组合2
122组合二组合数的两个性质
一、复习回顾
1、组合数与排列数的区别？
2、组合数 C
m n
与排列数
Anm
的关系？
3、组合数公式
C
m n
?
n(n ? 1)(n ? 2)? m!
(n ? m ? 1)
C
m n
?
n! m!(n ?
m)!
组合数性质：Leabharlann 性质1：C
m n
?
C n?m n
(规定：C
0 n
?
1
)
性质 2:
:C
n0+C
1n+1+C
2n+2+…+C
m-1 n+m-1
=C
n+m
m-1
（2）求证：
Cmm
?
Cm m?1
?
Cm m?2
?
?
?
Cm n?3
?
Cm n?2
?
Cm n?1
?
Cm?1 n
例3：(1)若
C x2? x 16
?
C5x?5 16
，求x.
先考虑条件，相当于先考虑函数的定义域。
（2）解不等式：
C
20n-5+C
20n-4<C
21n-2<C
20n-1+C
n-2 20
解：由C
n
m+C
m-1 n
=C
m n+1
∴原不等式化为C
n-4 21
<C
n-2 21
<C
n-1 21
∴原不等式化为:
21! (n-4)!(21-n+4)!
人教版新课标二年级上册数学《2组合》教学设计
人教版新课标二年级上册数学《2组合》教学设计一. 教材分析《2组合》是人教版新课标二年级上册数学的一章节，主要讲述了组合的概念和简单的排列组合问题。
本章节通过生活实例，让学生感受组合的意义，学会用排列组合的方法解决问题。
教材内容主要包括组合的定义、组合的计算方法以及简单的组合问题。
二. 学情分析二年级的学生已经掌握了基本的加减法和简单的数学概念，但对组合的概念和排列组合的方法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和实际操作，让学生理解组合的意义，并学会运用组合的方法解决问题。
三. 教学目标1.让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。
2.培养学生运用组合的方法解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
四. 教学重难点1.组合的概念和计算方法。
2.运用组合的方法解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，让学生感受组合的意义。
2.游戏教学法：通过有趣的游戏，让学生学会用组合的方法解决问题。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含生活实例、游戏和练习题的PPT。
2.教学卡片：准备一些组合问题的卡片，用于小组讨论和练习。
3.教学道具：准备一些实物道具，如小球、积木等，用于展示组合的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活实例，如“小明有3个苹果，小红有2个苹果，他们一共有几个苹果？”让学生思考，引出组合的概念。
2.呈现（10分钟）讲解组合的定义，示例讲解组合的计算方法。
如给定一组物品，要求从中选出2个，求选法的总数。
通过PPT和实物道具，让学生直观地理解组合的意义。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组解决一个组合问题，如“有5个数字1、2、3、4、5，从中选出2个数字，求选法的总数。
”讨论结束后，各组汇报解题过程和结果。
4.巩固（10分钟）出示一些组合问题的练习题，让学生独立完成。
郑：2-3-1.2.2 组合(2)导学案-006
【知识链接】：1、排列：（ ）叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2、排列数：用符号m n A 表示，mn A =3、组合： （ ）,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合4、组合数：用符号m n C 表示，mn C =m n A与mn C关系公式是4、组合数的两个性质 （1） （2）：自主学习一、排列组合混合问题先选后排策略解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想例1、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？例2、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：1、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有 种:合作探究二、平均分组问题除法策略6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；1、无序等分：若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 例1:分成三份，每份两本；反思:一般地：将mn 个元素平均分成n 组（每组m 个元素）,共有 _______________________________________2、有序等分:要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列例2：分给甲、乙、丙三人，每人两本；3、无序不等分：非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.例3：分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；4、有序不等分：要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.例4：分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；5、无序局部等分例5：一堆四本，两堆各一本。
排列组合问题2：加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理导言：加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。
把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。
一、概念（一）加法原理如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。
例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。
要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。
而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。
所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法（二）乘法原理如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。
例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。
选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数二、加法原理和乘法原理的区别什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。
从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。
组合结构2
第二章 钢-混凝土组合楼盖结构
第一节 基本原理 一、组合梁板的基本原理
非组合梁。由混凝土板和钢梁组成的楼盖结构中，若二者交界面处没有 连接措施，则在竖向荷载作用下，混凝土板截面和钢梁截面的弯曲变形 相互独，各自有中和轴。若忽略摩擦力，交界面上仅有竖向压力，二者 之间必定发生相对水平滑移错动。所以，其受弯承载力M=M1+M2
二.压型钢板-混凝土组合板的构造要求
➢ 组合板的总厚度不应小于90mm，压型钢板翼缘以上混凝土的厚度不
应小于50mm。混凝土强度等级不宜低于C20，骨料尺寸不应大于0.4hc、
压型钢板肋平均宽度的1/3和30mm三者中的较小值。 ➢ 组合板中应设置分布钢筋网，以承受收缩和温度应力，提高火灾时的安 全性，并起到分布集中荷载的作用。分布钢筋两个方向的配筋率均不宜少 于0.002。 ➢ 在有较大集中荷地区段和开洞周围应配置附加钢筋。当防火等级较高时， 可配置附加纵向受拉钢筋。 ➢简支板的支座上部应配置构造负弯矩钢筋，以控制裂缝宽度。负弯矩钢
M Tz Cz
掀起作用。一般在板梁交界面上的竖向分布力为压力。当荷 载作用于钢梁上时，交界面上竖向分布力为拉力，将引起板、 梁的分离。组合梁中这种上下层分离的趋势称为掀起作用。 由于掀起力远小于交界面上的剪切力，而且抗剪连接件的形 状具有一定的抗掀起作用，在设计中一般不进行抗掀起计算。
高二数学(选修-人教B版)-组合(2)
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.
