第8节 函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点
教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连
续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。

教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程：
一、函数的连续性
对()x f y =，当自变量从0x 变到x ，称0x x x -=∆叫自变量x 的增量，而
()()00x f x x f y -+=∆叫函数y 的增量．
定义 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量0x x x -=∆趋于零时，对应的函数的增量()()00x f x x f y -+=∆也趋于零，那么就称函数()x f y =在点0x 连续．
它的另一等价定义是：设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()x f 当
0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00
lim x f x f x x =→，那么就
称函数()x f y =在点0x 连续．
下面给出左连续及右连续的概念．
如果()()0lim 00
0-=-→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =-，就说函数()
x f 在点0x 左连续．如果()()0lim 00
0+=+→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =+，
就说函数()x f 在点0x 右连续．
在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 二、函数的间断点
设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一：
1．在0x x =没有定义；
2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0
lim →不存在；
3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0
lim →存在，但()()00
lim x f x f x x ≠→；
则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点．
下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类：
在1=x 连续． 在1=x 间断，1→x 极限为2．
在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断，
1→x 左极限为2，右极限为1．
在0=x 间断，0→x 极限不存在．
像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21
=y ，则在1=x 函数就变成连续的了；④被
① 1+=x y ②
11
2-
+=x x y ③ ⎩⎨⎧≥<+=1111x x x y ，，
④ ⎩⎨⎧≥
<+=1
11
x x x x y ，，⑥ x y 1sin =
称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断．
就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()x f 的间断点，但左极限
()00-x f 及右极限()00+x f 都存在，那么0x 称为函数()x f 的第一类间断点．不是第一类
间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．
例1 确定a 、b 使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0
,1
sin 0
,0,sin )(x b x x x a x x
x
x f 在0=x 处连续．
解：)(x f 在0=x 处连续)(lim 0x f x +→⇔)(lim 0x f x -→=)0(f =
因为b b x x x f x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++→→1sin lim )(lim 00；1sin lim )(lim 00==--→→x x x f x x ；a f =)0(
所以1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续． 例2 求下列函数的间断点并进行分类
1、
11
)(2+-=
x x x f 分析：函数在1-=x 处没有定义，所以考察该点的极限．
解：因为 2)1(lim 11lim 1
21-=-=+--→-→x x x x x ，但)(x f 在1-=x 处没有定义
所以 1-=x 是第一类可去间断点．
2、
⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=.0,1,0,1sin
)(x x x
x x f 分析：0=x 是分段函数的分段点，考察该点的极限．
解：因为 0
1
sin lim 0=→x x x ，而1)0(=f
所以 0=x 是第一类可去间断点．
总结：只要改变或重新定义)(x f 在0x 处的值，使它等于)(lim 0x f x x →，就可使函数在可去间
断点0x 处连续．
3、
⎩⎨
⎧<-≥+=.0,1,0,1)(x x x x x f
分析：0=x 是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．
解：因为
1)1(lim )(lim 0
0=+=+
+
→→x x f x x ；1)1(lim )(lim 0
0-=-=-
-
→→x x f x x
所以 0=x 是第一类跳跃间断点．
4、
x x f 1
arctan
)(=
分析：函数在0=x 处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．
解：因为
21arctan lim )(lim 0
π==+
+→→x x f x x ；21arctan lim )(lim 00π
-
==--→→x x f x x
所以 0=x 是第一类跳跃间断点．
5、x
e x
f 1
)(=
解：因为 +∞==+
+
→→x
x x e x f 1
0lim )(lim
所以 0=x 是第二类无穷间断点
6、
x x f 1sin
)(=
解：x x f x x 1
sin
lim )(lim 0
→→= 极限不存在
所以 0=x 是第二类振荡间断点
7、求
x x
x f sin )(=
的间断点，并将其分类． 解：间断点：),2,1,0( ±±==k k x π
当0=x 时，因1
sin lim
0=→x x
x ，故0=x 是可去间断点．
当),2,1( ±±==k k x π时，因∞=→x x k x sin lim π，故),2,1( ±±==k k x π是无穷
间断点．
小结与思考：
本节介绍了函数的连续性，间断点的分类． 1、求
n
n x x
x f 211lim
)(++=∞→
分析：通过极限运算，得到一个关于x 的函数，找出分段点，判断．
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-==><<-+=.1,
01,11,011,1)(x x x x x x f
解：因为00lim )(lim 1
1==+
+
→→x x x f ；2)1(lim )(lim 1
1=+=-
-
→→x x f x x
所以1=x 是第一类跳跃间断点 因为0
)1(lim )(lim 1
1=+=++
-→-→x x f x x ；0
0lim )(lim 1
1==--
-→-→x x x f ；0)1(=-f
所以1-=x 是连续点．
作业：作业见作业卡。