福建省福州三中高三数学练习考试 文【会员独享】

福州三中2011年高中毕业班练习考试数学试题（文科）

参考公式：

样本数据n x x x ,,21的标准差

锥体体积公式

])()()[(1

22221x x x x x x n

S n -++-+-=

Sh V 3

1=

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式

球的表面积、体积公式

Sh V =

323

4

,4R V R S ππ==

其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是正确的，将正确答案填写在答题卷相应位置。） 1．若复数2(32)(1)()a a a i i -++-是虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为 （ ）

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．—1

2．设集合11{|()1},{||1|2},2

x

M x N x x -=>=-≤则()R N C M ?等于

（ ）

A ．(1,)+∞

B ．[1,3)

C ．[—1，1]

D ．[1,3)-

3．已知直线l 1的倾斜角为34

π

，直线l 2经过点A （3，2），12(,1),B a l l -且与垂直，则a 等于（ ） A ．—4

B ．—2

C ．0

D ．2

4．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 （ ）

A ．已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若,m n αβ⊥⊥则；

B ．若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；

C ．若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；

D ．m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直

5．使“lg 1x <”成立的一个充分不必要条件是

（ ） A ．(0,)x ∈+∞

B ．{1,2}x ∈

C ．010x <<

D ．10x <

6．设a 、b 、c 是单位向量，且0,()a b c a b ?=?+则的最小值为 （ ）

A ．—3

B 3

C D ．7．在区间[—1，1]上随机取两个数x 、y ，式子22(||1)(1)1x y -+--的值不小于0的概率为（ ）

A ．1π-

B ．14

π-

C ．18

π-

D ．116

π

-

8．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，若2c o s

c o s ,s i n s i n a C c A b A B

+=+则的最大值为

（ ）

A B ．1

C D 9．下列函数中，最小值为2的函数是

（ ）

A ．

y =

B ．21

x y x

+=

C ．)(0y x x x =<<

D ．2

y =

10．过椭圆左焦点F ，倾斜角为60?的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离

心率为

（ ）

A B ．

23

C ．

12

D 11．右边图象中，有一个是函数3

221()(1)1(,0)3

f x x ax a x a R a =

++-+∈≠的导函数'()y f x =的图象，则(1)f -等于

（ ）

A ．

13

B ．13

-

C ．

73

D ．1533

-或

12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知355(1)2011(1)1,a a -+-=

320072007(1)2011(1)1,n a a -+-=-则下列结论中正确的是

（ ）

A ．2011200752011,S a a =<

B ．2011200752011,S a a =>

C ．2011200752011,S a a =-≤

D ．2011200752011,S a a =-≥

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填写在答题卷相应位置） 13．高三（1）班共有56人，学生编号依次为1，2，3…，56，现用系统抽样的方法抽取一

个容量为4的样本，已知编号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 。

14．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视

图如右图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数 是 。 15．函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A π

ω?ω?=+>><

的图象关于

直线3

x π

=

对称，它的最小正周期为.π则函数()y f x =图象上

离坐标原点O 最近的对称中心是 。 16．在等比数列{}n a 中，若前n 项积为n T ，则有3

23(

)n n n

T T T =，在等差数列{}n b 中，若前n 项和为n S ，用类比的方法得到的结论是 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证

明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分12分）

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取

若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）

（I ）求x ，y ；

（II ）若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率。 18．（本小题满分12分）

如图，四直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，

90,22 2.BAD ADC AB AD CD ∠=∠=?===

（I ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；

（II ）在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 和平面BCB 1、平面ACB 1都平行？证明你的结论。

19．（本小题满分12分）

已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos )m x x n x x ωωωω==，设函数()f x m n =? （I ）若()f x 的最小正周期为2,()f x π求的单调递增区间； （II ）若()f x 的图象的一条对称轴是(02)6

x π

ω=<<，求()f x 的周期和值域。

20．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足如图所示的程序框图。 （I ）写出数列{}n a 的一个递推关系式； （II ）证明：1{2}n n a a +-是等比数列； （III ）证明{

}2n

n

a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式。 21．（本小题满分12分）

椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E

交于A ，B ，两点，|AF|+|BF|=4，sin sin sin AFB

ABF BAF

∠∠+∠的最小值为0.5。

（I ）求椭圆E 的方程；

（II ）若直线:l y kx m =+与椭圆E 交于M ，N 两点（其中560m k +≠），以线段MN 为

直径的圆过E 的右顶点，求证：直线l 过定点。

22．（本小题满分14分）

已知函数(]32(),0f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数，在[0，1]上是减函数，其中b 、c 、d 都是实数。 （I ）求c 的值；

（II ）求b 的取值范围；

（III ）当3b ≠-时,令g(x)()(1)

,11

32,1

f x f x x b x -?≠?

=-??+=?，若()g x 的最小值为()h b ,求()h b 的最大值。

参考答案与评分标准

一、选择题

1. B

2. C

3. C

4. C.

5.B.

