2020类比探究---中点模型2

类比探究------中点模型2

1、如图，ABC △和BDE △都是等腰直角三角形，

其中°90=∠=∠BDE ACB ，BC AC =，ED BD =，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接DF .

（1）如图1，若B 、C 、D 共线，且2==CD AC ，求BF 的长度；

（2）如图2，若A 、C 、F 、E 共线，连接CD ，求证：DF DC 2=

.

2．如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．

（1）观察猜想 图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸 把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值．

3.已知O 为直线MN 上一点，OP MN ⊥，在等腰Rt ABO ?中，90BAO ∠=?，//AC OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE DC ⊥交MN 于E ．

（1）如图1，若点B 在OP 上，则①AC OE （填“<”，“=”或“>”）；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是 ；

（2）将图1中的等腰Rt ABO ?绕O 点顺时针旋转α（045α?<

（3）将图1中的等腰Rt ABO ?绕O 点顺时针旋转α（4590α?<

4．如图①，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边AC 、CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE 、BD ．

（1）猜想PM 与PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC ，CD=kCE ，如图③，写出PM 与PN 的数量关系，并加以证明．

5．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE

的中点．（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；（2）如图2，若点D 在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MN⊥AE；（3）如图3，将图2

中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索的值并直接写出结果．

6、好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

【特例探究】

（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，?ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．

课堂作业：

1、如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM 的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）

（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；

（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．

2、已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：PA=PB．

（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．

3、已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点Ｐ不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）.

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明.

4、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A 在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．

（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；

（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，

（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．

5、如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN

(1)线段MN和GD的数量关系是___，位置关系是___；

(2)将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°,其他条件不变,如图②,(1)的结论是否成立?说明理由；

(3)已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值。

已知如图1，在中，，BC=AC，点D在AB上，交BC于E，点F是AE 的中点.

（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；

（2）如图2，将绕点B逆时针旋转（），其它条件不变，线段FD与线段FC

的关系是否变化，写出你的结论并证明；

（3）将绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，，直接写出线段BF的范围.

已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH.

(1)如图1所示，点C. D分别在边OA、OB上，试探究线段OH与线段AD的数量关系与位置关系，并说明理由；

(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。