专题讲解--对勾函数
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及运用一、对勾函数by ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f4. 图像在一.三象限, 当0x >时,b y ax x =+≥ab 2（当且仅当bx a =取等号）,即)(x f 在x=ab时,取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=ab -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（∞+,ab）,（ab -∞-,）,减区间是（0,ab ）,（ab -,0）二、对勾函数的变形情势类型一：函数by ax x =+)0,0(<<b a 的图像与性质1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(x f 在x=ab 时,取最小值ab 2;当0x >时,)(x f 在x=ab -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0,ab ）,（ab -,0）减区间是（∞+,a b）,（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）. ②0,0><b a 作图如下：1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞,0）,（0,+∞）. 类型三：函数)0()(2>++=ac x c bx ax x f .此类函数可变形为bx c ax x f ++=)(,可由对勾函数x c ax y +=高低平移得到演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x ax x f此类函数可变形为kk x ak x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与xx x x f +++=23)(的草图2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标3. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中间类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a bx axx f .此类函数界说域为R ,且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值ba2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a 2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -演习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为b. 若0<a ,作出函数图像：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[ba ba ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值ba 2-,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a 25. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -演习1.如2214xa x +=-+()1,2x ∈-,则的取值规模是类型六：函数)0()(2≠+++=a mx c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f ,则)(x f 可由对勾函数x tax y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位. 2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;3.已知1<x ,求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值 类型七：函数)0()(2≠+++=a c bx ax mx x f演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为 2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数ax b x x f ++=)(.此类函数可变形为尺度情势：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f演习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值;2．求函数15)(++=x x x f 的值域;3.求函数32)(++=x x x f 的值域 类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f .此类函数可变形为尺度情势：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=演习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值;2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域。
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及 【2 】运用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f4. 图像在一.三象限, 当0x >时,b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号）,即)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=a b-时,取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ）,（a b -∞-,）,减区间是（0,a b ）,（a b -,0） 二、对勾函数的变形情势类型一：函数b y ax x =+)0,0(<<b a 的图像与性质1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2;当0x >时,)(x f 在x=a b -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0,a b ）,（a b -,0）减区间是（∞+,a b ）,（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞,0）,（0,+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac x c bx ax x f .此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(,可由对勾函数x c ax y +=高低平移得到 演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=阁下平移,高低平移得到 演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与x x x x f +++=23)(的草图2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标3. 求函数1)(-+=x x x x f 的单调区间及对称中间类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f .此类函数界说域为R ,且可变形为x b x a x b x a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值b a 2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -演习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为 b. 若0<a ,作出函数图像：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值b a2-, 当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a25. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -演习1.如2214x a x +=-+()1,2x ∈-,则的取值规模是类型六：函数)0()(2≠+++=a m x c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f , 则)(x f 可由对勾函数x t ax y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位.2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;3.已知1<x ,求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值 类型七：函数)0()(2≠+++=a c bx ax m x x f 演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值 类型八：函数a x bx x f ++=)(.此类函数可变形为标准情势：)0()(>-+-++=+-++=a b a x a b a x a x a b a x x f 演习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值; 2．求函数15)(++=x x x f 的值域; 3.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a a x bx x f .此类函数可变形为标准情势：)()()(22222o a b a x a b a x a x ab a x x f >-+-++=+-++=演习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值;2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数，又称为Heaviside函数或者单位阶跃函数，是一种常见的数学函数。
