均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
(2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
（当且仅当
b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥
+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b
a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2??
? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
3.若0x >，则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）
若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则1
1122-2x x x x x x
+≥+
≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则22-2a b a b a b b
a
b
a
b
a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
5.若R b a ∈,，则2
)2
(22
2b a
b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的
和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋
1
2x 2
（2）y＝x＋
1
x
解：(1)y＝3x 2＋
1
2x 2
≥23x 2·
1
2x 2
＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1
x ≥2
x ·1
x
＝2；
当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例 已知54
x <，求函数14245
y x x =-+
-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?
?231≤-+= 当且仅当1
5454x x
-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设2
30< 解：∵230< =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈=23,04 3x 时等号成立。 技巧三： 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? +=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++） 当,即t=时,4 259y t t ≥?=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)() A y mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x =+的单调性。 例：求函数22 4 y x =+的值域。 2 4(2)x t t +=≥，则2 24 y x +221 4(2)4x t t t x =+=+≥+ 因10,1t t t >?=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故 52 y ≥ 。 所以，所求函数的值域为5,2 ??+∞?? ?? 。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231 ,(0)x x y x x ++= > （2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数y .；3．2 03 x <<，求函数y =的最大值. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33?定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==?+b a b a 当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6． 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x,y 的值 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 错解 ．．： 0,0x y >>，且 19 1 x y +=，∴ ()1912 x y x y x y ??+=++≥ ??? 故 ()min 12x y += 。 错因：解法中两次连用均值不等式，在 x y +≥等号成立条件是x y =，在 19x y +≥1 9 x y = 即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因 此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解： 19 0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ??∴+=++=++≥+= ??? 当且仅当9y x x y = 时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。 变式： （1）若+ ∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七 已知x ，y 为正实数，且x 2＋ y 2 2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤ a 2＋ b 2 2 。 同时还应化简1＋y 2 中y 2 前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x 2·1＋y 2 2 ＝ 2 x ·12 ＋y 2 2 下面将x ， 12 ＋y 2 2 分别看成两个因式： x · 12 ＋y 2 2 ≤x 2 ＋( 12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 2 2 ＋12 2 ＝3 4 即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 3 4 2 技巧八： 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝ 1 ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化 为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b b ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16 t ≥ 2 t ·16 t ＝8 ∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1 18 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1 18 点评：①本题考查不等式 ab b a ≥+2 ） （+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到 ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式 ab b a ≥+2 ） （+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤ a 2＋ b 2 2 ，本题 很简单 3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20 ∴ W ≤20 ＝2 5 变式: 求函数15 ()22 y x <<的最大值。 解析：注意到21x -与52x -的和为定值。 2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-= 又 0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即3 2 x =时取等号。 故max y =。