【精品】2019年福建省高考数学模拟试卷(文科)(3月份)【解析版】
入
入
﹣
﹣
个
个
税
税
起
起
征
征
点
点
﹣
专
项
附
加
扣
除
不3 不3
超
超
过
过
150
300
0元
0元
的
的
都
都
分
分
超 10 超 10
过
过
150
300
0元
0元
至
至
450
120
0元
00
3
4
5
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的
元
部
的
分
部
分
超 20 超 20
过
过
450
120
0元
00
至
元
900
至
0元
250
的
00
部
元
分
的
部
分
超 25 超 25
A．y＝± x
B．y＝± x
C．y＝± x
D．y＝±2x
7．（5 分）将函数 y＝sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象的一个对
称中心为（ ）
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A．（ ，0）
B．（ ，0）
C．（ ，0）
D．（ ，0）
8．（5 分）已知 a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则（ ）
19．（12 分）“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着 2019 年新年钟声的敲响，我国自 1980 年以来，力度最大的一次个人所得 R（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．某 IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在 26 岁﹣35 岁（2009 年﹣2018 年）之间各年的月平均收入 y（单位：千元）的散点图： 注：年龄代码 1﹣10 分别对应年龄 26﹣35 岁 （1）由散点图知，可用回归模型 y＝blnx+a 拟合 y 与 x 的关系，试根据有关数据建立 y 关于 x 的回归方程； （2）如果该 IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为 3000 元/月，试利用（1）的结果，
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（5 分）已知向量 与 的夹角为 ，| |＝| |＝1，且 ⊥（ ﹣λ ），则实数 λ＝
．
14．（5 分）若 x，y 满足约束条件
，则 z＝x+2y 的最小值为
．
15．（5 分）如图某三棱锥的三视图都是直角边长为 2 的等腰直角三角形，若该三棱锥的所
，＝
．
3．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：
旧个税税 新个税税
率表（个 率表（个
税起征点 税起征点
3500 元） 5000 元）
缴税
每 税率 每 税率
级
数 月 （% 月 （%
应） 应）
纳
纳
税
税
所
所
得
得
额
额
（
（
含
含
税）
税）
＝
＝
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收
收
1 2
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故选：A．
8．（5 分）已知 a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则（ ）
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
【解答】解：∵a＝0.50.8＜0.50.5， b＝0.80.5＞0.50.5，∴b＞a， 又 c＝0.80.8＞0.50.8，∴c＞a， 又 b＝0.80.5＞c＝0.80.8，
称中心为（ ）
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A．（ ，0）
B．（ ，0）
C．（ ，0）
D．（ ，0）
【解答】解：将函数 y＝sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应
的函数解析式为 y＝sin（2x﹣ ），
令 2x﹣ ＝kπ，求得 x＝ + ，k∈Z，故函数的对称中心为（ + ，0），k∈Z，
从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，
那么政治和地至少有一门被选中的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 i 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．（5 分）已知双曲线 C 的中心在坐标原点，一个焦点（ ，0）到渐近线的距离等于 2， 则 C 的渐近线方程为（ ）
D．{0，1，2，3}
2．（5 分）若 z 为纯虚数，且满足（z﹣a）i＝1+2i（a∈R），则 a＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
3．（5 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a8﹣a5＝9，S8﹣S5＝66，则 a33＝（ ）
A．82
B．97
C．100
D．115
4．（5 分）在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是
A．{0}
B．{2，3}
C．{1，2，3}
D．{0，1，2，3}
【解答】解：A＝{x|x＞1}；
∴A∩B＝{2，3}．
故选：B．
2．（5 分）若 z 为纯虚数，且满足（z﹣a）i＝1+2i（a∈R），则 a＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【解答】解：由（z﹣a）i＝1+2i，得 z﹣a＝
，
∴z＝a+2﹣i，
有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为
．
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16．（5 分）已知函数 f（x）＝
，若函数 g（x）＝f（x）﹣ 恰有 2 个零点，
则 a 的取值范围为
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
9．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点，则异面直线 AD1 与 OC1 所成角 的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F2，以 F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与 E 交于 P， Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则 E 的离心率为（ ）
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将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他 36 岁时每个月少缴交的个人所得 税． 附注：1．参考数据： xi＝55， yi＝155.5， （xi﹣ ）2＝82.5， （xi﹣ ）（yi
﹣ ）＝94.9， ti＝15.1， （ti ）2＝4.84， （ti ）（yi ）＝24.2，其中 ti ＝lnxi；取 ln11＝2.4，ln36＝3.6． 2 ． 参 考 公 式 ： 回 归 方 程 v ＝ bu+a 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 ＝
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2019 年福建省高考数学模拟试卷（文科）（3 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{0，1，2，3}，则 A∩B＝（ ）
过
过
900
250
0元
00
至
元
350
至
00
350
元
00
的
元
部
的
分
部
分
超 30 超 30
过
过
350
350
00
00
元
元
至
至
550
550
00
00
元
元
的
的
部
部
分
分
…
…………
20．（12 分）设抛物线 E：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，直线 x＝p 与 E 交于 A，B 两点，△ ABF 的面积为 8 ． （1）求 E 的方程； （2）若 M，N 是 E 上的两个动点，|MF|+|NF|＝8，试问：是否存在定点 S，使得|SM|＝|SN|？ 若存在，求 S 的坐标；若不存在，请说明理由．
∴a＜c＜b．
故选：D．
9．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点，则异面直线 AD1 与 OC1 所成角 的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，
连接 BC1，则 AD1∥BC1，
∴∠OC1B 即为异面直线 AD1 与 OC1 所成角，
设正方体棱长为 2，则
2019 年福建省高考数学模拟试卷（文科）（3 月份）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{0，1，2，3}，则 A∩B＝（ ）
A．{0}
B．{2，3}
C．{1，2，3}
，OB＝ ，
由 CC1⊥底面 ABCD，得 CC1⊥BD， 又 BD⊥AC，且 AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面 C1CO，则 BO⊥OC1，
2019年福建省高三毕业班质量检查测试数学(文)试题(解析版)
，＝
．
3．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：
旧个税税率表（个税起征点 3500 元）
新个税税率 表（个税起征
点 5000 元）
缴税 级数
每月应纳税所得额（含税）＝ 收入﹣个税起征点
税率（%）
每月 税率 应纳 （%） 税所
得额
（含
税）＝
收入
﹣个
税起
征点
﹣专
项附
加扣
除
1
不超过 1500 元的都分
有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为
．
16．（5 分）已知函数 f（x）＝
，若函数 g（x）＝f（x）﹣ 恰有 2 个零
点，则 a 的取值范围为
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60
【解答】解：∵a＝0.50.8＜0.50.5，
b＝0.80.5＞0.50.5，∴b＞a， 又 c＝0.80.8＞0.50.8，∴c＞a， 又 b＝0.80.5＞c＝0.80.8， ∴a＜c＜b． 故选：D． 【点评】本题考查有理指数幂的运算性质及幂函数的性质，是基础题． 9．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点，则异面直线 AD1 与 OC1 所成 角的余弦值为（ ）
是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，
那么政治和地至少有一门被选中的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 i 的值为（ ）
2019届福州四校高三年级联考3月调考文科数学
2019届高三3月调考文科数学一、选择题：1．已知集合{1,},{|11}A a B x x ==∈-<<Z ，若A B ≠∅，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或1-1．答案：B解析：{1,},{0},,0A a B A B a ==≠∅∴=．2．下列函数中是偶函数且在其定义域上存在最大值的是（ ） A ．21y x =+ B ．3y x =C ．lg y x =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2．答案：D解析：选项A ，D 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 的定义域为(0,)+∞，是非奇非偶函数． 选项A ，21y x =+，当0x =时，y 取得最小值1，选项D ，因为0x ≥，所以011122x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，即存在最大值1，故选D ．3．函数sin(2)y x ϕ=+相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．与ϕ有关3．答案：C解析：函数sin(2)y x ϕ=+的周期T π=，则其相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是44T π=． 4．方程2log 202x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭的根所在的一个区间是（ ） A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D．4．答案：B 解析：2()log 22x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则22111111log 30,log 12110482224f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+<=+=-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21(1)log 212102f =+=-+=>，所以原方程的根所在的一个区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 5．ABC △中，角,,A B C的对边分别为,,,4,cos sin a b c a c a B b A ===，则b =（ ） A． B ．4C ．8D．5．答案：A解析：由cos sin a B b A =及正弦定理可得sin cos sin sin A B B A =，又因为sin 0A ≠，所以cos sin B B = 所以4B π=，由余弦定理得：2222cos 816248,2b ac ac B b =+-=+-⨯⨯=∴= 6．已知直线l 与正方体1111ABCD A BC D -的所有面所成的角都相等，且l 平面11BB D D H =，则l 与平面11BB D D 所成角的正切值是（ ） A ．2 BC．2D6．答案：B解析：因为直线l 与正方体1111ABCD A BC D -的所有面所成的角都相等，所以直线l 沿着正方体体对角线的方向，不妨设l 为1AC ，则H 为平面11BB D D 的中心，连接11AC ，11111AC B D O =，易证得：11AC ⊥平面11BB D D ，所以11A HO ∠即为l 与平面11BB D D所成的角，11111tan AO A HO O H∠==1A 17．若某三棱锥的三视图是三个腰长为2的等腰直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．12πB．C ．4πD．(3π7．答案：A解析：该三棱锥的直观图如图所示，可将其还原成一个棱长为2的正方体，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2R R =外接球的表面积2412S R ππ==8．已知22:430O x y y +-+=，直线:l y x =，若过直线l 上的点P 所作的O 的两条切线互相垂直，则点P 的坐标是（ ） A ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,0)或(2,2)C ．(1,1)D ．22,33⎛⎫⎪⎝⎭或44,33⎛⎫⎪⎝⎭8．答案：C解析：O 的标准方程为22(2)1x y +-=，圆心为(0,2)，半径1r =，过点P 所作的O 的两条切线互相垂直，所以点P =，因为点P 在直线y x =上，所以可设(,)P t t ，所以2(1)0,1t t -==，故点P 的坐标是(1,1)．9．如图是来自统计局的有关2013～2017年我国的三次产业增加值占国内生产总值比重的统计图，下列对于2013～2017年该国的三次产业增加值占国内生产总值比重的相关判断错误．．的是（ ）A ． 2013年第三产业增加值约为第一产业增加值的5倍B ．第一产业占国内生产总值的比重在逐年减少C ．第三产业占国内生产总值的比重最低的年份是2013年D ．第二产业在2017年的增加值比2015年的增加值低 9．答案：D解析：第二产业在2017年的增加值占国内生产总值的比重．．．．．．．．．．比2015年的增加值占国内生产总值的比重．．．．．．．．．．低。
2019年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)