它在控制系统、信号处理和电路分析等领域具有广泛的应用。
在数学上，对勾函数可以通过以下方式定义：H(x)=0,x<0H(x)=1/2,x=0H(x)=1,x>0其中，H(x)表示对勾函数，x为自变量。
从定义可以看出，对勾函数在x小于0时取0，在x等于0时取1/2，在x大于0时取1对勾函数在数学上的精确定义可以依赖于Laplace变换或者Fourier 变换等数学工具，用于解决微积分和微分方程等问题。
在实际应用中，对勾函数通常以数学形式存在，用于描述信号的开关行为。
在控制系统中，对勾函数可以表示系统的阶跃响应。
阶跃响应是指当输入信号为一个单位阶跃函数时，系统所产生的响应。
对勾函数可以帮助分析系统的稳定性、零极点和频率响应等性质。
在信号处理中，对勾函数可以用于描述数字信号的采样和量化过程。
当对一个连续信号进行采样时，可以将采样函数表示为对勾函数。
对勾函数在离散时间中具有单位阶跃响应的特性，可以用于分析信号的频谱和滤波等问题。
在电路分析中，对勾函数可以用于描述开关电路的动态响应。
开关电路通常包含开关元件和电容、电感等被控元件。
对勾函数可以帮助确定电路的稳态和暂态响应，并且可以用于分析电路中的信号传输、噪声和功耗等问题。
此外，对勾函数在概率论和统计学中也有应用。
例如，对勾函数可以用于计算累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。
对勾函数可以将离散随机变量转化为连续随机变量，以进行概率计算和数值模拟等工作。
对勾函数具有一些重要的性质。
首先，它是一个连续函数，但不是光滑函数。
它在x=0处的导数不存在，即导数不连续。
其次，对勾函数是一个奇函数，即H(-x)=1-H(x)。
此外，对勾函数是一个分布函数，满足概率的基本性质，即0≤H(x)≤1总结起来，对勾函数是一个常用的数学函数，具有广泛的应用。
它可以表示系统的阶跃响应，在信号处理和电路分析等领域发挥重要作用。
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不显现，但考试总喜爱考的函数，因此也要注意它和了解它。
(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一样函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x组成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”。
如以下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的转变。
可是，咱们仍然能够看做是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一样地，咱们以为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只只是它的核心和渐进线的位置有所改变算了。
接下来，为了研究方便，咱们规定a>0，b>0。
以后当a<0，b<0时，依照对称就很容易患出结论了。
(二)对勾函数的极点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式能够取得：当x>0时，。
对勾函数的图像（ab异号）当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(一) 对勾函数的概念域、值域由（二）取得了对勾函数的极点坐标，从而咱们也就确信了对勾函数的概念域、值域等性质。
(二) 对勾函数的单调性(三) 对勾函数的渐进线由图像咱们不宝贵到：(四) 对勾函数的奇偶性对勾函数在概念域内是奇函数， 利用对勾函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 一、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
解：令322++=x x t ，那么22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= 依照对勾函数t t y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。
它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。
在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。
对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。
这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。
当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。
对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。
2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。
对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。
3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。
这种单调性有助于网络的学习过程。
对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。
例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。
2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。
这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。
3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。
它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。
虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。
1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。
这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。
2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。
“对勾函数”的图像和性质全析
函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程。
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，近几年高考试题中，对勾函数部分占有相当大比重。
本文通过对勾函数性质的整体分析，结合图像，运用数形结合来研究对勾函数的性质。
一、“对勾函数”的名称渊源
二、“对勾函数”的图像、性质和单调性
通过对对勾函数的图像、性质和单调性的研究，我们发现学习过的均值不等式实际就是对勾函数的参数a，b同号时的特例，等号成立时能取到最值。
当不能取到等号时就要用对勾函数的单调性来求函数的最值。
2.若a，b异号。
（1）a＞0，b＜0时，在定义域内是增函数，递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）。
（2）a＜0，b＞0时，在定义域内是减函数，递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）。
通过研究我们可以知道高中阶段的对勾函数的参数主要是a，b同号，求最值的应用，所以我们要熟悉对勾函数的图像、性质和单调性。
对勾函数的图象及性质
对勾函数一、定义对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其标准形式为f(x)=ax+（其中ab>0）。
由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。
在许多情况下，为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为f(x)=x+。
研究初等函数的一般路径，背景—概念—图象—性质—应用二、图象及性质图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y 轴和直线y=ax 为渐近线的两支曲线。
