函数的间断点

函数间断点求法两个基本步骤
1、间断点（不连续点）的判断
在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。

下面我们一起看一下教材上间断点的定义：
2、间断点类型的判断
找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：
（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：
①可去间断点：左右极限存在且相等；
②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．
（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：
①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．
②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在． ▪间断点：
x 0是f(x)的间断点，f(x)在x 0点处的左右极限都存在为第一类间断点. f(x)在x 0点处左右极限至少有一个不存在，则x 0是f(x)的第二类间断点. 第一类间断点中{
可去间断点 ： 左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等
第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.
下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：
函数的间断点
一、函数的间断点
设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一：
1．在0x x =没有定义；
2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0
lim →不存在；
y
在 间断 x 1
⑤ 1
1-=x y 。

，∞=-=→1
1
lim
11
x x x 3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0
lim →存在，但()()00
lim x f x f x x ≠→；
则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点．
下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类：
在1=x 连续． 在1=x 间断，1→x 极限为2．
在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断，
1→x 左极限为2，右极限为1．
在0=x 间断，0→x 极限不存在． 像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21=y ，则在1=x 函数就变成连续的了；
④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥
称作震荡间断．
就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()x f 的间断点，但左极限
y x 1121-① 1+=x y y x 11
21-②
11
2-+=x x y ③ ⎩⎨⎧≥<+=1111x x x y ，，y x 1121-④ ⎩⎨⎧≥<+=1
1
1x x x x y ，，y
x 1121-⑥ x y 1sin =
()00-x f 及右极限()00+x f 都存在，那么0x 称为函数()x f 的第一类间断点．不是第一类
间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．
例1 确定a 、b 使在处连续．
解：在处连续
因为；；
所以时，
在处连续．
例2 求下列函数的间断点并进行分类
1、
分析：函数在处没有定义，所以考察该点的极限．
解：因为 ，但
在处没有定义 所以 是第一类可去间断点．
2、
分析：是分段函数的分段点，考察该点的极限．
解：因为 ，而
所以 是第一类可去间断点．
总结：只要改变或重新定义在处的值，使它等于，就可使函数在可去间
断点
处连续．
3、
分析：是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0
,1
sin 0
,0,sin )(x b x x x a x x
x
x f 0=x )(x f 0=x )(lim 0x f x +→⇔)(lim 0x f x -→=)0(f =b b x x x f x x =⎪⎭⎫
⎝⎛+=++→→1sin lim )(lim 001
sin lim )(lim 00==--→→x x x f x x a f =)0(1==b a )(x f 0=x 11
)(2+-=
x x x f 1-=x 2
)1(lim 11lim 1
21-=-=+--→-→x x x x x )(x f 1-=x 1-=x ⎪⎩⎪
⎨⎧
=≠=.0,1,0,1sin )(x x x
x x f 0=x 0
1
sin lim 0=→x x x 1)0(=f 0=x )(x f 0x )(lim 0
x f x x →0
x ⎩⎨
⎧<-≥+=.0,1,0,1)(x x x x x f 0=x
解：因为
；
所以 是第一类跳跃间断点．
4、
分析：函数在处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．
解：因为 ； 所以 是第一类跳跃间断点．
5、
解：因为
所以 是第二类无穷间断点
6、
解：
极限不存在
所以 是第二类振荡间断点
7、求
的间断点，并将其分类． 解：间断点：
当时，因，故是可去间断点．
当时，因，故
是无穷间断点．
小结与思考：
本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．
1、求
分析：通过极限运算，得到一个关于x 的函数，找出分段点，判断．
1
)1(lim )(lim 0
0=+=++
→→x x f x x 1
)1(lim )(lim 0
-=-=--
→→x x f x x 0=x x x f 1arctan
)(=0=x 21arctan lim )(lim 00
π==++→→x x f x x 21arctan lim )(lim 00π
-
==--→→x x f x x 0=x x
e x
f 1
)(=+∞
==++
→→x
x x e x f 10
0lim )(lim 0=x x x f 1sin
)(=x x f x x 1
sin
lim )(lim 0
→→=0=x x x
x f sin )(=
),2,1,0( ±±==k k x π0=x 1
sin lim
0=→x x
x 0=x ),2,1( ±±==k k x π∞
=→x x k x sin lim π),2,1( ±±==k k x πn
n x x
x f 211lim
)(++=∞→
解：因为；
所以是第一类跳跃间断点 因为；；
所以是连续点．
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-==><<-+=.
1,
01,11,011,1)(x x x x x x f 0
0lim )(lim 1
1
==++
→→x x x f 2
)1(lim )(lim 1
1=+=--
→→x x f x x 1=x 0
)1(lim )(lim 1
1
=+=++-→-→x x f x x 0
0lim )(lim 1
1
==---→-→x x x f 0)1(=-f 1-=x。