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了 条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应用二：利用均值不等式证明不等式 1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1 1 1 1118a b c ??????---≥ ??????????? 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥ 解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。∴111a b c a a a -+-==≥ 同理1 1b -≥ ，11c -≥。 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 111221118ac ab a b c ??????---≥= ??????????? 。当且仅当13a b c ===时取等号。 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且1 91x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。 解：令,0,0,x y k x y +=>>1 91x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴ +=1091y x k kx ky ∴++= 103 12k k ∴- ≥? 。16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2 lg(),lg (lg 2 1 ,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=?=>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a 2 1 = Q （p b a b a =?>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2 1lg )2lg( ∴R>Q>P 。 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 不等式公式，是两头不对等的公式，是一种数学用语。 常用的不等式的基本性质： ①a>b,b>c→a>c; ②a>b →a+c>b+c; ③a>b,c>0 → ac>bc; ④a>b,c<0→ac 扩展：若有y=x1×x2×x3.....X n且x1+x2+x3+...+X n=常数P,则Y的最大值为((x1+x2+x3+...+X n)/n)n 绝对值不等式公式： | |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b| | |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b| 证明方法可利用向量，把a、b 看作向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。 柯西不等式： 设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有 (a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^ 2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取等号。 排序不等式： 设a1,a2,…an；b1,b2…bn均是实数，且 a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（乱序和） ≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）,仅当 a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立。 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 高考不等式公式精选汇总集合 一不等式的证明 证明不等式选择方法的程序： ①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解； ②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1； ③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方； 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)： 2 11 2 a b a b + ≥≥ + (当a = b时取等) 3 a b c ++ ≤， 123123 a a a a a a ++≤++， (0) a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 ④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法； ⑤逆代：把数换成字母； ⑥换元：均值换元或三角换元； ⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式； ⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证； ⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分； ⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。 二不等式的解法 (一)有理不等式 1．一次不等式：ax b > 解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。 2．二次不等式：20 ax bx c ++> 两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。 3．高次不等式：序轴标根法 (二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式 先变形成有理不等式，再求解。 绝对值不等式： 当a> 0时，有 2 2 x a x a a x a ?>?>或x a <-. 无理不等式： ()0 ()0 ()() f x g x f x g x ≥ ? ? >?≥ ? ?> ? . 基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞ 例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。 基本不等式----三大注意事项例题解答 基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“(0,0)2 a b ab a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面. 一个技巧： 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如22 2a b ab +≥逆用就是22 2a b ab +≤，2a b ab +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2 a b ab +≤等． 两个变形： (1) 222 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ (,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 22 2()22 a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 例题. 一、注意运用不等式链 例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求 11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2 112a b a b +≤+，因为1a b +=，所以21112a b ≤+，所以11a b +4≥，当且仅当12 a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然. 基本不等式 .基本不等式 ①公式： -_b ab (a 0,b 0)，常用 a b 2. ab 2 2 ■ 2 2 ②升级版: a b a b ab a,b R 2 2 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二?