中班数学优秀教案及教学反思《2的分解与组合》
《2的分解与组合》一、教学目标1.让幼儿能够理解2的分解与组合，掌握2的分解组成。
2.培养幼儿动手操作能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：让幼儿掌握2的分解与组合。
难点：培养幼儿的逻辑思维能力和动手操作能力。
三、教学准备1.教具：2个苹果、2个橘子、2个杯子、2个球等。
2.学具：每组一套卡片，上面分别画有2个苹果、2个橘子、2个杯子、2个球等。
3.黑板、粉笔。
四、教学过程1.导入教师拿出2个苹果，引导幼儿观察并说出：“这是2个苹果，我们可以怎样分呢？”2.探索2的分解教师将2个苹果分成1个和1个，引导幼儿观察并说出：“2个苹果可以分成1个苹果和1个苹果，这就是2的分解。
”教师依次拿出2个橘子、2个杯子、2个球等，引导幼儿进行分解，并说出分解的结果。
3.操作活动教师将卡片分给每组幼儿，要求幼儿按照分解的方法，将卡片上的物品分成1个和1个。
教师巡回指导，帮助幼儿完成操作。
5.学习2的组合教师拿出1个苹果和1个橘子，引导幼儿观察并说出：“1个苹果和1个橘子合在一起是多少呢？”教师依次拿出1个杯子和1个球、1个苹果和1个球等，引导幼儿进行组合，并说出组合的结果。
6.操作活动教师将卡片分给每组幼儿，要求幼儿按照组合的方法，将卡片上的物品合在一起。
教师巡回指导，帮助幼儿完成操作。
8.游戏巩固教师组织幼儿进行“找朋友”游戏，要求幼儿找到与自己的卡片上的物品数量相同的卡片，组成2的分解或组合。
教师巡回指导，帮助幼儿完成游戏。
9.教学反思本节课通过实物分解、操作活动、游戏巩固等多种形式，让幼儿掌握了2的分解与组合。
在教学过程中，教师注重引导幼儿观察、思考、操作，培养幼儿的逻辑思维能力和动手操作能力。
教师及时发现并解决幼儿在操作过程中遇到的问题，确保每位幼儿都能跟上教学进度。
教学效果良好，幼儿对2的分解与组合有了更深入的理解，为后续学习奠定了基础。
五、教学评价1.课后对幼儿进行测试，了解他们对2的分解与组合的掌握程度。
二年级上册数学同步教案-8.2简单的组合例2 人教版
二年级上册数学同步教案-8.2简单的组合例2 人教版一、教学目标1. 让学生掌握简单的组合方法，能将给定的物品进行组合。
2. 培养学生的观察能力、分析能力和动手操作能力。
3. 培养学生合作交流的意识，提高学生解决问题的能力。
二、教学内容1. 简单的组合方法。
2. 给定的物品进行组合。
三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握简单的组合方法，能将给定的物品进行组合。
2. 教学难点：如何引导学生发现组合的规律，提高组合的效率。
四、教学过程1. 导入利用谜语、故事等形式导入新课，激发学生的学习兴趣。
2. 新课内容1. 讲解组合的概念，让学生明确什么是组合。
2. 讲解组合的方法，让学生掌握如何将给定的物品进行组合。
3. 通过实例演示，让学生直观地感受组合的过程。
4. 引导学生发现组合的规律，提高组合的效率。
3. 练习与讨论1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 组织学生进行小组讨论，互相交流解题心得。
4. 课堂小结对本节课所学内容进行总结，强调组合的方法和规律。
5. 作业布置布置适量的作业，让学生在家中巩固所学知识。
五、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的表现，及时发现问题并给予指导。
2. 在教学过程中，要注意引导学生发现组合的规律，提高组合的效率。
3. 课后要及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学做好准备。
六、教学评价1. 通过课堂提问、练习和作业等方式，了解学生对组合知识的掌握程度。
2. 评价学生在课堂上的表现，包括参与度、合作交流意识等。
3. 定期进行测试，了解学生的学习进度和存在的问题，及时调整教学策略。
总之，本节课的教学内容是简单的组合，通过讲解、演示、练习和讨论等方式，让学生掌握组合的方法和规律。
在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，及时发现问题并给予指导，培养学生的观察能力、分析能力和动手操作能力。
同时，要注重培养学生的合作交流意识，提高学生解决问题的能力。
在以上的教学设计中，需要重点关注的细节是“教学过程”部分，尤其是“新课内容”和“练习与讨论”环节。
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解：（1）根据分步计数原理：一共有
4
4 256种方法；
（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个
2 “捆绑”在一起看成一个元素有 C 种方法；第二步：从 4
四个不同的盒中任取三个将球放入有A 一共有
3 种方法，所以， 4
C A
2 4
3 4
＝144 种方法
（二）多面手问题
例 某车间有11名工人，其中有5名钳工，4名车 工，另外2名既能当钳工又能当车工，现要在这 11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床， 有多少种选派方法？
（一）平均分组与分配问题
例1 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （1）分成1本、2本、3本三组； （2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本， 一个人2本，一个人3本； 解：（1）这是“不均匀分组”问题，一共有
