函数的间断点极其分类
函数间断点分类及类型精品PPT课件
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
15
例3
讨论函数
f (x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
xx+
0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
10
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点 . 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点 .
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
14
例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
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间断点的分类及判断方法
间断点的分类及判断方法间断点是指在曲线或者函数图像上出现的不连续的点，它们在数学、物理、工程等领域中都有着重要的意义。
对于间断点的分类和判断方法，我们需要进行深入的研究和探讨。
首先，我们来看间断点的分类。
按照函数图像的性质，间断点可以分为三类，第一类是可去间断点，第二类是跳跃间断点，第三类是无穷间断点。
可去间断点是指在该点处函数的极限存在，但函数在该点处的值与极限值不相等。
通常来说，可去间断点是由于函数在该点处没有定义或者定义与极限值不相等所导致的。
在图像上，可去间断点表现为一个空心圆点。
跳跃间断点是指在该点处函数的左极限和右极限存在，但左右极限不相等。
这种间断点通常出现在分段函数的转折处，图像上表现为一个实心圆点。
无穷间断点是指在该点处函数的极限为无穷大或者负无穷大。
在图像上，无穷间断点表现为一个竖直的渐近线。
接下来，我们来谈谈判断间断点的方法。
对于可去间断点，我们可以通过代数方法来判断，即在该点附近对函数进行化简，看是否可以消去分母或者化简为同一表达式。
如果可以化简，则该点为可去间断点；如果不能化简，则不是可去间断点。
对于跳跃间断点，我们可以通过左极限和右极限来判断。
如果左极限不等于右极限，则该点为跳跃间断点；如果左极限等于右极限，则不是跳跃间断点。
对于无穷间断点，我们可以通过极限的性质来判断。
如果在该点的左右极限中至少有一个为无穷大或者负无穷大，则该点为无穷间断点；如果左右极限都有限，则不是无穷间断点。
综上所述，间断点的分类及判断方法对于我们理解函数图像的性质和特点具有重要的意义。
通过对间断点的深入研究，我们可以更好地理解函数的性质，为数学和物理等领域的应用提供更加准确的理论支持。
希望本文的介绍能够对大家有所帮助。
1.6.4间断点及其分类
都存在， 若 f ( x0 0) 和 f ( x0 + 0) 都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的 第一类间断点 第一类间断点. 类间断点
①若 f ( x0 0)≠ f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 跳跃间断点 跳跃间断点；
可去间断点. ②若 f ( x0 0)= f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 可去间断点.
如果不是闭区间而是开区间， 注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 如果不是闭区间而是开区间 不一定成立. 不一定成立.
1 例如： 内无界. 例如： f ( x )= ∈C (0, 1) ，但 f ( x ) 在 (0, 1) 内无界. x
最大值最小值定理） 定理 5（最大值最小值定理） 设 f ( x )∈C [a , b] ，则
∵ f (0)= 1< 0 ， f (1)=1> 0 ，
∴ c∈(0, 1) ，使 f (c )= c 2c 1= 0 ，
内至少有一个实数根. 即方程 x 2 x 1 = 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根 .
必有实根. 例 4．证明：实系数方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 必有实根 ．证明：
1.6.4 间断点及其分类 1.间断点的定义 1.间断点的定义
定义 3 不连续， 若函数 f ( x ) 在点 x0 不连续，则称 f ( x ) 在点 x0 间断点. 间断, 间断,点 x0 称为 f ( x ) 的间断点.