2019年福州市高中毕业班质量检测数学（文科）试卷解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则AB =（ ）A.{}1x x ≥B.{}12x x ≤<C. {}11x x -<≤D.{}1x x >-2.设复数z 满足(3+i)3i =-z ，则||z =（ ）A.12B.1 D.2 3.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4.已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线=y b 与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，O 为坐标原点．若∆OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（ ）C.2 5.已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a （ ）A.12 B.54 C.45 D.45- 6.已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）A.0B.12C.17.已知函数()sin ,f x x x =()f x '为()f x 的导函数，则函数()f x '的部分图象大致为（ ）A B C D8.在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2=MA ，则CM CA ⋅=（ ）B. C.6 D.1529.如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段NM 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动···．点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（ ）A.4πB.1C.π-10.已知函数()314,025,0xx f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.(),4-∞-B.(),2-∞-C.()2,2-D.(),0-∞11.已知12,F F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PK ⊥于M ，O 是坐标原点，则OM 的取值范围为（ ）A.()0,1B.(C.(D.(0,12.如图，棱长为1正方体1111-ABCD A B C D 的木块，平面α过点D 且平行于平面1ACD ，则木块在平面α内的正投影面积是（ ）D.1第12题图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13.若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14.已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12AA BC ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15.将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______． 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在Rt ABC ∆中，=90o C ∠，点,D E 分别在边，AB BC 上，5,3==CD CE ,且ECD ∆的面积为（1）求边DE 长；（2）若3=AD ，求sin A 的值．18.（本小题满分12分）峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00—22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00—次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以[100,300)，[300500),，[500700),，[700900),，[9001100),，[]11001300,（单位：度）分组的频率分布直方图如下：若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住（度）（1）估计所抽取的 50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(ii )根据（i ）中的列联表，能否有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？附：()22()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.(本小题满分12分）如图，四棱锥E ABCD -，平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 为矩形，=6AD ，=5AB ，=3BE ，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE . （1）求证：AE BE ⊥；（2）设M 在线段DE 上，且满足2EM MD =，试在线段AB 上确定一点N ，使得MN 平面BCE ，并求MN 的长.20.（本小题满分12分）已知抛物线1C ：)022>=p py x （和圆2C ：22+1+2x y =（），倾斜角为45的直线1l 过1C 的焦点且与2C 相切． （1）求p 的值；（2）点M 在1C 的准线上，动点A 在1C 上，1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．21.（本小题满分12分) 已知函数1()ln +=--a f x a x x x(∈a )R ． （1）求函数()f x的单调区间；（2）当e a <<关于x 的方程1()+=-a f ax ax有两个不同的实数解12,x x ，求证：12124+<x x x x .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当AB OP =时，求a 的值.23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M . （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.2019年福州市高中毕业班质量检测数学（文科）试卷参考答案1.()(){}{}|2+10|12B x x x x x =-<=-<<，所以{}|1A B x x =>-，故选D ．2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3i i ==3+i3+i 3i 8610z ----=-，所以1z=，故选B ．【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，故选B ． 3.估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选D.4.依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所以C的离心率=e A ．5.依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ．6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．【简解二】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ．7.依题意得：x x x x f cos sin )(+='为奇函数，排除,C D ，设()()g x f x '=，则()2c o ss i n g x x x x '=-，(0)20g '=>，排除B ，故选A ．8.【简解一】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【简解二】依题意得：以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴建立平面直角直角坐标系，则50,03,02C A M （），（），（，所以5153,022CM CA ⋅==（（），故选D ． 【简解三】依题意得：过M 点作M D A C ⊥于D ，如图所示，则CM CA ⋅=CD CA ⋅=15(31cos60)32-⨯⨯=，故选D ．9.【简解一】依题意得：阴影部分的面积216[222]=422S =⨯π⨯-⨯⨯⨯π-1（）624122P πππ==-⋅，故选B ．【简解二】依题意得：阴影部分的面积2126222S =π⨯-⨯⨯⨯π-1P ==-，故选B ．10.依题意得：函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（）在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．11.如图，延长21,PF F M 相交于N 点，连接OM ，因为K 点是12F PF ∆内切圆的圆心，所以PK 平分12F PF ∠，∵1F M PK ⊥∵O 为12F F 中点，M 为1F N 中点，∴OM 的取值范围为(，故选C ．12.棱长为1正方体1111-ABCD A B CD 的木块的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图）α内的正投影面积是122⨯．13.依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()m i n 173122z =⋅--=-． 14.设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =,即1A C 24R =，因为12AA BC ==，所以AB =.因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠，在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以111B C A B ==，所以11=4ACB π∠．15.因为()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π6x =，所以()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠，所以ba16.因为11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数），所以111a λ=-=，解得=2λ，所以21n n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，因为2920n n a b n n =-+-，所以2-19202n n n n b -+-=，所以2+111+28(4)(7)22n n n nn n n n b b ----==0<， 解得47n <<，又因为*n ∈N ，所以=5n 或=6n ．所以，当=5n 或=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6．17.（1）【解析】在ECD △中，11sin 53sin 22ECD S CE CD DCE DCE ∆=⋅∠=⨯⨯⨯∠=所以sin ∠=DCE ，………………………………………………………………2分因为090︒<∠<︒DCE ，所以1cos 5∠=DCE ，………………………4分由余弦定理得2222cos =+-⋅⋅⋅∠DE CE CD CE CD DCE 1259253285=+-⨯⨯⨯=，DE =．…………………………………………………………………………………7分（2）因为=90∠o ACB ，所以1sin sin(90)cos =5O ACD DCE DCE ∠=-∠=∠，…………9分在∆ADC ，由正弦定理得sin sin =∠AD CDACD A， 即35,1sin 5=A 所以1sin 3=A ．………………………………………………………………………12分18.（1）根据频率分布直方图的得到100度到300度的频率为：10.0012000.00152000.00122000.00062000.00022000.1-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=，…………2分估计所抽取的50户的月均用电量的众数为：500+700=6002（度）；……………………3分 估计所抽取的50户的月均用电量的平均数为：(2000.00054000.0016000.00158000.001210000.000612000.0002)200640=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x （度）．…………………………………………………………………………6分 （2）依题意，列联表如下…………………………………………………………………………………………………8分2K 的观测值250(2510510)4006.349 6.6353515302063k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯……………………11分 所以不能有99%的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.………………12分19.（1）【解析】证明：四边形ABCD 为矩形，BC AB ∴⊥．平面ABCD ⊥与平面ABE ，平面ABCD 与平面=ABE AB，且BC ⊂平面ABCD ， BC ∴⊥平面ABE ．………………………………………………………………1分 又⊂AE 平面ABE ，∴⊥BC AE ．………………………………………………………………2分 BF ⊥平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴⊥BF AE ．………………………………………………………………3分 又BC BF B =，BC ⊂平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，AE ∴⊥平面BCE ，………………………………………………………………4分BE ⊂平面BCE ，AE BE ∴⊥．……………………5分（2）解法一：在∆ADE 中过M 点作//MG AD 交AE 于G 点，在∆ABE 中过G 点作//GN BE 交AB 于N 点，连MN （如图），……………………6分 2=EM MD ，2∴=EG GA ,2=BN NA ．//NG BE ,⊄NG 平面BCE ，⊂面BE BCE ，//∴NG 平面BCE ．……………………7分 同理可证，//GM 平面BCE ． MG GN G =，∴平面//MGN 平面BCE ，……………………8分 又MN ⊂平面MGN ，//MN ∴平面BCE ，……………………9分N ∴点为线段AB 上靠近A 点的一个三等分点．……………………10分11分12分（2）解法二：过M 点作//MG CD 交CE 于G 点，连接BG ，在AB 取N 点，使得BN MG =,连MN （如图），……………………6分//AB CD ,2EM MD =，//AB CD ，BN MG =，//MG BN ∴，MG BN =，……………………7分 ∴四边形MGBN 是平行四边形， //MN BG ∴，……………………8分又MN ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， //MN ∴平面BCE ，……………………9分N ∴点为线段AB 上靠近A 点的一个三等分点，……………………10分在CBG △中，=6BC AD =,1=3CG CE cos BCG ∠=，……11分12分20.（1）【解析】：依题意设直线1l 的方程为2py x =+，……………………1分 由已知得：圆2C ：22+1+2x y =（）的圆心)01(2，-C，半径=r 2分 因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2p l y x =+的距离|1|-+==pd ．……………………3分|1|p-+=，解得6p =或2p =-（舍去）．：……………………4分所以6p =．……………………5分（2）解法一：依题意设,3)Mm -（，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6xy '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，……………………6分所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+． ……………………7分令0=x ，21111111=12=66y x y y y y =-+-⨯+-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -…8分所以11(,3)MA x m y =-+，…………9分 1(,3)MB m y =--+，…………10分∴=MN MA MB =+1(2,6)x m -，…………11分 ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-. 设N 点坐标为(,)x y ，则3=y ，所以点N 在定直线3y =上．…………12分（2）解法二：设,3)M m -（，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，① 设11(,)A x y ，以A 为切点的切线2l 的方程为11()y k x x y =-+②， 联立①②得：2211112[()]12x k x x x =-+，…………6分 因为2211=1444840k kx x ∆-+=，所以1=6x k ，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．…………7分 令0=x ，得切线2l 交y 轴的B 点坐标为1(0,)y -，…………8分 所以11(,3)MA x m y =-+，…………9分 1(,3)MB m y =--+，…………10分∴=MN MA MB =+1(2,6)x m -…………11分 ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-， 设N 点坐标为(,)x y ，则3=y ，所以点N 在定直线3y =上．…………12分 21.（1）【解析】：()f x 的定义域为(0,)+∞，…………1分222211(1)[(1)]()1+-+++-+-+'=--==a a x ax a x x a f x x x x x ，…………2分①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0'>f x ，在(1,)a ++∞上()0'<f x ， 所以()f x 的单调递增区间是(0,1)a +上，单调递减区间是(1,)a ++∞；…………3分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0'<f x ，所以，函数()f x 单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间. …………4分（2）证明：设1()()+=ln +ln a g x f ax a a x x ax+=-（），…………5分 所以(1)()(0)a x g x x x-'=>，…………6分 当01<<x 时，()0'>g x ，函数()g x 在区间()01，上单调递增；当1>x 时，()0'<g x ，函数()g x 在区间()1,+∞上单调递减；…………7分 所以()g x 在=1x 处取得最大值.当e a <<1()+=-a f ax ax有两个不同的实数解12,x x 所以函数()g x 的两个不同的零点12,x x ，一个零点比1小，一个零点比1大. ……8分 不妨设1201x x <<<，由1()0g x =，且2()0g x =,得11=ln()x ax ，且22=ln()x ax ，…………9分 则121211=e =e x x x x a a ，，所以12+1221=e x x x x a，…………10分 所以12+12212121e =++x x x x x x a x x ⋅， 令12+=x x t ， e()=t h t t， 22e e e (1)()=t t t t t h t t t⋅--'=． 1212+,0<1=<<t x x x x ， 1∴>，t所以()0'>h t ，…………11分所以函数()h t 在区间(1,)+∞上单调递增, ()h t >(1)e h =，所以12(+)122212121e e =++x x x x x x a x x a>e 144e >=， 又因为12+1x x >, 所以12124+<x x x x ．…………12分22. 【解析】（1）将直线l0y a +-=.…………2分错误！未找到引用源。