6.D.

7. C ．

8. C

9. D10. B11. B12. A 二、填空题: 13. 20．14.6．15. )0,12

(π

．16. 323()n n n S S S =-

三、解答题: 17.

………4分

…12分

18.解: (Ⅰ)直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ， AC ?平面ABCD ， ∴BB 1⊥AC .又∵∠BAD =∠ADC =90°，AB=2AD =2C D =2， ∴2=AC ，∠CAB =45°，∴2=BC ，BC ⊥AC ，又BB 1∩BC=B ， BB 1、BC ?平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥平面BB 1C 1C ; ……5分

(Ⅱ)存在符合条件的点P ，且P 为A 1B 1的中点. 证明:∵P 为A 1B 1的中点，所以PB 1//AB ，且PB 1=2

1

AB ， 又DC //AB ，DC=

2

1

AB ，∴DC //PB 1，且DC=PB 1. 四边形DCPB 1为平行四边形，从而CB 1//DP .

又?1CB 平面ACB 1，?DP 平面ACB 1，∴DP //平面ACB 1，，同理DP //平面BCB 1.……12分

19.解:x x x x x x f ωωωωω2sin 2

3

)2cos 1(21

cos sin 3cos

)(2

+

+=+= )6

2sin(21π

ω++=

x ..……3分 (Ⅰ,0,ωω>∴由)(2

26

2

2Z k k x k ∈+

<+

<-

π

ππ

π

π得得223k ππ-

k π

π+ 所以f (x )的单调递增区间为))(3

2,322(Z k k k ∈+-

π

πππ.……7分 (Ⅱ)因为f (x )的图象的一条对称轴是x =π6，∴从而31()k k Z ω=+∈

0<ω<2)62sin(21)(π++=

x x f .∴f (x )的值域为]2

3

,21[-.……12分 20. 解:(Ⅰ)由程序框图可知, 数列{a n }的一个递推关系式: a 1=1,a 2=1,a n +2=4a n +1－4a n , (n ∈N +)………4分 (Ⅱ)由a n +2－2a n +1=2(a n +1－2a n ), 且a 2－2a 1=－1

∴数列{a n +1－2a n }是以－1为首项,2为公比的等比数列. ………8分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)有 a n +1－2a n =－2n －

1,

111224n n n n a a ++-=,又111

22

a =

∴数列}2{n

n a 是以21

为首项,41-为公差的等差数列. ∴

113()(1),(

)2224

4

n

n n n a n n a -=+--=?………12分

21.解(1)由椭圆的对称性，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，F (c ，0)，

因为|AF|+|BF|=42)()()(2

1212121==-+--++-a y c x y c x ，

即a =2，在三角形AFB 中，

由正弦定理得

2

24

|

|||||||sin sin sin 2

2

122

2121a x c b y x AB BF AF AB BAF ABF AFB +=+=

=+=∠+∠∠

因为0≤2

1x ≤a 2，所以

BAF ABF AFB ∠+∠∠sin sin sin ≥2

12=b ，∴b =1.

所求椭圆方程为14

22

=+y x ;………5分 (Ⅱ) 由?????=++=14

2

2y x m kx y 得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2－4=0.由题意得△>0，即m 2－1－4k 2<0.(※) 设交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则???

????

+-=

+-=+22

212214144418k m x x k km x x 因为以MN 为直径的圆过(2，0)，所以(x 1－2)(x 2－2)+y 1y 2=0， 即(x 1－2)(x 2－2) +(kx 1+m )(kx 2+m )=0，整理得

5m 2+16km +12k 2=0，(m+2k)(5m+6k)=0，注意到560m k +≠ 故解得m =－2k .经检验，满足(※)式.

m =－2k 时，直线方程为y=k (x －2)，恒过定点(2，0) ………12分

22. 解: (Ⅰ) 据题意：023)('2≥++=c bx x x f 在(,0]x ∈-∞时恒成立，且0)('≤x f 在x ∈[0，1]时恒成立.∴0是f (x )的极大值点，0)0('=f ，∴c =0. ………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:)23(23)('2b x x bx x x f +=+=. 当0b >时，由0)('

b

x -

<<，显然不合题意. 当0b <时，由0)('

20b x -

<<，

0)('≤x f 在x ∈[0，1]时恒成立，∴2

3

,132-≤∴≥-

b b .………10分 (Ⅲ)?

??=+≠++++=1,231

,1)1()(2x b x b x b x x g .当x ≠1时，

b≠-3时,1)12

b

+-

≠ 4

3

2)21()]([2min

++-=

+-=b b b g x g ， ,,0)3(41

)23(43222时R x b b b b ∈∴≤+-=+-++- 4

32)]([2min ++-=b b x g ，

又23-

≤b ，且b≠-3时∴h(b)的最大值为.16

9

)23(-=-h ………14分