用格函数讨论格林互易定理得到其物理内涵共19页
格林函数法
（14.2.12）
考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（14.2.9） 可得第一类边值问题的解
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r )
T
G (r , r0 ) n
dS
（14.2.13）
另一形式的第一类边值问题的解
u (r ) G (r , r0 ) f ( r0 )dV0 ( r0 )
T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A S d
AdV =
T
divAdV (14.1.1)
T
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面 的积分化为体积分
uv S uv )dV uvdV u vdV d (
T0
(14.3.1)
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u (r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
(14.3.2) (14.3.3)
14.3.1 三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 对（14.3.3）式两边在球内积分
r0 0
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中
函数前取负号是为了以后构建格林函数方便
格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解 ――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
green互易定理
Green互易定理1. 引言Green互易定理是数学分析中的一个重要定理，它是由英国数学家格林（George Green）在1828年提出的。
该定理在电磁学、流体力学、量子力学等领域中有广泛的应用，被认为是分析学中的基本定理之一。
Green互易定理建立了微分算子与曲线积分、面积积分之间的关系，是微积分的重要工具之一。
通过利用Green互易定理，我们可以将高维空间中的积分转化为低维空间中的积分，简化了复杂问题的求解过程。
本文将详细介绍Green互易定理的定义、证明以及应用，并给出一些具体的例子来说明其在实际问题中的作用。
2. Green互易定理的定义与证明Green互易定理是关于二维平面上曲线积分和面积积分之间的关系的定理。
定义如下：设D是一个有界闭区域，其边界为C，P(x,y)和Q(x,y)为定义在D上具有一阶连续偏导数的函数，则有以下等式成立：∮(Pdx+Qdy) C =∬(∂Q∂x−∂P∂y)Ddxdy其中，∮C 表示曲线C的积分，∬D表示区域D的面积积分。
Green互易定理的证明可以通过对区域D进行分割，将面积积分转化为两个曲线积分的差。
然后利用格林公式（Green公式）进行变换，最终得到上述等式。
由于Green互易定理的证明过程较为复杂，这里不再详细展开，感兴趣的读者可以参考相关的数学分析教材或论文进行深入学习。
3. Green互易定理的应用Green互易定理在物理学和工程学中有广泛的应用，特别是在电磁学、流体力学和量子力学等领域中。
下面将介绍一些具体的应用。
3.1 电磁学中的应用在电磁学中，Green互易定理可以用于计算电场和磁场的分布。
通过将电场和磁场表示为矢量场的形式，可以利用Green互易定理将二维空间中的电场或磁场的分布转化为线积分的形式，从而简化计算过程。
3.2 流体力学中的应用在流体力学中，Green互易定理可以用于计算流体的速度场和压力场。
通过将速度场和压力场表示为矢量场的形式，可以利用Green互易定理将二维空间中的速度场或压力场的分布转化为线积分的形式，从而简化计算过程。
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用目录一、引言 (2)二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3)（一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3)（二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3)（三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3)三、格林（Green）公式的应用 (4)（一）格林公式的简介 (4)（二）格林公式的物理原型 (4)1、物理原型 (4)2、计算方法 (4)（三）格林公式在生活中的应用 (5)1.曲线积分计算平面区域面积 (5)2.GPS面积测量仪的数学原理 (6)四、高斯（Gauss）公式的应用 (7)（一）高斯公式的简介 (7)（二）保守场 (8)（三）高斯公式在电场中的运用 (8)（四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11)五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12)（一）斯托克斯公式简介 (12)（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13)（四）旋度与环流量 (14)（五）旋度的应用 (14)六、结语 (16)参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。
致谢................................................................................................................................. 错误!未定义书签。
摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，它们除了在数学上用来计算多元函数的积分有很大用处之外，在其他的领域也有很多重要的应用。
格林函数的物理意义
格林函数的物理意义
格林函数是数学中一个重要的函数，它在物理学中也被广泛应用。