福建省福建师范大学附属中学2019届高三下学期高考模拟(最后一模)数学(文)试题含解析
2019届福建省福建师大附中文科数学高考模拟试卷（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。
第I 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|20}A x Z x x =∈--≤，集合{2,0,1}B =-，则A B =U （ ）A ．{2,0,1}-B ． {1,0,1}-C ．{2,1,01}--，D ． {2,1,01,2}--，2．已知是虚数单位，若，则z = （ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（ ）A. 乙班的理科（物理、化学、生物）总成绩强于甲班B. 甲班的文科（政治、历史、地理）总成绩强于乙班C. 两班的英语平均分分差最大D. 两班的语文平均分分差最小4.某省新高考将实行“3+1+2”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；i i i z 31)1(+=+2i +2i -1i -+1i --“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科。
某考生已经确定“首选科目”为物理，如果他从“再选科目”中随机选择两科，则思想政治被选中的概率为（ ）A. 13B. 12C. 23D. 345.设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，双曲线C 30x y +=，则双曲线C 的方程为（ ）A . 221124x y -= B. 221412x y -= C. 2211648x y -= D. 2214816x y -= 6.如果执行右面的框图,输入5N =,则输出的数等于( )A ．45 B. 54 C. 56 D. 657.在矩形中，，点为直线上一点，则=( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．88．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）ABCD 2AB =P BC ()PA PD BA +⋅u u u r u u u r u u u rA. 40B. 43C. 46D. 479．函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图像，且函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的值为( )A.74B.32 C. 2 D. 5410.已知圆C ：()()22122x y -+-=与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线3y x b =+分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b =( )A ．1-±B ．1C ．D ．11.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．4π3B ．4πC ．8πD ．20π 12.已知函数1,1()8ln 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax=-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-或21a e =或98a >B ．1a <-或2118a e≤≤ 1-1C ．1a >-或2198a e <<D ．1a >-或98a > 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，2π()sin2x f x x =+，则(1)f -=_________. 14.若变量x y ，满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =+的最大值是_______.15. 已知抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，N 是线段MF 与C 的交点，若2MN NF =u u u u r u u u r，O 为坐标原点，且OFN ∆的面积S 为3，则p 的值为________.16.已知数列{}n a 的前项和为2n S n n =+，将该数列按下列格式（第n 行有12n -个数）排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右第8个数字为________.123456789101112131415a a a a a a a a a a a a a a a L L L L L L L三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos()2sin sin 2B C B C --=． （1）求A ；（2）若3,2cos a c C ==，求ABC △的面积．18．(本题满分12分)在四棱锥ABCD P -中，//,2,AB CD CD AB =AC 与BD 相交于点M ，点N 在线段AP 上， (0)AN AP λλ=>，且//MN PCD 平面．（1）求实数λ的值；（2）若1,2AB AD DP PA PB =====，060BAD ∠=, 求点N 到平面PCD 的距离．19．（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．（1）试估计该河流在8月份水位的众数；（2）我们知道若该河流8月份的水位小于40米的频率为f ，该河流8月份的水位小于40米的情况下发生1级灾害的频率为g ，则该河流8月份的水位小于40且发生1级灾害的频率为f g ⨯，其他情况类似．据此，试分别估计该河流在8月份发生1、2级灾害及不发生灾害的频率123,,p p p ；（3）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 在椭圆C 上. （1)求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,M N ，求证：在x 轴上存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，以MN 为直径的圆都必过点P ，并求出点P 坐标.21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)(0)x f x xe a x x a =-+>.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x <时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[0,2)ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线:(0)l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值． 23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲] 已知函数2()1f x x x a =-++，其中a R ∈．（1）当a =()6f x ≥的解集；（2）若存在0x R ∈，使得0()4f x a <，求实数a 的取值范围．2019届福建省福建师大附中文科数学高考模拟试卷参考答案201905281. D2. A3. D4. B5. B6. C7. D8. C9.C 10. A 11.C 12．A13. 2 14. 5 15. 16. 27017．解：（1）cos()2sin sin cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C B C B C --=+-， ……………………2分 ，因为……………………………………4分 （2）由及正弦定理，可得， ………………………………………6分 ，2cos =2………………8分 ……………10分 所以的面积…………………………………………12分 18．解：解法一：（1）因为//AB CD ,所以11,23AM AB AM MC CD AC ===即．…………………2分因为//MN PCD 平面，MN ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面PCD PC =，所以//MN PC ．……………………………………4分所以13AN AM AP AC ==，即13λ＝． …………5分 1cos cos sin sin cos()cos 2B C B C B C A =-=+=-=1cos 2A ∴=-0180,120A A ︒<<︒∴=︒3,2cos ,120a c C A ===︒sin sin A C a c =sin 12cos 2C C =tan 1C ∴=0180C ︒<<︒Q 245,cos ,4cos 22C C c C ∴=︒===180()15,sin sin15sin(6045)321262sin 60cos 45cos 60sin 452B A C B ∴=︒-+=︒=︒=︒-︒-=︒︒-︒︒=⨯-⨯=ABC △133sin 2S ac B -==(2) 因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，又因为1PD =，PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+， . 7分 所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D =I ，所以PD ABCD ⊥平面 ... 8分 因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ABCD ⊥平面．作ME CD ⊥于E ，因为平面=PCD ABCD CD I 平面，所以ME ⊥平面PCD ． 9分 又因为//MN PCD 平面，所以ME 即为N 到平面PCD 的距离． ........... 10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则h =因为23MD MC BD AC ==，所以23ME h ==，即N 到平面PCD 12分 解法二、（1）同解法一． .......................................... 5分（2）因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，又因为1PD =，PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+， . 7分 所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D =I ，所以PD ABCD ⊥平面 ． . 8分 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， 所以2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅△△．………………10分因为1sin 2ACD S AD DC ADC =⋅⋅∠=△，112PCD S PD CD =⋅=△，1PD =，所以2193d =，解得d =N 到平面PCD ．.......... 12分 19．解：（1）由题设，35+4037.52=， 估计该河流在8月份水位的众数为37.5米…………………………………………2分（2）依据甲图，该河流8月份的水位小于40米，在40米和50米之间，大于50米的频率分别为(0.020.050.06)50.65,(0.040.02)50.30,0.0150.05++⨯=+⨯=⨯=．……5分 根据乙图，该河流在8月份发生1级灾害的频率为0.650.100.300.200.050.600.155⨯+⨯+⨯=该河流在8月份发生2级灾害的频率为0.300.05+0.050.40=0.035⨯⨯该河流在8月份不发生灾害的频率为10.1550.0350.81--=估计123,,p p p 分别为0.155,0.035,0.81．……………………………………8分（3）由（2）若选择方案一，则该企业在8月份的平均利润15000.811000.15510000.035354.5L =⨯-⨯-⨯=（万元）……………………9分 若选择方案二，则该企业在8月份的平均利润25000.9654010000.035407.5L =⨯--⨯=（万元）……………………………10分若选择方案三，则该企业在8月份的平均利润3500100400L =-=（万元）…………………………………………………………11分由于231L L L >>，因此企业应选方案二 (12)分20.解：（1)依题意，，所以①，又因为点在椭圆C 上，所以 ②，………………………2分由①②解得，，所以椭圆方程为.………………………4分（2）设，，则，不妨令.由可得，解得，，………6分，所以AE 所在直线方程为，AF 所在直线方程为，可得⎛⎫ ⎝M，同理可得⎛⎫⎝N ，所以0⎛⎫=- ⎝u u u u r PM x，0⎛⎫=- ⎝u u u r PN x ，………………………10分 所以，2040⋅=-=u u u u r u u u rPM PN x ，所以02=x 或02=-x ，所以存在点P 且坐标为()2,0或()2,0-,使得无论非零实数k 怎么变化，以MN 为直径的圆都必过点P . ………………………12分 21.解：（Ⅰ）当1a =时，2()(2)xf x xe x x =-+，得'()(22)(2)(1)x x xf x e xe x e x =+-+=-+，……………………………………1分令'()0f x =，得，， 由得或时，由得，………………………3分 ∴增区间为，；减区间为．……………………5分（Ⅱ）由条件得对恒成立，∵，∴对恒成立． 设，则，令，得．……………………7分 （1）当，即时，有，∴在上是减函数，∴，解得，不合题意．……………………………………9分（2）当，即时，则得在上是减函数，在上是增函数， ∴，解得，符合题意．………………11分综上可得，实数a 的取值范围是．……………………………………………12分22．解：（1）曲线的极坐标方程为，即． …………………………3分曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．………………………………………………………………5分 （2） 由（1）知1cos sin A OA ραα==+，4cos B OB ρα==，………………6分1C (cos sin )1ρθθ+=sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2C 22(2)4x y -+=2240x y x +-=2C 4cos ρθ=……8分 由知，当， 即时，有最大值．…………………………………………10分23．解：（1）当， 所以或或，解得或，因此不等式的解集的……………………5分（2），且，所以，所以存在，使得，等价于，所以，解得， 所以实数的取值范围是…………………………………………10分4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)224OB OA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭02πα≤≤52+444πππα≤≤242ππα+=8πα=OB OA2+a =21,2()12=3,2121,1x x f x x x x x x -+-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+⎩≤≥2()6216x f x x -⎧⇔⎨--⎩≤≥≥2136x -<<⎧⎨⎩≥1216x x ⎧⎨+⎩≥≥72x -≤52x ≥()6f x ≥7522x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或≤≥2222()1(1)()11f x x x a x x a a a =-++--+=+=+≥2(1)1f a =+2min ()1f x a =+0x R ∈0()4f x a <241a a >+2410a a -+<22a <<a (22。
2019年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析
