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福州三中2011年高中毕业班练习考试数学试题(文科)

参考公式:

样本数据n x x x ,,21的标准差

锥体体积公式

])()()[(1

22221x x x x x x n

S n -++-+-=

Sh V 3

1=

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式

球的表面积、体积公式

Sh V =

323

4

,4R V R S ππ==

其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有

一项是正确的,将正确答案填写在答题卷相应位置。) 1.若复数2(32)(1)()a a a i i -++-是虚数单位是纯虚数,则实数a 的值为 ( )

A .1

B .2

C .1或2

D .—1

2.设集合11{|()1},{||1|2},2

x

M x N x x -=>=-≤则()R N C M ?等于

( )

A .(1,)+∞

B .[1,3)

C .[—1,1]

D .[1,3)-

3.已知直线l 1的倾斜角为34

π

,直线l 2经过点A (3,2),12(,1),B a l l -且与垂直,则a 等于( ) A .—4

B .—2

C .0

D .2

4.若m 、n 为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是 ( )

A .已知α、β互相垂直,m 、n 互相垂直,若,m n αβ⊥⊥则;

B .若m 、n 都平行于平面α,则m 、n 一定不是相交直线;

C .若m 、n 都垂直于平面α,则m 、n 一定是平行直线;

D .m 、n 在平面α内的射影互相垂直,则m 、n 互相垂直

5.使“lg 1x <”成立的一个充分不必要条件是

( ) A .(0,)x ∈+∞

B .{1,2}x ∈

C .010x <<

D .10x <

6.设a 、b 、c 是单位向量,且0,()a b c a b ?=?+则的最小值为 ( )

A .—3

B 3

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C D .7.在区间[—1,1]上随机取两个数x 、y ,式子22(||1)(1)1x y -+--的值不小于0的概率为( )

A .1π-

B .14

π-

C .18

π-

D .116

π

-

8.△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ,若2c o s

c o s ,s i n s i n a C c A b A B

+=+则的最大值为

( )

A B .1

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C D 9.下列函数中,最小值为2的函数是

( )

A .

y =

B .21

x y x

+=

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C .)(0y x x x =<<

D .2

y =

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10.过椭圆左焦点F ,倾斜角为60?的直线交椭圆于A 、B 两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离

心率为

( )

A B .

23

C .

12

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D 11.右边图象中,有一个是函数3

221()(1)1(,0)3

f x x ax a x a R a =

++-+∈≠的导函数'()y f x =的图象,则(1)f -等于

( )

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A .

13

B .13

-

C .

73

D .1533

-或

12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知355(1)2011(1)1,a a -+-=

320072007(1)2011(1)1,n a a -+-=-则下列结论中正确的是

( )

A .2011200752011,S a a =<

B .2011200752011,S a a =>

C .2011200752011,S a a =-≤

D .2011200752011,S a a =-≥

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将正确答案填写在答题卷相应位置) 13.高三(1)班共有56人,学生编号依次为1,2,3…,56,现用系统抽样的方法抽取一

个容量为4的样本,已知编号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一位同学的编号应为 。

14.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视

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图如右图所示,则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数 是 。 15.函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A π

ω?ω?=+>><

的图象关于

直线3

x π

=

对称,它的最小正周期为.π则函数()y f x =图象上

离坐标原点O 最近的对称中心是 。 16.在等比数列{}n a 中,若前n 项积为n T ,则有3

23(

)n n n

T T T =,在等差数列{}n b 中,若前n 项和为n S ,用类比的方法得到的结论是 。

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、证

明过程或演算步骤。) 17.(本小题满分12分)

为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A ,B ,C 的相关人员中,抽取

若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)

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(I )求x ,y ;

(II )若从高校B ,C 抽取的人中选2人作专题发言,求这二人都来自高校C 的概率。 18.(本小题满分12分)

如图,四直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是直角梯形,

90,22 2.BAD ADC AB AD CD ∠=∠=?===

(I )求证:AC ⊥平面BB 1C 1C ;

(II )在A 1B 1上是否存在一点P ,使得DP 和平面BCB 1、平面ACB 1都平行?证明你的结论。

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19.(本小题满分12分)

已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos )m x x n x x ωωωω==,设函数()f x m n =? (I )若()f x 的最小正周期为2,()f x π求的单调递增区间; (II )若()f x 的图象的一条对称轴是(02)6

x π

ω=<<,求()f x 的周期和值域。

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20.(本小题满分12分)

已知数列{}n a 满足如图所示的程序框图。 (I )写出数列{}n a 的一个递推关系式; (II )证明:1{2}n n a a +-是等比数列; (III )证明{

}2n

n

a 是等差数列,并求{}n a 的通项公式。 21.(本小题满分12分)

椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为F ,过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E

交于A ,B ,两点,|AF|+|BF|=4,sin sin sin AFB

ABF BAF

∠∠+∠的最小值为0.5。

(I )求椭圆E 的方程;

(II )若直线:l y kx m =+与椭圆E 交于M ,N 两点(其中560m k +≠),以线段MN 为

直径的圆过E 的右顶点,求证:直线l 过定点。

22.(本小题满分14分)

已知函数(]32(),0f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,1]上是减函数,其中b 、c 、d 都是实数。 (I )求c 的值;

(II )求b 的取值范围;

(III )当3b ≠-时,令g(x)()(1)

,11

32,1

f x f x x b x -?≠?

