《数值分析》考试试卷-2014
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析试题集
..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值， 判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。
二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。
12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。
x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。
七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。
2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。
a 1 2 时， A 可作 LU 分解。
3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
2014年河海大学数值分析试卷
河海大学2014-2015学年硕士生《数值分析》试题(A)任课教师姓名姓名专业学号成绩一、填空题 (每小题3分, 共24分)1、已知方程的根是二重根,则求此根的具有二阶收敛的牛顿迭代格式是。
2. 作为的近似值，有 位有效数字。
3、是以为插值区域，为插值节点的插值函数，满足哪些条件会成为三次样条插值函数：。
4、给定矩阵，则_________, _________, _________,条件数____________.5、解常微分方程初值问题数值解的改进欧拉预测－校正公式是:预测:校正: 。
6、设矩阵,的杜利特尔()分解为: , 则; 。
7、给定方程,写出求解此方程的牛顿迭代格式___________________________以及弦截法迭代格式____________________________________.8、写出求解的复化辛普森求积公式______________________________________,该公式的误差阶为_____________.《数值分析》2014级(A) 第1页共5页二、(本题10分)已知，且有x0.10.20.3f (x) 2.1 3.0 3.4(1).求f (x)的二次拉格朗日插值多项式；(2).用二次拉格朗日插值多项式,求f(2.4)的近似值(取小数点后三位),并估计误差。
三、(本题10分)用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合。
x－10123f (x)－0.50.20.51 1.8《数值分析》2014级(A) 第2页共5页四、（本题8分）用追赶法求解三对角方程组五、(本题10分)写出方程组的雅科比和高斯－赛德尔迭代格式，确保对任意初始向量都收敛,并取初始向量,分别计算出迭代2次后的结果(取小数点后四位)。
《数值分析》2014级(A) 第3页共5页六、(本题8分)确定求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出所得公式的代数精度。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
2014级硕士研究生数值分析期末考试试卷A卷
2014级硕士研究生试卷科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：不予计分；可带计算器。
一、 填空题（每空2分，共30分）1．设14.30=x 是准确值21.30=*x 的近似值，则近似值x 有 位有效数字，近似值x 的相对误差为 。
2．函数)(x f 过点(0,1), (1,3)和(2,9)，对应的基函数分别为)(),(),(210x l x l x l ，过这三个节点的二次拉格朗日插值多项式为 ，余项为 。
3. 已知0)1(,3)1(,0)2(=-==f f f ，二阶均差]1,1,2[-f = 。
4．方程0123=--x x 在5.10=x 附近有个根，构造不动点迭代收敛的格式为 ,若用牛顿法迭代求根，其收敛阶是 。
5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2021012a a A ，为了使A 可分解成TLL A =，其中L 是对角元素为正的下三角矩阵，则a 的取值范围 。
6． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=232221413A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x ，则∞||||Ax ，1||||A = ，2||||A = 。
7．设U L D A --=,b Ax =的Gauss-Seidel 迭代的矩阵形式b Ux Lx Dxk k k ++=++)()1()1(，其迭代矩阵为 ，该迭代格式收敛的充要条件__________________。
8．求解一阶常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=<<-=1)0(10,2'y x yx y y ，取步长1.0=h 的Euler 法公式为 ，其截断误差的首项为 。
二、计算题（第4题12分，其余各题10分，共62分）1. 求次数小于等于3的多项式P (x ), 使其满足条件: 0)0(=P ，1)0('=P ，1)1(=P ，2)1('=P 。
2. 解线性方程组b Ax =, 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201814,513252321b A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x 。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
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1 (0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7) 3!
0.55032 104
（10 分）
七、 f (x) 1 x2 ，0 (x) 1，1(x) x ，
则
(0,0 )
1 0
dx
1，
(0
, 1 )
(1,0
)
1 0
xdx
1 2
，
(1,1)
1 x2dx 1 ，
1
2 0 1
1 1 ， 4. 2001，5. Gauss 型， 1
6.
yn
1
yn
0.1
y0 1, tn nh
yn
2tn yn
,
n
0,1, 2, 9
三、当 a 0 时，Jacobi 迭代矩阵
0 a a
GJ
a
0
a
a a 0
（3 分）
由 I GJ ( 2a)( a)2 0 1 2a, 2,3 a ，故 (GJ ) 2 a ， （6 分）
矩阵
H
使得
H (2, 0, , 0, 0)T ，
并确定 的值。
（10 分）
五、用 Newton 法求非线性方程
x sin x 1
的根（计算一步求出 x1 即可），并说明收敛的理由。
（10 分）
六、已知 f ( x) sin x 的函数表如下，利用二次插值多项式求 sin 0.63891 的近似值，并
y
2t y
,
0
t
1
的计算公式为
y 0 1
，其中 h 0.1 .