2019年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+3x-10＜0}，B=|x|-3＜x＜3}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.i是虚数单位，则的虚部是（）A. B. C. D.3.已知=（1，1），=（2，m）， ⊥（-），则||=（）A. 0B. 1C.D. 24.双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率是2，则渐近线方程为（）A. B. C. D.5.在△ABC中，cos B=，b=2，sin C=2sin A，则△ABC的面积等于（）A. B. C. D.6.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份7.已知f（x）是偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），＞0．设a=f（），b=f（log37），c=f（-0.83），则（）A. B. C. D.8.设函数f（x）=a sin x cosx-2sin2x，若直线x=是f（x）图象的一条对称轴，则（）A. 的最小正周期为，最大值为1B. 的最小正周期为，最大值为2C. 的最小正周期为，最大值为1D. 的最小正周期为，最大值为29.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A.B.C.D.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A.B.C.D.11.设函数f（x）=，若函数y=f（x）+ax恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.D.12.设动点B,C在抛物线E:x2=y上，点A(1,1)，直线AB,AC的倾斜角互补，BC中点的纵坐标为y0，则y0不可能为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sin（-α）=-，0＜α＜π，则sin2α=______．14.若x，y满足，则z=2x-y的最大值为______．15.在△ABC中，AB=4，AC=2，A=，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为______．16.在正三棱锥S-ABC中，，，E,F分别为AC,SB的中点，平面过点A，||平面SBC，∩平面ABC=l，则异面直线l和EF所成角的余弦值为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=6，b1=a n+1．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18.如图，在多面体ABCDEF中，AD,BE,CF均垂直于平面ABC，AC=BC，AD=2，BE=4，CF=3.（1）过CF的平面α与平面ABED垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若，，求多面体ABCDEF的体积.19.某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i=1，2，…，10）的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y=a+bx和y=c•x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．（2）对数据作出如下处理：令u根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=-x（其中e=2.71828…），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=-．20.已知椭圆：，过点C(1,0)且与x轴不重合的直线与相交于AB两点，点D(2,0)，直线AD与直线x=3交于点E.（1）当AB垂直于x轴时，求直线AD的方程；（2）证明：CD||BE.21.设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）+ax2-x，a≥0．（1）求f（x）的极值；（2）证明：e x-1（f（x-1）+x）≥x2．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若C上恰有2个点到l的距离等于，求l的斜率．23.已知函数f（x）=|x+2|+|x-4|．（1）求不等式f（x）≤3x的解集；（2）若f（x）≥k|x-1|对任意x∈R恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2+3x-10＜0}={x|-5＜x＜2}，B=|x|-3＜x＜3}，∴A∩B={x|-3＜x＜2}．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵=，∴的虚部是-1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：；∵；∴；∴m=0；∴；∴．故选：D．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m，进而求出的坐标，从而求出．考查向量垂直的充要条件，向量减法和数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法．4.【答案】D【解析】解：由题意得，，则即，所以双曲线-=1的渐近线方程为y=±x=x，即，故选：D．由离心率是2得c=2a，代入c2=a2+b2得3a2=b2，求出的值，再求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程以及简单的几何性质，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，cosB=，b=2，sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a；由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a•2a•=4a2=4，解得a=1，可得c=2；可得△ABC的面积为S=acsinB=×1×2×=．故选：D．利用正弦定理和余弦定理求出a、c的值，即可解得△ABC的面积．本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形面积的计算问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由图可知：①选项A正确，②2018年月销售任务的平均值为＜600，故选项B正确，③2018年第一季度总销售量为100×0.8+200×1+300×（0.5+1.5+0.6）+400×（1.2+0.9+0.9）+500×1.1+700×0.8+800×1+100×0.7=830，故选项C正确，④2018年月销售量最大的是5月份为800台，故选项D不正确，综合①②③④得：选项D不正确，故选：D．由频率分布折线图、密度曲线逐一检验即可得解．本题考查了频率分布折线图、密度曲线，属简单题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，f（x）满足对任意x1，x2∈（0，+∞），＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（x）是偶函数，则c=f（-0.83）=f（0.83），又由0.83＜1＜＜log33=log3＜log37，则c＜a＜b；故选：B．根据题意，结合函数单调性的定义可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，结合函数奇偶性分析可得c=f（-0.83）=f（0.83），又由0.83＜1＜＜log33=log3＜log37，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的单调性，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：f（x）=asinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x-1=sin2x+cos2x）-1，令cosθ=，sinθ=，则tanθ=，其中θ是参数，则f（x）=sin（2x+θ）-1，则函数的最小正周期T==π，∵直线x=是f（x）图象的一条对称轴，∴2×+θ=kπ+，即θ=kπ+，则tanθ=tan（kπ+）=tan=，即=，得a=2则函数f（x）的最大值为===2，故选：B．利用倍角公式，以及辅助角公式将函数进行化简，进而根据正弦函数的性质求得周期和最小值．本题主要考查了三角函数的性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出a的值是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：从八卦中任取两卦，基本事件总数n==28，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3，∴这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为p=．故选：A．基本事件总数n==28，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3，由此能求出这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积，球内接多面体，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．由已知中的三视图画出几何体的直观图，求出外接球的半径，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面三角形的外接圆半径r=1，故球半径R满足，R=1，故球的表面积S=4πR2=4π，故选C．11.【答案】A【解析】解：由y=f（x）+ax恰有两个零点，得y=f（x）+ax=0有两个不同的根，即f（x）=-ax，即y=f（x）与y=-ax有两个不同的交点，当x=0时，y=f（0）+0=0，即x=0是函数的一个零点，当a＞0时，作出函数f（x）的图象如图：此时y=f（x）与y=-ax恒有两个交点，满足条件若a＜0，作出函数f（x）的图象如图：此时y=f（x）与y=-ax恒有两个交点，满足条件当x≥0时，f′（x）=2x+2，则函数f（x）在（0，0）点的切线斜率k=f′（0）=2，要使当x≥0时，f（x）与y=-ax只有一个交点（0，0），则-a≤2，即-2≤a＜0，当a=0时，不满足条件．综上a＞0或-2≤a＜0，即实数a的取值范围是[-2，0）（0，+∞），故选：A．讨论a的符号，作出函数f（x）和y=-ax的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质，属中档题．设B（x1，y1），C（x2，y2），联立直线AB与抛物线解得B，C两点的纵坐标，再得y0，结合判别式可知选C．【解答】解：设B（x1，y1），C（x2，y2），直线AB：y=k（x-1）+1（k≠0），代入x2=y得：x2-kx+k-1=0，所以x1=k-1，则y1=（k-1）2；同理：x2=-k-1，y2=（k+1）2，所以y0==k2+1．由题设知：，得：k≠0且k≠2，所以y0＞1且y0≠5，故选：C．13.【答案】-【解析】解：∵sin（-α）=cosα=-，0＜α＜π，∴sinα==，则sin2α=2sinαcosα=-，故答案为：-．利用诱导公式、二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：x，y满足，画出可行域如图，做出基准线0=2x-y，解得A（2，2）由图知，当直线z=2x-y过点A（2，2）时，z最大值为：2．故答案为：2．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，求出最优解，然后求解z的最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.【答案】5-2【解析】解：由余弦定理得BC=∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°以A点为坐标原点，AC所在直线为y轴建立如图坐标系则A（0，0），B（2，2），C（0，2）P为单位圆上的一点，设P（cosθ，sinθ），，∴=-2+cosθ2+4-4sinθ+sinθ2=5-（4sinθ+2）=5-2sin（θ+φ），（其中tanφ=）故当sin（θ+φ）=1时，有最小值5-2，故填：5-2先用余弦定理算出BC的长度，再由勾股定理得三角形ABC为以∠C为直角的直角三角形．建立坐标系后，将表示为∠θ的函数，根据三角函数的有界性可以得到的最小值．本题主要考查了解三角形、向量的数量积运算、三角恒等变换等知识．将向量数量积的最值问题转化为三角函数的有界性问题，属于基础题16.【答案】【解析】【分析】推导出l∥BC，取AB中点D，连结DE，DF，则DE∥BC，从而l∥DE，进而异面直线l和EF所成角即为∠DEF或其补角，由此能求出异面直线l和EF所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵α∥面SBC，α∩面ABC=l，平面SBC∩平面ABC=BC，∴l∥BC，取AB中点D，连结DE，DF，则DE∥BC，∴l∥DE，∴异面直线l和EF所成角即为∠DEF或其补角，取BC中点O，则SO⊥BC，AO⊥BC，又SO∩AO=O，∴BC⊥平面SOA，又SA⊂平面SOA，∴BC⊥SA，∴DE⊥DF，在Rt△DEF中，DE=，DF=，∴EF=2，cos∠DEF=．∴异面直线l和EF所成角的余弦值为．故答案为：．17.【答案】解：（1）数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=6，b1=a n+1．所以：当n=1时，a2=b1=6，故：a n=6+2（n-2）=2n+2，由于b1=a n+1．①当n≥2时，b1+…+=a n②，①-②得：，所以：b n=2n所以：．（2）当n=1时，．当n≥2时，，则：，=，=，当n=1时满足上式，故：．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的关系式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）取AB，DE的中点G，H，连接CG，FH，HG，则四边形CFGH 即为所求截面．理由如下：∵AD，BE，CF均垂直于平面ABC，∴AD∥BE∥CF，∵AD=2，BE=4，∴ABED为梯形，又G，H分别为AB，DE的中点，∴HG∥BE，HG=3，∴HG∥CF，HG=CF，则CFHG为平行四边形，∵AC=BC，G为AB的中点，∴CG⊥AB，又AD⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，∴AD⊥CG．又AB∩AD=A，∴CG⊥平面ABED，又CG⊂平面CFHG，∴平面CFHG⊥平面ABED．∴平行四边形CFHG为所作的截面；（2）过点A作AM⊥BC于点M，∵BE⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，∴BE⊥AM，又BE∩BC=B，BC，BE⊂平面BCFE，∴AM⊥平面BCFE，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，，得AC=BC=4，∴△ ．∴=，．△∴．【解析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．（1）取AB，DE的中点G，H，连接CG，FH，HG，则四边形CFGH即为所求截面，然后结合已知利用面面垂直的判定证明.（2）过点A作AM⊥BC于点M，可得BE⊥AM，进一步得到AM⊥平面BCFE，然后把多面体ABCDEF的体积转化为三棱锥D-ABC与三棱锥D-BCFE的体积和求解．19.【答案】解：（1）由散点图知，选择回归类型，y=c•x d更适合．（2）对y=c•x d两边取对数，得Iny=ln c+d ln x，即v=ln c+du．由表中数据得，所以，所以．所以年研发费用x与年销售量y的回归方程为．（3）由（2）知，，求导得，令，得x=27，函数在（0，27）上单调递增，在（27，+∞）上单调递减，所以当x=27时，年利润z取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．【解析】（1）由题意结合散点图选择合适的回归方程即可；（2）结合所给的数据求解非线性回归方程即可；（3）结合（2）中求得的回归方程确定利润函数，结合导函数研究函数的最值即可．本题主要考查非线性回归方程的应用，导函数研究函数的最大值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．20.【答案】解：（1）设点A（x1，y1），当AB垂直于x轴时，可得x1=1，y1=±，∴A（1，±），∴k AD=±，∴直线AD的方程为y=±（x-2），证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+3）y2+2my-2=0∴y1+y2=-，y1y2=-，△=4m2+8（m2+3）＞0，∴=m，∴y1+y2=my1y2∴y1=（my1-1）y2，∵k AD=，∴直线AD的方程为y=（x-2），当x=3时可得y E=，∴y E==y2，∴CD∥BE【解析】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．（1）求出点A的坐标，即可求出直线方程，（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+3）y2+2my-2=0，利用韦达定理，计算即可．21.【答案】解：（1），＞，因为a≥0，所以f'（x）在（-1，+∞）上单调递增，又f’（0）=0，所以x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f’（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=0是f（x）的极小值点，故函数f（x）的极小值为f（0）=0，无极大值．（2）f（x-1）的定义域为（0，+∞）．要证：e x-1（f（x-1）+x）≥x2，只需证：，只需证：，令，，因为a≥0，所以当x∈（0，1）时，F’（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增，所以F（x）min=F（1）=0，即F（x）≥0．故当a≥0时，e x-1（f（x-1）+x）≥x2．【解析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究原函数的单调性从而确定函数的极值即可；（2）利用分析法将所要证明的不等式等价变形，然后构造新函数，由新函数的最值证明题中的不等式即可．本题主要考查导数的运算、函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化等数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y=tanαx．曲线C的极坐标方程为ρ2=，转换为直角坐标方程为：x2+4y2=4，（2）由于曲线C上恰有2个点到l的距离等于，则：该点为椭圆的左右顶点，即：（2，0）和（-2，0），则：点（2，0）到直线y=tanαx=kx的距离d=，解得：k=±1，故直线的斜率为：k=±1，【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离的公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当x＞4时，x+2+x-4≤3x，解得：x≥-2，故x＞4，当x＜-2时，-x-2-x+4≤3x，解得：x≥-，故此不等式无解，当-2≤x≤4时，x+2-x+4≤3x，解得：x≥2，故2≤x≤4，综上，不等式的解集是[2，+∞）；（2）由f（x）≥k|x-1|，得|x+2|+|x-4|≥k|x-1|，当x=1时，6≥0恒成立，故k∈R，当x≠1时，k≤==|1+|+|1-|，∵|1+|+|1-|≥|1++1-|=2，当且仅当（1+）（1-）≥0即x≥4或x≤-2时，“=”成立，故k≤2，综上，k的范围是（-∞，2]．【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为k≤|1+|+|1-|，根据绝对值不等式的性质求出k的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
福建省厦门市2019届高三下学期3月第一次质量检查数学(文)试题含详解
