时间复杂度经典解说.pptx
时间复杂度o（1）,o（n）,o（logn）,o（nlogn）
时间复杂度o（1）,o（n）,o（logn）,o（nlogn）1、时间复杂度o(1), o(n), o(logn), o(nlogn)。
算法时间复杂度有的时候说o(1), o(n), o(logn), o(nlogn)，这是算法的时空复杂度的表⽰。
不仅仅⽤于表⽰时间复杂度，也⽤于表⽰空间复杂度。
O后⾯的括号中有⼀个函数，指明某个算法的耗时/耗空间与数据增长量之间的关系。
其中的n代表输⼊数据的量。
⼤O描述的是算法的运⾏时间和输⼊数据之间的关系。
2、时间复杂度为O(1)。
是最低的时空复杂度了，也就是耗时/耗空间与输⼊数据⼤⼩⽆关，⽆论输⼊数据增⼤多少倍，耗时/耗空间都不变。
哈希算法就是典型的O(1)时间复杂度，⽆论数据规模多⼤，都可以在⼀次计算后找到⽬标（不考虑冲突的话）。
3、时间复杂度为O(n)。
就代表数据量增⼤⼏倍，耗时也增⼤⼏倍。
⽐如常见的遍历算法。
再⽐如时间复杂度O(n^2)，就代表数据量增⼤n倍时，耗时增⼤n的平⽅倍，这是⽐线性更⾼的时间复杂度。
⽐如冒泡排序，就是典型的O(n^2)的算法，对n个数排序，需要扫描n×n次。
4、时间复杂度为O(logn)。
当数据增⼤n倍时，耗时增⼤logn倍（这⾥的log是以2为底的，⽐如，当数据增⼤256倍时，耗时只增⼤8倍，是⽐线性还要低的时间复杂度）。
⼆分查找就是O(logn)的算法，每找⼀次排除⼀半的可能，256个数据中查找只要找8次就可以找到⽬标。
指数函数：⼀般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数。
y=a^x表⽰a的x次⽅。
对数函数：如果a^x =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
5、时间复杂度为O(nlogn)。
就是n乘以logn，当数据增⼤256倍时，耗时增⼤256*8=2048倍。
这个复杂度⾼于线性低于平⽅。
时间复杂度
时间复杂度：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数，T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。
渐近时间复杂度：当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。
当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。
但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。
以保证算法的运行时间不会比它更长。
常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。
下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。
1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：（1） f(n)=O(g(n))（2） g(n)=O(f(n))（3） h(n)=O(n^1.5)（4） h(n)=O(nlgn)这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。
"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。
这么一来，就好计算了吧。
◆ (1)成立。
题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。
算法基础--简介时间复杂度与空间复杂度
算法基础--简介时间复杂度与空间复杂度 算法是为求解⼀个问题所需要遵循的、被清楚地指定的简单指令的集合。
对于⼀个问题，⼀旦给定某种算法并且确定其实正确的，那么重要的⼀步就是确定该算法将需要多少诸如时间或空间等资源量的问题，这就是时间复杂度和空间复杂度存在的意义。
常⽤时间复杂度和空间复杂度来衡量不同算法的优劣。
⼀、从数学的⾓度理解 O(n)、Ω(n)、o(n)和Θ(n) 通常，我们以函数所处理的数据量来表⽰算法的性能，也就是说，对于⼤⼩为 n 的数据，我们⽤函数 f(n) 来表⽰它的算法性能。
在很多情况下，我们可以完全确定 f 的具体值，但是这通常不是必要的，我们更关⼼的是当算法处理的数据量变得⽆穷⼤时，算法的性能将趋近于⼀个什么样的值，即⼀个算法的增长速率（运⾏时间、占⽤空间的增长率）。
要描述这种增长率，需要⽤到⼀系列新的定义，这些定义的⽬的是要在函数间建⽴⼀种相对的级别，反映出⼆者之间的相对增长率。
1.1 Θ记法： Θ记法给出了⼀个函数的渐进上界和渐进下界。
对于⼀个给定的函数 g(n)，⽤Θ(g(n)) 来表⽰以下函数的集合： Θ(g(n)) = { f(n)：存在正常量c1、c2、n0，使得对所有 n >= n0，有 0 <= c1g(n) <= f(n) <= c2g(n) } 即，f(n) = Θ(g(n)) 表⽰，对所有的 n>=n0，函数 f(n) 在⼀个常量因⼦内等于 g(n)，称 g(n) 是 f(n) 的⼀个渐进紧确界。
