵F1 a 1' 0 =1 =a aa 11当且仅当，= t at a即t =a 1时，等号成立1t代入，得1,与的取值矛盾e0 a at a∴PQ a 18 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑28.(1)解：2 2∵cos t sin t 1由已知代入，得2x y 12∴y x1∵cost 1,12∴曲线C : y x 1 x 1,111 ∵sin a cos21 ∴sin a cos21∴y ax21∴y ax2∴直线C: yax2(2)112联立方程组：y,消得122x ax由已知可得122∴设=a 2 02f x x ax∴有f1 01 1a2 21f 1 0 既有 a 02aa2 21 12∴1 1的取值范围为[ ]a,2 2x 2在上有两不同的根x 1,1122x x 1 2解：23. (1)将a 1代入f x ，得f x x 1 2x 1 0 ∴x 1 2x 1 令g x 2x 1 112 2x x21易求最小值为=1g x g x gm i n2∴ 2 2x 1 2x 1 ∴x a g xm i n1∴3x x 2 0 ∴0 x 21 1即只需当x 时，x a a2 21````解得∴x 0,23 1(2)a2 2由已知得又a 0x a 2x 1 11∴a0,29 / 9。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)
．
故选： A． 由题意将原问题转化为函数单调性的问题， 值范围即可． 本题主要考查导函数研究函数的单调性， 法等知识，属于中等题．
故选： D．
利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．
本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．
6. 刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的 《 九章算术注 》 中首创 “割圆术 ”，所谓 “割圆术 ”，是用圆内接正多边形的面积 去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆 内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机 向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内 ，则圆固率的近似值为
12. 已知函数
，对任意
，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
【答案】 A
【解析】 解：由题意可知函数
是
且当
时，
，
，都有
C.
D.
上的单调递减函数， ，
据此可得： 令 减，在区间
，即 ，则 上单调递增，函数
恒成立， ，据此可得函数 的最小值为
在区间 ，则
上单调递 ，
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据此可得：实数 a 的取值范围是
则双曲线的离心率为
．
故选： C．
求得双曲线的渐近线方程，由题意可得
，再由离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质， 主要是渐近线方程和离心率的求法， 考查方程思想和运
算能力，属于基础题．
4. ， 为平面向量，己知
，
，则 ， 夹角的余弦值等于
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 解：己知