人教版第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
与左图相比较，这种平行四边 形特殊在哪里？你能给菱形下 定义吗？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四 边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角 线互相平分。中心对称图中， AB=AD,
对角线AC与BD相交于点O求证：（1） AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条 对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
答：菱形是轴对称图形； 有四条对称轴； 两条对角线，两条中位线
结论
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领 条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。
• 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对 角线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的长.
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称 轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边 都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的 性质可以进行计算和推理。
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》说课稿
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》说课稿一. 教材分析《菱形的性质》是人教版数学八年级下册第18.2.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握菱形的性质，并能够运用菱形的性质解决一些简单的问题。
在教材中，菱形的性质是作为一个新的概念引入的，它与之前学习的矩形、正方形等四边形有着密切的联系，但又有着自己独特的性质。
在本节课中，学生将通过观察、操作、猜想、验证等过程，掌握菱形的性质，并培养自己的观察能力、操作能力以及逻辑思维能力。
二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经学习了矩形、正方形等四边形的性质，对这些性质有一定的了解。
然而，对于菱形这个新的概念，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们通过观察、操作、猜想、验证等方法，逐步掌握菱形的性质。
此外，八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，能够进行一些简单的推理和证明。
因此，在教学过程中，我还可以适当引导他们进行一些证明和推理，提高他们的逻辑思维能力。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生掌握菱形的性质，并能够运用菱形的性质解决一些简单的问题。
具体来说，学生需要能够：1.说出菱形的定义和性质；2.能够运用菱形的性质解决一些简单的问题；3.培养观察能力、操作能力以及逻辑思维能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是菱形的性质以及如何运用菱形的性质解决一些简单的问题。
在教学过程中，我需要引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，逐步掌握菱形的性质。
同时，我还需要给出一些具体的例子，让学生学会如何运用菱形的性质解决一些简单的问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法与手段：1.引导法：通过引导学生观察、操作、猜想、验证等方法，让学生主动探索菱形的性质，培养他们的观察能力、操作能力以及逻辑思维能力；2.举例法：通过给出一些具体的例子，让学生学会如何运用菱形的性质解决一些简单的问题；3.小组合作学习：学生进行小组合作学习，让学生在小组内进行讨论、交流，培养他们的合作意识以及口头表达能力。
菱形的性质 教学设计
18.2.2菱形（1）教学设计一、教学内容分析：1在教材中的作用与地位：本节选自人教版《义务教育教科书》八年级下册18.2.2《菱形》的第一课时，《菱形》是紧接《矩形》一节之后。
它是在学生掌握了平行四边形的和矩形的知识之后，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。
这一节课既是前面所学知识的继续，又是为后面学习正方形等知识的打下基础，起着承前启后的作用。
2学生学习情况分析：从我所带班级的学生年龄特征、文化知识的实际水平出发，先让学生动手操做，动脑思考，然后与同组学生交流、探索、总结归纳，升华得出菱形的性质，这样的安排使抽象的定理让学生更易于接受，并能在整个的教学过程中真正享受到探索的乐趣。
我所带的班是初二（1）（2））班，这两个班级是学校的普通班，学生的情况是中等学生较多，尖子生只有个别，还有9至12名的学习上落后的学生。
因此长期以来我都坚持做好培养学生良好的学习习惯和自主学习的能力的工作。
3、基于对教材和我所带两个班级学情的分析，我认为本节课的教学有几个方面需要把握好的：（1）本节课的课题是：菱形的性质；（2）教学目标是：让学生能在动手实践过程中发现并理解菱形的性质；（3）教学重点是：菱形的定义与性质的探究、证明与简单运用.（4）教学难点是：菱形性质2的探究及性质的灵活运用。
4、根据新课程标准的要求及学生的实际情况，本节课我制定了如下教学目标：（1）教学目标：（一）知识与技能：（1）经历菱形的性质的探究过程，了解并掌握菱形的定义和性质，并会简单的计算。
.（二）过程与方法: （1）经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力。