格林函数广泛地用于解决物理学中一系列复杂的问题，并且在电磁学、电磁波、量子物理和激光物理等诸多领域发挥着重要作用。
格林函数是一种表示振动系统动力学行为的数学表达式，它有助于求解动力学方程，从而精确地测量离散振动系统的自由度、耦合系数和动态响应。
格林函数的物理意义体现在其在物理学中的应用上，它可以描述振动系统的物理性质以及与其他系统的交互作用，如外界磁场、电磁波等。
格林函数实际上是一种激励系统物理反应的数学表达式，通过它可以更好地理解动态系统之间的相互作用。
格林函数可以找出激励输入和系统输出之间的变化趋势，从而推断振动系统的运动特性，如振动频率、阻尼系数等。
格林函数有助于精确描述振动系统的动力学特性，可以为求解多物理量的合作关系提供精确的参数及计算结果。
格林函数也可以用于研究离散振动系统的动态特征、静态特征和敏感性特征，从而深入了解振动系统的工作原理。
此外，格林函数还可以为物理学研究在气动学、热学、结构力学、原子物理学和物理建模等方面提供更多的科学发现。
在电磁学中，格林函数的本征函数形式可以提供有助于理解电磁波传播和存储的详
细信息。
最后，格林函数也被用于量子和激光物理模拟，以精确计算量子和激光物理现象，如量子隧穿和激光干涉等。
综上所述，格林函数在物理学研究中发挥着重要作用。
它可以帮助我们更好地理解振动系统的动力学行为，为研究离散振动系统提供参数和实验结果，同时有助于深入探索电磁学、量子物理和激光物理的本质。
因此，格林函数的重要性和意义不言而喻。
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用格林公式是矢量分析中的重要定理之一，它描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
格林公式广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域，下面将对格林公式进行详细讨论及应用。
格林公式可以用数学的方式描述为：对于一个可微的矢量场F，它的散度为div(F)，则该矢量场F通过一个闭合曲面S的流量为∬F⋅ds，该闭合曲面S所围成的体积为∭div(F)dV，格林公式表达了这两者之间的关系，即：∬F⋅ds = ∭div(F)dV其中，∬表示曲面积分，∭表示体积积分，F⋅ds表示矢量场F与ds 的内积，div(F)表示矢量场F的散度。
1.流体力学中的应用格林公式在流体力学中有着广泛的应用。
例如，可以通过格林公式计算流体在一个闭合曲面上的流量，这对于流体的体积流量和质量流量的计算有重要意义。
另外，格林公式还可以用来推导流体的连续性方程和Navier-Stokes方程等重要方程。
2.电磁学中的应用格林公式在电磁学中也有着重要的应用。
例如，可以利用格林公式计算电磁场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算电场和磁场的电荷和磁荷的分布有着重要意义。
此外，通过格林公式还可以推导出麦克斯韦方程组中的一些重要方程，如高斯定律、安培环路定理等。
3.热力学中的应用格林公式在热力学中也有着重要的应用。
例如，可以通过格林公式计算热场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算热量的传递和热功的计算有着重要意义。
此外，格林公式还可用于推导出热传导方程等重要方程。
除了上述应用之外，格林公式还广泛应用于流场分析、电磁场分析、电力系统分析等领域。
在实际应用中，可以利用格林公式对复杂的问题进行推导和计算，从而得到更加精确的结果。
总结起来，格林公式是矢量分析中的重要定理之一，描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
它在流体力学、电磁学、热力学等领域都有重要的应用。
多体物理学中的格林函数理论
多体物理学中的格林函数理论多体物理学中格林函数理论的探索多体物理学是物理学中的一个分支，研究的是多个粒子、多个分子或多个原子之间的相互作用。
多体物理学的研究内容很广泛，包括固体物理学、凝聚态物理学等多个方面。
格林函数理论是多体物理学中重要的理论工具之一，具有重要的科研价值和实际应用价值。
格林函数理论的基本概念格林函数理论最初由数学家格林提出，并在物理学中得到了广泛应用。
在物理学中，格林函数是描述物理场的基本概念。
物理场包括电磁场、热场、声场等。
格林函数描述的是在某一位置上引入一个极化子（在量子计算机中也称量子比特），这个极化子对整个场的影响。
在量子力学中，格林函数是描述任意两个算符之间的关联函数。
这两个算符可以是粒子数、自旋、动量等。
在多体物理学中，格林函数理论可以用于描述多体系统中的相互作用、动量分配等。
格林函数以其极高的数学抽象程度而著称。
格林函数理论的核心是所谓的“量子维数的一致性原理”，即量子态的表达式与物理现象的描述必须具有一致性。
这个“一致性原理”是格林函数理论更高级的理论体系的基础。
格林函数的应用格林函数理论在实际应用中具有很大的价值。
在固体物理学中，格林函数理论可以用于计算材料中的电导率、热导率等物理量。
在量子多体物理学中，格林函数理论可以用于计算多体系统的能级、波函数、动量分配等。
另外，格林函数理论在半导体物理学中也有广泛应用。
在半导体器件中，格林函数理论可用来计算量子阱、量子点和量子井的能带结构、光谱特性等。
在量子计算机领域中，格林函数理论可以用于设计量子比特的形态、体积等。
格林函数理论的发展历程20世纪初，格林函数理论受到了物理学家们的广泛关注。
20世纪中期，Keiji Mori在量子场论中引入了费曼图，为格林函数理论的发展打下了基础。
在费曼图的帮助下，格林函数理论得到了重大进展。
20世纪60年代，量子电动力学和量子色动力学的的诞生，推动了格林函数理论进一步发展。
至今，格林函数理论在量子场论、固体物理学、量子计算机等领域都具有广泛应用。
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
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空间中有两个任意形状的导体组成一个构型。
在导体1上放一定电荷将在导体2上产生势， 在导体2上放一定电荷将在导体1上产生势。
若两次分别放在1，2上的电荷量相等，那么 两次在2，1导体上产生的势也相等。
与导体的形状无一点关系。=>极强的对称性!