2019年4月厦门市2019届高中毕业班第一次质量检查数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】解不等式得到集合A后再求出即可．【详解】由题意得，所以．故选A．【点睛】本题考查集合的交集运算，通过解不等式求出集合A是解题的关键，考查计算能力，属于简单题．2.是虚数单位，则的虚部是（）A. -2B. -1C.D.【答案】B【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3.已知，，，则（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】D【分析】根据向量的垂直求出，然后可求出．【详解】∵，，∴．又，∴，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，求解时注意向量运算的坐标表示，然后根据相关运算的定义进行求解，考查计算能力．4.设双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据离心率求出间的关系，然后可求出双曲线的渐近线方程．【详解】∵，∴，∴双曲线的方程为．由得，即，∴双曲线的渐近线方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号后的“1”改为“0”，然后求出与之间的一次关系，即为渐近线方程．本题考查双曲线中的基本运算和离心率，解题时注意各个基本量间的关系及转化．5.在中，，，，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意及正弦定理得，然后根据余弦定理求出，最后结合面积公式可得三角形的面积．【详解】由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以．故选D．【点睛】三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．6.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【分析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为，所以B正确．对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C 正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．7.已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断到y轴的距离的大小问题求解．【详解】∵对任意，，∴函数在上为增函数．又函数为偶函数，∴在上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．8.设函数，若直线是图像的一条对称轴，则（）A. 的最小正周期为，最大值为1B. 的最小正周期为，最大值为2C. 的最小正周期为，最大值为1D. 的最小正周期为，最大值为2【答案】A【分析】先根据直线是图象的一条对称轴，并借助特殊值求出参数的值，再将函数化为的形式后求解即可得到答案．【详解】∵直线是图象的一条对称轴，∴，即，解得．∴，∴的最小正周期为，最大值为．故选A．【点睛】利用特殊值求出是解题的关键，另外，解决有关三角函数的问题时，首先应将函数解+析式化为的形式，然后将看作一个整体，再结合正弦函数的相关性质求解，注意“整体代换”的应用，属于基础题．9.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据古典概型概率求解，先确定从八卦中任选两卦的所有可能的种数，再求出取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的种数，进而可得所求概率．【详解】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为．故选A．【点睛】根据古典概型求事件A的概率时，首先要求出试验的所有的结果，即所有的基本事件数，然后再求出事件A包含的基本事件的个数，最后根据公式求解即可．求基本事件数时，常用的办法是列举法，列举时要做到不重不漏．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据三视图得到三棱锥的直观图，再根据三棱锥的结构特征判断出球心的位置，并根据题中的数据求出球的半径，进而可得球的表面积．【详解】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上．设球半径为，则在中，，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．【点睛】求几何体外接球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，其中确定球心的位置是解题的突破口．对于椎体的外接球来讲，球心在过底面圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后在球心、底面圆的圆心和球面上一点构成的直角三角形中求解可得球半径，进而可得所求结果．考查计算能力和空间想象能力．11.设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，画出两函数的图象，结合图象可得所求的范围．【详解】∵函数恰有两个零点，∴方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，∴函数的图象和函数的图象有两个不同的交点．①当时，显然不符合题意．②当时，函数的图象为过原点且斜率小于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得两函数的图象总有两个不同的交点．所以符合题意．③当时，函数的图象为过原点且斜率大于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得，当时，两函数的图象总有一个交点，所以要使得两函数的图象再有一个交点，只需直线的斜率小于曲线在原点处的切线的斜率．由，得，所以，所以，解得，所以．综上可得或．故选A．【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是结合函数的图象、并根据参数的几何意义进行求解，解题时要根据题意对参数进行分类讨论，考查画图能力和分类讨论思想方法的运用．12.设动点在抛物线上，点，直线的倾斜角互补，中点的纵坐标为，则不可能为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【分析】由题意设直线的方程为，将直线方程和抛物线方程联立消元后得到，借助根与系数的关系可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，于是得到．再根据判别式得到的取值范围，进而可得的取值范围．【详解】设，直线的方程为，由消去y整理得，∵直线和抛物线交于两点，∴，解得且．又点，∴，故，∴．以代替上式中的，可得．∴，由且可得且．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出两点的坐标，进而得到的表达式．求解时借助代数运算求解，由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则__________．【答案】【分析】由题意求出和，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.若满足，则的最大值为__________．【答案】2【分析】画出不等式组表示的可行域，由变形得，平移直线并结合的几何意义求解可得结果．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由变形得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由，解得，所以点A的坐标为，所以．故答案为2．【点睛】求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．15.在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．【答案】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．则，设，则，∴，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得，∴．故答案为．【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用．（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用．16.在正三棱锥中，，，分别为的中点，平面过点，平面，平面，则异面直线和所成角的余弦值为__________．【答案】【分析】根据题意画出图形，作出异面直线和所成的角，再根据题中的数据利用解三角形的知识求解可得结果．【详解】画出图形，正三棱锥如图所示．因为平面，平面，平面平面，所以．取的中点，连接，则，所以，所以为异面直线和所成角或其补角．取的中点，则，，又，所以平面，又平面，所以，所以．在中，，，所以，，所以异面直线和所成角的余弦值为．【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，解题时要注意异面直线所成角的范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，. （1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由可得，再根据等差数列的通项公式得到；然后再由得到，两式作差后可得．（2）当时根据裂项相消法求得，最后验证当时也成立，于是可得所求结果．【详解】（1）依题意得，又数列为公差为2的等差数列，所以，所以．因为所以，两式相减得：，，所以，，又不满足上式，所以．（2）当时，所以，又当时，满足上式，所以.【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．18.如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，.（1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若，，求多面体的体积.【答案】（1）详见解+析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面平面即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积．【详解】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.理由如下：因为均垂直于平面，所以，因为，，所以四边形为梯形．又分别为中点，所以，，所以，，所以为平行四边形，因为，为中点，所以．又平面，平面，所以．又，所以平面又平面，所以平面平面，所以平行四边形即为所作的截面.（2）法一：过点作于点．因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面在中，，，，得，所以，因为，所以，，所以.法二：将多面体补成直三棱柱，其中，，，，则在中，，，，得，所以，所以，所以.法三：在多面体中作直三棱柱，则，在中，，，，得，所以，设边上的高为，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．所以，，所以．【点睛】对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．19.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断，和（其中为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.（2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；（3）已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）选择回归类型；（2）；（3）2.7亿元.【分析】（1）根据散点图的形状可判断应选择回归类型．（2）将两边取对数，把问题转化为线性回归方程求解．（3）根据（2）中的回归方程，结合导数的知识求得其最大值即可．【详解】（1）由散点图知，选择回归类型更适合．（2）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.（3）由（2）知，，∴，令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为亿元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.【点睛】求非线性回归方程时，通过换元或取对数的方法将非线性的形式转化为线性回归方程求解．由于在计算中要涉及大量的计算，所以在解题时要注意计算的准确性、合理运用题中给出的中间数据，考查转化能力和计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于点.（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解+析.【分析】（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。
福建省厦门市2019届高三3月质量检查文科数学试题
厦门市2019届三月高三质量检测数学（文科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.满分为150分，考试时间120分钟.1参考公式：锥体体积公式V - Sh,其中S为底面面积，h为高.3第I卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R，集合A x|x21，那么C U A等于A. （,1）B. （ 1,1）C. 1,1D. （1,2.如图，在边长为2的正方形内随机取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为4 1 4A . B. C. D.4 4 43•若x R，则“ x 0 ”是“ x2 2x0 ”的A .充分不必要条件C •充要条件4.下列命题正确的是B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件A . log 0.2 3 log 0.2 2 3 2B . 0.2 0.2 0.2C . 2 30.23 D .5.设m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m 的是A . , mB . mC . m n,nD . m //n, n6.将函数f（x）的图象，则它的一个对称中心是A.( 2,0)B.7.定义n! 1 2 L填的条件是A . i 10 B. i(,0) C. ( ,0) D. ( ,0)6 6 3n.右图是求10!的程序框图，则在判断框内应10 C. i 11 D. i 102&已知F是抛物线y4x的焦点，准线与x轴的交点为M，点N在13A . 30B . 45C . 60D . 75(b,c,a)(c,a,b)，则称(a,b,c)为轮换对称式.给出如下三个式子：①（a,b,c ） abc :②（a,b,c ） a 2 b 2 c 2 ；③(代B,C) cosC cos(A B) cos 2C (A,B,C 是 ABC 的内角).其中，为轮换对称式的个 数是A . 0B . 1C . 2D . 311 .如图，在边长为2的菱形ABCD 中， ABC 60o ,对角线相交于点uuv LUV段BD 的一个三等分点，则 AP AC 等于A. 1 B . 2C. 3D .412 .对于函数f x ，若存在区间 m,n ，使x m, n 时，f xkm,kn (k N*)，则称区间 m,n为函数f x 的“ k 倍区间”.已知函数f x x 3 sinx ，贝y f x 的“ 5倍区间”的个数是 A . 0B . 1C . 2D . 3第H 卷(非选择题：共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分•把答案填在答题卡的相应位置•14 .焦点在x 轴上，渐近线方程为 y 、3x 的双曲线的离心率为 _______________抛物线上，且 NF -|MN ,则FMN 等于9.函数f （x ）x 2 1, log 2（xx 1的零点个数为1), x 110 .式子（a, b,c ）满足 （a,b,c ） 13 .设i 为虚数单位，则复数2 i1 2i13则b ____________ 16 .给出下列命题：-x 3的最小值是 x 2 215 .已知△ ABC 的三个内角A, B,C 所对的边分别为a,b,c ,若厶ABC 的面积为 ----- ,a43,B1②若a b,则—a 1-成立的充要条件是ab 0 ; b③若不等式x2 ax 4 0对任意x （ 1,1）恒成立，则a的取值范围为（3,3）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.17.(本小题满分12分)为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩(满分100分)进行统计, 作出如下的茎叶图，其中x, y处的数字模糊不清.已知甲同学成绩的中位数是83,乙同学成绩的平均分是86分.(I)求x和y的值；(H)现从成绩在］90, 100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率.甲乙6 3787 x 18 3 3 y2 390 1 6(第17题1图)18.(本小题满分12分)已知函数f(x) sin(x ) 、.3cos(x ).3 3(I)求f (x)在［0,2 ］上的单调递增区间；(n)设函数g(x) (1 sinx)f(x)，求g(x)的值域.19.(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P ABC中，PA丄底面ABC , D, E分别是线段BC, PD的中点•(I)若AP AB AC 2 ,BC 2 .3，求三棱锥P ABC的体积;EF // 平面PAC .(n)若点F在线段AB上，且AF-AB，证明：直线4C)使f (x) g(x)成立，求实数a 的取值范围.21 .(本小题满分12分)某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程.要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为 m 400 m 600，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择.