（2）根据菱形的性质进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。
（三）情感态度价值观：体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会菱形的图形美，提高学生的学习兴趣。
培养学生观察、发现、思考的习惯。
二、教学策略分析：本节课是新授课，为了便于学生理解和掌握概念的产生和由来，首先由生活中的图片引入，引起学生学习兴趣，发现菱形在生活中的广泛应用，其次，类比矩形的定义，思考探究得出来菱形的定义。
菱形的性质(第一课时)经典课件
关于中垂线对称
菱形的两条中垂线分别垂直平分两条对角线，并且相交于 中心。
菱形中的任意一点关于其中一条中垂线对称，意味着该点 到中垂线的距离相等且与相对的边的中点连线与中垂线垂 直。
05
菱形在实际生活中的应用
建筑设计中的应用
窗户设计
菱形图案的窗户在建筑设计中经常被使用，它能够 增加建筑物的艺术感和视觉效果。
菱形的性质(第一课时)经典课 件
目
CONTENCT
录
• 菱形的定义与性质 • 菱形的边长性质 • 菱形的角度性质 • 菱形的对称性 • 菱形在实际生活中的应用
01
菱形的定义与性质
菱形的定义
。
菱形的性质
对角线互相垂直
四边相等
对角相等
邻边互相垂直
科学实验
在某些科学实验中，菱形形状 的装置或实验器材可以提高实 验的准确性和可靠性。
THANK YOU
感谢聆听
菱形的两条对角线互相 垂直，并且平分对方。
菱形的四条边长度相等。
菱形的对角相等，即相 对的两个角大小相等。
菱形相邻的两边互相垂 直。
菱形与平行四边形的关系
01
菱形是平行四边形的一种特殊情 况，当平行四边形的所有边都相 等时，它就变成了菱形。
02
平行四边形不一定是菱形，但菱 形一定是平行四边形。
02
菱形的对角线互相垂直平分，这 一性质在几何证明中经常被使用 。
80%
角度和边的关系
通过菱形的性质，可以推导出角 度和边的关系，进而证明其他几 何命题。
其他领域中的应用
时尚界
菱形图案在时尚界中广泛流行 ，如服装、饰品和鞋履的设计 中经常出现菱形元素。
艺术创作
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》教学设计
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》教学设计一. 教材分析《菱形的性质》是人民教育出版社八年级下册数学教材第十七章第二节的一部分，主要介绍菱形的性质。
本节课内容是学生在学习了平行四边形的性质的基础上进行的，是进一步深化学生对四边形性质的理解，为后续学习正六边形和其他多边形的性质做铺垫。
本节课的主要内容包括菱形的定义、性质及其判定。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了平行四边形的性质，具备了一定的几何思维能力。
但是对于菱形的性质的理解还需要进一步的引导和启发。
此外，学生对于新知识的学习兴趣需要激发，对于菱形在实际生活中的应用需要引导。
三. 教学目标1.知识与技能：理解菱形的定义，掌握菱形的性质及其判定方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：菱形的性质及其判定。
2.难点：菱形性质的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、启发式教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，通过启发式教学法引导学生自主探究，通过小组合作学习法培养学生的合作精神。
六. 教学准备1.教学PPT：包含菱形的定义、性质及其判定等内容。
2.几何画板：用于展示菱形的性质。
3.练习题：用于巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的菱形图形，如蜂巢、骰子等，引导学生对菱形产生兴趣，进而提出问题：“什么是菱形？菱形有哪些性质？”2.呈现（10分钟）利用PPT呈现菱形的定义及性质，引导学生观察、思考，并通过几何画板展示菱形的性质，让学生直观地理解菱形的特点。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用菱形的性质判断给出的四边形是否为菱形。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些有关菱形的应用题，让学生运用所学知识解决问题，加深对菱形性质的理解。
第1课时菱形的判定定理
2. 菱形的判定第1课时 菱形的判定定理11．理解并掌握菱形的判定定理1；(重点)2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)一、情境导入木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，试说明四边形ABCD 是菱形．二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC 交BO 的延长线于点D ，连接DC ，DB 平分∠ADC ，求证：四边形ABCD 为菱形．解析：由ASA 证明△OAD ≌△OCB 得出OD ＝OB ，得出四边形ABCD 是平行四边形，再证出∠CBD ＝∠CDB ，得出BC ＝DC ，即可得出四边形ABCD 是菱形． 证明：∵O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC ，∴OA ＝OC ，∠OAD ＝∠OCB ，∠ADB=∠CBD.在△OAD 和△OCB 中，，∴△OAD ≌△OCB （ASA ）.∴OD ＝OB ，∠ODA ＝∠OBC .∵OA=OC,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB ＝∠CDB .∴∠CBD ＝∠CDB .∴BC ＝DC .∴四边形ABCD 是菱形． 方法总结：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、角平分线定义、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．【类型二】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ； (2)求证：四边形AECF 是菱形． 