此外，有⼀个定理：对于任意两个函数 f(n) 和 g(n)，我们有 f(n) = Θ(g(n))，当且仅当 f(n) = O(g(n)) 且 f(n) = Ω(g(n))。
1.2 ⼤ O 记法： 对于⼀个给定函数 g(n)，⽤ O(g(n)) 来表⽰以下函数的集合： O(g(n)) = {f(n) ：存在正常量 c 和 n0，使得对所有 n>=n0，有 0 <= f(n) <= cg(n)} ⽤⼤ O 记法来给出函数的⼀个在常量因⼦内的渐进上界。
算法第一讲(时空复杂度)
对于同一个问题，所采用的算法不同，其所需的时间复 杂度和空间复杂度的差别也是很大的，下面以Fibonacci数 列为例
• Fibonacci数列
1
n0
F (n) 1
n 1
F (n 1) F (n 2) n 1
对于任意指定的整数n(n>=0)，计算F(n)的精确值，并分析算 法的时间、空间复杂度。
1.递归法
• //递归求斐波那契数列
• public int rFibonacci(int n){
•
• if(n<=1){
•
return 1;
•
}
•
return rFibonacci(n-1)+rFibonacci(n-2);
算法中一条语句的执行时间取决于该语句的执行次数和执行一次所
需的时间。语句执行次数被称为语句频度，执行一次的时间被假设为单
位时间，因此算法的执行时间就可以看作是该算法中所有语句的语句频
度之和。
当问题规模很大时，精确的计算T(n)是很难实现而且也是没 有必要的, 对于算法时间性能的分析无需非要得到时间复杂度 T(n) 的精确值, 它的变化趋势和规律也能清楚地反映算法的时间 耗费. 基于此, 引入了渐进时间复杂度作为时间性能分析的依据, 它的含义就是: 在问题规模n趋于无穷大时算法时间复杂度 T(n) 的渐进上界，即函数T(n)的数量级阶。算法时间复杂度和渐进算 法时间复杂度在实际的算法分析过程中是不予区分的, 渐进时间 复杂度可以简称为时间复杂度，记为T(n)=O(f(n))。其中，O表示 数量级(阶)。函数f(n)一般是算法中最大的语句频度。
第四讲 时间复杂度和空间复杂度2
线性阶
• 一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随 着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长。
int i , n = 100, sum = 0; for( i=0; i < n; i++ ) { sum = sum + i; }
• 上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)， 因为循环体中的代码需要执行n次。
对数阶
• 对数，属于高中数学内容啦，对于有些鱼油可能 对这玩意不大理解，或者忘记了，也没事，咱分 析的是程序为主，而不是数学为主，不怕。 • 我们看下这个程序：
int i = 1, n = 100; while( i < n ) {
i = i * 2;
}
对数阶
• 由于每次i*2之后，就举例n更近一步，假设有x个2相 乘后大于或等于n，则会退出循环。 • 于是由2^x = n得到x = log(2)n，所以这个循环的时 间复杂度为O(logn)。 • 其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关 运算，这更多的是考察你的数学知识和能力。 • 所以这里小甲鱼要分两类来说下，对于想考研的朋友 ，需要强化一下你的数学尤其是数列方面的知识。对 于想增长自己编程能力的朋友，大概知道规律即可， 不要在高等数学的概念上死磕！
平方阶
• 刚才是单个循环结构，那么嵌套呢？
int i, j, n = 100; for( i=0; i < n; i++ ) { for( j=0; j < n; j++ ) { printf(“I love \n”); } }
平方阶
• n等于100，也就是说外层循环每执行一次，内层 循环就执行100次，那总共程序想要从这两个循环 出来，需要执行100*100次，也就是n的平方。所 以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。 • 那如果有三个这样的嵌套循环呢？ • 没错，那就是n^3啦。所以我们很容易总结得出， 循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循 环运行的次数。 • 刚刚我们每个循环的次数都是一样的，如果：
计算理论计算复杂性ppt课件
3cnf: 每个子句文字数不大于3, 2cnf: 每个子句文字数不大于2
可满足问题SAT
• 可满足性问题: SAT = { <> | 是可满足的布尔公式 }
• 思想: 将字符串对应到布尔公式 利用接受的形式定义.
• 过程: 任取ANP, 设N是A的nk时间NTM. w(|w|=n), N接受w
N有长度小于nk的接受格局序列 能填好N在w上的画面(一个nknk表格) f(w)可满足 • 结论: SAT是NP完全的
N接受w能填好N在w上的画面
# q0 w0 w1 … wn #
2)若0,1都在带上,重复以下步骤. O(n)
3) 检查带上0,1总数的奇偶性,
若是奇数,就拒绝.