据 往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有 20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用a n ,b n 分别表示在第n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数.(I )若m 500，分别求出第二次，第三次选“音乐欣赏”课的人数 a 2, a 3 ； (n ) (i)证明数列 a n 600是等比数列，并用n 表示a n ；(ii)若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800,求m 的取值范围.20.(本小题满分12 分)设直线l : y 5x 4是曲线C: f (x) (I)求切点坐标及 m 的值； 1 3 2-x x 2x m 的一条切线, 3g(x) ax 22x 23 .(n)当m Z 时，存在x [0,22.(本小题满分1 4分)22 x y2已知圆0: x y 34，椭圆C: 1 .5 9(I)若点P在圆0上，线段0P的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标;(n)现有如下真命题：2x “过圆x y 5 3上任意一点Q(m.n)作椭圆飞5 垂直”；2x “过圆x y 4 7上任意一点Q(m.n)作椭圆飞4 垂直”.据此，写出一般结论，并加以证明.2y1的两条切线，则这两条切线互相321的两条切线，则这两条切线互相厦门市2019届高三质量检查数学(文科)参考答案、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分. 1 — 6： BAADDC 7—12： BCCCBD3312.提示：先证明函数 f x x sinx 在R 上是增函数，再确定方程 x sinx 5x 有三个不等根，得 f(x)有三个“ 5倍区间”. 、填空题: 本大题共6小题,每小题4分，共24分•在答题卡上的相应题目的答题区域内作答 13. i14.215. ,716.②、解答题: 本大题共 6小题,共74分.17.本题主要考查茎叶图，样本的数字特征，古典概型，考查数据处理能力和运算求解能力，考查或 然与必然的数学思想•满分 12分. 解：(I) Q 甲同学成绩的中位数是 83,x 3,............................................................... 3 分Q 乙同学的平均分是 86分，1y(78 83 83 80 y 90 91 96) 86,y 1....................................................................... 6 分(n)甲同学成绩在［90, 100］之间的试卷有二份，分别记为a 1, a 2, 乙同学成绩在［90, 100］之间的试卷有三份，分别记为b,, b 2, b 3,“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为:共有10种情况,记“从成绩在［90 ,100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件 M ,则事件M 包含的基本事件为：a1> a 2 ,,a 1,b 2 ,a 1 > b 3 , a 2 > b l a ?® , a 2,b 3 , bb , gd,b 2,b 3则P(M)答：从成绩在［90, 100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概3率为—• ................................................... 12分518.本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的基本性质，考查运算求解的能力，化归与转化的思想.满分12分.解：(I) f(x) 2sin(x ) 2sin x, ................................................ 2 分——Q函数y sinx的单调递增区间是[2k ^,2k +尹k Z) , ...................... 4分—(n)由(I)可得,f (x)在[0,2 ]上的单调递增区间为[0,^],[~2,2 ] ；.................2g(x) 2(1 sin x)si nx 2si n x 2s in x ,设t sinx，当x R时，t [ 1,1],21 21 则h(t) 2t22t 2(t )22 2由二次函数的单调性可知，h(t) min11分Q点D是线段BC的中点AD丄BC AD 1又Qh( 1) 0,h(1) 4, h(t)max 4,则函数g(x)的值域为［2,4].12分19.本题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想•满分12分.解: (I)在ABC 中，AB AC 2, BC 2,3S ABC 1 2 — 1 .—, ............................ —分2Q PA丄底面ABC ,VPA ——26分P ABC —S ABC—(n)法一：取CD的中点H,连接FH,EH,•/ E为线段PD的中点，•••△ PDC中,EH// PC,••• EH 平面PAC , PC 平面PAC ,• EH //平面PAC , ............... 8 分1切点 P( 1, 1), m 7 , .................................................................. 4 分3切点 P(3,19), m 13 •................................................ 6 分(n )解法一：••• m Z , • m 13 , 设 h(x) f (x) g (x) 1 x 3 (1 a)x 2 36,3 若存在X [0,)使f (X) g(x)成立，则只要h(x)min 0 , .. 8分h (x) x 2 2(1 a)x x x 2(1 a),(i )若 1 a 0 即 a1 ,令 h (x)0,得 x 2(1 a)或 x 0 , Q x [0,), • h(x)在(2(1a),)上是增函数,T AF - AB ,•△ ABC 中，FH// AC,4••• FH 平面 PAC , AC 平面 PAC , • FH // 平面 PAC ,............................... Q FH I EH=H , 平面 EHF // 平面 PAC ,- Q E F 平面 EHF , EF //平面 PAC .法二:分别取 AD , AB 的中点M , N ,连结EM , Q 点E 、M 是分别是线段PD 、AD 的中点， Q EM 平面 PAC , PA 平面 PAC ,EM // 平面 PAC , ........................1 1Q AN AB , AF AB , 点 F 是线段 AN2 4Q 在 ADN 中，AF=FN , AM=MD , Q 在 ABC 中，AN=NB , CD=DB , Q MF 平面 PAC , Q EM I MF=M ,Q EF 平面 EMF ,20.本题主要考查函数的单调性的中点, AC 平面PAC, 平面EMF //平面 MF // DN, DN // AC , MF //AC , 10分 11分EF //平面 PAC .......................................... 12 分 ,最值,切线,含参数的不等式成立问题，考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法•满分12分.(I)解：设直线I 与曲线C 相切于点P(x ), y o ),f (x) 2x 2,2X o2xo5,解得X o1 或 X o 3,X o 1时, y o 1 , Q P(1, 1)在曲线C 上，• m —3X o3时, y o19 , Q P(3,19)在曲线 C 上，••• m 13, 10分 ……11分 ....... 12分MF , DN ,EM // PA ,h(x)min h(2(1a)),令h(2(1 a)) 0,解得a 2,••• a 不存在,综合(i)(ii)得，实数a 的取值范围为［2,) . .................. 12分21.本题主要考查数列的概念，等比数列的定义，数列求和，考查运算求解的能力，应用意识，考查特殊与一般的思想，分类与整合的思想. 满分12分.解：(I )由已知 a n b n 1000，又 a 1 500 ,b 1 500 , ................................. 1 分…a ? 078a 1 073d 550 ,.................. 2分--d450 ,若存在x ［0,)使f(x)g(x)成立 ，则只要 h(x)min a ,-••…8分h (x)133 372 x 63小 3 ，x 3x令 h(x) 0 解得x 6 h( x)在［6 )上是增函数，令 h(x) 0 ,解得 0 x6 h(x)在(0,6)上是减函数，h(X )minh(6) 2 ,a 2,-10分(ii)当x 0时，不等式ax 2x 2 36不成立,10分(ii)若 1a0即a 1，令h (x) 0 ,解得x2(1 a)或x 0 ,Q x ［0, • h(x)在(0,)上是增函数,h(x)minh(0), 令h(0)0,不等式无解, a 不存在,11分 综合(ii)得，实数a 的取值范围12分解法二：由 f (x) g(x)得 ax 236,0时，a1 363x x 21，设 h(x) 11分--玄30.8a20.3b2440135 575 .................... ....................... 4分(n) (i)由题意得a n 10.8a n0.3b n,a n 1 0.8a n 0.31000 a n 0.5a n 300, ............................... 5 分1a n 1 600 a n 600 , ------------------------------- 6 分2Qm 400,600 ,a 1 600 0,数列a n 600是等比数列， ------------------------- 7分n 11 a n 600 m 6002n 11得 a n 600 m 600----------------------- 8分2(I)设点 P(x °,y °)，则 x 。
2019年福建省福州市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
2019年福建省福州市高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2+2x-3＜0}，N={x|-1≤x≤1}，则M∩N=（）A. {x|-3＜x≤1}B. {x|-1≤x＜1}C. {x|-1＜x≤1}D. {x|-3≤x＜1}2.已知复数z满足（z-i）（3+4i）=25，则|z|=（）A. B. C. 3 D.3.已知等比数列{a n}满足a n＜a n+1，且a2+a4=20，a3=8，则数列{a n}的前10项的和为（）A. 1022B. 1024C. 2046D. 20484.已知向量=（2，1），=（m，-1），且⊥（2），则m的值为（）A. 1B. 3C. 1或3D. 45.已知命题p：∃x0∈R，cos x0＞sin x0，命题q：直线3x+4y-2=0与圆x2+y2-2x-2y+1=0相离，则下列判断正确的是（）A. 命题p∨q是假命题B. 命题p∧q是真命题C. 命题p∨（￢q）是假命题D. 命题p∧（￢q）是真命题6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.7.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.已，则的取值范围是（）A. （-1.1]B. （0，+∞）C. （-∞，1）D. （-∞，1]9.若，y满足约束条件，则的取值范围为（）A. B.C. D.10.已知O为坐标原点，过双曲线的左焦点F作一条直线，与圆x2+y2=a2相切于点T，与双曲线右支交于点P，M为线段FP的中点，若该双曲线的离心率为，则=（）A. B. C. D. 211.数列,满足,记,则数列的最大项是( )A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，则函数g（x）=2-sin2πx与f（x）的图象在区间（-1，1）上的交点个数为（）A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则不等式f（lg x）＞0的解集为______．14.某市电视台对本市2019年春晚的节日进行评分，分数设置为1分，2分，3分，4分，5分五个等级已知100名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这100名大众评委的分数的方差为______．15.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点P到焦点F和点（4，0）的距离之和的最小值为5，则此抛物线方程为______．16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑“．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD．将其沿对角线BD折成一个鳖臑A'-BCD，则该鳖臑内切球的半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在线段AC上，且AE=2EC，BE=．（Ⅰ）求AC的长（Ⅱ）若∠ADC=60°，，求∠ACD的大小．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，D为AB1的中点，B1C交BC1于点E，AC⊥BC，BC=2，侧面AA1C1C的周长为8．（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；（2）设F是棱AA1上的点，且A1F=A1A，求四棱锥B1-A1FCC1的体积的最大值．19.2019年春节期间，各种手机红包成了亲友间互动的重要手段，因此占据了人们大量的时间，对人们的眼睛造成较坏的影响．大学生小王随机调查了班内20位同学每人在春节期间抢到的红包x红包金额[0，40）[40，80）[80，120）[120，160）[160，200]人数29432（1）将这20位同学的红包金额与眼睛近视的人数填入下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；不近视近视总计红包金额不低于80元2红包金额低于80元4总计（2）若从红包金额在[80，160）的同学中任取2位，求这2位同学的红包金额都在[120，160）的概率．附：，n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.010.05k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84120.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（-4，0），过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA=∠FMB．21.已知函数f（x）=xe x+a（x-1）2+b在点（0，f（0））处的切线方程为3x-y-1=0．（1）求a，b的值；（2）证明：当x＞0时，f（x）＞2e ln x+1．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的交点为P，Q．求弦长|PQ|的最小值．23.已知f（x）=|x-1|+|x-4|（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）已知f（x）≥x2+|x|+a的解集包含[-1，1]，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合M={x|x2+2x-3＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x≤1}，则M∩N={x|-1≤x＜1}，故选：B．求出M与N中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：∵复数z满足（z-i）（3+4i）=25，∴z-i==3-4i，∴z=3-3i，∴|z|==3．故选：D．推导出z-i==3-4i，从而z=3-3i，由此能求出|z|的值．本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：C解析：解：等比数列{a n}满足a n＜a n+1，公比设为q，可得等比数列为递增数列，a2+a4=20，a3=8，可得a1q+a1q3=20，a1q2=8，解得a1=q=2或a1=32，q=，由等比数列递增，可得a1=q=2，数列{a n}的前10项的和为=211-2=2046．故选：C．设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】本题考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算，属于基础题．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【解答】解：；∵；∴；解得m=1或m=3．故选：C．5.答案：D解析：解：当x0=时，cos x0＞sin x0成立，所以p是真命题；x2+y2-2x-2y+1=0；即：（x-1）2+（y-1）2=1，由点到直线的距离知圆心到直线3x+4y-2=0的距离为1，所以直线3x+4y-2=0与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，所以q是假命题；所以命题p∧（￢q）是真命题；故选：D．利用逻辑连词命题真假定义的判断即可．本题主要考查简易逻辑的有关知识，考查逻辑推理能力6.答案：A解析：解：作出直观图如图所示：其中AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=1，BC⊥BD，∴AD=AC=CD=，即△ACD为等边三角形，∴三棱锥A-BCD的表面积为3+=+，∴几何体的表面积为2×（+）=3+．故选：A．几何体为两个大小一样的三棱锥的组合体，作出直观图计算表面积．本题考查了几何体的三视图与表面积计算，属于中档题．7.答案：B解析：解：若输入的a值为1，则k=0，b=1，a=，不满足退出循环的条件，故k=1；a=-2，不满足退出循环的条件，故k=2；a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.答案：D解析：解：∵cos（-α）=cos2（-）=2cos2（-）-1=2sin2（+）-1=2t2-1，则==2t-，t∈（0，1]，函数y=2t-，在t∈（0，1]为增函数，则y=2t-∈（-∞，1]，故选：D．