考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定三相等 一正： 指的是注意a,b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时 a b 典型例题： 1 例1?求 y x ￡；（x 0）的值域 分 x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处 1 解：y (x ) Q x 0 2x 2x 1 x 2x 得到y ( , &] 1 分析：sinx 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当 y 取到最小值时，sinx 的值是.2，但「2不 在范围内 解：令 t sinx , t (0,1) 是对钩函数，禾U 用图像可知: 2 在(0,1)上是单减函数，所以t 3,(注：3是将t 1代入得到) y (3,) 注意：使用基本不等式时，注意 y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式 ，要借助对钩函数图像来求 值域。 例2 ?求y 2x (x 3)的值域 解：y 2x (“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值 ) 2(x 3) 22 即 y 2.2 6, 例3?求 y sin x 2 sin x (0 x )的值域 y t f （p 为常数）型函数，要注意t 的取值范围; 【失误与防范】 1.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因 是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视. 要利 用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. 2 ?在运用重要不等式时， 要特别注意“拆” “拼” “凑” “正” “定” “等”的条件. 3.连续使用公式时取 等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 【题型2】条件是a b 或ab 为定值，求最值（值域）（简） x 2 2x 1 例 4.求 y (x 2）的值域 分析：先换元，令t x 2 ,t 0,其中x 解：y (t 2)2 2(t 2) 1 t 2 6t 1 t Qt 0 [8, 总之：形如y 2 CX ax b dx f (a 0,c 0）的函数，一般可通过换元法等价变形化为 等技巧，使其满足重要不等式中 例5. 0, y 0且x y 18，则xy 的最大值是 解析: 由于 x 0,y 0,则x y 2 xy ，所以2 xy 18，则xy 的最大值为81 例6. 已知 x,y 为正实数，且满足 4x 3y 12，则xy 的最大值为 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 八年级数学精华一元一次不等式_公式总结 1、不等式与等式的性质类比。 对于初中数学中等式(例如a=b)的性质，我们比较熟悉。不等式(例如a>b或a 等式有两个基本性质： 1、等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，等号不变。(即两边仍然相等)。 2、等式两边都乘以(或除以)同一个不等于0的数，符号不变(即两边仍然相等)。 按“类比”思想考虑问题，自然会问：不等式是否也具有这样相类似的性质，通过实例的反复检验得到的回答是对的，即有。 不等式的性质;1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变(即原来大的一边仍然大，原来较小的一边仍然较小)。2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变。3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变(即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大)。 例如：-x>20, 两边都乘以-5，得， x等式的基本性质是等式变形的根据，与此类似，不等式的基本性质是不等式变形的根据。 2、不等式的解与方程的解的类比 从形式上看，含有未知数的不等式与方程是类似的。按“类比”思想来考虑问题，同样可以仿效方程解的意义来理解不等式的解的意义。 例如：当x=3时，方程x+4=7两边的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而当x=2时，方程x+4=7两边值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。类似地当x=5不等式x+4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一个解。若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。 注意：1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。一般地说，一元方程只有一个或几个解;而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。 例如：x+6=5只有一个解x=-1，在数轴上表示出来只是一个点，如图， 而不等式x+6>5则有无数多个解-----大于-1的任何一个数都是它的解。它的解集是x>-1，在数轴上表示出来是一个区间，如图 2、符号“≥”读作“大于或等于”或也可以理解为“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”或可以理解为“不大于”。 例如;在数轴上表示出下列各式： (1)x≥2 (2)x1 (4)x≤-1 解：x≥2 x1 x≤-1 3、不等式解法与方程的解法类比。 . 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2 (22 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的 和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 . 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y＝x＋ 1 x 解：(1)y＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） 基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； 不等式的证明规律及重要公式总结 重 要 公式 1、2 2 2 )2 ( ,2b a ab ab b a +≤≥+（可直接用）ca bc ab c b a ++≥++?222 2、),(1122 22 2+∈+≥≥+≥+R b a b a a b b a b a （要会证明） 3、0(3333≥++≥++c b a abc c b a 即可） 4、33abc c b a ?≥++，3 )3 (c b a abc ++≤；),,(+∈R c b a 5、||||||||||b a b a b a +≤+≤-，),,(R c b a ∈ 证明方法 方法一：作差比较法： 已知：1=++c b a ，求证：3 1222≥++c b a 。 证：左－右=)1333(31222-++c b a ])(333[3 12 2221c b a c b a ++-++====的代换 0])()()[(3 1 222≥-+-+-=a c c b b a 方法二：作上比较法，设a 、b 、c +∈R ，且c b a ≠≠，求证：b a a c c b c b a c b a c b a +++>222 证：a c c b b a b c a c a b c b c a b a b a a c c b c b a a c c b b a c c b b a a c b a c b a ---------+++??===)()()(222右左 当a>b>0时1)(0,1>?>->? -b a b a b a b a 当0 运用均值不等式的八类拼凑方法 利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。 