浅谈高等代数中的等价思想及其应用

浅谈高等代数中的等价思想及其应用蒋红梅高等代数是数学专业学生必修的一门基础课程，该课程概念多，定理多，教学内容抽象。

对于大学一年级学生来说，基本上是介绍新的代数理论，利用新的定义、定理、方法解决代数问题，缺少数学模型，学生总感到难学，遇到新的问题就不知如何下手。

究其原因在于学生不了解高等代数与初等代数的区别，用中学生的思想观念和学习方法来学习，未领会高等代数中蕴含的数学方法和思想，对概念和定理的理解不足，缺少对数学方法的理解和总结。

高等代数涉及的数学思想有很多，比如等价、类比、化归、结构、分类等思想，了解和应用这些数学思想可以更好地了解和掌握高代中的数学知识。

等价思想是高等代数中比较重要的一种思想方法，是学生从计算解题到学习代数结构的结合点，为后续课程的学习起到了铺垫的作用。

在教学中，教师应深刻理解和把握课程内容，澄清教学体系，学科思想，把握重点，化解难点，解决疑点，达到帮助学生更好地学习和掌握高等代数知识的目的，也有助于我系高等代数精品课程的建设。

本文就高等代数中的等价思想及其应用作了一些探究。

1、高等代数中的等价关系1.1关于矩阵的等价关系高等代数中关于矩阵的等价关系有矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同，弄清它们的联系与区别是十分必要的。

首先，这三者的研究对象不同，矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的研究对象分 别是mn A ，n A ，n A ；其次，满足的条件不一样，但n 阶实对称矩阵既相似又合同，相似或 合同的矩阵是等价的，等价矩阵不一定相似或合同。

在()F M mn 中矩阵等价是等价关系，由于初等变换法不改变矩阵的秩，因此矩阵的秩 是等价关系的完全不变量，每一类的代表元是⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rI ，r 为矩阵的秩，按等价关系可以分为{}1,m in +n m 类。

用消元法求解线性方程组时，运用矩阵的初等变换法将线性方程组化为同解线性方程组的问题转化为增广矩阵的等价问题。

在()F M n 中矩阵的相似是等价关系，由于相似矩阵有相同的行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形，因而行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形是()F M n 上矩阵相似的完全不变量，而特征多项式、秩、迹只是矩阵相似的不变量。

Jordan 标准形是一个等价类的代表元，按等价关系可以分为1+n 类。

在()F M n 中对称矩阵的合同是等价关系，对角阵是等价类的代表元，对角阵的表达形式与数域有关。

在()C M n 中的合同矩阵，对角阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rI 是等价类的代表元，也是复二次型的规范形的矩阵，矩阵的秩是矩阵合同的不变量。

在()R M n 中的合同矩阵，对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000pr P I I 是等价类的代表元，也是实二次型的规范形的矩阵，矩阵的秩和符号差是矩阵合同的不变量。

1.2关于向量组的等价关系由线性空间V 的向量组成的集合中，两个向量组的等价是等价关系。

由于向量组和它的极大无关组是等价的，因而向量组的极大无关组是等价关系下的代表元，向量组的秩是向量组等价的不变量，按向量组的秩可以将线性空间V 的向量进行分类。

在研究线性方程组的解的结构理论中，齐次线性方程组的基础解系就是齐次线性方程组的所有解向量的一个极大无关组，也是齐次线性方程组的解空间的基，齐次线性方程组的解空间的维数就等于所有解向量组的秩，即是齐次线性方程组的基础解系中向量的个数。

1.3关于线性空间的等价关系数域F 上全体有限维线性空间构成的集合中，所有n 维线性空间都与nF 同构，线性空间的同构是一个等价关系，维数是线性空间同构的完全不变量，nF 是等价关系下的代表元。

线性变换空间)(V L 与()F M n 同构，这就将线性变换的问题转化为矩阵的问题，将抽象问题具体化。

数域R 上全体有限维欧氏空间构成的集合中，所有n 维欧氏空间都与nR 同构，因而欧氏空间的同构是一个等价关系，维数是线性空间同构的完全不变量，nR 是等价关系下的代表元。

2、 等价关系的应用2.1 利用矩阵等价求矩阵的秩当行列式的阶数较大时，一般的矩阵按定义求秩是很麻烦的.但是对于行阶梯形矩阵,它的秩就等于其非零行的行数,一看便知,不用计算.而任何一个矩阵A 都可以通过初等变换法化为行阶梯形矩阵B ,由定义可知A 与B 等价.由于初等变换法不改变矩阵的秩,因而,()()B R A R =.这样，我们可以用矩阵等价求矩阵的秩。