O(n) log n
4) 再次扫描带,
第1个0开始,隔1个0删除1个0; O(n)
第1个1开始,隔1个1删除1个1.
总时间:
5)若带上同时没有0和1,则接受. O(n) O(nlogn)
否则拒绝.”
{0k1k|k0}TIME(nlogn)
快速验证
HP = {<G,s,t>|G是包含从s到t的 哈密顿路径的有向图}
CLIQUE={<G,k>|G是有k团的无向图} 目前没有快速算法,但其成员是可以快速验证的. 注意:HP的补可能不是可以快速验证的. 快速验证的特点: 1. 只需要对语言中的串能快速验证. 2. 验证需要借助额外的信息:证书,身份证.
• 二元可满足性问题: 2SAT = { <> | 是可满足的2cnf }
算法复杂度——时间复杂度和空间复杂度
1.时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
记为T(n)。
（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。
为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如 T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
2、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。
记作: S(n)=O(f(n)) 我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。
讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述。
（3）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。
详解时间复杂度计算公式(附例题细致讲解过程)
详解时间复杂度计算公式(附例题细致讲解过程)摘要：一、时间复杂度概念介绍1.定义2.重要性二、常见时间复杂度分类1.O(1)2.O(log n)3.O(n)4.O(n^2)5.O(n^3)6.O(2^n)三、时间复杂度计算方法1.增长率和指数级别2.常数阶、对数阶、线性阶、平方阶和立方阶四、例题讲解1.求解斐波那契数列的时间复杂度2.求解排序算法的时间复杂度3.求解二分查找算法的时间复杂度五、时间复杂度优化方法1.优化算法策略2.数据结构选择六、总结与实践应用1.掌握时间复杂度概念2.熟练运用常见时间复杂度分类3.提高算法分析和优化能力正文：一、时间复杂度概念介绍1.定义时间复杂度是用来估计算法运行时间的一个指标，通常用大O符号（O）表示。
它描述了算法在最坏情况下的运行时间增长速度，是评价算法效率的重要标准。
2.重要性掌握时间复杂度概念有助于我们：（1）预测算法性能：通过比较不同算法的时间复杂度，预测算法在实际应用中的性能表现。
（2）优化算法：根据时间复杂度分析，找出算法中的瓶颈，有针对性地进行优化。
二、常见时间复杂度分类1.O(1)：常数阶，代表算法运行时间与输入规模无关，如访问数组元素、哈希表查找等。
2.O(log n)：对数阶，代表算法运行时间与输入规模的对数成正比，如二分查找、红黑树查找等。
3.O(n)：线性阶，代表算法运行时间与输入规模成正比，如遍历数组或列表、线性查找等。
4.O(n^2)：平方阶，代表算法运行时间与输入规模的平方成正比，如冒泡排序、插入排序等。
5.O(n^3)：立方阶，代表算法运行时间与输入规模的立方成正比，如选择排序、希尔排序等。
6.O(2^n)：指数阶，代表算法运行时间随输入规模呈指数级增长，如解决旅行商问题（TSP）等。
三、时间复杂度计算方法1.增长率和指数级别：通过观察算法运行时间与输入规模的关系，判断时间复杂度。
如增长率恒定为k，则时间复杂度为O(k)。
2.常数阶、对数阶、线性阶、平方阶和立方阶：根据算法运行时间与输入规模的具体关系，确定时间复杂度类别。
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算法时间复杂度的数学意义
从数学上定义，给定算法A，如果 存在函数f(n)，当n=k时，f(k)表示算法 A在输入规模为k的情况下的运行时间， 则称f(n)为算法A的时间复杂度。
其中：输入规模是指算法A所接受输入的自然独立体 的大小，我们总是假设算法的输入规模是用大于零 的整数表示的，即n=1,2,3,……,k,……
（2）进一步而言，又分为最好情况、平 均情况、最坏情况三种情况。通常最 坏情况往往是我们最关注的。
（1）上界函数
定义1 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的n≥n0，有 |T(n)| ≤ c|f(n)|
则记作T(n) = Ο(f(n))
含义： • 如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，
对于同一个算法，每次执行的时间不仅
取决于输入规模，还取决于输入的特性和具 体的硬件环境在某次执行时的状态。所以想 要得到一个统一精确的F(n)是不可能的。为 此，通常做法：