一、 拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 2 2111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327 x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ??? 。 当且仅当 112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。故max 32 27 y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大 值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y == 因()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当()2212x x =- ，即x =时，上式取“= ”。故max y =。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 解：() ()()2 2 2 222236418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-???≤=???? 。 当且仅当() 22 24x x =- ，即x = =”。 不等式 一、基础知识 1、两个实数比较大小的法则： 如果a-b 是正数，那么a>b ；如果a-b 是负数，那么a?>-0;0;0。 2、不等式的性质 (1)a b b a (2)c a c b b a >?>>, (3)c b c a b a +>+?> (4)d b c a d c b a +>+?>>, (5)d b c a d c b a ->-?<>, (6)bc ac c b a >?>>0, (7)bc ac c b a 0, (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0 (9)),2(0N n n b a b a n n ∈≥>?>> (10)d b c a c d b a >? >>>>0,0 (11)),2(0N n n b a b a n n ∈≥>?>> 3含有绝对值得不等式的性质 (1) ?? ???<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a (2) b a ab ?=， )0(≠=b b a b a (3) a x a a x a x <<-?-<>?>?>a x a x a x a x 或 (4) b a b a b a +≤+≤- b a b -a b a +≤≤- 3、两个正数的均值不等式是： ab b a ≥+2 三个正数的均值不等式是：33 abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式是：n n n a a a n a a a 2121≥+++ 4、两个正数 b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 22112 2 2b a b a ab b a +≤+≤≤+ 4、三个正数 b a 、、C 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 3 311132223c b a c b a abc c b a ++≤++≤≤++ 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+≤≤ 【注意】： a b 、 同向或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 不等式公式 常用的不等式的基本性质：a>b,b>c→a>c; a>b →a+c>b+c; a>b,c>0 → ac>bc; a>b,c<0→ac 纳总结均值不等式归22ba?当仅，则，则1. (1)若(2)若（当且 ”）时取“=ba?b?a（当且仅当，则(2)2. (1) 22ab?a2?bRa?R,b,ab??ab2 若，则若**ab?b?2aR?R,baba,?ab?2”）时取“=b?a2ba???”）时取“，则(3)若=( 当且仅当*Ra,b?ba??ab??2??1”） 3.若，则(当且仅当时取“=2x??1x0?x?x1时取“若，则(当且仅当=”）2x???1x?0??x x111”）时取“= (若当且仅当，则b?0x?a-2???2或xx??2即?x xxxba当且仅当(时取“=4.若，则”）ba??ab02??ab babbaa”）( 若，则当且仅当时取“=b?ab?0a-2?2?或??2即??ababab22b?aba?时取“（当且仅当，则=5.若”）R,b?a ba?2?()22当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数『ps.(1)的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解(3) 决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值 ：求下列函数的值域1例 11xyxy＋（2）（1）＝3 ＋＝2xx2 211 6 ∴值域为[6 3x解：(1)y＝＋≥，2+3x·∞）＝2 22x2x 2 211 x·2 ＝2；时，(2)当x＞0y＝x＋≥xx1112 ）≤－－（－= x =－2 －当x＜0时，y＝x＋x·xxx ∴值域为（－∞，－∞）2]∪[2，+解题技巧技巧一：凑项51，求函数的最大值。例已知?x?24x?y? 45?4x1不是常数，所以解：因，所以首先要“调整”符号，又 选修 4--5 知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性） a b b a 同向可加性） a b,c ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三相等” . a b c 时取到等号） ④ （可积性） a b ,c ac bc a b ,c 0 ac bc ⑤ （同向正数可乘性） a b 0,c d 0 ac bd b 0,0 cd ab （异向正数可除性） cd ⑥ （平方法则） a b n a b n (n N,且n 1) 异向可减性） a b,c d N,且 n b 1) 0 a n a n b(n ③（三个正数的算术—几何平均不等式） abc 3 3 abc (a 、b 、 c R ） （当且仅当 ②（传递性） a b,b c ac ③（可加性） a b acbc ⑦（开方法则） 11 a b ;a 22 ① a 2 b 2 2ab a ， ,（当且仅当 b 时取 " " 号） . 变形公式： ②（基本不等式） ab a ， 变形公式： a 2 ab ab a b 2 ab ,（当且仅当 a b 时取到等号） a 2 b 2 2 ，要注意满足三个条件“一正、二定、 (a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd ）2 （a,b,c,d R ）.当且仅当 ad bc 时，等号 成立 2 ax ⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ②幂平均不等式： ④ 二维形式的柯西不等式： 2 ④ a b 2 2 c ab bc ca a ， b R （当且仅当 a b c 时取到等号） . 3 ⑤ a b 3 3 c 3abc(a 0,b 0,c 0) （当且仅当 a b c 时取到等号） . 若ab ⑥ 0,则 ba 2 ab （当仅当 a=b 时取等 号） 若ab b 0,则 a a 2 b ( 当仅当 a=b 时取等号） b b m 1 an bn a ⑦a a m b ，（其中 a b 0， 规律： 小于 1 同加则变大， 大于 1 同加则变小 . ⑧ 当a 0时，x 22 a x a x a 或 x a; m 0， n 0) 1 （a 1 n ③二维形式的三角不等式： 22 a 1 a 2 2 a n a 2 a n ) 2 . 22 x 1 y 1 22 x 2 y 2 (x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2 (x 1,y 1,x 2,y 2 R). a. b. ①平均不等式： 2 11 ab ab b a 2 b 2 ， （a,b R ，当且仅当 a b 时取 " " 号） . （即调和平均 变形公 几何平均 算术平均 平方平均） . ab a b 22 ab b 2 (a b)2 2【高中数学】公式总结(均值不等式)
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