三、设线性代数方程组 Ax b 的系数矩阵为
1 a a
A
a a
1 a
a 1
，
其中 a 为实数，试求能使 Jacobi 方法收敛的 a 的取值范围。
（10 分）
四、设 a
(2, 0,1,
2, 2)T
，求
Householder
0.6 0.6
0.64422
0.2815
x
2
1.16175
x
0.03107
或 0.47943 0.8521x 0.5 0.2815x 0.5x 0.6
（6 分）
则 sin 0.63891 P2 0.63891 0.5962737068
（8 分）
sin 0.63891 0.596274
1,
n
0,1,
（4 分）
f
(0)
1
0，
f
2
2
0 ， x*
0,
2
，
在
0,
2
上，
f
( x)
0
， f (x) 0 ，又由 f (x0 ) f (x0 ) 0 ，取 x0 0.5 ,
由大范围收敛定理，Newton 迭代格式收敛；
.5cos0.5 sin0.51 1 cos0.5
由
(GJ
)
1
|
a
|
1 2
时
Jacobi
迭代法收敛。
（10 分）
四、记 s (0, 0,1, 2, 2)T ， c sign(s3 ) sT s 3 ，
u s ce2 0, 0, 4, 2, 2T ，
I2 0 0 0
0 1 2 2
则
H I 2uuT
uT
u
0
3 2
3
3 2 3
3 1 3
，
解得 c0* 2 2
2 2ln 1
2 0.9343200496
，
c1* 5 2 4 3ln 1 2 0.4269470502
（6 分）
最佳平方逼近元素 P1x 0.9343200496 0.4269470502 x ，0 x 1， （8 分）
位有效数字。
2. 为了减少舍入误差，应将计算式 2001 1999 改写为
.
1 1 2
3.
矩阵
A
1
2
1
的
Doolittle
分解式为
.
2 2 3
4
设
A
1 1.001
1.001
1
，则
cond
A
1
.
5 n 个节点的所有求积公式中，具有最高代数精度的是
求积公式.
6.
y
用 Euler 方法求解常微分方程初值问题
估计误差。
（10 分）
x
0.5
0.6
0.7
0.8
f ( x) 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736
七、定义内积
f
,
g
1 0
f
x
g
x dx
，在
H1
Span1,
x
中求对于
f
(x)
1 x2
的最佳平方逼近元素 p x ，并求出最佳平方逼近误差 .
（10 分）
八、用逐次分半的复化梯形公式计算积分
0
3
f ,0
1 0
1 x2 dx 1 ln 1 2
2 2 1.1477935747 ， 2
f ,1
1
x
0
1 x2 dx 2
2 1 0.6094757082 ， 3
（4 分）
1
法方程为
1 2
1 2 1 3
c0* c1*
1.1477935747 0.6094757082
0.510957949
.
（10 分）
六、选取节点{0.5, 0.6, 0.7} ，
（2 分）
L2 (x)
(x (0.5
0.6)(x 0.6)(0.5
0.7) 0.7)
0.47943
(x (0.6
0.5)(x 0.5)(0.6
0.7) 0.7)
0.56464
x 0.7
0.5x 0.50.7
，
0
2 3
1 3
2 3
H (2, 0,3, 0, 0)T , = 3 .
（4 分） （8 分） （10 分）
五、 f (x) x sin x 1 ， f (x) cos x 1，Newton 迭代格式为
xn1
xn
xn sin xn 1 1 cos xn
xn
cos xn sin xn 1 cos xn
6. 三次样条插值问题的解存在且唯一。
7．区间 a,b上带权 x的正交多项式系是唯一的。
8．n 个结点的插值型求积公式至少具有 n-1 次代数精度。
（）
（） （） （） （） （） （）
（）
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
1. 若 a 1.1063 ， b 0.946 是经过舍入后得到的近似值，则 a b 有
一、判断题（对的打√，错的打×，每小题 2 分，共 16 分）
y0
1.
递推关系式 yn
1 n
5
yn 1
,
n 1, 2,,100 是数值稳定的。
2. Gauss 消去法是数值稳定的。
3. 0 2 是 SOR 方法收敛的必要条件。
4. 幂法的迭代是否收敛依赖于特征值的分布情况。
5. 对分法不能求非线性方程的重根。
1 0
1
2 x
2
dx
的近似值，使截断误差不超过
0.005
.
（10 分）
《数值分析》考试试卷（A）参考答案（研 2014 级）
一、判断题（16 分） 1（），2（），3（），4（），5（），6（），7（），8（）
二、填空题（24 分）
1. 3， 2.
2
1
1 1 2
2001
1999 ， 3.
A
1