利用三角函数的倍角公式以及诱导公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的恒等变换，利用三角函数的倍角公式以及二倍角公式进行转化是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：表示可行域内的点（x，y）与点P（0，-2）连线的斜率，A（3，2）；C（-1，0）；k AP==，k CP==-2，作出可行域，可知点（x，y）与点P连线的斜率的范围是．所以的取值范围是（-∞，-2]∪[，+∞）．故选：B．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力．10.答案：B解析：解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|=|PF′|=（|PF|-2a）=|PF|-a=|MF|-a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|==b．可得=，双曲线的离心率为，可得c=a，即有b==a，可得=．故选：B．设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，圆的切线的性质，以及勾股定理的运用，结合双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得所求值．本题考查了双曲线的定义和性质的运用，结合三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质等知识，考查学生的计算能力和分析能力．11.答案：B解析：解：因为数列{a n}，满足，所以当n=1时，；当n≥2时，由和两式相除，得，即a n-a n-1=1（n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n=n+1，所以，因为当n≤6时，b n＜1，当n≥7时，，所以b7为数列{b n}的最大项．故选：B．由和两式相除，得到{a n}的通项公式，然后的到b n，根据数列{b n}的单调性可得其最大项．本题考查数列的通项公式，数列中的最值，考查数学运算能力，属中档题．12.答案：C解析：解：∵f（x）==2，容易得到y=为奇函数，图象关于O（0，0）对称，则f（x）的图象关于（0，2）对称，∵函数g（x）=2-sin2πx的图象关于（0，2）对称，当x∈（-1，1）f′（x）=＞0，∴f（x）在（-1，1）上单调递增，且2＜f（1）＜3，f（0）=2，结合图象可知，有5个交点，故选：C．容易得到f（x），g（x）的图象关于（0，2）对称，结合导数判断f（x）的单调性，结合函数的图象即可判断本题主要考查了函数的图象，性质和函数的零点问题，考查了数形结合思想的应用，还考查了运算能力．13.答案：（1，10）解析：解：根据题意，函数，有，解可得0≤x＜2，即函数的定义域为[0，2），又由≥0，则ln（2-x）＞0⇒，解可得：0＜x＜1，f（lg x）＞0，则有0＜lg x＜1，解可得：1＜x＜10，即不等式的解集为（1，10）；故答案为：（1，10）．根据题意，先分析函数的定义域，进而可得f（x）＞0的解集，据此分析f（lg x）＞0的解集即可得答案．本题考查超越不等式的解法，注意利用对数函数的性质进行分析．14.答案：1.6解析：解：分数的平均数为1×0.2+2×0.1+3×0.3+4×0.3×5×0.1=3．所以=（1-3）2×0.2+（2-3）2×0.1+（3-3）2×0.3+（4-3）2×0.3+（5-3）2×0.1=1.6．故填：1.6．先根据频率条形图中的数据求出平均数（加权平均），然后代入方差公式计算方差即可．本题主要考查了频率分布条形图的识别、数据平均值与方差数据的处理能力．属于基础题．15.答案：y2=4x解析：解：根据题意，抛物线C：y2=2px，其焦点坐标（，0），其准线方程为x=-，若抛物线上一点P到焦点F和点（4，0）的距离之和的最小值为5，即点P到准线与点（4，0）的距离之和的最小值为5，则点（4，0）到准线的距离即点P到准线与点（4，0）的距离之和的最小值，则有+4=5，解可得p=2，则抛物线的方程为：y2=4x；故答案为：y2=4x．根据题意，由抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得点（4，0）到焦点的距离即点P到准线与点（4，0）的距离之和的最小值，则有+4=5，解可得p的值，即可得答案．本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线的定义，关键是分析P的位置．16.答案：解析：解：∵A′D=CD=1，且△A′CD为直角三角形，∴CD⊥A′D，又CD⊥BD，BD∩A′D=D，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，又由A′B=A′D=1，BD=，得A′B⊥A′D，∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，由题意得A′C=，设内切球的半径为r，则（S△A′BC+S△A′CD+S△A′BD+S△BCD）r=，∴，解得r=．故答案为：．推导出CD⊥A′D，CD⊥BD，从而CD⊥平面A′BD，CD⊥A′B，由由A′B=A′D=1，BD=，得A′B⊥A′D，从而A′B⊥平面A′CD，A′B⊥A′C，由此能求出结果．本题考查数学文化、空间几何体与球相切问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．17.答案：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意，设AC=3z，在△ABE中，由余弦定理可得：cos∠BEA=，在△CBE中，由余弦定理可得：cos∠BEC=，…4分由于∠BEA+∠BEC=180°，所以cos∠BEA=-cos∠BEC，所以：=-，…6分整理可得：16+6z2-4-18=0，解得：z=1（负值舍去），所以AC=3…8分（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理可得，所以=，所以sin∠ACD=…10分因为AD＜AC，所以∠ACD＜60°，所以∠ACD=30°…12分解析：（Ⅰ）设AC=3z，在△ABE中，由余弦定理及cos∠BEA=-cos∠BEC，可得=-，整理可解得z的值，即可得解AC的值．（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ACD=，利用大边对大角可求∠ACD＜60°，利用特殊角的三角函数值即可得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：证明：（1）∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，∵AC⊥BC，CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BB1C1C，由题意四边形BCC1B1是矩形，∴E为B1C的中点，又D为AB1的中点，∴DE∥AC，∴DE⊥平面BB1C1C．解：（2）由题意得CC1+A1C1=4，B1C1是四棱锥B1-A1FCC1的高，∴四棱锥B1-A1FCC1的体积：V=•B1C1==（4-CC1）=[-（CC1-2）2+4]≤，∴当CC1=2时，四棱锥B1-A1FCC1的体积取最大值，最大值为．解析：（1）推导出CC1⊥AC，AC⊥BC，从而AC⊥平面BB1C1C，推导出DE∥AC，由此能证明DE⊥平面BB1C1C．（2）由题意得CC1+A1C1=4，B1C1是四棱锥B1-A1FCC1的高，四棱锥B1-A1FCC1的体积：V=•B1C1，由此能求出当CC1=2时，四棱锥B1-A1FCC1的体积取最大值，最大值为本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.不近视近视总计红包金额不低于80元279红包金额低于80元7411总计91120计算K2=≈3.430＞2.706，所以有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；（2）由题意，红包金额在[80，120）的同学有4位，设为a、b、c、d，红包金额在[120，160）的同学有3位，记为E、F、G，从中任取2个，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、aG、bc、bd、bE、bF、bG、cd、cE、cF、cG、dE、dF、dG、EF、EG、FG共21种，其中满足这2位同学的红包金额都在[120，160）内的基本事件为EF、EG、FG共3种，故所求的概率为P==．解析：（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知红包金额在[80，120）和[120，160）内的人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题和阅读与计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）由题意可知c=1，把x=1代入椭圆方程可得+=1可得y=±，∴=，又a2=b2+1，可得a=2，b=，∴椭圆的方程为：+=1．（2）当直线l没有斜率时，又对称性可知：∠FMA=∠FMB；当直线l有斜率时，设直线l的方程为：y=k（x+1），代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴k AM+k BM=+==，∵2x1x2+5（x1+x2）+8=-+8=0，∴k AM+k BM=0，∴∠FMA=∠FMB．综上，∠FMA=∠FMB．解析：（1）根据焦点坐标和弦长列方程得出a，b的值，得出椭圆的方程；（2）先讨论直线l斜率不存在的情况，再设AB的斜率为k，根据根与系数的关系计算k AM+k BM=0得出结论．本题考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.答案：解：（1）由题可知，点（0，f（0））在直线3x-y-1=0上，则有a+b=-1．又∵f′（x）=（x+1）e x+2a（x-1）且f′（0）=3∴1-2a=3∴（2）令g（x）=f（x）-2e ln x-1=xe x-（x-1）2-2e ln x-1∴令∴=＞0∴y=h（x）在（0，+∞）是增加的又∵h（1）=0∴当0＜x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）＞0∴y=g（x）在（0，1）内为减少的，在（1，+∞）内为增加的∴g（x）min=g（1）=e-1＞0∴g（x）＞0即f（x）＞2e ln x+1．解析：（1）根据点（0，f（0））在切线3x-y-1=0上可得a+b=-1；再根据f′（0）=3可得1-2a=3进而求出a和b的值；（2）构造新函数g（x）=f（x）-2e ln x-1，利用导数来研究y=g（x）的单调性及最值从而证明不等式成立．（1）此题考查了导数的几何意义；（2）考查了利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最小值，属于中档题．22.答案：解：（1）由，得ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得（x-1）2+（y+1）2=4；（2）由题意，直线l经过圆内定点A（2，-2），设圆心C（1，-1）到直线l的距离为d，∵d≤|AC|=，∴|PQ|=2，当直线l与AC垂直时，等号成立．故弦长|PQ|的最小值为．解析：（1）把曲线极坐标方程展开两角和的余弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）由题意，直线l经过圆内定点A（2，-2），结合圆心C（1，-1）到直线l的距离为d≤|AC|，即可求得|PQ|的最小值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|x-1|+|x-4|≥5，则，或，或，∴x≤0，或x≥5，∴不等式的解集为{x|x≤0，或x≥5}．（2）根据题意，当x∈[-1，1]时，f（x）=5-2x≥x2+|x|+a，f（x）≥x2+|x|+a的解集包含[-1，1]，即且恒成立，∴且，∴a≤1，∴a的取值范围为（-∞，1]．解析：（1）f（x）=|x-1|+|x-4|≥5，则，或，或，分别解不定式即可；（2）f（x）≥x2+|x|+a的解集包含[-1，1]，即且恒成立，解出a即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。
福建省泉州市2019届高考数学一模试卷(文科)解析版
福建省泉州市2019届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2n-1，n∈A}，则A∪B中元素的个数为（）A. 1B. 3C. 4D. 52.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=24，a1+a3=10，则a7=（）A. B. C. 15 D. 183.“微信”和“QQ”是腾讯社交体系中的两款产品，小明为了解不同群体对这两款产品的首选情况，统计了周围老师和同学关于首选“微信”或“QQ”的比例，得到如图等高条形图．根据等高条形图中的信息，可判断下列说法正确的是（）A. 对老师而言，更倾向于首选“微信”B. 对学生而言，更倾向于首选“QQ”C. 首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多D. 如果首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生多4.若向量=（，），=（-1，0），则∠BAC=（）A. B. C. D.5.已知双曲线C：-y2=1（a＞0）的渐近线方程为y=x，则C的焦距为（）A. 2B.C.D. 66.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为（）A. B. C. 0 D. 27.执行如图所示的程序框图，若输出S=，则判断框内可以填入（）A.B.C.D. 8.已知正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=3．若球心O在三棱锥的高AQ的三等分点处，则球O的半径为（）A. B. 2 C. 3 D. 49.若直线y=kx-1为函数f（x）=ln x-a的图象的一条切线，则k+a的最小值为（）A. B. C. 1 D. 210.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=2•-1，则S10=（）A. 1022B. 1024C. 2046D. 204811.田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三a=cosθb=sinθ+cosθc=cosθ-sinθ当0＜θ＜时，则我方必胜的排序是（）A. a，b，cB. b，c，aC. c，a，bD. c，b，a12.在直角坐标系xOy中，点F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，过C上的点A作准线l的垂线交l于B，过A作FB的垂线交FB于D，若|OD|=p，则直线AF的斜率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z=i2019•（1-i），则|z|=______．14.设函数f（x）=，，＜，则满足f（x）＜1的x的取值范围是______．15.在长方体ABCD-A B1C1D1中，AB=2BC=2，直线DC1与平面ABCD所成的角为45°，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为______．16.已知函数f（x）=，＜，＜，，若函数g（x）=f（x）-2的所有零点之和为3，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=5，（a+b）sin A=2b sin（A+C）．（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）点D在边AB上，AD=2BD，CD=，求AB．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=，PB=PC=．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若点E为线段PA的中点，求E到平面PBC的距离．19.在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与y轴正、负半轴分别交于点A，B．椭圆Γ以AB为短轴，且离心率为．（1）求Γ的方程；（2）过点A的直线l分别与圆O，曲线Γ交于点M，N（异于点A）．直线BM，BN分别与x轴交于点C，D．若|NC|=|ND|，求l的方程．20.鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．小张把去年年底采购鱼卷的数量x（单位：箱）在[100，200）的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成如表：（）根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在箱以上（含168箱）的“熟客”人数；（2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元（2≤m≤5）销售量可增加100m箱，求小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值．21.已知函数f（x）=a2x2-ax-ln x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个大于1的零点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：y=kx的倾斜角为α，曲线C：（x-1）2+（y-1）2=8．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l和C的极坐标方程；（2）若l与C交于A，B两点，求||AO|-|BO||的取值范围．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-3|．（1）求f（x）＞3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）的解集非空，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={0，1，2}，B={-1，1，3}；∴A∪B={-1，0，1，2，3}；∴A∪B中元素的个数为5．故选：D．可求出集合B，然后进行并集的运算可求出A∪B，从而得出A∪B中元素的个数．