2.2 利用矩阵相似推导矩阵对角化的方法设n 阶矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21相似,按定义，那么存在可逆矩阵X使Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AX X λλλ211.于是, Λ=X AX .将矩阵X 按列分块成,,(21x x X =),n x ,便有()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n x x x x x x A λλλ212121,,,,,故()=n Ax Ax Ax ,,21()n n x x x λλλ ,,2211,于是()n i x Ax i i i ,2,1==λ.因为矩阵X 可逆,故0≠i x 且向量组n x x x ,,21线性无关.由()n i x Ax ii i ,2,1==λ知,n λλλ ,,21是矩阵A 的所有特征根, ()n i x i ,2,1=是矩阵A 的特征根()n i i ,2,1=λ对应的特征向量，即为特征多项式()()n i x A I i ,2,10==-λ的基础解系中的解向量.由此，我们知道将矩阵A 对角化的关键是寻求可逆矩阵X 和对角矩阵Λ，而Λ的主对角线的元素n λλλ ,,21是矩阵A 的所有特征根，可逆矩阵X 的每一列的元素正好是矩阵A 的特征根()n i i ,2,1=λ对应的特征向量，因此，首先求矩阵A 的所有特征根，而后求()n i i ,2,1=λ对应的特征向量。

通过上述分析,我们可以总结将矩阵对角化的步骤: 第一步 由0=-A I λ求矩阵A 的特征根n λλλ ,,21 第二步 由()()n i x A I i ,2,10==-λ求矩阵A 的特征根()n i i ,2,1=λ对应的特征向量()n i x i ,2,1=，通过定理判断A 可对角化。

第三步 由矩阵A 的特征根()n i i ,2,1=λ构成对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21，即为所求的对角化矩阵，以矩阵A 的特征根()n i i ,2,1=λ对应的特征向量()n i x i ,2,1=为矩阵X 的列向量构成矩阵X ，则矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21相似。

但要注意，n λλλ ,,21与n x x x ,,21的对应关系。

2.3 利用矩阵合同化二次型为标准形我们知道二次型与二次型的矩阵一一对应，当实二次型()A A Ax x f TT==通过可逆 线性替换Py x =化为()AP P B By y APy P y f TTTT===时，可逆线性替换前后的矩阵A 与B 合同（如图1）。

()()↓↓===−−−−→−===APP B By y APy P y f A A Ax x f T T T T PyT T x 可逆替换()APPB BATP=−−−→−可逆矩阵图1如果B 为对角形矩阵，那么()AP P B By y APy P y f TTT T ===是原二次型的标准形， 由定理可知，P 是正交矩阵，使得AP P B T =（如图2）。

()()↓↓===−−−−→−===APP B By y APy P y f A A Ax x f T T T T PyT T x 可逆替换()APPB BATP=−−−→−正交矩阵图2这样，实二次型化标准形的问题就转化为实对称矩阵化对角形矩阵的问题，当实矩阵 化为对角形矩阵时，就可以由对角阵写出对应的实二次型的标准形。

这不仅体现了高等代数中的等价思想，而且还体现了化归思想。

2.4 利用向量组的等价证明定理高等代数中，我们利用向量组的等价证明一些定理，比如定理5.3.3，定理5.4.3等。

下面以定理5.4.3为例给予说明。

定理5.4.3 任意一个n 阶可逆矩阵都可作为n 维线性空间V 中由一个基到另一个基的过渡矩阵。

证明：设T 是任意一个n 阶可逆矩阵，n ααα ,,21是V 的一组基，令()()T n n αααβββ 2121=，由于T 可逆，则()()n n T αααβββ 21121=-上式表明，n ααα ,,21与n βββ ,,21等价。

由于等价的向量组有相同的秩，所以n βββ ,,21线性无关，因而，n βββ ,,21是V 的一组基。

2.5 利用线性空间同构求()V L 的维数在高等代数的习题中，我们可以利用线性空间同构关系求()V L 的维数。

习题1 设V 是数域F 上的n 维线性空间，证明：F 上的线性空间()V L 的维数是2n[1] [5]证明：设V 的一组基为n ααα ,,21，()V L ∈∀σ,σ在基n ααα ,,21下的矩阵是A ，定义一个映射：A →Φσ: ①先证：A →Φσ:是双射()(),,ij n a A F M A =∈∀令()n i a a a n ni i i i ,2,12211=++=αααβ，由定理6.3.1[1]知，存在唯一的()V L ∈σ，使得()i i βασ=。

显然，σ在基n ααα ,,21下的矩阵是A ，因此A →Φσ:是满射。

设(),,V L ∈τσ设A →Φσ:，A →Φτ:，则()()()()=n ασασασ 21()A n ααα 21, ()()()()=n ατατατ 21()A n ααα 21，由此可得，()()()n i i i ,2,1==ατασ，由定理6.3.1[1]知τσ=。

因此A→Φσ:是单射。

因此A →Φσ:是双射。

②设(),,V L ∈τσ且A →Φσ:，B →Φτ:，则()()()()=n ασασασ 21()A n ααα 21, ()()()()=n ατατατ 21()B n ααα 21()()()()()()()()()()()n n n ατατασασατσατσ 111+=++()+=A n ααα 21()B n ααα 21()()B A n +=ααα21因此B A +→+Φτσ:③()()()()()()()()n n k k k ασασασασ 11=()()kA n ααα21=因此kA k →Φσ:由①②③知Φ是()V L 到()F M n 的同构映射，()V L 与()F M n 同构。

由定理知，()()2dim dim n F M V L n ==可见，在教学中有意识地渗透等价思想，展示思维过程，能帮助学生理解和掌握新知识， 从而逐步提高学生解决数学问题的能力。