解析：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AD ＝CD .然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE ＝CF .然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A .从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA，∠CFD＝∠AED . 在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形； (3)解：当BE⊥CD 于E 时，⊥EFD ＝⊥BCD.理由如下：⊥四边形ABCD 为菱形，⊥BC ＝CD ，⊥BCF ＝⊥DCF.在⊥BCF 和⊥DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，⊥BCF ＝⊥DCF ，CF ＝CF ，⊥⊥BCF⊥⊥DCF(SAS)，⊥⊥CBF＝⊥CDF.⊥BE⊥CD ，⊥⊥BEC ＝⊥DEF ＝90°，则⊥BCD ＋⊥CBF ＝⊥EFD ＋⊥CDF ＝90°，⊥⊥EFD ＝⊥BCD.方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计 1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合应用经历菱形的猜想、证明的过程，进一提高学生的推理论证能力，体会证明过程中 所运用的归纳概括以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.。
18.2.2 菱形 （第一课时）人教版八年级数学下册教案
18.2.2第1课时菱形的性质教学设计一、教学目标1.理解菱形的概念,理解菱形与平行四边形的关系；2.探究并理解菱形的性质，会运用菱形的性质解决问题；3.经历菱形性质的探索过程,体会观察、类比、猜想、证明等研究几何图形的一般步骤和方法．二、重难点重点：菱形性质的探索、证明和应用.难点：菱形性质的探索、证明和应用.三、教学过程（一）温故导新：我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形,它是从哪个角度特殊化来进行研究的?它有哪些性质?平行四边形矩形边角对角线对称性（二）探究生成：活动一：演示图片，学生欣赏。
课件展示一组图片：窗户形状、中国结、衣架、钥匙链、有菱形图案的图片。
引导学生欣赏、观察、研究、发现，引入课题——菱形。
活动二：通过教师多媒体演示，学生归纳定义。
教师引领学生思考，利用多媒体演示平行四边形较短的边CD来回平行移动，当移动到AD=AB时，四边形ABCD就变成了菱形。
问学生什么是菱形？小组内互相交流学习，拓展思维，并用语言叙述，引出菱形的概念（尽量由学生归纳）。
活动三：学生利用手中的菱形通过反复折叠、展开，大胆猜想菱形的性质（引导学生从边、角、 对角线、对称性等方面分析）1、折叠，上下对折，左右对折，你有什么发现？分析说明：给学生充分的探索交流的机会和时间，为学生营造生生互动，师生互动的一个平台，指导学生通过活动从边、角、对角线去发现菱形的性质，使学生在具体的操作过程中获得知识，减少对知识的生癖感。
结合学生探索、讨论、交流的情况，必要时教师对知识作适当梳理，板书菱形的性质。
菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的周长=4边长， ， 菱形是轴对称图形。
三、互助提升：例1、如图，菱形ABCD 的两条对角线AC=8cm ，BD=6cm ， 求菱形ABCD 的面积和周长.（小组内讨论、交流，找出解决问题的方法，教师巡回指导，并找小组代表展示成果）。
分析说明：学生在前面的探索菱形性质的活动过程中已清晰知道菱形中包含的相等线段，全等的三角形，因此他们将会从不同的角度对三角形进行面积求解，教师只须引导学生说清依据，最终明白这些三角形面积的求法，都是以菱形的对角线作基础，实际上就是菱形两条对角线乘积的一半，让学生自然而然地体会到菱形面积计算的独特性，便与他们理解掌握。
人教版八下数学课件第18章18.2.2第1课时菱形的性质
解 ： 当 四 边 形 EDD′F 为 菱 形 时 ， △A′DE 是 等 腰 三 角 形 ， △A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝
DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E＝
∠A ， ∠DEA′ ＝ ∠DCA ， ∴∠DA′E ＝ ∠DEA′ ， ∴DA′ ＝ DE ，
7．如图，AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( B ) A．△ABD 与△ABC 的周长相等 B．△ABD 与△ABC 的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
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8．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝4.
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八年级数学(下册)·人教版
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
灿若寒星
1．定义：四条边相等的四边形 叫做菱形．菱形是轴对称图形，它的对称 轴是 两条对角线所在的直线 . 2．性质：①菱形的四条边 相等 ；②菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且 每条对角线 平分 一组对角． 3．菱形的面积等于两对角线长的乘积的 一半 .
解：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8cm，OD＝21BD＝ 6cm.∴AD＝ 62＋82＝10，∴C 菱形＝4AD＝40cm.由 S 菱形＝AB×DE＝12 ×AC×BD，即 10×DE＝12×16×12，∴DE＝9.6cm.