若 f ( x ) 有下列三种情况之一： 有下列三种情况之一： 没有定义； ① 在 点 x 0 没有定义； 不存在； ② 极限 lim f ( x ) 不存在；
函数的连续性与间断点分析
函数的连续性与间断点分析函数的连续性是数学中的重要概念，它描述了函数在某个区间上的平滑性和无间断性。
本文将探讨函数的连续性以及间断点的分类与分析。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
具体而言，对于定义域内的任意两个数a和b，如果函数f在区间[a, b]上的值无论多么接近于f(a)，都能使函数在该区间上连续，那么函数f就被称为在该区间上连续。
函数的连续性可以用极限的概念进行描述。
如果对于函数f的每一个定义域内的点x0，都有lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，那么函数f在点x₀处连续。
换句话说，函数在某一点的函数值等于该点的极限值，这就是函数在该点的连续性。
函数的连续性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的连续性分析质体的运动轨迹；在经济学中，连续函数被用于分析经济增长模型等。
函数的连续性是数学建模中常见的假设之一。
二、间断点的分类与分析间断点是指函数在某些点处不满足连续性的现象。
根据函数在间断点的性质，可以将间断点分为三类，即可去除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去除间断点可去除间断点是指函数在某点x₀处的极限存在，但函数在x₀处的函数值与该极限值不相等。
通常情况下，通过修正函数在间断点的定义，可以消除可去除间断点。
例如，考虑函数f(x) = (x - 1)/(x - 1)，在x=1处有可去除间断点，但若将f(1)的定义修改为1，则可将间断点去除。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某点x₀处的左右极限存在且有限，但两侧极限值不相等。
这种间断点的存在导致函数在该点处存在一个突变或跳跃。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有跳跃间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某点x₀处的一侧或两侧的极限为无穷大。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有无穷间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
2.3-2间断点及其分类闭区间上连续函数的性质
1三、函数的间断点及其分类如果f (x )在x 0 处不连续, 则称点x 0 为函数f (x )的间断点(或不连续点) . Next f (x ) 在x 0处连续的三要素：)(x f (1)在某邻域内有定义；)(0x N )(lim x f xx 0→(2)存在;(3)00lim ()().xxf x f x →=有一条不满足，x 0为f (x )间断点.xy 1sin=f (x )在x =0 附近无限震荡3间断点分类第一类间断点0()f x −及0()f x +均存在00()(),f x f x −+=00()(),f x f x −+≠第二类间断点0()f x −及0()f x +中至少一个不存在若其中有一个为振荡,若其中有一个为,∞称0x 为可去间断点;称0x 为跳跃间断点.称0x 为无穷间断点;称0x 为振荡间断点;⎧⎨⎩⎧⎨⎩……Previous Next4() , () , f x x x F x A x x ≠⎧=⎨=⎩所以，F (x ) 在x 0处连续.此时有lim ()lim ()x x x x F x f x →→=0()A F x ==Previous Next注如果是函数f (x )的可去间断点，构造0x13四、闭区间上连续函数的性质定义函数f (x ) 定义在区间I 上，有称f (x 0) 是函数f (x ) 在区间I 上的最大(小)值.定理(最值定理) 设 f (x ) 在[a , b ]上连续,即12,[,],a b ξξ∃∈都有1()min (),a x b f f x ξ≤≤=2()max ().a x bf f x ξ≤≤=则 f (x ) 在[a , b ] 上必能取到最大(小)值,12()()()f f x f ξξ≤≤Previous Next 00()()(()())f x f x f x f x ≤≥x I∀∈0,x I ∈若[,],x a b ∈对于一切即15定理(有界性定理)则f (x )在[ a , b ] 上有界.Previous Next 定理(介值定理)若f (x ) 在[ a , b ] 上连续, 至少存在一个使 [ , ]a b ξ∈().f ξμ=若f (x ) 在[ a ,b ]上连续,对任意x ∈[ a , b ] 有m ≤f (x ) ≤M .即,,m M ∃最大值M 和最小值m 之间的任何一个值.则它一定能取到即[,],m M μ∀∈18例证明：方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=证设3()31,f x x x =−+则f (x ) 在[ 1, 2]上连续.又f (1) = -1 , f (2) = 3,根据零点定理, (1, 2),ξ∃∈使()0.f ξ=故方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=Previous Next 即3310ξξ−+=19例如果f (x )在[ a , b ]上连续, 且f (a ) < a , f (b ) > b ,证明：在( a , b )内至少存在一点ξ, 使ξξ=)(f 证,)()(x x f x F −=令0,<由零点定理,使),,(b a ∈∃ξ()()0F f ξξξ=−=b b f b F −=)()(,0>.)(ξξ=f 即Previous Next 则F (x ) 在[ a , b ]上连续.()()F a f a a =−而(构造函数)20例如果f (x )在[ 0, 1 ]上连续, 且f (1) > 1,证明：在( 0, 1 )内至少存在一点ξ, 使2()f ξξ−=证2()()1,F x x f x =−令(0)1F 而=−,0<由零点定理,(0,1),ξ使∃∈2()()10,F f ξξξ=−=(1)(1)1F f =−,0>2().f ξξ即−=则F (x )在[ 0, 1 ]上连续,Previous (变形，构造函数)。
函数的间断点及其类型
函数的间断点及其类型
函数的间断点是指在该点处函数的极限不存在或者左右极限
存在但不相等。