C C C 60 方法．
1 6 2 5 3 3
（2）在（1）的基础上再进行全排列，所以一共有
2 6 2 4 2 2
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
注意： 对于排列组合的混合应用题，
一般解法是先选后排。
练习： 10名学生均分成2组，每组选出正、 副组长各1人，共有多少种不同的方法？
例．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？两个空盒呢？
C C C A 360 种方法．
1 6 2 5 3 3 3 3
例．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （3）分成每组都是2本的三个组；
CCC A
2 6
2 4 3 3
2 2
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本.
CCC
2 6
2 4
2 2
点评：
本题是分组中的“平均分组”问题．
一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元 素）,共有 m m m
m n
=C
n- m n
( m，n∈N*，m≤n)？ 思考4：一个口袋里装有大小相同的n个 白球和1个黑球，从中任取m个球，其中 含有黑球的取法有多少种？不含有黑球 的取法有多少种？由此可得什么结论？
C
C 思考5： 特点？
m n+1
=C
=C
m n
+C
m- 1 n
m n+1
m n
+C
m- 1 的结构有哪些 n
1.2
排列与组合 组合
1.2.2
第二课时
问题提出
1.组合与组合数的含义分别是什么？ 组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素合成一组. 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有不同组合的个数. 2.组合数公式是什么？
m Cn m An n (n - 1)(n - 2) L (n - m + 1) n! = m = = Am m! m !(n - m )!
3.由排列数公式可派生出若干性质， 同样，对组合数公式作进一步的变形与 拓展，可以得出组合数的一些基本性质.
探究（一）：组合数的两个性质
思考1：组合数C 少？
4 与 12
C
8 12
的值分别为多
思考2：将 C = C 可得什么猜想？ m n
4 12
8 12
= 55 推广到一般
n- m n
C
=C
思考3：如何证明 C
可得什么结论？
C
m n
n m = C n- 1 n- m
例8、 在100件产品中有98件合格品，2件次品。产 品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
C
3 100
161700;
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
C C 9506;
1 2 2 98
例．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
解：（5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有 C C C 90 种方法； 1 2 3 3 C6C5 C3 A3 360 ②“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法； 4 3 ③“1、1、4型”，有 C6 A3 90 种方法，
Cmn Cmnm Cm n An
种方法
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
6 1 4 1 1 C10 2 C6 C2 C1 3150
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙 三人,每人二件有多少种分法?
6 2 2 2 C10 C6 C4 C2 18900
探究（二）：组合数公式的变形
思考1：由 C
m n
n (n - 1)(n - 2) L (n - m + 1) = m (m - 1)(m - 2) L 2 1
可得什么结论？ 思考2：由
C
m n
C
m n
n m- 1 = C n- 1 m
n (n - 1)(n - 2) L (n - m + 1)(n - m ) = n- m m (m - 1)(m - 2) L 2 1
3 1 4 5 (5)方法一：C32C9 C3 C9 C30C9 756
方法二：C C C 756 1 4 (6)方法一：C C C C C3C9 666 方法二：C C C 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? ①C
1 2 2 98 3 100
C C C
2 2
1 98
②
CC
1 2
2 99
C
C
3 98
反思：“至少”“至多”的问题， 通常用分类法 或间接法求解。
练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ 3 2 （1）甲、乙、丙三人必须当选； C3 C9 36 0 5 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126 （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； C1C 4 378 3 9 （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；