灿若寒星
5．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到 △ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后 点 D′，未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．
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02 中档题
10．(2019·驻马店平舆县期末)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，连接 EF．若 EF ＝3，BD＝8，则菱形 ABCD 的周长为(B )
A．14 B．20 C．22 D．28
11．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱 形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点 E 的坐标为(D )
解：∵四边形 ABCD 是菱形，BD＝4， ∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD＝2，AC⊥BD． ∵在 Rt△OCD 中，∠OCD＝30°， ∴CD＝2OD＝4，OC＝ CD2－OD2＝2 3． ∴AC＝2OC＝4 3． ∴S 菱形 ABCD＝12AC·BD＝21×4 3×4＝8 3．
易错点 点的位置不确定导致漏解 9．四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上．若 OE＝ 3，则 CE 的长为 4 3或 2 3 ．
14．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E．
(1)求证：四边形 ACDE 是平行四边形； (2)若 AC＝8，BD＝6，求△ADE 的周长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD． ∴AE∥CD． 又∵DE⊥BD， ∴DE∥AC． 又∵AE∥CD， ∴四边形 ACDE 是平行四边形．
3．(2019·贵阳)如图，菱形 ABCD 的周长是 4 cm，∠ABC＝60°， 那么这个菱形的对角线 AC 的长是( A )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
4．(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为 3，较短的一条对角线的长
为 2，则该菱形较长的一条对角线的长为(C )
证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)． ∴AE＝AF．
知识点 2 菱形的面积 7．(2018·徐州)若菱形两条对角线的长分别是 6 cm 和 8 cm，则其 面积为 24 cm2．
8．(教材 P56 例 3 变式)如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形 ABCD 的面积．
(2)∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝ AO2＋DO2＝5． ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8． ∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18．
03 综合题
15．(2019·宁波)如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上．
(1)求证：AE＝BF； (2)若点 E 恰好是 AD 的中点，AB＝2，求 BD 的值．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC． ∴∠A＝∠CBF． ∵BE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°． ∴△AEB≌△BFC(AAS)． ∴AE＝BF．
(2)∵点 E 是 AD 的中点，且 BE⊥AD， ∴直线 BE 为 AD 的垂直平分线． ∴BD＝AB＝2．
(1)求证：BG＝DE； (2)若 E 为 AD 中点，FH＝2，求菱形 ABCD 的周长．
解：(1)证明：∵四边形 EFGH 是矩形， ∴FG＝EH，EH∥FG． ∴∠GFH＝∠EHF． ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE． ∵四边形 ABCD 是菱形，
A．22019·赤峰)如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC，BD 相 交于点 O，E 是 CD 的中点，则 OE 的长是(A )
A．2．5 B．3 C．4 D．5
6．(2019·衢州)如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC， CD 上，且 BE＝DF，连接 AE，AF．求证：AE＝AF．
∴AD∥BC． ∴∠GBF＝∠EDH． ∴△BGF≌△DEH(AAS)． ∴BG＝DE．
(2)连接 EG． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC． ∵E 为 AD 中点， ∴AE＝ED． ∵BG＝DE， ∴AE＝BG，AE∥BG．
∴四边形 ABGE 是平行四边形． ∴AB＝EG． ∵在矩形 EFGH 中，EG＝FH＝2， ∴AB＝2． ∴菱形 ABCD 的周长为 8．
数学 第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
18．2．2 菱形
第1课时 菱形的性质
01 基础题
知识点 1 菱形的性质
1．(2018·十堰)菱形不具备的性质是(B )
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
2．(2019·河北)如图，在菱形 ABCD 中，∠D＝150°，则∠1＝(D ) A．30° B．25° C．20° D．15°
解：∵S 四边形 ABCD＝S△ADC＋S△BAC＝12AC·OD＋12AC·BO＝21AC·(OD ＋OB)＝12AC·BD，
∴S 四边形 ABCD＝21×20×15＝150．
结论：对角线互相垂直的四边形的面积等 于 两条对角线乘积的一半．
16．(2019·河南二模)如图，四边形 ABCD 是菱形，∠DAB＝50°， 对角线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于点 H，连接 OH，则∠DHO ＝ 25 度．
对角线互相垂直的四边形的面积 我们已经知道：菱形的面积等于对角线乘积的一半，那么，如果 是对角线互相垂直的任意一个四边形，还有这样的结论吗？ 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相垂直，其中对角线 BD 长为 15，AC 长为 20，垂足为 O，求四边形 ABCD 的面积．(请写 出求解过程)
A．(2， 3) B．( 3，2) C．( 3，3) D．(3， 3)
12．(2019·广西)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点
O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，已知 BO＝4，S 菱形 ABCD＝24，则 AH 24
＝ 5．
13．(2019·百色)如图，在菱形 ABCD 中，作 BE⊥AD，CF⊥AB， 分别交 AD，AB 的延长线于点 E，F．