2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。
3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。
定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。
值域：。
单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。
奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。
x 122严禁复制三、题型1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。
2.、图像结合题根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。
利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。
3.、综合应用题求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如ax+（ab>0）的函数的最值问题。
不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。
实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾函数的应用。
4、参数变化分析：探讨参数a 和b 变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。
5、复杂函数组合将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。
四、解题步骤1、对勾函数求最值问题的解题步骤（1）理解函数形式确认函数f(x)=ax+的形式，注意a 和b 都是正数且不相等。
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类耐克函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
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读万卷书行万里路学大教育个性化教学学案姓名年级性别课题对勾函数教学目的了解对勾函数的概念、性质和图像教学重难点运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。
教学过程（内容可附后）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。
(接下来写作f(x)=ax+b/x )。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x 叠“加” 而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0a<0 b<0对勾函数的图像( ab 同号)当a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
(请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
)对勾函数的图像（ab 异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ，b>0 。
之后当a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出结论了。
（二）对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0 时，错误!未找到引用源。
当x<0时，错误!未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：（三）对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数二、类耐克函数性质探讨函数y ax b，在a 0或b 0时为简单的单调函数，不予讨论。
x在a(3)a0且b 0时有如0,b (4)a下几种情况：(1) a 0,b 00,b 0(2) a 0,b 0设y1ax ，y2b，则yx y1 y2 ax b，其定义域为x|x R,且x1 2x(1)a 0,b 0时，y1ax，y2 b x在(x,0), (0, ) 上分别单调递增。
y y1 y2 axb在( ,0),(0, ) 为单调递增函数。
x(2)a 0,b 0时，y1ax，y2b在(x,0),(0, ) 上分别单调递减。
y y1 y2 axb在( ,0),(0, ) 为单调递减函数x(3)a 0,b 0 图像略x 1x 21 当 x 0 时， y 1 ax 0 ， y2 b 0 y y 1 y 2 ax b x 1 2 x 当 ax b ，即 x b取等号。
x a3. 单调性定义1 当 x 0 时 ， y 1 ax 0 ， y2 ax b，即 x b 取等号。
x a 0y y 1y2ax b2 ax b x x2 ab。
当且仅当2 当 x 0时 y 1 ax 0， y 2 bx且仅当 b ax ， x 即xba （因为x0by y 1 y 2 axx0 ，故舍掉 x b ) a 4)a 0,b 0( axb)2 ax bxx，当2 ab，当等号。
2 当 x 0时bax ，即 xxy 1 ax 0 ， y 20 y y 1 y 2 ax bx2 ax b x x2 ab，当且仅 当三、 关于求函数yx 1 x 0 最小值的十种解法 x1. 均值不等式1 x 0 ， y xx的时候， y min 212 ，当且仅当 x，即 x 1 的时候不等式取到x2. 法12y x x yxx10若 y 的最小值存在，则 2y 2 4 0必需存在，即 y 2或 y2（舍）设0 x 1 x 2f x 1 f x 2x1x2x 1 x 2 1x1x2x 1x 2 1 ( ax。
当且仅b )xb xx1 x2x1x2当对于任意的x1,x2，只有x1,x2 0,1 时， f x1 f x2 0 ，此时f x 单调递增；当对于任意的x1,x2，只有x1,x2 1, 时， f x1 f x2 0 ，此时f x 单调递减。
当x 1取到最小值，y min f 1 24. 复合函数的单调性1tx 1在0,x2单调递增，y t 2 2在,0 单调递减；在0,单调递增又x0,1 t,0 x 1, t 0,原函数在0,1上单调递减；在1,上单调递增即当x 1取到最小值，y min f 1 2y xx25. 求一阶导1 ' 1 y x y 12 xx y' 0 ，函数单调递增。
当x 0,1 时，y' 0 ，函数单调递减；当x 1, 时，当x 1取到最小值，y min f 1 26. 三角代换令x tan ，0,2，则1，则cot x12yx tan cotx sin20, 2 20,，即24时，sin2 max 1，y min 2 ，显然此时x 1 2 7. 向量11x x 1 1 a b ，xx1x,1 ,b 1,1x1x2xab a b cos根据图象， a 为起点在原点，终点在 x 0 图象上的一个向量， a cos 的几何意义为 a 在b 上的投影， 显然当 a b 时， 8．图象相减a cos 取得最小值。
此时，x 1，y min2 2 21 1，即 y 表示函数 yx1x 和y 两者之间的距离x求y min ，即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线 y x ， 1显然当 y x 与 y 相切时，两曲线竖直距离最小。
xy 1 关于直线x y x 轴对称，若 y x 与 y 1在x x 1处有一交点，根据 对称性， 在 0 x 1 处也必有一个交点， 即此时 y 1相交。
x 的情况。
所以，切点一定为 1, 1 点。
此时， x 1 ， y min 9.平面几何依据直角三角形射影定理，设 AE x,EB1，则 AB AD x 1 显然， x 为菱形的一条边，只用当 x AD CD 之间的距离时， x 1 取得最小值。
x 1此时， x 1 ，即1， y min 210. 对应法则显然不是距离最小 AB ，即 AD 为直线 AB 和 即四边形 ABCD 为矩形。
x 22.x>1. 求yx 22x 2 的最小值x13.x>1. 求yx 2x1 的最小值x14.x>0. 求y3x 2 的最小值x5.已知函数2y x2 2x a (x [1, )) 1)求 a1时，求 f ( x)的最小值左边的最小值 右边的最小值2 t 2t 2 t 1(舍)或 t 2 且 y min 22 当 x P x 2，即 x 1时取到最小值，练习：1的最小值 x1设fxminx 0,x 20,，对应法则也相同x 2min1．x>1.求读万卷书行万里路2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围6.: 方程sin2x－asinx+4=0在[ 0 , 2 ]内有解，则 a 的取值范围是大值为x2 2x 2则y x2x2x22的最值是12. 求函数f x1 16x x2xx x2 11x 2 的值域x2x 38.函数y 2 3x 4的最大值为x10. 函数y92sin x 4sin2 x 的最小值是11.若不等式at22在tt2 0,2 上恒成立，则a 的取值范围是13. 当x (0，1)时，求f(x) 4x24 1的值域107. 函数y xx 2 x 7 的最小值为；函数y x 10 2 x 7 的最x9、若41 的最值。
214. 求f(x) x2。