好运动者健，好思考者智，好助人 者乐好读书者博，好旅游者悦，好
数学推导见第七讲课件3.2.2式的推导 在此不赘述。
好运动者健，好思考者智，好助人
5
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应用格林定理求解边值问题
考虑这一种构型：无界空间中有很多导体——边界面+空间内部
G ( r ,r ), ( r )
2G(r,r)1(rr)
2(r)(r)
2 2 d i n n diS
物理意义 注意其对称性！
好运动者健，好思考者智，好助人
3
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边界条件
• 第一类边界条件： G(r,r)|s0
• 第二类边界条件：
G
1
n
|s
S
物理意义
好运动者健，好思考者智，好助人
4
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格林定理
2 2 d i n n diS
对该问题认识的发展：
G ( r 1 ,r 2 ) G ( r 1 ,r 2 ) T G ( r 2 ,r 1 )
推导问题应从最简单的构型入手！
数学推导结束后应对得到结果中的每一项进行物理 上的理解，这一步是最难的，但是又是必须的，因 为这样才能使一个数学的抽象的过程转化为物理的 现实的可理解的过程！
13
者乐好读书者博，好旅游者悦，好
1 q 111 (r 1 )d 1 S1 (r 1 )1 (r 1 )d 1 S 1 (r 1 )G (r 1 ,r 2 )2 (r 2 )d2 d S 1
G (r 1 ,r 2 )1 (r 1 )2 (r 2 )d 1 d S 2S
~ 2 q 2~ 22 (r 2 )d2 S ~ 2 (r 2 )2 (r 2 )d2 S 2 (r 2 )G (r 2 ,r 1 )1 (r 1 )d 1 d S 2S G (r 2 ,r 1 )1 (r 1 )2 (r 2 )d 1 d S 2S
第七讲课件
1
10
9
8
7
r1
6
5
4
3
r
2
8
1
r2
6
4
0
8
6
4
2
2 00
好运动者健，好思考者智，好助人
2
者乐好读书者博，好旅游者悦，好
格林函数
以下约定：所有带“丿”上标的量都是属于场源的量！！！
2(r)q(rr) q(rr) 0 rr rr
2(r)1(rr) (r ) (好运动者健，好思考者智，好助人
6
者乐好读书者博，好旅游者悦，好
关注结果：
(r)G (r,r)(r)d i G (r,r)(n r)(r) nG (r,r) diS
将对所有边界面求和化为对所有 有源边界面求和！！！
(r)G (r,r)(r)d i G (r,r) (nr )(r) nG (r,r) dSi
11
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考虑以上两个状态，空间无自由体电荷，
第(一r个) 状态：G (r,r)(nr )dSiG (r,r 2) n (r2 2)d2S G (r,r 2)2(r 2)d2S
1 1 ( r 1 ) G ( r 1 ,r 2 )2 ( r 2 ) d 2S
G(r,r)
(r)
n
dSi
诱 导 面 电
荷
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空间中任一点的电势可表为：
( r ) G ( r ,r )( r ) d G ( r ,r ) ( n r ) d S i
好运动者健，好思考者智，好助人
以上两式相等的充要条件是：
G (r 1 ,r 2 ) G (r 2 ,r 1 )
好运动者健，好思考者智，好助人
14
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场点（观察点）和源点的互易性（交叉互换 前后状态不变）
=>
势点和源点特征量的前后乘积是常数（前后 交叉互换不变）
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12
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第二个状态：
(r)G (r,r)(nr )dSiG (r,r 1) n (1 r 1)d1S G (r,r 1)1(r 1)d1S
~ 2 ~ 2 (r 2 ) G (r 2 ,r 1 )1 (r 1 )d 1S
好运动者健，好思考者智，好助人
好运动者健，好思考者智，好助人
16
者乐好读书者博，好旅游者悦，好
谢谢
Thanks ありがとうございます
спасибо
Ringraziarlo
감사합니다
Gracias
好运动者健，好思考者智，好助人
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者乐好读书者博，好旅游者悦，好
谢谢！
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19
• 格林互易定理 ：
最简化的构型
第一个状态： 0 ,q 2&1, 2
第二个状态： q 1 ,0 & ~ 1 ,~ 2
格林互易定理得到： q1 1q2~2
好运动者健，好思考者智，好助人
9
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边界面电荷对某观察点的电势贡献部分：
i G(Gr(,rr,)r)(nr(n)rd)Si(ri)nnGG((rr,,rr))ddSSii
空间某点的势有空间体电荷和边界面上的面电荷贡献！ 第二大部分好运的动物者理健意，好义思将考在者智讨，论好具助人体导体构型的时候清楚 7
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场源
11
10
9 边界面
8
7
6
r'
5
4
3
2
8
1
6
4 0
8
6
4
2
2
0
0
好运动者健，好思考者智，好助人
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对第二类边值问题具体求解