考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，以及并集的运算．2.【答案】C【解析】解：由S4=24，a1+a3=10可得，解得d=2，a1=3，∴a7=a1+6d=3+12=15，故选：C．由题意可得可得，解得d=2，a1=3，再根据通项公式即可求出．本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①对老师群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：9：1，故对老师而言，更倾向于首选“微信”，即A正确，②对学生群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：3：2，故对学生而言，更倾向于首选“微信”，即B错误，③由于老师群体与学生群体人数不定，即首选“微信”的老师比首选“微信”的同学无法比较，即C错误，④设老师群体x人，学生群体y人，则有0.9x＞0.6y，即3x＞2y，则小明统计的老师人数不一定比学生多，即D错误，综合①②③④得：A正确，故选：A．先识图再结合图象进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了识图能力及结合图象进行简单的合情推理，属简单题．4.【答案】B【解析】解：；∴，且；∴=；又0°≤∠BAC≤180°；∴∠BAC=60°．故选：B．根据条件可求出，从而可求出，并且可求出，从而可求出，从而可得出∠BAC=60°．考查向量坐标的加法和数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式．5.【答案】C【解析】解：双曲线C ：-y2=1（a＞0）的渐近线方程为y=x，可得a=2，b=1，则c=．所以C的焦距为：2．故选：C．利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】A【解析】解：由z=x-2y得y=x-，作出x，y 满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-，过点A时，直线y=x-的截距最大，此时z最小，，解得A（1，2）代入目标函数z=x-2y，得z=1-2×2=-3，∴目标函数z=x-2y的最小值是-3．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得S=2，i=1此时，由题意应该满足判断框内的条件，执行循环体，S=-3，i=2满足判断框内的条件，执行循环体，S=-，i=3满足判断框内的条件，执行循环体，S=，i=4此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为．可得判断框内的条件为：i ＜4？ 故选：A ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.【答案】B【解析】解：如图，设OQ=x ，x ＞0，则OA=OB=2x ， 在底面正三角形BCD 中，求得BQ=， 在直角三角形BQO 中，4x 2-x 2=3，得x=1，∴球O 的半径为2， 故选：B ．利用球心O 为三等分点设未知数，在直角三角形BQO 中列方程求解，可得半径．此题考查了三棱锥外接球，难度较小． 9.【答案】C【解析】解：设切点为（m ，n ），函数f （x ）=lnx-a 的导数为f ′（x ）=，则切线的斜率为k=（m ＞0），lnm-a=km-1， 解得a=lnm ， 则k+a=lnm+， 设g （m ）=lnm+， g ′（m ）=-=， 当m ＞1时，g （m ）递增； 当0＜m ＜1时，g （m ）递减．则g （1）取得极小值，且为最小值0+1=1． 故选：C ．设切点为（m ，n ），求出f （x ）的导数，可得切线的斜率，求得k+b=lnm+，设g （m ）=lnm+，求得导数，以及单调区间，可得极值和最值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题． 10.【答案】B【解析】解：各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ， 由于a 1=2，=2•-1， 则：，整理得：（S n -a n+1）（S n +2a n+1）=0． 数列{a n }的各项均为正数， 故：S n +2a n+1＞0， 所以：S n =a n+1， 整理得：， 所以：，则：数列{S n }是以S 1=a 1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：， 所以：． 故选：B ．首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型． 11.【答案】D【解析】解：因为当0＜θ＜时，cos θ-sin θ＜cos θ＜sin θ＜θ+cos θ，sinθ，由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c ，b ，a ， 故选：D ．由三角函数值得大小的比较得：当0＜θ＜时，cos θ-sin θ＜cos θ＜sin θ＜θ+cos θ，sinθ，结合“田忌赛马”事例进行简单的合情推理得：我方必胜的排序是c ，b ，a ，得解． 本题考查了三角函数值得大小的比较及进行简单的合情推理，属中档题． 12.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为F （0，），准线方程为y=-， 设A （a ，），则B （a ，-），则BF 的斜率k==，∵AD⊥BF，∴AD的斜率k=，则BF的方程为y-=x，即y=-x+，①AD的方程为：y-=（x-a），即y=x-，②由①②得，即D （，0），∵|OD|=p，∴||=p，即a=±2p，则y==2p，即A（±2p，2p），则直线AF 的斜率为==±，故选：B．求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设A的坐标，求出直线BF，AD的方程，联立方程组求出D的坐标即可得到结论．本题主要考查直线斜率的计算，结合抛物线的定义，设出点到坐标和直线方程，根据直线垂直以及斜率公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．13.【答案】【解析】解：z=i2019•（1-i）=i504×3+3•（1-i）=i3•（1-i）=-i•（1-i）=-i-1，则|z|==，故答案为：．根据复数的运算法则以及复数的模长公式进行计算即可．本题主要考查复数的模长计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．14.【答案】x＜2【解析】解：当x≥1时，不等式f（x）＜1化为log2x＜1，解得1≤x＜2；当x＜1时，不等式f（x）＜1化为＜1，此时不等式恒成立，即x＜1；综上所述，满足f（x）＜1的x的取值范围是x＜2．故答案为：x＜2．讨论x≥1和x＜1时，不等式f（x）＜1的解集是什么，从而求出f（x）＜1的x的取值范围．本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．15.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD-A B1C1D1中，AB=2BC=2，直线DC1与平面ABCD所成的角为45°，∴∠C1DC=45°，∴DC=CC1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），C1（0，2，2），=（-1，0，2），=（0，2，2），设异面直线AD1与DC1所成角为θ，则cosθ=|cos ＜＞|===．∴异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．16.【答案】（，）【解析】解：原问题等价于函数f（x）与函数y=2交点的横坐标之和为3，绘制函数在区间（-∞，1）上的图象如图所示，则当1≤x＜2时，函数与y=2存在两个交点，当x≥2时，函数图象与y=2不存在交点，由于函数关系式f（x）=af（x-1）的效果为将函数图象伸缩变换之后再进行平移，结合函数在区间[0，1）上的函数图象可知：，求解不等式组可得实数a的取值范围为：．故答案为：．由题意结合函数的解析式和函数图象确定实数a的取值范围即可．本题主要考查分段函数的性质，函数图象的伸缩变换，函数图象的平移变换等知识，属于中等题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵（a+b）sin A=2b sin（A+C）=2b sin B，…1分∴由正弦定理，可得：a（a+b）=2b2，整理可得（a+2b）（a-b）=0，∵a+2b＞0，∴a=b，△ABC为等腰三角形，得证…6分（2）设BD=x，则AD=2x，由余弦定理可得：cos∠CDA=，cos∠CDB=，…10分∵∠CDA=π-∠CDB，∴=-，解得：x=2，∴AB=6．…12分【解析】（1）由正弦定理化简已知整理可得（a+2b）（a-b）=0，由a+2b＞0，可求a=b，即可得证．（2）设BD=x，则AD=2x，由余弦定理可得：=-，解得x的值，即可解得AB的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）取AD中点F，连结PF，CF，∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴DF=1，CF=，∵PC=，∴PF2+CF2=PC2，∴PF⊥CF，∵PA=PD=，∴PF⊥AD，∵AD∩CF=F，∴PF⊥平面ABCD，∵PF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（2）∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴AB⊥AD，AB=2，∵PA=，PB=，∴PA2+AB2=PB2，∴AB⊥PA，又S△APC=2，∴△ =，在△PBC中，BC=2，PB=PC=，∴△ ，记点A到平面PBC的距离为d，∴△ d=，解得d=，∵点E为线段PA的中点，∴点E到平面PBC的距离为．【解析】（1）取AD中点F，连结PF，CF，推导出PF⊥CF，PF⊥AD，从而PF⊥平面ABCD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（2）推导出AB⊥AD，AB=2，AB⊥PA，从而=，再求出，记点A 到平面PBC的距离为d，由d=，得d=，由此能求出点E到平面PBC的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4与y轴正、负半轴分别交于点A（0，2），B（0，-2），由题意可得b=2，e==，a2-b2=c2，解得a=4，则椭圆方程为+=1；（2）A（0，2），B（0，-2），设直线l：y=kx+2（k≠0），联立椭圆x2+4y2=16，可得（1+4k2）x2+16kx=0，设N（x1，y1），可得x1=-，y1=，由题意可得AM⊥BM，k BM=-，则直线BM的方程为y=-x-2，可得C（-2k，0），若|NC|=|ND|，可得k ND=-k NB，即为=-，解得k=±，存在直线l：y=±x+2，使得|NC|=|ND|．【解析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），求得A，B的坐标，结合离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线l：y=kx+2（k≠0），联立椭圆方程求得N的坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得直线MB的方程，求得C的坐标，再由|NC|=|ND|，可得kND =-kNB，运用两点的斜率公式，解方程可得k，进而得到所求直线l的方程．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由表一数据，补出值如图如右：根据上图，可知采购量在168以上的客户端数量为：20×20×（0.005+0.020×）=17人，（2）由图一可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为：110×10+120×10+150×5+17-×20+190×5=7500（箱），∴小张去年年底总的销售量为7500÷=12000（箱）．（3）若没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为12000×20=240000（元），若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为12000+1000m（箱），每箱的利润为20-m（元），则今年的年底小张的收入为Y=（20-m）（12000+1000m）=1000（-m2+8m+240）=1000[-（m-4）2+256]=256000（元），∵256000＞240000，∴小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值为256000（元）【解析】（1）根据统计表和直方图即可求出，（2）根据统计表和直方图即可求出，（3）没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为12000×20=240000（元），若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为12000+1000m，即可求出Y的最大值，比较即可本题考查了频率分布直方图的计算问题，是基础题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2a2x-a-=，（i）当a=0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，（ii）当a＞0时，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，令f′（x）＞0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（iii）当a＜0时，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜-，令f′（x）＞0，解得：x＞-，故f（x）在（0，-）递减，在（-，+∞）递增；（2）由（1）可得若函数f（x）有2个大于1的零点，则a≠0，（i）当a＞0时，需＞＜＞，无解，（ii）当a＜0时，需＞＜＞，解得：-＜a＜0，且当-＜a＜0时，f（x）在（1，-）递减，f（1）f（-）＜0，故f（x）在（1，-）有1个零点，∵f（）=--ln＞-ln，下面证明x-ln x＞0，令g（x）=x-ln x，g′（x）=1-=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数递增，故g（x）≥g（1）=1-ln1＞0，即x-ln x＞0，故f（）＞-ln＞0，f（-）f（）＜0，又f（x）在（-，+∞）递增，故f（x）在（-，+∞）有1个零点，综上，a的范围是（-，0）．【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，结合函数的零点的个数及其范围得到关于a的不等式组，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）直线l：y=kx的倾斜角为α，转换为极坐标方程为：θ=α．曲线C：（x-1）2+（y-1）2=8．转换为极坐标方程为：ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ-6=0．（2）若l与C交于A（ρ1，α），B（ρ2，α）两点，所以：ρ1+ρ2=2cosα+2sinα，ρ1•ρ2=-6，则：||AO|-|BO||=．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用和三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x-1|+|x-3|=，，＜＜，，画出函数f（x）的图象如图所示；．当x≤1时，由4-2x＞3，解得x＜；当x≥3时，由2x-4＞3，解得x＞，所以不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜或x＞}；（2）若关于x的不等式f（x）的解集非空，等价于f（x）min≤，由（1）知，f（x）min=2，（或由|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2当1≤x≤3时取“=”），所以原命题等价于≥2，当m＞0时，m2-3m-6≥2m，解得m≤-1或m≥6，即m≥6；当m＜0时，m2-3m-6≤2m，解得-1≤m≤6，-1≤m＜0；综上所述，m的取值范围是[-1，0）∪[6，+∞）．【解析】（1）去掉绝对值，利用分段函数画出f（x）的图象，利用分类讨论法求不等式f（x）＞3的解集；（2）关于x的不等式f（x）的解集非空，等价于f（x）min≤，求出f（x）min，再分类讨论解不等式，即可求出m的取值范围．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，是中档题．。
福建省2019年高考[文数]考试真题与答案解析
，则C．185 cm在[-π，π]的图像大致为．．．．．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面学生中被抽到的是C ．A =1A 112A+10．双曲线C ：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．2sin40°B ．2cos40°C ．D ．1sin50︒1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-，则=14bcA ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若12(1,0),(1,0)F F -，，则C 的方程为22||2||AF F B =1||||AB BF =A ．B ．C ．D ．2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为___________．2)3(e xy x x =+(0,0)14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若，则S 4=___________．13314a S ==，15．函数的最小值为___________．3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为，那么P 到平面ABC 的距离为___________．3三、解答题共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。