=-??+=?,若()g x 的最小值为()h b ,求()h b 的最大值。

参考答案与评分标准

一、选择题

1. B

2. C

3. C

4. C.

5.B.

6.D.

7. C .

8. C

9. D10. B11. B12. A 二、填空题: 13. 20.14.6.15. )0,12

.16. 323()n n n S S S =-

三、解答题: 17.

………4分

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…12分

18.解: (Ⅰ)直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BB 1⊥平面ABCD , AC ?平面ABCD , ∴BB 1⊥AC .又∵∠BAD =∠ADC =90°,AB=2AD =2C D =2, ∴2=AC ,∠CAB =45°,∴2=BC ,BC ⊥AC ,又BB 1∩BC=B , BB 1、BC ?平面BB 1C 1C , ∴AC ⊥平面BB 1C 1C ; ……5分

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(Ⅱ)存在符合条件的点P ,且P 为A 1B 1的中点. 证明:∵P 为A 1B 1的中点,所以PB 1//AB ,且PB 1=2

1

AB , 又DC //AB ,DC=

2

1

AB ,∴DC //PB 1,且DC=PB 1. 四边形DCPB 1为平行四边形,从而CB 1//DP .

又?1CB 平面ACB 1,?DP 平面ACB 1,∴DP //平面ACB 1,,同理DP //平面BCB 1.……12分

19.解:x x x x x x f ωωωωω2sin 2

3

)2cos 1(21

cos sin 3cos

)(2

+

+=+= )6

2sin(21π

ω++=

x ..……3分 (Ⅰ,0,ωω>∴由)(2

26

2

2Z k k x k ∈+

<+

<-

π

ππ

π

π得得223k ππ-

k π

π+ 所以f (x )的单调递增区间为))(3

2,322(Z k k k ∈+-

π

πππ.……7分 (Ⅱ)因为f (x )的图象的一条对称轴是x =π6,∴从而31()k k Z ω=+∈

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0<ω<2)62sin(21)(π++=

x x f .∴f (x )的值域为]2

3

,21[-.……12分 20. 解:(Ⅰ)由程序框图可知, 数列{a n }的一个递推关系式: a 1=1,a 2=1,a n +2=4a n +1-4a n , (n ∈N +)………4分 (Ⅱ)由a n +2-2a n +1=2(a n +1-2a n ), 且a 2-2a 1=-1

∴数列{a n +1-2a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列. ………8分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)有 a n +1-2a n =-2n -

1,

111224n n n n a a ++-=,又111

22

a =

∴数列}2{n

n a 是以21

为首项,41-为公差的等差数列. ∴

113()(1),(

)2224

4

n

n n n a n n a -=+--=?………12分

21.解(1)由椭圆的对称性,设A (x 1,y 1),B (-x 1,-y 1),F (c ,0),

因为|AF|+|BF|=42)()()(2

1212121==-+--++-a y c x y c x ,

即a =2,在三角形AFB 中,

由正弦定理得

2

24

|

|||||||sin sin sin 2

2

122

2121a x c b y x AB BF AF AB BAF ABF AFB +=+=

=+=∠+∠∠

因为0≤2

1x ≤a 2,所以

BAF ABF AFB ∠+∠∠sin sin sin ≥2

12=b ,∴b =1.

所求椭圆方程为14

22

=+y x ;………5分 (Ⅱ) 由?????=++=14

2

2y x m kx y 得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0.由题意得△>0,即m 2-1-4k 2<0.(※) 设交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则???

????

+-=

+-=+22

212214144418k m x x k km x x 因为以MN 为直径的圆过(2,0),所以(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0, 即(x 1-2)(x 2-2) +(kx 1+m )(kx 2+m )=0,整理得

5m 2+16km +12k 2=0,(m+2k)(5m+6k)=0,注意到560m k +≠ 故解得m =-2k .经检验,满足(※)式.

m =-2k 时,直线方程为y=k (x -2),恒过定点(2,0) ………12分

22. 解: (Ⅰ) 据题意:023)('2≥++=c bx x x f 在(,0]x ∈-∞时恒成立,且0)('≤x f 在x ∈[0,1]时恒成立.∴0是f (x )的极大值点,0)0('=f ,∴c =0. ………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:)23(23)('2b x x bx x x f +=+=. 当0b >时,由0)('

b

x -

<<,显然不合题意. 当0b <时,由0)('

20b x -

<<,

0)('≤x f 在x ∈[0,1]时恒成立,∴2

3

,132-≤∴≥-

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b b .………10分 (Ⅲ)?

??=+≠++++=1,231

,1)1()(2x b x b x b x x g .当x ≠1时,

b≠-3时,1)12

b

+-

≠ 4

3

2)21()]([2min

++-=

+-=b b b g x g , ,,0)3(41

)23(43222时R x b b b b ∈∴≤+-=+-++- 4

32)]([2min ++-=b b x g ,

又23-

≤b ,且b≠-3时∴h(b)的最大值为.16

9

)23(-=-h ………14分

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