1.忽略硬件及环境因素，假设每次执行时 硬件条件和环境条件是完全一致的。
2.对于输入特性的差异，我们将从数学上 进行精确分析并带入函数解析式。
x(1)=1 x(2)=2x(1)+1 = 2*1+1=3 x(3)=2x(2)+1=2*3+1=7 x(4)=2x(3)+1=2*7+1=15
X(n)=2^n-1 n>0
（2）反向替换法
例如：X(n)=x(n-1)+n
使用所讨论的递推关系，将x(n-1)表 示为x(n-2)得函数，然后把这个结果 代入原始方程，来把x(n)表示为x(n-2) 的函数。重复这一过程。
算法的渐近时间复杂度 很多时候，我们不需要进行如此精
确的分析，究其原因： 1.在较复杂的算法中，进行精确分
析是非常复杂的。 2.实际上，大多数时候我们并不关
心F(n)的精确度量，而只是关心其量级。
算法复杂度的考察方法
（1）考察一个算法的复杂度，一般考察 的是当问题复杂度n的增加时，运算所 需时间、空间代价f(n)的上下界。
含义： • 如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，
所用的时间总是不小于|g(n)|的一个常数倍。所以g(n) 是计算时间T(n)的一个下界函数。 • 试图求出“最大”的g(n)，使得T(n) = Ω(g(n))。
（3） “平均情况”限界函数
定义1.3 如果存在正常数c1，c2和n0，对于所有的n≥n0，有 c1|g(n)| ≤|T(n)| ≤ c2|g(n)| 则记作
X(n)=x(0)+1+2+3+4+5…+n=0+1+2+3=4 = n(n+1)/2
（3）换名
f (n) f (n / k) b
上面形式的在递推关系式，一个规模为n的问题， 每一次递归调用后，都简化为n/k规模的问题，为了 方便求解，我们通常设定：n=km， 则，上面的求解过程可简化为：
f(n)= f(km-1)+b = f(km-2)+2b =… = f(k0)+mb = f(1) + blog n
（2）虽然最坏情况是一种悲观估计，但是对于 很多问题，平均情况和最坏情况的时间复 杂度差不多，比如插入排序这个例子，平 均情况和最坏情况的时间复杂度都是输入 长度n的二次函数。
（2）下界函数
定义1.2 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的n≥n0， 有 |T(n)| ≥ c|g(n)| 则记作T(n) = Ω(g(n))
例子： x=1; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x++;
x++运行次数：
ni j
1
i 1 j 1 k 1
ni
n
j i(i 1) / 2
i 1 j 1
i 1
[n(n 1)(2n 1) / 6 n(n 1) / 2] / 2
else
{
int mid=(i+n)/2;
优<---------------------------<劣 O(1)<O(㏒2n)<O(n)< O(n㏒2n): <O(n2)<O(2n)
典型的计算时间函数曲线
计算算法时间复杂度过程： （1）确定基本操作 （2）构造基于基本操作的函数解析式 （3）求解函数解析式
如果构建的是递推关系式，那么 常用的求解方法有：
所用的时间总是小于|f(n)|的一个常数倍。所以f(n)是 计算时间T(n)的一个上界函数。 • 试图求出最小的f(n)，使得T(n) = Ο(f(n))。
在分析算法的时间复杂度时，我们更关心最坏 情况而不是最好情况，理由如下：
（1）最坏情况给出了算法执行时间的上界，我 们可以确信，无论给什么输入，算法的执 行时间都不会超过这个上界，这样为比较 和分析提供了便利。
几种常见复杂度举例：inSrch(Type A[],int i, int n, Type x)
//A[i..n]是非递减排列 且 1<=i<=n;
{
if(n==i) { if(x==A[i]) return i;
else return 0; }
（1）前向替换法
可以从初始条件给出的序列初始 项开始，使用递推方程生成序列的前 面若干项，寄希望于从中找出一个能 够用闭合公式表示的模式。如果找到 了这样的公式，我们可以用两种方法 对它进行验证：第一，将它直接代入 递归方程和初始条件中。第二，用数 学归纳法来证明。
例如，考虑如下递推式： X(n) = 2X(n-1) +1 n>1 X(1) = 1
T (n) (g(n))
含义： • 算法在最好和最坏情况下的计算时间就一个常数因子范围
内而言是相同的。可看作： 既有 T(n) = Ω(g(n))，又有T(n) = Ο(g(n))
常见算法时间复杂度：
O(1): 表示算法的运行时间为常量 O(n): 表示该算法是线性算法 O(㏒2n): 二分搜索算法 O(n㏒2n): 快速排序算法 O(n2): 对数组进行排序的各种简单算法，例如直接 插入排序的算法。 O(n3): 做两个n阶矩阵的乘法运算 O(2n): 求具有n个元素集合的所有子集的算法 O(n!): 求具有N个元素的全排列的算法