间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种类型。
1. 可去间断点：在该点处函数的左右极限都存在且相等，但函数在该点处没有定义。
例如，函数 f(x) = x^2在 x=0 处没有定义，但左右极限都为 0，因此 0 是 f(x)的可去间断点。
2. 跳跃间断点：在该点处函数的左右极限都存在，但不相等。
例如，函数 f(x) = x在 x=0 处的左极限为-1，右极限为 1，因此
0 是 f(x)的跳跃间断点。
3. 无穷间断点：在该点处函数的左右极限至少有一个不存在，或者左右极限都存在但等于正无穷或负无穷。
例如，函数 f(x) = 1/x 在 x=0 处的右极限为正无穷，左极限为负无穷，因此 0 是
f(x)的无穷间断点。
判断一个函数的间断点类型，可以通过计算函数在该点处的左右极限来确定。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点为可去间断点；如果左右极限不相等，则该间断点为跳跃间断点；如果至少有一个极限不存在，或者两个极限都存在但等于正无穷或负无穷，则该间断点为无穷间断点。
2.3.4 函数间断点及其分类
y
解
f (0 0) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
o
x
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
y
2 1
y 1 x
y2 x
1
o
x
解
f (1) 1,
f (1 0) 2,
x 1
f (1 0) 2,
lim f ( x ) 2 f (1),
x 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 如上例中, 令 f (1) 2,
四、函数的间断点及其分类
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f (Leabharlann x )在点x0处有定义;( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足, 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
A
0
A X0
x
0
f(x)在 x0 处无定义
y
y=f(x)
X0
x
0
f(x)在 x0 处出现跳跃
f(x)在 x0 处有定义
X0
x
(4)
y sin
(5)
1 x
0
间断点的定义及分类
间断点的定义及分类
函数的间断点是指在该点处函数不连续的点，这些点通常是由于函数在该点处的极限不存在或存在无穷大而引起的。
间断点可以分为以下几类：
- 第一类间断点：在函数在该点处的左右极限都存在的间断点。
- 跳跃间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等时。
- 可去间断点：当函数在该点处的左右极限相等但该点处的函数值不等于极限值时。
- 第二类间断点：在函数在该点处的左右极限至少有一个不存在的间断点。
- 无限间断点：当函数在该点处的左右极限至少有一个为无穷大时。
- 振荡间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等且都不为无穷大时。
除了以上提到的两类间断点外，还有一些特殊类型的间断点，例如：垂直间断点、水平间断点和斜间断点等。
这些间断点的存在性和类型可以根据具体函数的性质和定义来判别。
在研究函数的间断点和类型时，通常需要利用极限的思想和方法来进行判断和证明。
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函数的间断点极其分类
1、函数的间断点的定义
作者：教资备考群（865061525）之管理员，—━☆知浅づ
设函数f （x ）在点x 0的某去心邻域内有定义。
在此前提下，如果函数 f （x ）满足下列三种情形之一： （1）在x = x 0没有定义；
（2）虽在x = x 0有定义，但 lim f (x ) 不存在；
x→x 0
（3）虽在x = x 0有定义，且 lim f (x ) 存在，但 lim f (x ) ≠ f (x 0)，
x→x 0
x→x 0
那么函数 f （x ）在点x 0处不连续，而点x 0称为函数f （x ）的不连续点或间断点。
2、函数的间断点的分类
（1）第一类间断点
设x 0是函数y = f (x )的间断点，如果f (x )在间断点x 0处的左、右极限都存在， 则称x 0是f (x )的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
左、右极限相等称为可去间断点， 左、右极限不相等则称为跳跃间断点。
【例1】x = 0是f (x ) = sin x 的可去间断点。
x
【解】函数f (x ) = sin x 在 x = 0 处没有定义，所以函数在点 x = 0 处不连续。
x 但这里lim sin x = 1，即极限存在。
也就是左极限 = 右极限。
x→0 x
所以 x = 0 称为该函数的可去间断点。
【例2】x = 0是f (x ) = |x | 的跳跃间断点。
x
【解】：函数 f (x ) = |x | 在 x = 0 处没有定义，所以函数在点 x = 0 处不连续。
x 当x < 0 时, f (x ) = |x | = −x = −1; 当x > 0 时, f (x ) = |x | x
x
x
x = x = 1; 那么， lim − f (x ) = lim − −1 = −1， lim + f (x ) = lim + 1 = 1。
lim − f (x ) ≠ lim + f (x ) 。
x→x 0 x→x 0
x→x 0 x→x 0 x→x 0 x→x 0
（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
（至少一个单侧极限不存在） 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
【例 1】x = 0 是 f (x ) = 1 的无穷间断点。
x 解：f (x ) = 1 在点 x = 0 处没有定义，所以点x = 0 是函数 f (x ) = 1 的间断点。
x x 因为lim 1 = ∞, 所以称点x = 0 为函数 f (x ) = 1 的无穷间断点。
x→0 x x
【例 2】x = 0 是 f (x ) = sin 1 的振荡间断点。
解：f (x ) = sin 1 在点 x = 0 处没有定义。
x
当 x → 0 时，函数值在− 1 和+ 1 之间变动无限多次。
所以，点 x = 0 称为函数sin 1 的振荡间断点。
x。